--- route: /srednia-mediana-dominanta-matura-statystyka-zadania title: Średnia, mediana i dominanta na maturze - statystyka opisowa z zadaniami krok po kroku description: Jak obliczyć średnią, medianę i dominantę na maturze z matematyki? Wzory, odchylenie standardowe, wariancja, kwartyle i diagramy - kompletny kurs statystyki z zadaniami. type: strategy tags: średnia arytmetyczna, mediana, dominanta, statystyka, matura, odchylenie standardowe, wariancja, diagram, CKE published: 2026-03-27T08:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:52.269431+00:00 --- # Średnia, mediana i dominanta na maturze - statystyka opisowa z zadaniami krok po kroku ## Statystyka opisowa - pewne punkty na maturze Statystyka to jeden z najbardziej wdzięcznych działów na maturze z matematyki. Zadania opierają się na konkretnych, prostych wzorach - nie trzeba wymyślać sztuczek ani szukać pomysłu na rozwiązanie. Wystarczy znać definicje i umieć podstawiać do wzorów. Na każdym arkuszu CKE pojawiają się **2-4 zadania ze statystyki**, najczęściej za 1-2 punkty. To łącznie nawet 6-8 punktów, które możesz zdobyć stosunkowo szybko. Dlatego statystyka jest jednym z [pewniaczków maturalnych](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), które warto opanować w pierwszej kolejności. W tym przewodniku omówimy wszystkie miary statystyczne, które pojawiają się na maturze: średnią arytmetyczną, medianę, dominantę, odchylenie standardowe, wariancję, rozstęp i kwartyle. Każde pojęcie zilustrujemy zadaniami maturalnymi z pełnymi rozwiązaniami. Więcej zadań ze statystyki znajdziesz w naszej [bazie zadań z kategorii Statystyka](/topics/statystyka), a jeśli chcesz powtórzyć powiązane tematy - zajrzyj do [przewodnika po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania). --- Średnią, medianę, dominantę, wariancję i odchylenie standardowe dla jednego zestawu danych policzysz naraz w [kalkulatorze statystycznym](/narzedzia/kalkulator-statystyczny). Wynik przychodzi z obliczeniami, więc widać, na którym kroku rozjeżdża się własny rachunek. Interaktywny kalkulator: kalkulator-statystyczny (dostępny na stronie wpisu) ## Średnia arytmetyczna - wzór i obliczanie ### Definicja Średnia arytmetyczna to suma wszystkich wartości podzielona przez ich liczbę. Jest to najczęściej używana miara tendencji centralnej. $$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$ gdzie: - \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) to wartości danych - \(n\) to liczba danych ### Przykład obliczania Oceny ucznia z matematyki: 3, 4, 5, 3, 4, 5, 6, 4. $$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 3 + 4 + 5 + 6 + 4}{8} = \frac{34}{8} = 4{,}25$$ ### Właściwości średniej arytmetycznej Te właściwości pojawiają się na maturze w zadaniach teoretycznych: 1. **Dodanie stałej do każdej wartości** - średnia zwiększa się o tę stałą: $$\text{Jeśli } y_i = x_i + c, \text{ to } \bar{y} = \bar{x} + c$$ 2. **Pomnożenie każdej wartości przez stałą** - średnia mnoży się przez tę stałą: $$\text{Jeśli } y_i = k \cdot x_i, \text{ to } \bar{y} = k \cdot \bar{x}$$ 3. **Suma odchyleń od średniej wynosi zero:** $$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = 0$$ Ta ostatnia właściwość jest fundamentalna - mówi, że średnia jest "punktem równowagi" danych. ### Średnia ważona Na maturze pojawia się też średnia ważona, np. przy ocenach z wagami: $$\bar{x}_w = \frac{w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + \ldots + w_n \cdot x_n}{w_1 + w_2 + \ldots + w_n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} w_i \cdot x_i}{\sum_{i=1}^{n} w_i}$$ **Przykład:** Uczeń dostał ocenę 5 z wagą 3, ocenę 4 z wagą 2 i ocenę 3 z wagą 1. $$\bar{x}_w = \frac{5 \cdot 3 + 4 \cdot 2 + 3 \cdot 1}{3 + 2 + 1} = \frac{15 + 8 + 3}{6} = \frac{26}{6} \approx 4{,}33$$ Policzysz to szybciej w [kalkulatorze średniej ważonej](/wzory/srednia-wazona) - dodajesz dowolną liczbę wierszy z wartością i wagą, a wynik liczy się na bieżąco. Interaktywny kalkulator: srednia-wazona (dostępny na stronie wpisu) ### Średnia z tabeli częstości Gdy dane są podane w tabeli częstości (wartość + ile razy wystąpiła), stosujemy wzór: $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i \cdot n_i}{\sum_{i=1}^{k} n_i}$$ gdzie \(x_i\) to wartości, a \(n_i\) to ich częstości (liczebności). **Przykład:** Wyniki ankiety o liczbie książek przeczytanych w miesiącu: | Liczba książek | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---|---| | Liczba osób | 3 | 8 | 12 | 7 | 4 | 1 | $$\bar{x} = \frac{0 \cdot 3 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 12 + 3 \cdot 7 + 4 \cdot 4 + 5 \cdot 1}{3 + 8 + 12 + 7 + 4 + 1} = \frac{0 + 8 + 24 + 21 + 16 + 5}{35} = \frac{74}{35} \approx 2{,}11$$ --- ## Mediana - wartość środkowa ### Definicja Mediana to wartość, która dzieli uporządkowany zbiór danych na dwie równe połowy. Połowa danych jest mniejsza lub równa medianie, a połowa jest większa lub równa. ### Jak wyznaczyć medianę - algorytm krok po kroku **Krok 1:** Uporządkuj dane od najmniejszej do największej wartości. **Krok 2:** Określ, czy liczba danych \(n\) jest parzysta czy nieparzysta. **Krok 3a:** Jeśli \(n\) jest **nieparzyste** - mediana to element środkowy, czyli element na pozycji \(\frac{n+1}{2}\): $$Me = x_{\frac{n+1}{2}}$$ **Krok 3b:** Jeśli \(n\) jest **parzyste** - mediana to średnia arytmetyczna dwóch środkowych elementów: $$Me = \frac{x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1}}{2}$$ ### Przykład - nieparzysta liczba danych Dane: 7, 2, 5, 1, 9, 3, 8 Krok 1 - porządkujemy: 1, 2, 3, **5**, 7, 8, 9 Mamy \(n = 7\) (nieparzyste), więc mediana to element na pozycji \(\frac{7+1}{2} = 4\). $$Me = 5$$ ### Przykład - parzysta liczba danych Dane: 4, 8, 2, 6, 1, 9 Krok 1 - porządkujemy: 1, 2, **4**, **6**, 8, 9 Mamy \(n = 6\) (parzyste), więc mediana to średnia elementów na pozycjach 3 i 4: $$Me = \frac{4 + 6}{2} = 5$$ ### Mediana z tabeli częstości Gdy dane są w tabeli częstości, szukamy wartości, przy której skumulowana częstość przekracza połowę danych. **Przykład:** Oceny 30 uczniów: | Ocena | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | |---|---|---|---|---|---| | Liczba uczniów | 4 | 8 | 10 | 6 | 2 | | Częstość skumulowana | 4 | 12 | 22 | 28 | 30 | Mamy \(n = 30\) (parzyste). Szukamy elementów na pozycjach 15 i 16. Patrzymy na częstość skumulowaną: do oceny 3 mamy 12 uczniów, a do oceny 4 mamy 22 uczniów. Zatem zarówno 15., jak i 16. uczeń (w kolejności) mają ocenę 4. $$Me = \frac{4 + 4}{2} = 4$$ ### Kiedy mediana jest lepsza od średniej? Mediana jest odporniejsza na wartości skrajne (odstające) niż średnia. Na maturze możesz spotkać zadanie, w którym dochodzi jedna bardzo duża lub bardzo mała wartość i pytają o wpływ na medianę vs. średnią. **Przykład:** Zarobki 5 pracowników: 4000, 4500, 5000, 5500, 50 000 zł. - Średnia: \(\bar{x} = \frac{4000 + 4500 + 5000 + 5500 + 50000}{5} = \frac{69000}{5} = 13800\) zł - Mediana: \(Me = 5000\) zł Mediana (5000 zł) znacznie lepiej oddaje "typowe" zarobki niż średnia (13 800 zł), która jest zawyżona przez jedną skrajną wartość. --- ## Dominanta (moda) - wartość najczęstsza ### Definicja Dominanta (inaczej moda, wartość modalna) to wartość, która występuje w zbiorze danych **najczęściej**. ### Ważne uwagi - Zbiór danych może mieć **jedną dominantę**, np. w zbiorze \(\{1, 2, 2, 3, 4\}\) dominanta to 2. - Zbiór danych może mieć **więcej niż jedną dominantę**, np. w zbiorze \(\{1, 2, 2, 3, 3, 4\}\) dominanty to 2 i 3. - Zbiór danych może **nie mieć dominanty**, jeśli wszystkie wartości występują tyle samo razy, np. \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\). ### Dominanta z tabeli lub diagramu Na maturze dominantę najczęściej odczytujemy z tabeli częstości lub diagramu słupkowego. Wystarczy znaleźć wartość z najwyższą częstością (najwyższy słupek). **Przykład:** Liczba goli strzelonych w 20 meczach: | Gole | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---|---| | Mecze | 3 | 6 | 5 | 4 | 1 | 1 | Najwyższa częstość to 6 (dla 1 gola). Dominanta = 1. --- ## Wariancja i odchylenie standardowe ### Wariancja Wariancja mierzy, jak bardzo dane są rozproszone wokół średniej. Im większa wariancja, tym większe rozproszenie. $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}$$ lub równoważnie (wygodniejszy wzór do obliczeń): $$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{n} - \bar{x}^2$$ Ten drugi wzór mówi: **wariancja = średnia kwadratów minus kwadrat średniej**. Na maturze jest znacznie szybszy w użyciu. ### Odchylenie standardowe Odchylenie standardowe to pierwiastek z wariancji: $$\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}{n}}$$ Odchylenie standardowe ma tę samą jednostkę co dane (np. cm, kg, punkty), dlatego jest łatwiejsze w interpretacji niż wariancja. ### Obliczanie krok po kroku Obliczmy wariancję i odchylenie standardowe dla danych: 2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9. **Krok 1:** Obliczamy średnią: $$\bar{x} = \frac{2 + 4 + 4 + 4 + 5 + 5 + 7 + 9}{8} = \frac{40}{8} = 5$$ **Krok 2:** Obliczamy odchylenia od średniej i ich kwadraty: | \(x_i\) | \(x_i - \bar{x}\) | \((x_i - \bar{x})^2\) | |---|---|---| | 2 | \(-3\) | 9 | | 4 | \(-1\) | 1 | | 4 | \(-1\) | 1 | | 4 | \(-1\) | 1 | | 5 | 0 | 0 | | 5 | 0 | 0 | | 7 | 2 | 4 | | 9 | 4 | 16 | **Krok 3:** Sumujemy kwadraty odchyleń: $$\sum (x_i - \bar{x})^2 = 9 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 4 + 16 = 32$$ **Krok 4:** Obliczamy wariancję: $$\sigma^2 = \frac{32}{8} = 4$$ **Krok 5:** Obliczamy odchylenie standardowe: $$\sigma = \sqrt{4} = 2$$ ### Interpretacja odchylenia standardowego Odchylenie standardowe \(\sigma = 2\) oznacza, że wartości w zbiorze odchylają się od średniej \(\bar{x} = 5\) przeciętnie o 2 jednostki. **Na maturze pytają:** "Który zbiór danych jest bardziej zróżnicowany?" - odpowiedź: ten, który ma większe odchylenie standardowe. ### Właściwości (pojawiają się na maturze!) 