--- route: /stosunek-pol-trojkatow-wspolna-wysokosc-wspolny-kat-matura-rozszerzona title: Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość, wspólny kąt i zadania z matury rozszerzonej description: Jak liczyć stosunek pól trójkątów bez wysokości: wspólna wysokość, wspólny kąt, podobieństwo. Pięć zadań z matury rozszerzonej rozwiązanych krok po kroku. type: task_solution category: Planimetria tags: stosunek pól trójkątów, trójkąty o wspólnej wysokości, trójkąty o wspólnym kącie, stosunek pól figur podobnych, pole trójkąta matura rozszerzona, planimetria matura rozszerzona, zadania dowodowe planimetria, twierdzenie Talesa pole trójkąta, wykaż że pole trójkąta, stosunek pól zadania maturalne published: 2026-09-12T07:14:10.068+00:00 updated: 2026-09-12T07:17:58.489779+00:00 --- # Stosunek pól trójkątów - wspólna wysokość, wspólny kąt i zadania z matury rozszerzonej Stosunek pól dwóch trójkątów liczysz bez wyznaczania żadnej wysokości, jeśli trójkąty mają coś wspólnego. Wspólna wysokość (ten sam wierzchołek, podstawy na jednej prostej): stosunek pól równa się stosunkowi podstaw. Wspólny kąt: stosunek pól równa się stosunkowi iloczynów boków obejmujących ten kąt, bo \(P = \frac{1}{2} ab \sin\alpha\). Podobieństwo w skali \(k\): stosunek pól równa się \(k^2\). Na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona) te trzy fakty rozwiązują większość zadań z poleceniem "oblicz stosunek pól" i "wykaż, że pole trójkąta jest równe". Ta technika wraca w arkuszach rozszerzonych regularnie, tylko pod różnymi przebraniami: raz jako trójkąt równoboczny z punktem na boku, raz jako kwadrat pocięty przekątną, raz jako dowód o polu trójkąta wyciętego dwiema prostymi równoległymi. W tym wpisie rozbieramy pięć takich zadań z arkuszy CKE, każde za 3 do 5 punktów, i pokazujemy, jak w każdym z nich rozpoznać, który z trzech wzorów wziąć. Na maturze podstawowej ten sam mechanizm pojawia się w prostszej wersji, a jego korzeniem są [trójkąty podobne](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). ## Trzy sposoby na stosunek pól bez liczenia pól Stosunek pól to nie jest "policz oba pola i podziel". W zadaniach rozszerzonych zwykle nie znasz żadnej wysokości i nie masz jej z czego policzyć. Zamiast tego szukasz tego, co oba trójkąty dzielą: wysokości, kąta albo kształtu. **Wspólna wysokość.** Jeśli dwa trójkąty mają ten sam wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej, to wysokość opuszczona z tego wierzchołka jest w obu identyczna. Pole to połowa iloczynu podstawy i wysokości, więc wysokość się skraca i zostaje stosunek podstaw. Najczęstszy obraz: punkt \(D\) na boku \(BC\) trójkąta \(ABC\). Wtedy \(\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{|BD|}{|DC|}\). Szczególny przypadek to środkowa, która dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach. Ten sam fakt siedzi w dowodzie [twierdzenia o dwusiecznej](/dwusieczna-kata-twierdzenie-o-dwusiecznej-zadania-matura). **Wspólny kąt.