--- route: /symbol-newtona-dwumian-matura-wzor-obliczanie title: Symbol Newtona i dwumian Newtona na maturze - wzór, obliczanie, trójkąt Pascala i zadania description: Symbol Newtona (n po k) - wzór, obliczanie ze skracaniem silni, właściwości, trójkąt Pascala. Dwumian Newtona i schemat Bernoulliego na maturze. Zadania z rozwiązaniami krok po kroku. type: strategy tags: symbol Newtona, dwumian Newtona, n po k, kombinacje, trójkąt Pascala, schemat Bernoulliego, silnia, matura, kombinatoryka published: 2026-03-27T08:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:52.536439+00:00 --- # Symbol Newtona i dwumian Newtona na maturze - wzór, obliczanie, trójkąt Pascala i zadania ## Symbol Newtona - klucz do kombinatoryki na maturze Symbol Newtona to jedno z najważniejszych narzędzi w [kombinatoryce](/topics/kombinatoryka) i [prawdopodobieństwie](/topics/prawdopodobienstwo) na maturze. Pojawia się w zadaniach o zliczaniu podzbiorów, rozwinięciu dwumianu, a przede wszystkim w schemacie Bernoulliego, który jest jednym z [pewniaczków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia). Wielu uczniów boi się symbolu Newtona, bo wzór wygląda na skomplikowany. W rzeczywistości jest prosty - wystarczy umieć skracać silnie, a obliczenia stają się krótkie i bezbolesne. W tym przewodniku pokażę ci krok po kroku, jak obliczać symbol Newtona, jak rozwijać dwumian Newtona i jak stosować te narzędzia w zadaniach maturalnych. Jeśli nie pamiętasz, czym jest silnia - przypomnij sobie w naszym [przewodniku po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania). A po opanowaniu tego tematu warto przećwiczyć zadania w [bazie zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka). --- ## Silnia - krótkie przypomnienie Zanim przejdziemy do symbolu Newtona, upewnij się, że rozumiesz silnię: $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$ Kilka wartości do zapamiętania: | \(n\) | \(n!\) | |---|---| | 0 | 1 (z definicji!) | | 1 | 1 | | 2 | 2 | | 3 | 6 | | 4 | 24 | | 5 | 120 | | 6 | 720 | | 7 | 5040 | | 8 | 40 320 | | 9 | 362 880 | | 10 | 3 628 800 | **Kluczowa właściwość:** \(n! = n \cdot (n-1)!\) To pozwala skracać silnie w ułamkach - a to jest esencja obliczeń z symbolem Newtona. --- ## Symbol Newtona - definicja i wzór ### Definicja Symbol Newtona (czytamy "n po k" lub "n nad k") to liczba sposobów wybrania \(k\) elementów z \(n\)-elementowego zbioru, **bez uwzględniania kolejności**. ### Wzór $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ gdzie \(0 \leq k \leq n\), a \(n\) i \(k\) są liczbami naturalnymi. ### Interpretacja \(\binom{n}{k}\) odpowiada na pytanie: **na ile sposobów można wybrać \(k\) elementów z \(n\) dostępnych**, gdy kolejność nie ma znaczenia? - \(\binom{5}{2}\) - na ile sposobów wybrać 2 osoby z grupy 5? - \(\binom{10}{3}\) - na ile sposobów wybrać 3 karty z 10? - \(\binom{49}{6}\) - ile jest kombinacji w Lotto (6 z 49)? --- ## Obliczanie symbolu Newtona - krok po kroku ### Metoda 1: Skracanie silni (najszybsza!) Nie rozpisuj pełnych silni! Zamiast tego skracaj. **Przykład:** Oblicz \(\binom{8}{3}\). $$\binom{8}{3} = \frac{8!