--- route: /stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura title: Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych description: Figury podobne w skali k: pola rosną k² razy, objętości k³ razy. Jak odczytać skalę z pól, o ile procent rośnie objętość i 8 zadań CKE krok po kroku. type: task_solution category: Planimetria tags: stosunek pól figur podobnych, stosunek objętości brył podobnych, skala podobieństwa pole, figury podobne matura, pole figury podobnej k kwadrat, objętość bryły podobnej k do trzeciej, skala podobieństwa a objętość, krawędź zwiększona o 20 procent objętość, bryły podobne zadania maturalne, figury podobne zadania z rozwiązaniami, planimetria matura published: 2026-09-16T07:15:00+00:00 updated: 2026-09-20T10:07:22.742205+00:00 --- # Stosunek pól i objętości figur podobnych - skala k, k² i k³ w zadaniach maturalnych Jeśli figura jest podobna do innej w skali \(k\), to każdy jej odcinek (bok, przekątna, wysokość, promień, obwód) jest \(k\) razy dłuższy, każde pole jest \(k^2\) razy większe, a każda objętość \(k^3\) razy większa. W drugą stronę: ze stosunku pól odczytujesz skalę jako pierwiastek kwadratowy, a ze stosunku objętości jako pierwiastek trzeci. Na maturze ta jedna zależność obsługuje kilka typów zadań naraz: "stosunek pól trójkątów podobnych w skali \(\frac{5}{2}\)", "trapez o polu \(52\) podobny do trapezu o polu \(13\), oblicz obwód", "objętości ostrosłupów \(64\) i \(512\), podaj stosunek pól powierzchni" i "krawędź sześcianu zwiększono o \(20\%\), o ile procent wzrosła objętość". Wszystkie rozwiążesz poniżej krok po kroku. ## Skala podobieństwa - co dokładnie mnożysz przez k Figura \(F_2\) jest podobna do figury \(F_1\) w skali \(k\), gdy każdy odcinek \(F_2\) jest \(k\) razy dłuższy od odpowiadającego mu odcinka \(F_1\), a kąty są takie same. Skala to więc liczba, przez którą mnożysz **długości**: boki, przekątne, wysokości, promienie okręgów wpisanych i opisanych, tworzące, krawędzie brył. Obwód też, bo obwód to suma długości. Trzy rzeczy, które przy tej okazji warto mieć w głowie: - **Kąty nie zmieniają się w ogóle.** Kwadrat w skali \(3\) to dalej kwadrat, trójkąt równoboczny w skali \(\frac{1}{2}\) to dalej trójkąt równoboczny. - **Kierunek skali ma znaczenie.** "Trójkąt \(ABC\) jest podobny do \(A'B'C'\) w skali \(\frac{5}{2}\)" oznacza \(|AB| = \frac{5}{2}|A'B'|\), czyli \(ABC\) jest większy. W odwrotną stronę skala wynosi \(\frac{2}{5}\). - **Nie każde dwie figury tego samego typu są podobne.** Dwa kwadraty, dwa koła, dwa trójkąty równoboczne, dwa sześciany i dwie kule zawsze są podobne. Dwa prostokąty albo dwa trapezy już nie muszą być; wtedy zadanie samo mówi, że są podobne. Cechy podobieństwa trójkątów (bok-bok-bok, kąt-kąt, bok-kąt-bok) i sposoby wyznaczania skali z boków rozbieramy osobno we wpisie o [trójkątach podobnych](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania), a proporcje odcinków na prostych równoległych w [twierdzeniu Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania). ## Dlaczego pola rosną k² razy, a objętości k³ razy Pole figury podobnej w skali \(k\) jest \(k^2\) razy większe, bo pole liczy się z iloczynu dwóch długości, a każda z nich urosła \(k\) razy. Objętość jest \(k^3\) razy większa, bo objętość to iloczyn trzech długości. Zobacz to na najprostszych