---
route: /task/cke-2015-2023-pp-101
title: Zadanie cke-2015-2023-pp-101
source: CKE 2015-2023 PP
category: Stereometria
points: 5
type: open
---

# Zadanie cke-2015-2023-pp-101

**Źródło:** CKE 2015-2023 PP
**Kategoria:** Stereometria
**Punkty:** 5
**Typ:** otwarte

## Treść zadania

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej jest równy \(30^\circ \). Promień okręgu opisanego na podstawie jest równy \(2\sqrt{2}\). Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

**Prawidłowa odpowiedź:** \(\frac{\sqrt{15}}{5}\)

## Wzór

Nowa formuła

## Rozwiązanie

## Krok 1: Sporządzenie rysunku pomocniczego.

[obrazek: https://urqfqczecfbhzvrlsvmp.supabase.co/storage/v1/object/public/task-images/solutions-generated/cke-2015-2023-pp-101.png]

## Krok 2: Ustalenie oznaczeń i analiza danych

Niech ostrosłup ma podstawę ABCD (kwadrat) i wierzchołek S. Oznaczmy:
- a = długość boku podstawy
- H = wysokość ostrosłupa
- O = środek podstawy (przecięcie przekątnych)

**Dane:**
- Promień okręgu opisanego na podstawie: R = 2√2
- Kąt między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej: 30°

## Krok 3: Znalezienie boku podstawy

Dla kwadratu o boku a przekątna wynosi \(d = a\sqrt{2}\).

Promień okręgu opisanego na kwadracie to połowa przekątnej:

$$R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

Podstawiając R = 2√2:

$$2\sqrt{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

$$a = 4$$

## Krok 4: Analiza kąta między wysokością ostrosłupa a wysokością ściany bocznej

Niech M będzie środkiem boku AB. Wysokość ściany bocznej SAB to odcinek SM.

W trójkącie SOM:
- SO = H (wysokość ostrosłupa, prostopadła do podstawy)
- OM ⊥ AB (odległość od środka kwadratu do środka boku)
- SM to wysokość ściany bocznej

Odległość OM od środka kwadratu do środka boku:

$$OM = \frac{a}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

## Krok 5: Wykorzystanie kąta 30°

Kąt ∠OSM = 30° (kąt między SO a SM).

W trójkącie prostokątnym SOM (prostokątny w O):

$$\tan(30°) = \frac{OM}{SO} = \frac{OM}{H}$$

$$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{2}{H}$$

$$H = 2\sqrt{3}$$

## Krok 6: Znalezienie sinusa kąta nachylenia krawędzi bocznej

Krawędź boczna to np. SA, gdzie A jest wierzchołkiem podstawy.

Odległość OA (od środka do wierzchołka kwadratu) to promień okręgu opisanego:

$$OA = R = 2\sqrt{2}$$

Kąt nachylenia krawędzi SA do podstawy to kąt ∠SAO.

W trójkącie prostokątnym SAO (prostokątny w O):

$$\sin(\angle SAO) = \frac{SO}{SA}$$

Obliczamy SA z twierdzenia Pitagorasa:

$$SA = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{2})^2}$$

$$SA = \sqrt{12 + 8} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$

Zatem:

$$\sin(\angle SAO) = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{5} = \frac{\sqrt{15}}{5}$$

**Odpowiedź:** $$\sin(\angle SAO) = \frac{\sqrt{15}}{5}$$

---
Więcej zadań: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria
Cały arkusz: https://www.sprawnamatura.pl/exams/cke-2015-2023-pp