}{3! \cdot 5!}$$ Rozpisujemy \(8!\) tylko do momentu, gdy możemy skrócić z \(5!\): $$\frac{8!}{3! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{3! \cdot \cancel{5!}} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{6} = 8 \cdot 7 = 56$$ **Sprytna reguła:** W liczniku rozpisujemy \(k\) kolejnych czynników malejąco od \(n\), w mianowniku piszemy \(k!\): $$\binom{n}{k} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)}{k!}$$ ### Przykład 2: Oblicz \(\binom{10}{4}\) $$\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{24}$$ Skracamy: \(\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{24} = \frac{5040}{24} = 210\). Albo sprytniej: \(\frac{10}{2} = 5\), więc \(\frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{5 \cdot 3 \cdot 8 \cdot 7}{2} = \frac{840}{2} \cdot \frac{1}{1}\). Najprościej: \(10 \cdot 9 = 90\), \(90 / 2 = 45\), \(45 \cdot 8 = 360\), \(360 / 6 = 60\), hmm - pokażmy czystą drogę: $$\binom{10}{4} = \frac{10 \cdot 9}{1 \cdot 2} \cdot \frac{8 \cdot 7}{3 \cdot 4} = 45 \cdot \frac{56}{12} = 45 \cdot \frac{14}{3} = 15 \cdot 14 = 210$$ **Rada:** Na maturze skracaj na bieżąco, czynnik po czynniku, żeby nie liczyć ogromnych iloczynów. Więcej o unikaniu błędów rachunkowych przeczytasz w artykule o [błędach rachunkowych na maturze](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac). ### Metoda 2: Rozpisywanie czynnik po czynniku Dla \(\binom{n}{k}\) pisz \(k\) czynników w liczniku (malejąco od \(n\)) i \(k\) czynników w mianowniku (rosnąco od 1): $$\binom{12}{3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{1320}{6} = 220$$ $$\binom{9}{4} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{3024}{24} = 126$$ Ta metoda jest szczególnie wygodna, bo pozwala skracać na bieżąco. W pierwszym przykładzie: \(\frac{12}{2} = 6\), więc \(\frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 2 \cdot 3} = \frac{6 \cdot 11 \cdot 10}{1 \cdot 1 \cdot 3} = \frac{2 \cdot 11 \cdot 10}{1} = 220\). ### Przykład 3: Oblicz \(\binom{6}{0}\) i \(\binom{6}{6}\) $$\binom{6}{0} = \frac{6!}{0! \cdot 6!} = \frac{1}{1} = 1$$ $$\binom{6}{6} = \frac{6!}{6! \cdot 0!} = \frac{1}{1} = 1$$ Z pustego zbioru można wybrać 0 elementów na dokładnie 1 sposób (nie wybieramy niczego). Z 6-elementowego zbioru można wybrać wszystkie 6 elementów na dokładnie 1 sposób. --- ## Właściwości symbolu Newtona Te właściwości pojawiają się na maturze i warto je znać: ### 1. Symetria $$\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$$ **Interpretacja:** Wybranie \(k\) elementów z \(n\) to to samo co wybranie \(n-k\) elementów, które zostawiamy. Na przykład \(\binom{10}{3} = \binom{10}{7} = 120\). **Zastosowanie praktyczne:** Jeśli musisz obliczyć \(\binom{20}{17}\), łatwiej obliczyć \(\binom{20}{3}\): $$\binom{20}{17} = \binom{20}{3} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{6} = \frac{6840}{6} = 1140$$ ### 2. Wartości brzegowe $$\binom{n}{0} = 1 \qquad \binom{n}{1} = n \qquad \binom{n}{n} = 1$$ ### 3. Wzór na sumę wiersza trójkąta Pascala $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ Suma wszystkich symboli Newtona w danym wierszu daje potęgę dwójki. ### 4. Relacja Pascala (wzór rekurencyjny) $$\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}$$ To jest reguła budowy trójkąta Pascala - każda liczba jest sumą dwóch liczb nad nią. --- ## Trójkąt Pascala Trójkąt Pascala to układ symboli Newtona, w którym każdy wiersz odpowiada kolejnym wartościom \(n\): | \(n\) | Wiersz | |---|---| | 0 | 1 | | 1 | 1 \ \ 1 | | 2 | 1 \ \ 2 \ \ 1 | | 3 | 1 \ \ 3 \ \ 3 \ \ 1 | | 4 | 1 \ \ 4 \ \ 6 \ \ 4 \ \ 1 | | 5 | 1 \ \ 5 \ \ 10 \ \ 10 \ \ 5 \ \ 1 | | 6 | 1 \ \ 6 \ \ 15 \ \ 20 \ \ 15 \ \ 6 \ \ 1 | ### Jak budować trójkąt Pascala 1. Każdy wiersz zaczyna się i kończy jedynką. 2. Każda liczba wewnątrz wiersza to suma dwóch liczb nad nią (po lewej i po prawej w wierszu wyżej). ### Zastosowanie na maturze Trójkąt Pascala jest bardzo przydatny, gdy musisz szybko rozwinąć dwumian Newtona dla małych potęg (do \(n = 5\) lub \(n = 6\)). Zamiast obliczać symbole Newtona ze wzoru, po prostu odczytaj współczynniki z odpowiedniego wiersza. --- ## Dwumian Newtona - rozwinięcie \((a+b)^n\) ### Wzór $$\left(a + b\right)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ Rozpisując: $$(a+b)^n = \binom{n}{0}a^n b^0 + \binom{n}{1}a^{n-1}b^1 + \binom{n}{2}a^{n-2}b^2 + \ldots + \binom{n}{n}a^0 b^n$$ ### Przykłady rozwinięć **(a+b)^2:** $$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$$ **(a+b)^3:** $$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$$ **(a+b)^4:** $$(a+b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$$ Współczynniki 1, 4, 6, 4, 1 to czwarty wiersz trójkąta Pascala. Warto pamiętać, że te wzory łączą się z [wzorami skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) - wzory na \((a+b)^2\) i \((a-b)^2\) to szczególne przypadki dwumianu Newtona. ### Jak znaleźć konkretny wyraz rozwinięcia \(k\)-ty wyraz rozwinięcia (licząc od \(k = 0\)) to: $$T_k = \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ **Przykład:** Znajdź wyraz zawierający \(x^3\) w rozwinięciu \((2x + 3)^5\). Tu \(a = 2x\), \(b = 3\), \(n = 5\). Szukamy wyrazu, w którym potęga \(x\) wynosi 3, czyli \(n - k = 3\), więc \(k = 2\). $$T_2 = \binom{5}{2}(2x)^3 \cdot 3^2 = 10 \cdot 8x^3 \cdot 9 = 720x^3$$ ### Dwumian z różnicą: \((a-b)^n\) Wystarczy podstawić \(b \to (-b)\): $$(a - b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} (-b)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$$ Wyrazy na zmianę mają znaki \(+\) i \(-\): $$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$$ $$(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$$ ### Specjalne przypadki dwumianu Newtona Warto pamiętać kilka użytecznych tożsamości, które wynikają z dwumianu: **Podstawiając \(a = 1\), \(b = 1\):** $$(1 + 1)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ To dowód na to, że suma wiersza trójkąta Pascala wynosi \(2^n\). **Podstawiając \(a = 1\), \(b = -1\):** $$(1 - 1)^n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{n}{k} = 0$$ Co oznacza, że suma symboli Newtona z parzystym \(k\) jest równa sumie