figurach. Prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) ma pole \(ab\). Po powiększeniu w skali \(k\) boki mają \(ka\) i \(kb\): $$P_2 = ka \cdot kb = k^2 \cdot ab = k^2 P_1$$ Prostopadłościan o krawędziach \(a\), \(b\), \(c\) ma objętość \(abc\). Po powiększeniu: $$V_2 = ka \cdot kb \cdot kc = k^3 \cdot abc = k^3 V_1$$ To samo działa dla każdej figury i każdej bryły, bo każdą można z dowolną dokładnością wypełnić małymi prostokątami albo prostopadłościanami, a każdy z nich rośnie tak samo. Stąd tabela, którą warto znać na pamięć: | Wielkość | Mnożnik przy skali \(k\) | | --- | --- | | długość boku, przekątnej, wysokości, promienia | \(k\) | | obwód | \(k\) | | pole figury płaskiej | \(k^2\) | | pole powierzchni bryły (bocznej i całkowitej) | \(k^2\) | | objętość | \(k^3\) | Najczęstszy błąd na maturze bierze się z ostatnich dwóch wierszy: **pole powierzchni bryły to pole, więc rośnie \(k^2\) razy, nie \(k^3\)**. Sześcian o krawędzi \(2\) razy dłuższej ma \(4\) razy większe pole powierzchni i \(8\) razy większą objętość. ## Jak odczytać skalę ze stosunku pól i objętości Ze stosunku pól skalę wyciągasz pierwiastkiem kwadratowym, ze stosunku objętości pierwiastkiem trzeciego stopnia: $$k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}, \qquad k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}$$ Przykłady: - pola \(9\) i \(25\): \(k = \sqrt{\frac{25}{9}} = \frac{5}{3}\), więc boki mają się jak \(5 : 3\), - pola \(25\) i \(50\): \(k = \sqrt{2}\), czyli skala nie musi być liczbą wymierną, - objętości \(8\) i \(27\): \(k = \sqrt[3]{\frac{27}{8}} = \frac{3}{2}\), więc pola powierzchni mają się jak \(k^2 = \frac{9}{4}\). Ten ostatni ruch, **z objętości przez skalę do pola**, to najczęstszy schemat w zadaniach ze stereometrii: \(V_2 / V_1 \rightarrow k \rightarrow k^2\). Nie ma drogi na skróty z \(k^3\) prosto do \(k^2\) bez policzenia \(k\). ## Zmiana o procent - krawędź większa o 20% to objętość większa o 72,8% Powiększenie o \(p\%\) to skala \(k = 1 + \frac{p}{100}\), a pomniejszenie o \(p\%\) to skala \(k = 1 - \frac{p}{100}\). Potem liczysz \(k^2\) albo \(k^3\) i odejmujesz jedynkę, żeby wrócić do procentów. Krawędź większa o \(20\%\): \(k = 1,2\). $$k^2 = 1,44 \quad\Rightarrow\quad \text{pole większe o } 44\%$$ $$k^3 = 1,728 \quad\Rightarrow\quad \text{objętość większa o } 72,8\%$$ Krawędź mniejsza o \(10\%\): \(k = 0,9\). $$k^2 = 0,81 \quad\Rightarrow\quad \text{pole mniejsze o } 19\%$$ $$k^3 = 0,729 \quad\Rightarrow\quad \text{objętość mniejsza o } 27,1\%$$ Zwróć uwagę, że procenty **nie** mnożą się prosto: \(20\%\) więcej na krawędzi to nie \(60\%\) więcej objętości, tylko \(72,8\%\). Jeśli rachunek na procentach idzie ci opornie, powtórz [zmianę procentową i procent z liczby](/jak-obliczyc-procent-z-liczby-liczbe-z-procentu-zmiane-procentowa) przed dalszą częścią. ## Zadanie 20 (matura czerwiec 2017, 1 pkt) **Treść:** Trójkąt \(ABC\) jest podobny do trójkąta \(A'B'C'\) w skali \(\frac{5}{2}\), przy czym \(|AB|=\frac{5}{2}|A'B'|\). Stosunek pola trójkąta \(ABC\) do pola trójkąta \(A'B'C'\) jest równy **Krok 1: ustal, który trójkąt jest większy** Warunek \(|AB| = \frac{5}{2}|A'B'|\) mówi, że \(ABC\) jest większy, a skala z \(A'B'C'\) do \(ABC\) wynosi \(k = \frac{5}{2}\). **Krok 2: podnieś skalę do kwadratu** $$\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = k^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}$$ **Odpowiedź: D.