** Jeśli dwa trójkąty mają wspólny kąt (albo kąty równe), to ich pola liczysz z tego samego wzoru \(P = \frac{1}{2} ab\sin\alpha\), a sinus się skraca. Zostaje stosunek iloczynów boków obejmujących kąt. Obraz: punkty \(B'\) na boku \(AB\) i \(C'\) na boku \(AC\). Wtedy \(\frac{P_{AB'C'}}{P_{ABC}} = \frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}\). To wzór, który najczęściej ratuje zadania z kwadratem albo prostokątem pociętym przekątnymi. Wszystkie wzory na pole trójkąta, z których te proporcje wynikają, zebraliśmy we wpisie o [ośmiu wzorach na pole trójkąta](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne). **Podobieństwo.** Jeśli trójkąty są podobne w skali \(k\), to stosunek ich pól to \(k^2\). W zadaniach podobieństwo bierze się prawie zawsze z prostych równoległych: odcinek równoległy do boku odcina trójkąt podobny do całego, a skalę daje [twierdzenie Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania). Te trzy narzędzia łączy się w jednym zadaniu. Typowy łańcuch: podobieństwo daje pole małego trójkąta jako ułamek większego, a wspólna wysokość przenosi ten ułamek na cały trójkąt. ## Wzory Stosunek pól przy wspólnej wysokości: $$\frac{P_{ABD}}{P_{ADC}} = \frac{|BD|}{|DC|}$$ Stosunek pól przy wspólnym kącie: $$\frac{P_{AB'C'}}{P_{ABC}} = \frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}$$ Stosunek pól trójkątów podobnych: $$\frac{P_1}{P_2} = k^2$$ Pole trójkąta z dwóch boków i kąta: $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$ Podział pola przez środkową: $$P_{ABD} = P_{ADC} = \frac{1}{2} P_{ABC} \quad \text{dla } |BD| = |DC|$$ ## Jak rozpoznać, który wzór wziąć Patrzysz na dwa trójkąty, o które pyta zadanie, i zadajesz trzy pytania po kolei. Czy mają wspólny wierzchołek, a podstawy leżą na jednej prostej? Bierzesz stosunek podstaw. Czy mają wspólny kąt, a pozostałe wierzchołki leżą na ramionach tego kąta? Bierzesz iloczyny boków. Czy w zadaniu są proste równoległe? Szukasz trójkątów podobnych i skali z Talesa. **Wskazówka:** oznacz pole całego trójkąta jedną literą, na przykład \(S\), i wyrażaj pola wszystkich mniejszych trójkątów jako ułamki \(S\). Zadanie "wykaż, że pole jest 21 razy mniejsze" zamienia się wtedy w rachunek na ułamkach, a nie w geometrię. Jeśli w zadaniu pojawia się kąt, którego miary szukasz, stosunek pól zwykle daje ci stosunek odcinków, a dalej wchodzi [twierdzenie sinusów albo cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac). Dokładnie tak działa pierwszy przykład. ## Przykład 1: Kąt z warunku na stosunek pól (matura rozszerzona maj 2025, zadanie 3) **Treść:** W trójkącie równobocznym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(BC\). Stosunek pola trójkąta \(ABD\) do pola trójkąta \(ADC\) jest równy \(\frac{\sqrt{3}-1}{2}\). Oblicz miarę kąta \(DAC\). **Krok 1: Wspólna wysokość.** Trójkąty \(ABD\) i \(ADC\) mają wspólny wierzchołek \(A\), a ich podstawy \(BD\) i \(DC\) leżą na prostej \(BC\). Wysokość z \(A\) jest w obu ta sama, więc stosunek pól to stosunek podstaw. $$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$$ **Krok 2: Wyraź \(|DC|\) przez bok trójkąta.** Oznacz bok przez \(a\). Skoro \(|BD| + |DC| = a\) oraz \(|BD| = \frac{\sqrt{3}-1}{2} \cdot |DC|\), to $$|DC| \cdot \left(1 + \frac{\sqrt{3}-1}{2}\right) = a \quad \Rightarrow \quad |DC| \cdot \frac{\sqrt{3}+1}{2} = a \quad \Rightarrow \quad |DC| = \frac{2a}{\sqrt{3}+1} = a(\sqrt{3}-1)$$ **Krok 3: Twierdzenie sinusów w trójkącie \(ADC\).