--- route: /statystyka-na-maturze-srednia-mediana-odchylenie-standardowe title: Statystyka na maturze z matematyki - średnia, mediana, odchylenie standardowe i zadania CKE description: Statystyka na maturze z matematyki: średnia arytmetyczna i ważona, mediana, dominanta, odchylenie standardowe, wariancja. Ponad 60 zadań CKE z rozwiązaniami. type: topic_guide category: Statystyka tags: statystyka, średnia, mediana, odchylenie standardowe, matura, wariancja, dominanta, CKE published: 2026-03-26T10:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:52.350049+00:00 --- # Statystyka na maturze z matematyki - średnia, mediana, odchylenie standardowe i zadania CKE ## Statystyka na maturze - łatwe punkty, jeśli znasz wzory Statystyka to dział, w którym można zdobyć punkty szybko i pewnie. Zadania są zazwyczaj proste obliczeniowo, ale wymagają znajomości wzorów i definicji. Na każdym arkuszu CKE pojawia się 1-2 zadania ze statystyki. W naszej [bazie zadań ze statystyki](/topics/statystyka) mamy **ponad 60 zadań** z prawdziwych matur. Statystyka często łączy się z [procentami](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) i [prawdopodobieństwem](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania). ## Miary tendencji centralnej ### Średnia arytmetyczna $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n}$$ **Przykład:** Oceny ucznia: 3, 4, 5, 4, 2, 4. $$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 4 + 2 + 4}{6} = \frac{22}{6} = 3\frac{2}{3} \approx 3{,}67$$ ### Średnia ważona $$\bar{x}_w = \frac{w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + \ldots + w_n \cdot x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n}$$ Każda wartość ma **wagę** - np. ocena ze sprawdzianu waży więcej niż z kartkówki. **Przykład:** Kartkówka (waga 1): 4, Sprawdzian (waga 3): 5. $$\bar{x}_w = \frac{1 \cdot 4 + 3 \cdot 5}{1 + 3} = \frac{19}{4} = 4{,}75$$ ### Mediana (wartość środkowa) 1. Uporządkuj dane rosnąco 2. Jeśli \(n\) jest nieparzyste: mediana to element środkowy 3. Jeśli \(n\) jest parzyste: mediana to średnia dwóch środkowych elementów **Przykład (\(n\) nieparzyste):** 2, 3, 4, 4, 5 - mediana = 4 **Przykład (\(n\) parzyste):** 2, 3, 4, 5 - mediana = \(\frac{3+4}{2} = 3{,}5\) ### Dominanta (moda) Wartość występująca **najczęściej** w zbiorze danych. **Przykład:** 3, 4, 4, 5, 4, 2 - dominanta = 4 (występuje 3 razy) Może być wiele dominant (rozkład multimodalny) lub żadnej (gdy wszystkie wartości mają tę samą częstość). ## Miary rozrzutu ### Rozstęp $$R = x_{max} - x_{min}$$ Najprostszy sposób na opisanie rozrzutu danych. Wadą jest to, że zależy od wartości skrajnych (odstających). ### Wariancja $$\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$$ Czyli: **średnia kwadratów odchyleń od średniej**. Krok po kroku: 1. Oblicz średnią \(\bar{x}\) 2. Oblicz odchylenie każdej wartości od średniej: \(x_i - \bar{x}\) 3. Podnieś do kwadratu: \((x_i - \bar{x})^2\) 4. Oblicz średnią z tych kwadratów ### Odchylenie standardowe $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}$$ Odchylenie standardowe jest w **tych samych jednostkach** co dane, dlatego jest bardziej intuicyjne niż wariancja. **Interpretacja:** im większe \(\sigma\), tym bardziej dane są **rozproszone** wokół średniej. ### Przykład obliczeniowy Dane: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9 1. \(\bar{x} = \frac{2+4+4+4+5+5+7+9}{8} = \frac{40}{8} = 5\) 2. Odchylenia: \(-3, -1, -1, -1, 0, 0, 2, 4\) 3. Kwadraty: \(9, 1, 1, 1, 0, 0, 4, 16\) 4. \(\sigma^2 = \frac{9+1+1+1+0+0+4+16}{8} = \frac{32}{8} = 4\) 5. \(\sigma = \sqrt{4} = 2\) ## Odczytywanie danych z diagramów Na maturze dane często podane są w formie: - **Diagramu słupkowego** - odczytujemy wysokości słupków - **Diagramu kołowego** - kąty lub procenty - **Tabeli** - bezpośrednie wartości z częstościami - **Wykresu pudełkowego (box plot)** - mediana, kwartyle, min, max ### Diagram kołowy - przeliczanie Pełne koło = \(360°\) = 100%. Więc: $$\text{procent} = \frac{\text{kąt}}{360°} \cdot 100\%$$ **Przykład:** Wycinek 90° odpowiada \(\frac{90}{360} \cdot 100\% = 25\%\) danych. ## Kwartyle i wykres pudełkowy ### Kwartyle - \(Q_1\) (pierwszy kwartyl) - mediana dolnej połowy danych (25% danych jest poniżej) - \(Q_2\) (drugi kwartyl) = mediana = 50% - \(Q_3\) (trzeci kwartyl) - mediana górnej połowy danych (75% danych jest poniżej) ### Rozstęp międzykwartylowy $$IQR = Q_3 - Q_1$$ Mierzy rozrzut "środkowych 50%" danych - odporny na wartości odstające. ## Własności średniej arytmetycznej - przydatne triki 1. Jeśli do każdej wartości dodamy stałą \(c\), średnia wzrośnie o \(c\): \(\bar{x}_{nowa} = \bar{x} + c\) 2. Jeśli każdą wartość pomnożymy przez \(c\), średnia się pomnoży: \(\bar{x}_{nowa} = c \cdot \bar{x}\) 3. Suma odchyleń od średniej zawsze wynosi zero: \(\sum (x_i - \bar{x}) = 0\) Te własności przydają się w zadaniach, gdzie trzeba "poprawić" średnią - np. "jaki wynik musi uzyskać, żeby średnia wyniosła...". ## Statystyka w kontekście innych działów Statystyka łączy się z: - [Procentami](/topics/procenty) - wyrażanie danych w procentach, diagramy kołowe - [Prawdopodobieństwem](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania) - rozkłady, częstość - [Funkcjami](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc) - wykresy, odczytywanie wartości ## Jak ćwiczyć 1. Rozwiąż [ponad 60 zadań ze statystyki](/topics/statystyka) z naszej bazy CKE 2. Przećwicz [zadania z prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) - pokrewny dział 3. Powtórz [procenty](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany) - pojawiają się razem ze statystyką 4. Rozwiąż pełne arkusze z [matury próbnej CKE marzec 2026](/exams/matura-probna-cke-marzec-2026) 5. Sprawdź się w [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke) na czasie Statystyka to **pewne punkty**. Wzory są proste, obliczenia mechaniczne. Jedyną pułapką jest mediana przy parzystej liczbie danych - pamiętaj o uśrednianiu dwóch środkowych. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)