1. Jeśli do każdej wartości **dodamy** stałą \(c\), odchylenie standardowe **się nie zmieni**: $$\sigma_{x+c} = \sigma_x$$ 2. Jeśli każdą wartość **pomnożymy** przez stałą \(k\), odchylenie standardowe **mnoży się** przez \(|k|\): $$\sigma_{kx} = |k| \cdot \sigma_x$$ Te właściwości są bardzo ważne - CKE regularnie testuje je w zadaniach zamkniętych. --- ## Rozstęp Najprostsza miara rozproszenia. To różnica między największą a najmniejszą wartością: $$R = x_{\max} - x_{\min}$$ **Przykład:** Dla danych: 3, 5, 7, 12, 15 $$R = 15 - 3 = 12$$ Rozstęp jest łatwy do obliczenia, ale wrażliwy na wartości skrajne. Na maturze pojawia się rzadziej niż odchylenie standardowe, ale warto go znać - jest trywialny do obliczenia. --- ## Kwartyle i rozstęp międzykwartylowy ### Kwartyle Kwartyle dzielą uporządkowany zbiór danych na cztery równe części: - **\(Q_1\)** (kwartyl dolny) - 25% danych jest poniżej tej wartości - **\(Q_2\)** (kwartyl środkowy) - to po prostu mediana - **\(Q_3\)** (kwartyl górny) - 75% danych jest poniżej tej wartości ### Jak wyznaczyć kwartyle **Krok 1:** Uporządkuj dane i znajdź medianę (\(Q_2\)). **Krok 2:** \(Q_1\) to mediana dolnej połowy danych (poniżej mediany). **Krok 3:** \(Q_3\) to mediana górnej połowy danych (powyżej mediany). **Przykład:** Dane (już uporządkowane): 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 \(n = 11\), mediana \(Q_2 = 7\) (element na pozycji 6). Dolna połowa: 2, 3, 4, 5, 6 - mediana to \(Q_1 = 4\). Górna połowa: 8, 9, 10, 11, 12 - mediana to \(Q_3 = 10\). ### Rozstęp międzykwartylowy $$IQR = Q_3 - Q_1$$ W naszym przykładzie: \(IQR = 10 - 4 = 6\). Rozstęp międzykwartylowy obejmuje środkowe 50% danych i jest odporny na wartości skrajne (w przeciwieństwie do zwykłego rozstępu). --- ## Jak czytać diagramy na maturze Na maturze dane statystyczne często są przedstawione w formie graficznej. Musisz umieć odczytywać informacje z różnych typów diagramów. ### Diagram słupkowy Wysokość każdego słupka odpowiada częstości (liczebności) danej wartości. Z diagramu słupkowego bezpośrednio odczytasz: - **Dominantę** - najwyższy słupek - **Rozstęp** - różnica między skrajnymi wartościami na osi X - **Dane do obliczenia średniej** - suma (wartość razy wysokość) podzielona przez sumę wysokości ### Diagram kołowy Diagram kołowy pokazuje udziały procentowe. Cały okrąg to 100% (lub 360 stopni). Aby odczytać częstość: $$n_i = \frac{\text{procent}_i}{100\%} \cdot n$$ Uwaga: z diagramu kołowego **nie da się bezpośrednio** odczytać liczebności, jeśli nie podano łącznej liczby danych \(n\). ### Diagram pudełkowy (box plot) Diagram pudełkowy to bardzo wdzięczny temat na maturze. Z jednego diagramu odczytasz aż 5 wartości: - Lewa "wąsa" - minimum (\(x_{\min}\)) - Lewa krawędź pudełka - \(Q_1\) - Linia wewnątrz pudełka - mediana (\(Q_2\)) - Prawa krawędź pudełka - \(Q_3\) - Prawy "wąs" - maksimum (\(x_{\max}\)) **Z diagramu pudełkowego obliczysz:** - Rozstęp: \(R = x_{\max} - x_{\min}\) (odległość między końcami wąsów) - Rozstęp międzykwartylowy: \(IQR = Q_3 - Q_1\) (szerokość pudełka) --- ## Kiedy stosować którą miarę? Ten temat pojawia się na maturze w formie zadań otwartych, gdzie trzeba uzasadnić wybór miary. | Miara | Kiedy stosować | Wady | |---|---|---| | Średnia | Dane bez wartości skrajnych, rozkład symetryczny | Wrażliwa na wartości odstające | | Mediana | Dane z wartościami skrajnymi, rozkład asymetryczny | Nie uwzględnia wszystkich wartości | | Dominanta | Dane jakościowe (np. ulubiony kolor), szukanie "typowej" wartości | Może nie istnieć lub nie być jednoznaczna | | Odchylenie standardowe | Porównywanie rozproszenia zbiorów | Wymaga obliczenia średniej | | Rozstęp | Szybka ocena rozproszenia | Zależy tylko od dwóch wartości | --- ## Zadania maturalne z rozwiązaniami ### Zadanie 1 - średnia