** Oznacz \(|\sphericalangle DAC| = \varphi\). Kąt przy \(C\) ma \(60^\circ\), więc \(|\sphericalangle ADC| = 120^\circ - \varphi\). Naprzeciw \(\varphi\) leży \(DC\), naprzeciw kąta \(ADC\) leży \(AC = a\). $$\frac{a(\sqrt{3}-1)}{\sin\varphi} = \frac{a}{\sin(120^\circ - \varphi)} \quad \Rightarrow \quad (\sqrt{3}-1)\sin(120^\circ - \varphi) = \sin\varphi$$ **Krok 4: Rozwiń sinus różnicy.** \(\sin(120^\circ - \varphi) = \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\varphi + \frac{1}{2}\sin\varphi\). Po pomnożeniu przez \(\sqrt{3}-1\): $$\frac{3-\sqrt{3}}{2}\cos\varphi + \frac{\sqrt{3}-1}{2}\sin\varphi = \sin\varphi \quad \Rightarrow \quad \frac{3-\sqrt{3}}{2}\cos\varphi = \frac{3-\sqrt{3}}{2}\sin\varphi$$ Stąd \(\operatorname{tg}\varphi = 1\), a kąt \(\varphi\) jest ostry, bo mieści się w kącie \(BAC\) o mierze \(60^\circ\). **Odpowiedź:** \(|\sphericalangle DAC| = 45^\circ\). ## Przykład 2: Pole trójkąta z punktu dzielącego bok (matura rozszerzona maj 2013, zadanie 9) **Treść:** Dany jest trójkąt \(ABC\), w którym \(|AC| = 17\) i \(|BC| = 10\). Na boku \(AB\) leży punkt \(D\) taki, że \(|AD| : |DB| = 3 : 4\) oraz \(|DC| = 10\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\). **Krok 1: Oznacz odcinki i zauważ trójkąt równoramienny.** Niech \(|AD| = 3x\) i \(|DB| = 4x\). W trójkącie \(DBC\) mamy \(|DC| = |BC| = 10\), więc jest równoramienny, a wysokość z \(C\) trafia w środek \(DB\). Stąd $$\cos|\sphericalangle BDC| = \frac{2x}{10} = \frac{x}{5}$$ **Krok 2: Kąt przyległy.** Kąty \(ADC\) i \(BDC\) leżą na jednej prostej, więc sumują się do \(180^\circ\) i \(\cos|\sphericalangle ADC| = -\frac{x}{5}\). **Krok 3: Twierdzenie cosinusów w trójkącie \(ADC\).** $$17^2 = (3x)^2 + 10^2 - 2 \cdot 3x \cdot 10 \cdot \left(-\frac{x}{5}\right) \quad \Rightarrow \quad 289 = 9x^2 + 100 + 12x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = 9$$ Zatem \(x = 3\), czyli \(|AD| = 9\), \(|DB| = 12\), \(|AB| = 21\). **Krok 4: Pole trójkąta \(DBC\).** Wysokość z \(C\) w trójkącie równoramiennym o ramieniu \(10\) i podstawie \(12\) ma długość \(\sqrt{100 - 36} = 8\). $$P_{DBC} = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$ **Krok 5: Wspólna wysokość.** Trójkąty \(ABC\) i \(DBC\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a podstawy \(AB\) i \(DB\) na jednej prostej. Stosunek pól to stosunek podstaw. $$P_{ABC} = P_{DBC} \cdot \frac{|AB|}{|DB|} = 48 \cdot \frac{21}{12} = 84$$ **Odpowiedź:** \(P_{ABC} = 84\). ## Przykład 3: Wspólny kąt w kwadracie (matura rozszerzona maj 2024, zadanie 9) **Treść:** Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(a\). Punkt \(E\) jest środkiem boku \(CD\). Przekątna \(BD\) dzieli trójkąt \(ACE\) na dwie figury: trójkąt \(AGF\) (gdzie \(G\) leży na \(AC\), a \(F\) na \(AE\)) oraz czworokąt \(CEFG\). Oblicz pola figur \(AGF\) oraz \(CEFG\). **Krok 1: Pole trójkąta \(ACE\).** Podstawa \(CE\) ma długość \(\frac{a}{2}\), a wysokość opuszczona z \(A\) na prostą \(CD\) to bok kwadratu. $$P_{ACE} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot a = \frac{a^2}{4}$$ **Krok 2: Gdzie leży \(G\).** Punkt \(G\) to przecięcie przekątnych kwadratu, a przekątne dzielą się na połowy. Stąd \(|AG| = \frac{1}{2}|AC|\). **Krok 3: Gdzie leży \(F\).