symboli z nieparzystym \(k\): $$\binom{n}{0} + \binom{n}{2} + \binom{n}{4} + \ldots = \binom{n}{1} + \binom{n}{3} + \binom{n}{5} + \ldots = 2^{n-1}$$ ### Liczba wyrazów w rozwinięciu Rozwinięcie \((a+b)^n\) ma zawsze \(n + 1\) wyrazów. Na przykład \((a+b)^5\) ma 6 wyrazów. ### Wyraz środkowy Jeśli \(n\) jest parzyste, rozwinięcie ma dokładnie jeden wyraz środkowy - ten przy \(k = \frac{n}{2}\): $$T_{\text{śr}} = \binom{n}{n/2} a^{n/2} b^{n/2}$$ Jeśli \(n\) jest nieparzyste, są dwa wyrazy środkowe: przy \(k = \frac{n-1}{2}\) i \(k = \frac{n+1}{2}\). --- ## Zastosowanie w kombinatoryce ### Kombinacje bez powtórzeń Symbol Newtona to dokładnie liczba kombinacji \(k\)-elementowych ze zbioru \(n\)-elementowego: $$C(n,k) = \binom{n}{k}$$ **Zadanie:** Na ile sposobów można wybrać 3-osobowy zespół z grupy 8 osób? $$\binom{8}{3} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56$$ ### Ile jest podzbiorów danego zbioru? Zbiór \(n\)-elementowy ma dokładnie \(2^n\) podzbiorów (łącznie ze zbiorem pustym i całym zbiorem). $$\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n$$ **Zadanie:** Ile podzbiorów ma zbiór \(\{a, b, c, d, e\}\)? $$2^5 = 32$$ ### Ile jest podzbiorów niepustych? Jeśli chcemy wyłączyć zbiór pusty, odejmujemy 1: $$2^n - 1$$ Dla zbioru 5-elementowego: \(2^5 - 1 = 31\) podzbiorów niepustych. ### Zadania z warunkami - łączenie symboli Newtona **Przykład:** Z grupy 7 mężczyzn i 5 kobiet trzeba wybrać 4-osobową komisję, w której będą co najmniej 2 kobiety. Na ile sposobów? Rozbijamy na przypadki: - 2 kobiety i 2 mężczyzn: \(\binom{5}{2} \cdot \binom{7}{2} = 10 \cdot 21 = 210\) - 3 kobiety i 1 mężczyzna: \(\binom{5}{3} \cdot \binom{7}{1} = 10 \cdot 7 = 70\) - 4 kobiety i 0 mężczyzn: \(\binom{5}{4} \cdot \binom{7}{0} = 5 \cdot 1 = 5\) Łącznie: \(210 + 70 + 5 = 285\) sposobów. Ten typ zadania - wybór z dwóch grup z warunkiem - pojawia się na maturze bardzo często. Kluczem jest systematyczne rozbicie na przypadki i zastosowanie reguły mnożenia w każdym z nich. --- ## Schemat Bernoulliego - zastosowanie w prawdopodobieństwie Schemat Bernoulliego to jedno z najczęstszych zastosowań symbolu Newtona na maturze. Dotyczy sytuacji, w której powtarzamy doświadczenie losowe \(n\) razy, a każde ma dwa możliwe wyniki: sukces (z prawdopodobieństwem \(p\)) lub porażka (z prawdopodobieństwem \(q = 1 - p\)). ### Wzór Bernoulliego Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie \(k\) sukcesów w \(n\) próbach: $$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ ### Przykład: Rzut monetą Rzucamy monetą 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 3 razy? \(n = 5\), \(k = 3\), \(p = \frac{1}{2}\). $$P(X = 3) = \binom{5}{3} \left(\frac{1}{2}\right)^3 \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{8} \cdot \frac{1}{4} = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$$ ### Przykład: Kontrola jakości W fabryce 5% produktów jest wadliwych. Z partii losujemy 10 produktów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 2 będą wadliwe? \(n = 10\), \(k = 2\), \(p = 0{,}05\), \(q = 0{,}95\). $$P(X = 