arytmetyczna (1 pkt) **Treść:** Średnia arytmetyczna pięciu liczb: 3, 7, 8, \(x\), 12 jest równa 8. Wyznacz wartość \(x\). **Rozwiązanie:** Z definicji średniej: $$\frac{3 + 7 + 8 + x + 12}{5} = 8$$ $$\frac{30 + x}{5} = 8$$ $$30 + x = 40$$ $$x = 10$$ **Odpowiedź:** \(x = 10\). --- ### Zadanie 2 - mediana i dominanta (1 pkt) **Treść:** Wyniki 11 uczniów z testu: 5, 3, 7, 3, 8, 5, 3, 9, 4, 6, 3. Podaj medianę i dominantę tego zbioru danych. **Rozwiązanie:** Porządkujemy: 3, 3, 3, 3, 4, **5**, 5, 6, 7, 8, 9 \(n = 11\) (nieparzyste), mediana to element na pozycji \(\frac{11+1}{2} = 6\). $$Me = 5$$ Dominanta to wartość najczęstsza. Liczba 3 występuje 4 razy (więcej niż inne). $$D_o = 3$$ **Odpowiedź:** Mediana wynosi 5, dominanta wynosi 3. --- ### Zadanie 3 - odchylenie standardowe (2 pkt) **Treść:** Średnia arytmetyczna zbioru danych wynosi \(\bar{x} = 10\), a odchylenie standardowe \(\sigma = 3\). Każdą wartość w zbiorze pomnożono przez 2 i dodano 5. Wyznacz nową średnią i nowe odchylenie standardowe. **Rozwiązanie:** Nowe dane: \(y_i = 2x_i + 5\). Korzystamy z właściwości: - Nowa średnia: \(\bar{y} = 2 \cdot \bar{x} + 5 = 2 \cdot 10 + 5 = 25\) - Nowe odchylenie: \(\sigma_y = |2| \cdot \sigma_x = 2 \cdot 3 = 6\) (Dodanie stałej nie zmienia odchylenia, mnożenie przez \(k\) mnoży odchylenie przez \(|k|\).) **Odpowiedź:** Nowa średnia wynosi 25, nowe odchylenie standardowe wynosi 6. --- ### Zadanie 4 - diagram pudełkowy (2 pkt) **Treść:** Na diagramie pudełkowym wyników testu odczytano: \(x_{\min} = 12\), \(Q_1 = 18\), \(Q_2 = 25\), \(Q_3 = 31\), \(x_{\max} = 42\). Oblicz rozstęp i rozstęp międzykwartylowy. Podaj, jaki procent danych znajduje się w przedziale od 18 do 31. **Rozwiązanie:** Rozstęp: $$R = x_{\max} - x_{\min} = 42 - 12 = 30$$ Rozstęp międzykwartylowy: $$IQR = Q_3 - Q_1 = 31 - 18 = 13$$ Przedział od \(Q_1 = 18\) do \(Q_3 = 31\) obejmuje środkowe 50% danych (z definicji kwartyli). **Odpowiedź:** Rozstęp wynosi 30, rozstęp międzykwartylowy wynosi 13. W przedziale od 18 do 31 znajduje się 50% danych. --- ### Zadanie 5 - średnia z tabeli częstości (2 pkt) **Treść:** W tabeli podano wyniki ankiety przeprowadzonej wśród 40 uczniów. Pytano o liczbę godzin nauki dziennie. | Godziny | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |---|---|---|---|---|---|---| | Uczniowie | 2 | 7 | 14 | 10 | 5 | 2 | Oblicz średnią liczbę godzin nauki. Wyznacz medianę. **Rozwiązanie:** Średnia: $$\bar{x} = \frac{0 \cdot 2 + 1 \cdot 7 + 2 \cdot 14 + 3 \cdot 10 + 4 \cdot 5 + 5 \cdot 2}{40}$$ $$\bar{x} = \frac{0 + 7 + 28 + 30 + 20 + 10}{40} = \frac{95}{40} = 2{,}375$$ Mediana - mamy \(n = 40\) (parzyste), szukamy elementów na pozycjach 20 i 21. Częstości skumulowane: - Do 0 godzin: 2 - Do 1 godziny: 2 + 7 = 9 - Do 2 godzin: 9 + 14 = 23 - Do 3 godzin: 23 + 10 = 33 Pozycje 20 i 21 mieszczą się w grupie "2 godziny" (bo skumulowana częstość przekracza 20 dopiero przy wartości 2). $$Me = \frac{2 + 2}{2} = 2$$ **Odpowiedź:** Średnia wynosi 2,375 godziny. Mediana wynosi 2 godziny. --- ### Zadanie 6 - porównanie zbiorów (2 pkt) **Treść:** Średnia ocen w klasie A wynosi 3,8, a odchylenie standardowe 0,9. W klasie B średnia wynosi 3,8, a odchylenie standardowe 1,4. Która klasa ma bardziej zróżnicowane wyniki? Uzasadnij odpowiedź. **Rozwiązanie:** Obie klasy mają taką samą średnią (\(\bar{x} = 3{,}8\)), więc porównujemy tylko odchylenie standardowe. Klasa B ma większe odchylenie standardowe (\(\sigma_B = 1{,}4 > \sigma_A = 0{,}9\)), co oznacza, że oceny w klasie B są bardziej rozproszone wokół średniej. **Odpowiedź:** Klasa B ma bardziej zróżnicowane wyniki, ponieważ odchylenie standardowe w klasie B (1,4) jest większe niż w klasie A (0,9). --- ### Zadanie 7 - wariancja z wzoru skróconego (2 pkt) **Treść:** Dane są liczby: 1, 3, 5, 7, 9. Oblicz wariancję tego zbioru. **Rozwiązanie:** Korzystamy ze wzoru skróconego: \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2\). Średnia: $$\bar{x} = \frac{1 + 3 + 5 + 7 + 9}{5} = \frac{25}{5} = 5$$ Średnia kwadratów: $$\frac{\sum x_i^2}{n} = \frac{1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2}{5} = \frac{1 + 9 + 25 + 49 + 81}{5} = \frac{165}{5} = 33$$ Wariancja: $$\sigma^2 = 33 - 5^2 = 33 - 25 = 8$$ **Odpowiedź:** Wariancja wynosi 8. Sprawdzenie: \(\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). --- ## Jak statystyka łączy się z innymi działami na maturze Statystyka rzadko pojawia się w izolacji. Na maturze często łączy się z innymi tematami: ### Statystyka + prawdopodobieństwo Typowe zadanie: "Z podanego zbioru danych losujemy jedną wartość. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosowana wartość jest większa od mediany?" Aby to rozwiązać, musisz najpierw obliczyć medianę, a potem policzyć prawdopodobieństwo. Dlatego warto dobrze znać oba działy - przeczytaj nasz [przewodnik po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania). ### Statystyka + procenty Wyniki statystyczne często trzeba wyrazić w procentach. Na przykład: "Jaki procent uczniów uzyskał wynik powyżej średniej?" albo "O ile procent wzrosła średnia po dodaniu nowej wartości?" Te zadania łączą umiejętność obliczania miar statystycznych z [procentami](/procenty-na-maturze-zadania-wzory-procent-skladany). ### Statystyka + odczytywanie z wykresu Spora część zadań ze statystyki na maturze polega na odczytaniu danych z diagramu (słupkowego, kołowego, pudełkowego) i obliczeniu żądanej miary. Przećwicz [odczytywanie własności z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura) - nawyk uważnego czytania diagramów przyda się i tu. --- ## Zadanie dodatkowe - średnia ważona z procentami (2 pkt) **Treść:** W firmie pracuje 20 osób w dziale A ze średnią pensją 5000 zł i 30 osób w dziale B ze średnią pensją 6000 zł. Oblicz średnią pensję w całej firmie. **Rozwiązanie:** To zadanie na średnią ważoną, gdzie wagami są liczebności działów: $$\bar{x} = \frac{20 \cdot 5000 + 30 \cdot 6000}{20 + 30} = \frac{100\,000 + 180\,000}{50} = \frac{280\,000}{50} = 5600 \text{ zł}$$ **Uwaga:** Średnia pensja w firmie (5600 zł) NIE jest średnią arytmetyczną średnich działów \(\frac{5000 + 6000}{2} = 5500\) zł. To typowa pułapka! Średnia ze średnich daje poprawny wynik tylko wtedy, gdy grupy mają jednakowe liczebności. **Odpowiedź:** Średnia pensja w firmie wynosi 5600 zł. --- ## Zadanie dodatkowe - wpływ dodania elementu na średnią (2 pkt) **Treść:** Średnia arytmetyczna 10 liczb wynosi 15. Dopisano jedenastą liczbę i średnia wzrosła do 16. Jaką liczbę dopisano? **Rozwiązanie:** Suma 10 liczb: \(S_{10} = 10 \cdot 15 = 150\). Suma 11 liczb: \(S_{11} = 11 \cdot 16 = 176\). Dopisana liczba: \(x = S_{11} - S_{10} = 176 - 150 = 26\). **Odpowiedź:** Dopisano liczbę 26. To klasyczny typ zadania na maturze. Zapamiętaj schemat: z definicji średniej wyznaczasz sumę "przed" i "po", a różnica to szukana wartość. Tego typu zadania