** Odcinek \(DE\) jest równoległy do \(AB\), więc trójkąty \(DFE\) i \(BFA\) mają równe kąty naprzemianległe i są podobne w skali \(\frac{|DE|}{|AB|} = \frac{1}{2}\). Zatem \(|EF| : |FA| = 1 : 2\), czyli \(|AF| = \frac{2}{3}|AE|\). **Krok 4: Wspólny kąt przy wierzchołku \(A\).** Trójkąty \(AGF\) i \(ACE\) mają wspólny kąt \(CAE\), a \(G\) i \(F\) leżą na jego ramionach. Stosunek pól to stosunek iloczynów boków przy tym kącie. $$\frac{P_{AGF}}{P_{ACE}} = \frac{|AG| \cdot |AF|}{|AC| \cdot |AE|} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad P_{AGF} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{a^2}{12}$$ **Krok 5: Pole czworokąta.** Czworokąt \(CEFG\) to reszta trójkąta \(ACE\). $$P_{CEFG} = \frac{a^2}{4} - \frac{a^2}{12} = \frac{a^2}{6}$$ **Odpowiedź:** \(P_{AGF} = \frac{a^2}{12}\), \(P_{CEFG} = \frac{a^2}{6}\). ## Przykład 4: Podobieństwo i wspólna wysokość razem (matura rozszerzona czerwiec 2021, zadanie 7) **Treść:** Dany jest trójkąt \(ABC\). Na boku \(AB\) obrano punkty \(D\), \(E\) i \(F\) tak, że \(|AD| = |DE| = |EF| = 2|FB|\). Na bokach \(AC\) i \(BC\) obrano odpowiednio punkty \(G\) i \(H\) tak, że \(DG \parallel EC\) oraz \(FH \parallel EC\). Wykaż, że jeżeli pole trójkąta \(FBH\) jest równe \(S\), to pole trójkąta \(ADG\) jest równe \(3S\). **Krok 1: Oznacz odcinki.** Niech \(|FB| = x\). Wtedy \(|AD| = |DE| = |EF| = 2x\), więc \(|AE| = 4x\), \(|EB| = 3x\) i \(|AB| = 7x\). **Krok 2: Trójkąt \(ADG\) jest podobny do \(AEC\).** Mają wspólny kąt przy \(A\), a z równoległości \(DG \parallel EC\) kąty \(ADG\) i \(AEC\) są równe jako odpowiadające. Skala podobieństwa to \(\frac{|AD|}{|AE|} = \frac{2x}{4x} = \frac{1}{2}\). $$P_{ADG} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 P_{AEC} = \frac{1}{4} P_{AEC}$$ **Krok 3: Trójkąt \(FBH\) jest podobny do \(EBC\).** Ten sam argument z \(FH \parallel EC\) i wspólnym kątem przy \(B\). Skala to \(\frac{|FB|}{|EB|} = \frac{x}{3x} = \frac{1}{3}\). $$P_{FBH} = \frac{1}{9} P_{EBC} \quad \Rightarrow \quad P_{EBC} = 9S$$ **Krok 4: Wspólna wysokość z wierzchołka \(C\).** Trójkąty \(AEC\) i \(EBC\) mają wspólny wierzchołek \(C\), a podstawy \(AE\) i \(EB\) leżą na prostej \(AB\). $$\frac{P_{AEC}}{P_{EBC}} = \frac{|AE|}{|EB|} = \frac{4x}{3x} = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad P_{AEC} = \frac{4}{3} \cdot 9S = 12S$$ **Krok 5: Złóż wszystko.** $$P_{ADG} = \frac{1}{4} \cdot 12S = 3S$$ **Odpowiedź:** \(P_{ADG} = 3S\), co należało wykazać. ## Przykład 5: Punkt przecięcia dwóch odcinków (matura rozszerzona maj 2021, zadanie 8) **Treść:** Dany jest trójkąt równoboczny \(ABC\). Na bokach \(AB\) i \(AC\) wybrano odpowiednio punkty \(D\) i \(E\) takie, że \(|BD| = |AE| = \frac{1}{3}|AB|\). Odcinki \(CD\) i \(BE\) przecinają się w punkcie \(P\). Wykaż, że pole trójkąta \(DBP\) jest \(21\) razy mniejsze od pola trójkąta \(ABC\). **Krok 1: Oznacz długości i pole.** Przyjmij \(|AB| = 3\) i \(P_{ABC} = S\). Wtedy \(|BD| = 1\), \(|AD| = 2\), \(|AE| = 1\), \(|EC| = 2\). **Krok 2: Prosta pomocnicza.