** Odpowiedź \(\frac{5}{2}\) to skala długości, a \(\frac{4}{25}\) to stosunek pól w odwrotnym kierunku. Obie stoją na liście po to, żeby złapać kogoś, kto nie podniósł do kwadratu albo pomylił kierunek. ## Zadanie 12 (matura maj 2014, 1 pkt) Dane: trójkąty \(ABC\) i \(A'B'C'\) są podobne, ich pola to odpowiednio \(25\ \text{cm}^2\) i \(50\ \text{cm}^2\). Szukana: skala podobieństwa \(\frac{A'B'}{AB}\). **Krok 1: stosunek pól w kierunku zgodnym ze skalą** Skala \(\frac{A'B'}{AB}\) prowadzi od \(ABC\) do \(A'B'C'\), więc pola bierzesz w tym samym porządku: $$k^2 = \frac{P_{A'B'C'}}{P_{ABC}} = \frac{50}{25} = 2$$ **Krok 2: pierwiastek** $$k = \sqrt{2}$$ **Odpowiedź: C.** Odpowiedź \(2\) to stosunek pól, nie skala. Pierwiastek jest tu konieczny, nawet jeśli wynik wychodzi niewymierny. ## Zadanie 23 (matura sierpień 2023, 1 pkt) **Treść:** Trapez \(T_1\), o polu równym \(52\) i obwodzie \(36\), jest podobny do trapezu \(T_2\). Pole trapezu \(T_2\) jest równe \(13\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Obwód trapezu \(T_2\) jest równy **Krok 1: skala z pól** $$k^2 = \frac{P_{T_2}}{P_{T_1}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} \quad\Rightarrow\quad k = \frac{1}{2}$$ Trapez \(T_2\) jest dwa razy mniejszy. **Krok 2: obwód skaluje się jak długość** $$L_{T_2} = k \cdot L_{T_1} = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18$$ **Odpowiedź: A.** Błędna odpowiedź \(9\) wychodzi, gdy obwód podzielisz przez \(4\), czyli przez stosunek pól. Obwód to długość, więc dzielisz przez \(k\), nie przez \(k^2\). Wzory na pole trapezu, gdyby zadanie kazało liczyć je z boków, masz we wpisie o [polu trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura), a cały arkusz na stronie [matury z sierpnia 2023](/exams/matura-sierpien-2023). ## Zadanie 27 (matura czerwiec 2025, 1 pkt) **Treść:** Kwadrat \(\mathcal{K}_{2}\) jest podobny do kwadratu \(\mathcal{K}_{1}\) w skali \(5\) (zobacz rysunek). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\). Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość boku kwadratu \(\mathcal{K}_{1}\) jest równa **Krok 1: oznacz bok mniejszego kwadratu** Niech bok \(\mathcal{K}_1\) ma długość \(a\). Skala \(5\) oznacza, że bok \(\mathcal{K}_2\) ma długość \(5a\). **Krok 2: zapisz pola** $$P_1 = a^2, \qquad P_2 = (5a)^2 = 25a^2$$ Pole większego kwadratu jest \(k^2 = 25\) razy większe, zgodnie z regułą. **Krok 3: równanie z sumy pól** $$a^2 + 25a^2 = 78 \quad\Rightarrow\quad 26a^2 = 78 \quad\Rightarrow\quad a^2 = 3 \quad\Rightarrow\quad a = \sqrt{3}$$ **Odpowiedź: A.** Odpowiedź \(3\) to \(a^2\), czyli pole mniejszego kwadratu, a nie długość boku. Pozostałe zadania z tego arkusza rozwiążesz na stronie [matury z czerwca 2025](/exams/matura-czerwiec-2025). ## Zadanie 113 (zestaw CKE 2015-2023, 1 pkt) **Treść:** Trójkąt \(T\) jest podobny do trójkąta \(T_1\) w skali \(k=\frac{1}{6}\), a trójkąt \(T_2\) jest podobny do trójkąta \(T\) w skali \(k=3\). Pole trójkąta \(T_2\) jest równe \(24\). Trójkąt \(T_1\) ma pole równe Tu są dwie skale i łatwo pomylić kierunki, więc rozpisz każdą relację osobno. **Krok 1: od \(T_2\) do \(T\)** \(T_2\) jest podobny do \(T\) w skali \(3\), czyli \(T_2\) jest większy: \(P_{T_2} = 9 \cdot P_T\). $$P_T = \frac{P_{T_2}}{9} = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$$ **Krok 2: od \(T\) do \(T_1\)** \(T\) jest podobny do \(T_1\) w skali \(\frac{1}{6}\), czyli \(T\) jest mniejszy: \(P_T = \frac{1}{36} \cdot P_{T_1}\). $$P_{T_1} = 36 \cdot P_T = 36 \cdot \frac{8}{3} = 96$$ **Odpowiedź: D.