2) = \binom{10}{2} \cdot (0{,}05)^2 \cdot (0{,}95)^8$$ $$P(X = 2) = 45 \cdot 0{,}0025 \cdot 0{,}6634 \approx 45 \cdot 0{,}001659 \approx 0{,}0746$$ **Odpowiedź:** Prawdopodobieństwo wynosi około 7,5%. ### Kiedy stosować schemat Bernoulliego? Schemat Bernoulliego stosujemy, gdy spełnione są **wszystkie** warunki: 1. Doświadczenie powtarzamy \(n\) razy 2. Każde doświadczenie ma dokładnie dwa wyniki (sukces/porażka) 3. Prawdopodobieństwo sukcesu \(p\) jest **stałe** w każdej próbie 4. Próby są **niezależne** (wynik jednej nie wpływa na inne) Jeśli któryś warunek nie jest spełniony (np. losujemy bez zwracania), schemat Bernoulliego nie działa bezpośrednio. Ale na maturze podstawowej zadania są tak skonstruowane, że warunki te są prawie zawsze spełnione. Więcej zadań z prawdopodobieństwa znajdziesz w naszej [bazie zadań z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) i w [przewodniku po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania). --- ## Zadania maturalne z rozwiązaniami ### Zadanie 1 - obliczanie symbolu Newtona (1 pkt) **Treść:** Oblicz wartość wyrażenia \(\binom{7}{3} + \binom{7}{4}\). **Rozwiązanie:** Sposób 1 - obliczamy osobno: $$\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{210}{6} = 35$$ $$\binom{7}{4} = \binom{7}{3} = 35 \quad \text{(z symetrii)}$$ $$\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = 35 + 35 = 70$$ Sposób 2 - korzystamy z relacji Pascala: $$\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = \binom{8}{4} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4!} = \frac{1680}{24} = 70$$ **Odpowiedź:** \(\binom{7}{3} + \binom{7}{4} = 70\). --- ### Zadanie 2 - kombinacje (1 pkt) **Treść:** W klasie jest 12 chłopców i 10 dziewcząt. Na ile sposobów można wybrać 2-osobową delegację składającą się z jednego chłopca i jednej dziewczyny? **Rozwiązanie:** Wybieramy 1 chłopca z 12: \(\binom{12}{1} = 12\) Wybieramy 1 dziewczynę z 10: \(\binom{10}{1} = 10\) Z reguły mnożenia: $$12 \cdot 10 = 120$$ **Odpowiedź:** Delegację można wybrać na 120 sposobów. --- ### Zadanie 3 - schemat Bernoulliego (2 pkt) **Treść:** Prawdopodobieństwo trafienia do celu przez łucznika wynosi 0,7. Łucznik oddaje 4 strzały. Oblicz prawdopodobieństwo, że trafi do celu dokładnie 3 razy. **Rozwiązanie:** \(n = 4\), \(k = 3\), \(p = 0{,}7\), \(q = 1 - 0{,}7 = 0{,}3\). $$P(X = 3) = \binom{4}{3} \cdot (0{,}7)^3 \cdot (0{,}3)^1$$ $$P(X = 3) = 4 \cdot 0{,}343 \cdot 0{,}3$$ $$P(X = 3) = 4 \cdot 0{,}1029 = 0{,}4116$$ **Odpowiedź:** Prawdopodobieństwo wynosi \(0{,}4116\), czyli około 41,2%. --- ### Zadanie 4 - dwumian Newtona (2 pkt) **Treść:** Wyznacz współczynnik przy \(x^3\) w rozwinięciu \((x - 2)^6\). **Rozwiązanie:** Korzystamy ze wzoru dwumianu Newtona z \(a = x\), \(b = -2\), \(n = 6\). Szukamy wyrazu, w którym \(x\) jest w potędze 3, czyli \(n - k = 3\), więc \(k = 3\). $$T_3 = \binom{6}{3} \cdot x^3 \cdot (-2)^3 = 20 \cdot x^3 \cdot (-8) = -160x^3$$ **Odpowiedź:** Współczynnik przy \(x^3\) wynosi \(-160\). --- ### Zadanie 5 - równanie z symbolem Newtona (2 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(\binom{n}{2} = 