** Przez punkt \(E\) poprowadź prostą równoległą do \(CD\); niech przecina bok \(AB\) w punkcie \(F\). W trójkącie \(ADC\) odcinek \(FE\) jest równoległy do \(DC\), więc z twierdzenia Talesa $$\frac{|AF|}{|AD|} = \frac{|AE|}{|AC|} = \frac{1}{3} \quad \Rightarrow \quad |AF| = \frac{2}{3}, \quad |FD| = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$ **Krok 3: Stosunek, w jakim \(P\) dzieli \(BE\).** W trójkącie \(BFE\) odcinek \(DP\) leży na prostej \(CD\), a więc jest równoległy do \(FE\). Z twierdzenia Talesa $$\frac{|BP|}{|PE|} = \frac{|BD|}{|DF|} = \frac{1}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} \quad \Rightarrow \quad \frac{|BP|}{|BE|} = \frac{3}{7}$$ **Krok 4: Wspólna wysokość z wierzchołka \(D\).** Trójkąty \(DBP\) i \(DBE\) mają wspólny wierzchołek \(D\), a podstawy \(BP\) i \(BE\) leżą na jednej prostej. $$P_{DBP} = \frac{3}{7} P_{DBE}$$ **Krok 5: Pole trójkąta \(DBE\) jako ułamek \(S\).** Dwa razy wspólna wysokość: z wierzchołka \(E\) (podstawy \(DB\) i \(AB\)), a potem z wierzchołka \(B\) (podstawy \(AE\) i \(AC\)). $$P_{DBE} = \frac{|DB|}{|AB|} P_{ABE} = \frac{1}{3} P_{ABE}, \qquad P_{ABE} = \frac{|AE|}{|AC|} P_{ABC} = \frac{1}{3} S \quad \Rightarrow \quad P_{DBE} = \frac{S}{9}$$ **Krok 6: Wynik.** $$P_{DBP} = \frac{3}{7} \cdot \frac{S}{9} = \frac{S}{21}$$ **Odpowiedź:** \(P_{DBP} = \frac{1}{21} P_{ABC}\), co należało wykazać. ## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy rozszerzonych Dwa kolejne zadania z tej samej rodziny. W pierwszym stosunek pól dotyczy trapezów odciętych linią środkową, w drugim trzeba wykazać, w jakim stosunku prosta przez środek środkowej dzieli bok. Spróbuj najpierw sam, z kartką. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia, krok po kroku, są dostępne w [planie z dostępem do rozszerzenia](/payment/checkout). Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2025-7 Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2015-12 ## Typowe pułapki **Pułapka:** stosunek podstaw bez wspólnej wysokości. Wzór \(\frac{P_1}{P_2} = \frac{a_1}{a_2}\) działa tylko wtedy, gdy oba trójkąty mają ten sam trzeci wierzchołek, a obie podstawy leżą na jednej prostej. Dwa trójkąty, które po prostu stoją obok siebie na tej samej prostej, ale mają różne wierzchołki, mają różne wysokości i ten wzór dla nich nie obowiązuje. **Pułapka 2:** skala zamiast kwadratu skali. Trójkąty podobne w skali \(\frac{1}{2}\) mają stosunek pól \(\frac{1}{4}\), nie \(\frac{1}{2}\). W przykładzie 4 to właśnie kwadraty skal (\(\frac{1}{4}\) i \(\frac{1}{9}\)) prowadzą do wyniku \(3S\); z samymi skalami wyszłoby coś innego. **Pułapka 3:** wspólny kąt liczony jednym bokiem. Przy wspólnym kącie mnożysz OBA boki obejmujące kąt: \(\frac{|AG| \cdot |AF|}{|AC| \cdot |AE|}\). Zostawienie tylko jednego z ilorazów daje stosunek odcinków, a nie pól. **Uwaga:** w zadaniu na dowód każda proporcja musi mieć uzasadnienie w jednym zdaniu. "Trójkąty mają wspólną wysokość z wierzchołka \(C\), bo ich podstawy leżą na prostej \(AB\)" wystarczy. Sama proporcja zapisana bez tego zdania to niekompletny dowód. **Zapamiętaj:** środkowa dzieli trójkąt na dwa trójkąty o równych polach. To najczęstszy szczególny przypadek wspólnej wysokości i punkt wyjścia wielu dowodów o polach. ## Co musisz umieć - Rozpoznać dwa trójkąty ze wspólnym wierzchołkiem i podstawami na jednej prostej i zapisać stosunek ich pól jako stosunek podstaw. - Zapisać stosunek