** Można to też zrobić jednym ruchem: skala z \(T_2\) do \(T_1\) wynosi \(\frac{1}{3} \cdot 6 = 2\), więc \(P_{T_1} = 4 \cdot 24 = 96\). Ale sprawdź kierunek dwa razy: \(T_1\) ma być większy od \(T\), a \(T\) mniejszy od \(T_2\). ## Zadanie 32 (matura maj 2024, 1 pkt) **Treść:** Ostrosłup \(F_{1}\) jest podobny do ostrosłupa \(F_{2}\). Objętość ostrosłupa \(F_{1}\) jest równa \(64\). Objętość ostrosłupa \(F_{2}\) jest równa \(512\). Uzupełnij poniższe zdanie. Wpisz odpowiednią liczbę w wykropkowanym miejscu tak, aby zdanie było prawdziwe. Stosunek pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{2}\) do pola powierzchni całkowitej ostrosłupa \(F_{1}\) jest równy ........... To dokładnie schemat "z objętości przez skalę do pola". **Krok 1: stosunek objętości** $$\frac{V_{F_2}}{V_{F_1}} = \frac{512}{64} = 8$$ **Krok 2: skala z pierwiastka trzeciego stopnia** $$k^3 = 8 \quad\Rightarrow\quad k = 2$$ Ostrosłup \(F_2\) ma wszystkie krawędzie dwa razy dłuższe. **Krok 3: pole powierzchni całkowitej to pole, więc k²** $$\frac{P_{F_2}}{P_{F_1}} = k^2 = 4$$ **Odpowiedź: 4.** Odpowiedź \(8\) to pomylenie pola z objętością, a \(2\) to zatrzymanie się na skali. Wzory na objętość i pole powierzchni ostrosłupa, gdybyś chciał zobaczyć, że wynik nie zależy od kształtu podstawy, są we wpisie o [objętości i polu powierzchni ostrosłupa](/jak-obliczyc-objetosc-ostroslupa-pole-powierzchni). Cały arkusz czeka na stronie [matury z maja 2024](/exams/matura-maj-2024). ## Zadanie 29 (matura próbna Operon listopad 2012, 2 pkt) **Treść:** Długość krawędzi sześcianu zwiększono o \(20\%\). Oblicz, o ile procent wzrosła objętość tego sześcianu. **Krok 1: zapisz skalę** Zwiększenie o \(20\%\) to skala \(k = 1 + 0,2 = 1,2\). **Krok 2: objętość rośnie \(k^3\) razy** $$k^3 = 1,2^3 = 1,2 \cdot 1,2 \cdot 1,2 = 1,44 \cdot 1,2 = 1,728$$ **Krok 3: wróć do procentów** $$1,728 - 1 = 0,728 = 72,8\%$$ **Odpowiedź: objętość wzrosła o \(72,8\%\).** Jeśli wolisz rachunek na literach: krawędź \(a\) zmienia się na \(1,2a\), objętość z \(a^3\) na \((1,2a)^3 = 1,728a^3\). Odpowiedź \(60\%\) (trzy razy \(20\%\)) jest błędna, bo procenty w potędze się nie dodają. ## Zadanie 18 (matura próbna grudzień 2014, 1 pkt) **Treść:** Na rysunkach poniżej przedstawiono siatki dwóch ostrosłupów. Pole powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \( a \) jest dwa razy większe od pola powierzchni całkowitej ostrosłupa o krawędzi \( b \). Ile razy objętość ostrosłupa o krawędzi \( a \) jest większa od objętości ostrosłupa o krawędzi \( b \)? To schemat odwrotny do zadania 32: **z pola przez skalę do objętości**. **Krok 1: skala z pól powierzchni** $$k^2 = 2 \quad\Rightarrow\quad k = \sqrt{2}$$ **Krok 2: objętość to \(k^3\)** $$k^3 = (\sqrt{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$$ **Odpowiedź: C, czyli \(2\sqrt{2}\) razy.