znajdziesz w naszej [bazie zadań ze statystyki](/topics/statystyka). --- ## Najczęstsze pułapki na maturze Zanim przystąpisz do egzaminu, zapamiętaj te typowe błędy. Więcej o nich przeczytasz w artykule o [najczęstszych błędach na maturze z matematyki](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki). ### 1. Zapomnienie o uporządkowaniu danych przed wyznaczeniem mediany Mediana wymaga **uporządkowanego** zbioru. Jeśli dane są podane w losowej kolejności i weźmiesz element "środkowy" bez sortowania - dostaniesz zły wynik. To najczęstszy błąd w zadaniach ze statystyki. ### 2. Mylenie wariancji z odchyleniem standardowym Na maturze pytają o jedno lub drugie. Wariancja to \(\sigma^2\), odchylenie to \(\sigma\). Jeśli obliczysz wariancję, a pytają o odchylenie - nie zapomnij wyciągnąć pierwiastka. I odwrotnie: jeśli pytają o wariancję, nie wyciągaj pierwiastka. ### 3. Dzielenie przez \(n-1\) zamiast \(n\) Na maturze podstawowej zawsze dzielimy przez \(n\) (wariancja populacyjna). Wzór z \(n-1\) to wariancja próbkowa - na poziomie podstawowym się nie pojawia. Jeśli w kalkulatorze masz dwa tryby (population/sample), wybierz population. ### 4. Błędne odczytanie diagramu pudełkowego Pamiętaj: linia wewnątrz pudełka to **mediana**, nie średnia. Krawędzie pudełka to \(Q_1\) i \(Q_3\), nie minimum i maksimum. Końce wąsów to minimum i maksimum (o ile nie ma wartości odstających). ### 5. Dodanie wartości nie zmienia odchylenia Jeśli do każdej wartości dodasz 10, średnia wzrośnie o 10, ale odchylenie standardowe **nie zmieni się**. To klasyczna pułapka w zadaniach zamkniętych. Przesunięcie danych nie zmienia ich rozproszenia. ### 6. Średnia ze średnich to nie średnia ogólna Jeśli w grupie A średnia wynosi 5, a w grupie B średnia wynosi 7, to średnia ogólna **NIE musi** wynosić 6. Zależy od liczebności grup (patrz zadanie z firmą powyżej). ### 7. Dominanta to wartość, nie częstość Jeśli ocena 4 pojawiła się 12 razy (najczęściej), to dominanta wynosi 4 (nie 12!). Dominanta to **wartość** o największej częstości, a nie sama częstość. --- ## Podsumowanie - wzory do zapamiętania | Miara | Wzór | |---|---| | Średnia arytmetyczna | \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\) | | Mediana (\(n\) nieparzyste) | Element na pozycji \(\frac{n+1}{2}\) | | Mediana (\(n\) parzyste) | \(\frac{x_{n/2} + x_{n/2+1}}{2}\) | | Dominanta | Wartość o największej częstości | | Wariancja | \(\sigma^2 = \frac{\sum(x_i - \bar{x})^2}{n}\) | | Wariancja (wzór skrócony) | \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - \bar{x}^2\) | | Odchylenie standardowe | \(\sigma = \sqrt{\sigma^2}\) | | Rozstęp | \(R = x_{\max} - x_{\min}\) | | Rozstęp międzykwartylowy | \(IQR = Q_3 - Q_1\) | Statystyka to dział, w którym możesz szybko zdobyć cenne punkty na maturze. Wszystkie wzory są proste, a zadania powtarzają się w schematach. Najważniejsze to nie pomylić definicji i nie zapomnieć o uporządkowaniu danych. Przećwicz więcej zadań ze statystyki w naszej [bazie zadań maturalnych](/topics/statystyka). Jeśli chcesz wiedzieć, które tematy dają najłatwiejsze punkty, przeczytaj nasz poradnik o [łatwych punktach na maturze](/latwe-punkty-matura-matematyka-zadania-za-1-punkt). A po opanowaniu statystyki - przejdź do [prawdopodobieństwa i kombinatoryki](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania), bo te działy często się łączą. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)