28\), gdzie \(n\) jest liczbą naturalną. **Rozwiązanie:** $$\binom{n}{2} = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$$ Zatem: $$\frac{n(n-1)}{2} = 28$$ $$n(n-1) = 56$$ $$n^2 - n - 56 = 0$$ Rozwiązujemy [równanie kwadratowe](/delta-rownanie-kwadratowe-wzor-obliczanie-matura): $$\Delta = 1 + 224 = 225$$ $$\sqrt{\Delta} = 15$$ $$n = \frac{1 + 15}{2} = 8 \quad \text{lub} \quad n = \frac{1 - 15}{2} = -7$$ Ponieważ \(n\) musi być liczbą naturalną i \(n \geq 2\), wybieramy \(n = 8\). **Sprawdzenie:** \(\binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28\) - zgadza się. **Odpowiedź:** \(n = 8\). --- ### Zadanie 6 - podzbiory (1 pkt) **Treść:** Ile podzbiorów 3-elementowych ma zbiór 7-elementowy? **Rozwiązanie:** $$\binom{7}{3} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3!} = \frac{210}{6} = 35$$ **Odpowiedź:** Zbiór 7-elementowy ma 35 podzbiorów 3-elementowych. --- ### Zadanie 7 - schemat Bernoulliego z "co najmniej" (3 pkt) **Treść:** Rzucamy kostką do gry 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie co najmniej 2 razy. **Rozwiązanie:** \(n = 4\), \(p = \frac{1}{6}\) (prawdopodobieństwo wyrzucenia szóstki), \(q = \frac{5}{6}\). "Co najmniej 2" oznacza \(k = 2\) lub \(k = 3\) lub \(k = 4\). Łatwiej obliczyć dopełnienie: $$P(X \geq 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$$ $$P(X = 0) = \binom{4}{0} \left(\frac{1}{6}\right)^0 \left(\frac{5}{6}\right)^4 = 1 \cdot 1 \cdot \frac{625}{1296} = \frac{625}{1296}$$ $$P(X = 1) = \binom{4}{1} \left(\frac{1}{6}\right)^1 \left(\frac{5}{6}\right)^3 = 4 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{125}{216} = \frac{500}{1296}$$ $$P(X \geq 2) = 1 - \frac{625}{1296} - \frac{500}{1296} = 1 - \frac{1125}{1296} = \frac{171}{1296} = \frac{19}{144}$$ **Odpowiedź:** Prawdopodobieństwo wynosi \(\frac{19}{144} \approx 0{,}132\), czyli około 13,2%. **Wskazówka maturalna:** Gdy w zadaniu pojawia się "co najmniej", prawie zawsze szybciej jest obliczyć dopełnienie. Zamiast liczyć \(P(X \geq 2)\) bezpośrednio (3 wyrazy), liczysz \(1 - P(X = 0) - P(X = 1)\) (2 wyrazy). Na maturze ta sztuczka oszczędza czas i zmniejsza ryzyko błędu. --- ### Zadanie 8 - suma współczynników dwumianu (2 pkt) **Treść:** Oblicz sumę wszystkich współczynników w rozwinięciu \((2x + 1)^5\). **Rozwiązanie:** Suma współczynników wielomianu to jego wartość dla \(x = 1\): $$(2 \cdot 1 + 1)^5 = 3^5 = 243$$ **Odpowiedź:** Suma współczynników wynosi 243. **Dlaczego to działa?** Każdy wyraz rozwinięcia ma postać \(c_k \cdot x^k\). Gdy podstawimy \(x = 1\), dostajemy \(c_0 + c_1 + c_2 + \ldots + c_n\), czyli sumę współczynników. --- ## Kombinacje vs. wariacje vs. permutacje - kiedy co stosować Na maturze trzeba szybko rozpoznać, czy zadanie wymaga symbolu Newtona, czy innej formuły zliczającej. Oto praktyczny schemat: ### Permutacja **Pytanie:** Na ile sposobów ustawić WSZYSTKIE \(n\) elementów w kolejności? $$P_n = n!