** Odpowiedź \(2\) to zatrzymanie się na stosunku pól, a \(4\) to \(k^4\), które nie odpowiada żadnej wielkości geometrycznej. Zauważ, że siatki na rysunku nie były do niczego potrzebne: stosunek pól powierzchni wystarcza, niezależnie od tego, jak wyglądają ściany. ## Więcej zadań tego typu w bazie W bazie [zadań z planimetrii](/topics/planimetria) i [stereometrii](/topics/stereometria) znajdziesz jeszcze kilka zadań na ten sam schemat, m.in. dwa prostopadłościany podobne o objętościach \(V\) i \(27V\) (skala \(3\), więc pole powierzchni rośnie \(9\) razy), walec podobny w skali \(2\) do walca o polu całkowitym \(12\pi\) i objętości \(4\pi\) (pole \(48\pi\), objętość \(32\pi\)) oraz trójkąty prostokątne podobne o przyprostokątnych \(5\) i \(12\), z których drugi ma przeciwprostokątną \(26\) (skala \(2\), pole \(4 \cdot 30 = 120\)). Do tego ostatniego przydaje się [twierdzenie Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania), żeby najpierw policzyć przeciwprostokątną \(13\) mniejszego trójkąta. ## Sprawdź się Quiz: Skala k, k² i k³ w 3 pytaniach Pytanie: Figura jest podobna do innej w skali \(3\). Ile razy większe jest jej pole? - A. \(3\) razy - B. \(9\) razy - C. \(27\) razy - D. \(6\) razy Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Pole rośnie \(k^2 = 3^2 = 9\) razy. \(27\) to \(k^3\), czyli mnożnik objętości. Pytanie: Objętości dwóch brył podobnych mają się jak \(8 : 125\). Jaka jest skala podobieństwa większej bryły do mniejszej? - A. \(\frac{125}{8}\) - B. \(\frac{5}{2}\) - C. \(\frac{25}{4}\) - D. \(\frac{8}{125}\) Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: \(k = \sqrt[3]{\frac{125}{8}} = \frac{5}{2}\). Odpowiedź \(\frac{25}{4}\) to \(k^2\), czyli stosunek pól powierzchni. Pytanie: Krawędź sześcianu zmniejszono o \(50\%\). Co stało się z objętością? - A. zmalała \(8\) razy - B. zmalała \(2\) razy - C. zmalała \(4\) razy - D. zmalała o \(50\%\) Poprawna odpowiedź: A Wyjaśnienie: Skala \(k = 0,5\), więc objętość to \(0,5^3 = \frac{1}{8}\) poprzedniej. Pole powierzchni zmalałoby \(4\) razy. ## Typowe pułapki - **Stosunek pól brany za skalę.** Pola \(25\) i \(50\) nie dają skali \(2\), tylko \(\sqrt{2}\). Zawsze pierwiastkuj. - **Pole powierzchni bryły liczone jak objętość.** Pole całkowite ostrosłupa czy walca to pole, więc \(k^2\). Tylko objętość idzie z \(k^3\). - **Skok z \(k^3\) do \(k^2\) bez policzenia \(k\).** Ze stosunku objętości \(8\) nie wynika stosunek pól \(\frac{8}{?}\); trzeba przejść przez \(k = 2\) i dopiero wtedy \(k^2 = 4\). - **Pomylony kierunek skali.** "\(A\) jest podobny do \(B\) w skali \(k\)" znaczy, że długości \(A\) są \(k\) razy większe niż w \(B\). Przy dwóch skalach naraz (zadanie 113) rozpisz każdą relację osobno. - **Obwód dzielony przez \(k^2\).** Obwód to długość, skaluje się jak bok. Trapez o czterokrotnie mniejszym polu ma dwukrotnie mniejszy obwód. - **Procenty dodawane zamiast mnożone.** Krawędź większa o \(20\%\) to objętość większa o \(72,8\%\), nie o \(60\%\). Licz \(k^3\), potem odejmij jedynkę. - **Prostokąty i trapezy "na oko" uznane za podobne.** Podobieństwo prostokątów trzeba sprawdzić z proporcji boków. Kwadraty, koła, trójkąty równoboczne, sześciany i kule są podobne zawsze. ## Checklista - co musisz umieć 1. Wiedzieć, że skala \(k\) mnoży długości, obwody, przekątne, wysokości i promienie. 2. Mnożyć pola figur i pola powierzchni brył przez \(k^2\), a objętości przez \(k^3\). 3. Odczytać skalę z pól pierwiastkiem kwadratowym, a z objętości pierwiastkiem trzeciego stopnia. 