---
route: /skala-richtera-wzor-logarytm-zadanie-maturalne
title: Skala Richtera: wzór z logarytmem i zadanie maturalne o trzęsieniu ziemi
description: Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi: R = log(A/A0). Zobacz, jak zamienić siłę na amplitudę i rozwiązać zadanie z matury 2016.
type: topic_guide
category: Logarytmy
tags: skala richtera, skala richtera służy do określania siły trzęsień ziemi, skala richtera wzór, skala richtera logarytm, trzęsienie ziemi zadanie maturalne, amplituda trzęsienia ziemi, logarytmy zadania z treścią, matura maj 2016 zadanie 31, logarytm dziesiętny zastosowanie, skala richtera matura
author: Marcel Bogdan
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan
published: 2026-10-05T12:17:25+00:00
updated: 2026-10-05T12:23:29.364+00:00
---
# Skala Richtera: wzór z logarytmem i zadanie maturalne o trzęsieniu ziemi
Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. W zadaniu maturalnym siłę opisuje wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) to amplituda trzęsienia w centymetrach, a \(A_0=10^{-4}\) cm to stała amplituda wzorcowa. Z definicji logarytmu wynika, że amplituda to \(A=A_0\cdot 10^{R}\), więc trzęsienie silniejsze o jeden stopień ma amplitudę dziesięć razy większą.

Na maturze z matematyki skala Richtera pojawiła się jako zadanie z treścią w [arkuszu z maja 2016](/exams/matura-maj-2016): trzeba było obliczyć amplitudę trzęsienia o sile \(6{,}2\) i porównać ją ze \(100\) cm. Wzór stał w treści, więc zadanie sprawdzało jedną umiejętność: zamianę równania z logarytmem na równanie z potęgą. Poniżej masz wzory, pełne rozwiązanie tamtego zadania, cztery dodatkowe przykłady i listę pomyłek, które kosztują punkty.

## W skrócie

- Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi, a w zadaniu maturalnym opisuje ją wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\).
- Amplitudę liczysz z definicji logarytmu: \(A=A_0\cdot 10^{R}\), czyli przy \(A_0=10^{-4}\) cm masz \(A=10^{R-4}\) cm.
- Siła większa o \(1\) oznacza amplitudę \(10\) razy większą, a siła większa o \(2\) amplitudę \(100\) razy większą.
- W zadaniu z matury maj 2016 siła \(6{,}2\) daje amplitudę \(10^{2{,}2}\) cm, czyli około \(158\) cm, więc więcej niż \(100\) cm.

## Skąd w skali Richtera bierze się logarytm

Amplitudy trzęsień ziemi różnią się od siebie nie o kilka procent, tylko wielokrotnie: jedno trzęsienie może mieć amplitudę tysiąc razy większą od drugiego. Gdyby siłę mierzyć samą amplitudą w centymetrach, liczby skakałyby od ułamków tysięcznych do setek i tysięcy. Logarytm dziesiętny ściska taki zakres do kilku wygodnych liczb, bo liczy nie samą wielkość, tylko wykładnik potęgi dziesięciu.

Przypomnij sobie definicję: \(\log x\) to wykładnik, do którego trzeba podnieść \(10\), żeby dostać \(x\). Stąd \(\log 10=1\), \(\log 100=2\), \(\log 1000=3\), a \(\log 10^{6}=6\). Gdy liczba rośnie dziesięć razy, jej logarytm rośnie tylko o jeden. Ten jeden fakt tłumaczy całą skalę Richtera. Pełne omówienie definicji i własności logarytmu znajdziesz w dziale [Logarytmy](/topics/logarytmy), a rachunek na konkretnych liczbach we wpisie [jak obliczyć logarytm krok po kroku](/jak-obliczyc-logarytm-krok-po-kroku).

We wzorze \(R=\log\frac{A}{A_0}\) logarytm liczy się z ilorazu: amplitudy trzęsienia podzielonej przez amplitudę wzorcową. Iloraz mówi, ile razy trzęsienie jest silniejsze od wzorca, a logarytm zamienia tę krotność na stopień skali. Gdy amplituda jest równa wzorcowej, iloraz to \(1\), a \(\log 1=0\), więc wzorzec ma siłę zero. Gdy amplituda jest dziesięć razy większa od wzorcowej, siła wynosi \(1\). Gdy milion razy większa, siła wynosi \(6\).

Dlaczego w ogóle iloraz, a nie sama amplituda? Bo logarytm liczy się z liczby, a nie z wielkości w centymetrach. Po podzieleniu amplitudy przez wzorzec jednostki się skracają i zostaje czysta liczba, która mówi „ile razy”. Amplituda wzorcowa ustala więc punkt zero skali: to ona decyduje, jakie trzęsienie ma siłę zero. Gdyby wzorzec był inny, wszystkie siły przesunęłyby się o tę samą liczbę stopni, ale różnice między trzęsieniami zostałyby takie same. Dlatego w zadaniach z porównaniem dwóch trzęsień wzorzec w ogóle znika z rachunku.