pól trójkątów o wspólnym kącie jako stosunek iloczynów boków obejmujących ten kąt. - Podnieść skalę podobieństwa do kwadratu, gdy przechodzisz od odcinków do pól. - Wyciągnąć skalę podobieństwa z prostych równoległych przy pomocy twierdzenia Talesa. - Wyrazić pola mniejszych trójkątów jako ułamki pola całego trójkąta oznaczonego jedną literą. - Połączyć stosunek pól z twierdzeniem sinusów albo cosinusów, gdy zadanie pyta o kąt albo długość. - Uzasadnić każdą proporcję w dowodzie jednym zdaniem o wspólnej wysokości, wspólnym kącie albo podobieństwie. ## Poćwicz na zadaniach z bazy Zadania poniżej pochodzą z arkuszy rozszerzonych i wszystkie stoją na stosunku pól, choć żadne nie mówi tego wprost: kwadrat na przeciwprostokątnej, prostokąt z wysokością na przekątną, trzy styczne okręgi. Więcej zadań z tego działu znajdziesz na stronie [planimetrii](/topics/planimetria), a cały arkusz z pierwszego przykładu tutaj: [matura rozszerzona maj 2025](/exams/matura-rozszerzona-maj-2025). Jeśli dopiero układasz plan nauki do rozszerzenia, zacznij od [wymagań matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Następny krok: Zobacz wszystkie działy matury rozszerzonej (/matura-rozszerzona) ## Najczęstsze pytania ### Kiedy stosunek pól trójkątów równa się stosunkowi podstaw? Wtedy, gdy oba trójkąty mają wspólny wierzchołek, a ich podstawy leżą na jednej prostej. Wysokość opuszczona z tego wierzchołka jest wtedy w obu trójkątach ta sama, skraca się w ilorazie pól i zostaje iloraz podstaw. Najprostszy przypadek to punkt na boku trójkąta łączony z przeciwległym wierzchołkiem. ### Jak obliczyć stosunek pól trójkątów o wspólnym kącie? Pole każdego z nich to połowa iloczynu dwóch boków i sinusa kąta między nimi. Sinus wspólnego kąta się skraca, więc stosunek pól to stosunek iloczynów boków obejmujących ten kąt: \(\frac{|AB'| \cdot |AC'|}{|AB| \cdot |AC|}\). Trzeba pomnożyć oba boki, nie jeden. ### Czy stosunek pól trójkątów podobnych to skala czy kwadrat skali? Kwadrat skali. Jeśli boki jednego trójkąta są \(k\) razy dłuższe od boków drugiego, to jego pole jest \(k^2\) razy większe. Dla skali \(\frac{1}{3}\) stosunek pól wynosi \(\frac{1}{9}\). To samo dotyczy każdych figur podobnych, nie tylko trójkątów. ### Jak środkowa dzieli pole trójkąta? Na dwie równe części. Środkowa łączy wierzchołek ze środkiem przeciwległego boku, więc powstałe trójkąty mają wspólną wysokość z tego wierzchołka i równe podstawy. Trzy środkowe dzielą trójkąt na sześć trójkątów o równych polach. ### Czy stosunek pól trójkątów jest na maturze podstawowej? Same trzy wzory należą do podstawy: pole z podstawy i wysokości, pole z dwóch boków i sinusa oraz stosunek pól figur podobnych. Na poziomie rozszerzonym różni się konfiguracja: kilka trójkątów naraz, prosta pomocnicza, twierdzenie Talesa albo sinusów w środku rachunku i polecenie "wykaż, że" zamiast "oblicz". ### Jak zapisać dowód ze stosunkiem pól, żeby był kompletny? Oznacz pole całego trójkąta literą, wypisz każdą proporcję razem z jej powodem (wspólna wysokość, wspólny kąt, podobieństwo z równoległości) i doprowadź rachunek do postaci, o którą pyta polecenie. Dowód bez uzasadnienia proporcji jest niekompletny, nawet jeśli wynik się zgadza.