$$ **Przykład:** Na ile sposobów 5 osób może ustawić się w kolejce? \(P_5 = 5! = 120\). ### Wariacja bez powtórzeń **Pytanie:** Na ile sposobów wybrać \(k\) elementów z \(n\), gdy **kolejność ma znaczenie**? $$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$ **Przykład:** Na ile sposobów wybrać prezesa, wiceprezesa i sekretarza z grupy 10 osób? \(V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720\). ### Kombinacja (symbol Newtona) **Pytanie:** Na ile sposobów wybrać \(k\) elementów z \(n\), gdy **kolejność nie ma znaczenia**? $$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ **Przykład:** Na ile sposobów wybrać 3-osobowy zespół z grupy 10 osób? \(\binom{10}{3} = 120\). ### Jak rozpoznać na maturze? Kluczowe pytanie: **czy kolejność ma znaczenie?** - "Ile jest ustawień / ciągów / haseł / numerów?" - kolejność ma znaczenie, to wariacja lub permutacja - "Ile jest zbiorów / zespołów / grup / kombinacji?" - kolejność nie ma znaczenia, to symbol Newtona - "Na ile sposobów wybrać?" - czytaj uważnie kontekst. Jeśli wybieramy drużynę (bez ról), to kombinacja. Jeśli wybieramy na stanowiska (z rolami), to wariacja. --- ## Kiedy symbol Newtona pojawia się na maturze? Na arkuszu CKE symbol Newtona pojawia się regularnie w trzech kontekstach: ### 1. Zadania kombinatoryczne (1-2 pkt) "Na ile sposobów można wybrać..." - to czyste zastosowanie symbolu Newtona. Takie zadania pojawiają się na prawie każdej maturze. Wystarczy poprawnie zidentyfikować \(n\) i \(k\), podstawić do wzoru i obliczyć. ### 2. Schemat Bernoulliego (2-3 pkt) Zadania typu: "Prawdopodobieństwo sukcesu wynosi \(p\). Doświadczenie powtórzono \(n\) razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że sukces nastąpił dokładnie \(k\) razy." To jedne z najbardziej przewidywalnych zadań na maturze - schemat zawsze jest ten sam. ### 3. Dwumian Newtona (2 pkt, rzadziej) Zadania o rozwinięciu dwumianu lub szukaniu konkretnego współczynnika. Pojawiają się raz na 2-3 lata, ale gdy już się pojawią - punkty są łatwe, jeśli znasz wzór. Wszystkie te typy zadań przećwiczysz w naszej [bazie zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka). Sprawdź też [kompletny przewodnik po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin), żeby wiedzieć, czego się spodziewać na egzaminie. --- ## Najczęstsze pułapki i błędy Unikaj tych błędów na maturze. Więcej o typowych pomyłkach znajdziesz w [przewodniku po najczęstszych błędach](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki). ### 1. Mylenie kombinacji z wariancjami Jeśli kolejność **ma znaczenie** - to nie symbol Newtona, lecz wariacja. Symbol Newtona liczy tylko **zbiory** (kolejność nie ma znaczenia). - Ile jest 3-literowych haseł z 26 liter (z powtórzeniami)? To NIE symbol Newtona. - Na ile sposobów wybrać 3 karty z 10? To symbol Newtona. ### 2. Zapomnienie o \(0! = 1\) \(\binom{5}{0} = 1\), nie 0. To częsty błąd w zadaniach, gdzie \(k = 0\) (np. "jakie jest prawdopodobieństwo, że nikt nie trafi?"). ### 3. Błędy ze znakami w dwumianie z różnicą W rozwinięciu \((a - b)^n\) znaki na zmianę: \(+, -, +, -, \ldots\). Wyraz \(T_k\) ma znak \((-1)^k\). Nie zapomnij o tym! ### 4. Zapomnienie o \(p\) i \(q\) w schemacie Bernoulliego Wzór Bernoulliego ma **dwie** potęgi: \(p^k\) i \((1-p)^{n-k}\). Uczniowie często zapominają o członie \((1-p)^{n-k}\). Na przykład, jeśli \(n = 5\) i \(k = 5\), to \((1-p)^0 = 1\) i wprawdzie nic nie zmienia - ale dla \(k < n\) pominięcie tego członu daje zupełnie zły wynik. ### 5. Niepoprawne skracanie silni Pamiętaj: \(\frac{n!