4. Przejść ścieżką \(V \rightarrow k \rightarrow P\) i odwrotnie \(P \rightarrow k \rightarrow V\) bez pomijania środkowego kroku. 5. Zamienić zmianę o \(p\%\) na skalę \(1 \pm \frac{p}{100}\) i wrócić do procentów przez odjęcie jedynki. 6. Rozpoznać kierunek skali z treści ("\(A\) podobny do \(B\) w skali \(k\)") i przy dwóch skalach rozpisać każdą relację osobno. 7. Odróżnić, które figury są podobne zawsze, a które tylko wtedy, gdy zadanie tak mówi. Wzory na pola figur płaskich zebraliśmy w jednym miejscu we wpisie [pole i obwód figur na maturze](/pole-obwod-figur-matura-wzory), a wzory na objętości i pola powierzchni brył we wpisie [objętość i pole powierzchni brył](/objetosc-pole-powierzchni-bryl-matura-wzory). Więcej zadań z całego działu masz w [bazie zadań CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami). Następny krok: Trójkąty podobne - cechy podobieństwa, skala i zadania (/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania) ## Najczęstsze pytania ### Ile razy większe jest pole figury podobnej w skali k? Dokładnie \(k^2\) razy. Skala \(2\) daje pole \(4\) razy większe, skala \(3\) daje \(9\) razy większe, a skala \(\frac{1}{2}\) daje pole \(4\) razy mniejsze. Dotyczy to każdej figury płaskiej i każdego pola powierzchni bryły, bo pole zawsze powstaje z iloczynu dwóch długości, a każda z nich rośnie \(k\) razy. ### Ile razy większa jest objętość bryły podobnej w skali k? \(k^3\) razy. Sześcian o krawędzi dwa razy dłuższej ma objętość \(8\) razy większą, a kula o promieniu trzy razy większym ma objętość \(27\) razy większą. Pole powierzchni tej samej bryły rośnie tylko \(k^2\) razy, więc przy skali \(2\) będzie to \(4\) razy, nie \(8\). ### Jak obliczyć skalę podobieństwa, znając pola figur? Podziel pola i wyciągnij pierwiastek kwadratowy: \(k = \sqrt{\frac{P_2}{P_1}}\). Dla pól \(13\) i \(52\) masz \(k = \sqrt{\frac{13}{52}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}\). Jeśli znasz objętości, pierwiastek jest trzeciego stopnia: \(k = \sqrt[3]{\frac{V_2}{V_1}}\), np. \(\sqrt[3]{\frac{512}{64}} = \sqrt[3]{8} = 2\). ### Czy obwód figury podobnej też rośnie k² razy? Nie. Obwód to suma długości boków, a każda długość rośnie \(k\) razy, więc obwód rośnie \(k\) razy. Trapez podobny w skali \(\frac{1}{2}\) ma obwód dwa razy mniejszy, choć pole ma cztery razy mniejsze. ### O ile procent wzrośnie objętość sześcianu, gdy krawędź zwiększymy o 20%? O \(72,8\%\). Zwiększenie krawędzi o \(20\%\) to skala \(k = 1,2\), a objętość rośnie \(k^3 = 1,728\) razy, czyli o \(0,728 = 72,8\%\). Pole powierzchni wzrośnie w tym czasie \(1,44\) razy, czyli o \(44\%\). ### Czy każde dwa prostokąty są podobne? Nie. Dwa prostokąty są podobne tylko wtedy, gdy stosunki ich boków są równe, np. \(2 \times 3\) i \(4 \times 6\). Prostokąt \(2 \times 3\) i kwadrat \(3 \times 3\) podobne nie są. Zawsze podobne są za to dwa kwadraty, dwa koła, dwa trójkąty równoboczne, dwa sześciany i dwie kule. ### Skąd wiadomo, w którą stronę działa skala w zadaniu? Z kolejności figur w zdaniu. "Figura \(A\) jest podobna do figury \(B\) w skali \(k\)" oznacza, że każdy odcinek \(A\) jest \(k\) razy dłuższy od odpowiadającego mu odcinka \(B\). Przy \(k > 1\) większa jest figura \(A\), przy \(k < 1\) większa jest figura \(B\). Gdy w zadaniu występują dwie skale, rozpisz każdą relację w osobnej linii, zanim cokolwiek pomnożysz.