}{k!} \neq (n-k)!\). To **nie** jest prawidłowe uproszczenie. Poprawnie: \(\frac{n!}{k!} = n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (k+1)\) (iloczyn od \(k+1\) do \(n\)). ### 6. Stosowanie symbolu Newtona tam, gdzie kolejność ma znaczenie Zanim użyjesz \(\binom{n}{k}\), upewnij się, że zadanie dotyczy **wyboru bez kolejności**. Jeśli pytają o liczbę ustawień, kodów, haseł - to nie kombinacja, lecz wariacja lub permutacja. --- ## Jak przygotować się do zadań z symbolem Newtona na maturze Oto konkretny plan powtórki: 1. **Przećwicz obliczanie symbolu Newtona** - oblicz \(\binom{n}{k}\) dla \(n\) od 5 do 15 i różnych \(k\). Upewnij się, że potrafisz sprawnie skracać silnie. 2. **Naucz się rozpoznawać typ zadania** - czy kolejność ma znaczenie? Jeśli nie - symbol Newtona. Jeśli tak - wariacja. 3. **Opanuj schemat Bernoulliego** - to prawdopodobnie najważniejsze zastosowanie symbolu Newtona na maturze. Przećwicz warianty z "dokładnie \(k\)" i "co najmniej \(k\)" (dopełnienie). 4. **Rozpisz trójkąt Pascala** do wiersza 6 lub 7 z pamięci. Na maturze zaoszczędzi ci to czas przy rozwijaniu dwumianu. 5. **Przejrzyj arkusze CKE** - w naszej [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) znajdziesz zadania z kombinatoryki z lat 2015-2025. Rozwiąż je wszystkie. --- ## Podsumowanie - najważniejsze wzory | Wzór | Zastosowanie | |---|---| | \(n! = 1 \cdot 2 \cdot \ldots \cdot n\) | Silnia - podstawa obliczeń | | \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) | Liczba kombinacji \(k\) z \(n\) | | \(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\) | Symetria - ułatwia obliczenia | | \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\) | Relacja Pascala | | \(\binom{n}{0} = \binom{n}{n} = 1\) | Wartości brzegowe | | \(\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} = 2^n\) | Suma wiersza trójkąta Pascala | | \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k}b^k\) | Dwumian Newtona | | \(P(X=k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}\) | Schemat Bernoulliego | Symbol Newtona i dwumian Newtona to narzędzia, które pojawiają się na maturze regularnie. Opanuj technikę skracania silni, przećwicz schemat Bernoulliego i naucz się rozwijać dwumian dla małych potęg - to [pewne punkty na egzaminie](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt). Jeśli dopiero zaczynasz przygotowania, przeczytaj nasz [kompletny przewodnik - jak się uczyć matematyki od zera](/jak-sie-uczyc-matematyki-od-zera-do-matury). Zadania do przećwiczenia znajdziesz w naszej [bazie zadań z kombinatoryki](/topics/kombinatoryka) i [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo). Powodzenia na maturze! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)