Tabela pokazuje tę zależność dla kilku całkowitych stopni. Amplitudę w ostatniej kolumnie liczysz ze wzoru \(A=10^{-4}\cdot 10^{R}=10^{R-4}\) cm.

| Siła \(R\) | Iloraz \(\frac{A}{A_0}\) | Amplituda \(A\) |
|---|---|---|
| \(0\) | \(1\) | \(10^{-4}\) cm |
| \(2\) | \(10^{2}=100\) | \(10^{-2}=0{,}01\) cm |
| \(4\) | \(10^{4}\) | \(10^{0}=1\) cm |
| \(5\) | \(10^{5}\) | \(10^{1}=10\) cm |
| \(6\) | \(10^{6}\) | \(10^{2}=100\) cm |
| \(7\) | \(10^{7}\) | \(10^{3}=1000\) cm |

Zwróć uwagę na wiersz z siłą \(6\): amplituda wynosi dokładnie \(100\) cm. To będzie punkt odniesienia w zadaniu maturalnym, bo pytanie z 2016 roku dotyczyło właśnie granicy \(100\) cm.

## Wzory

Wzór na siłę trzęsienia:

$$R=\log\frac{A}{A_0}$$

Amplituda trzęsienia z jego siły:

$$A=A_0\cdot 10^{R}$$

Amplituda przy wzorcu z zadania:

$$A=10^{R-4}\ \text{cm}$$

Stosunek amplitud dwóch trzęsień:

$$\frac{A_1}{A_2}=10^{R_1-R_2}$$

Definicja logarytmu dziesiętnego:

$$\log x=R \iff x=10^{R}$$

Pierwszy wzór dostajesz w treści zadania. Pozostałe wyprowadzasz z niego w jednej lub dwóch linijkach, więc nie musisz ich pamiętać: wystarczy umieć je odtworzyć. Wzór na stosunek amplitud powstaje na przykład tak: zapisujesz \(A_1=A_0\cdot 10^{R_1}\) i \(A_2=A_0\cdot 10^{R_2}\), dzielisz jedno przez drugie, skracasz \(A_0\) i odejmujesz wykładniki przy dzieleniu potęg o tej samej podstawie. Ostatni wzór, definicję logarytmu, musisz mieć w głowie, bo bez niej nie ruszysz żadnego z tych zadań. Własności logarytmów, z których korzystamy niżej (logarytm ilorazu i logarytm iloczynu), zebrane są we wpisie [logarytmy na maturze: wzory i właściwości](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania).

## Jak zamienić siłę trzęsienia na amplitudę

Zadania o skali Richtera prawie zawsze idą w jedną z dwóch stron: znasz siłę i liczysz amplitudę albo znasz amplitudę i liczysz siłę. Pierwszy kierunek jest trudniejszy, bo trzeba pozbyć się logarytmu.

**Od siły do amplitudy.** Masz równanie \(R=\log\frac{A}{A_0}\) i znane \(R\). Z definicji logarytmu dziesiętnego zapisujesz \(\frac{A}{A_0}=10^{R}\). Mnożysz obie strony przez \(A_0\) i dostajesz \(A=A_0\cdot 10^{R}\). Przy wzorcu \(A_0=10^{-4}\) cm mnożenie potęg o tej samej podstawie daje \(A=10^{-4}\cdot 10^{R}=10^{R-4}\) cm. Na przykład dla \(R=5{,}5\) amplituda to \(10^{1{,}5}\) cm, czyli \(10\sqrt{10}\) cm, około \(31{,}6\) cm.

**Od amplitudy do siły.** Tu logarytm liczysz wprost. Podstawiasz amplitudę i wzorzec do ilorazu, upraszczasz go do [potęgi dziesięciu](/notacja-wykladnicza-jak-zapisac-liczbe-zadania-matura) i odczytujesz wykładnik. Dla \(A=0{,}1\) cm masz \(\frac{0{,}1}{10^{-4}}=\frac{10^{-1}}{10^{-4}}=10^{3}\), więc \(R=3\). Można też skorzystać z logarytmu ilorazu: \(R=\log A-\log A_0=\log A+4\). Dla \(A=0{,}1\) cm to \(-1+4=3\), ten sam wynik.

Wykładnik niecałkowity, jak \(2{,}2\) czy \(1{,}5\), to potęga o wykładniku wymiernym: \(10^{1{,}5}=10^{\frac32}=\sqrt{10^{3}}\), a \(10^{2{,}2}=10^{\frac{11}{5}}=\sqrt[5]{10^{11}}\). Jak zamieniać takie potęgi na pierwiastki i odwrotnie, pokazuje wpis o [potęgach o wykładniku wymiernym i ujemnym](/potegi-wykladnik-wymierny-ujemny-matura-jak-liczyc). W zadaniu maturalnym zwykle nie musisz tej potęgi liczyć dokładnie: wystarczy porównać ją z inną potęgą dziesięciu.

## Jak oszacować amplitudę bez kalkulatora naukowego

Na egzaminie z matematyki wolno korzystać z kalkulatora prostego, linijki, cyrkla i zestawu wybranych wzorów. Do rozstrzygnięcia, czy amplituda jest większa, czy mniejsza od danej liczby, kalkulator w ogóle nie jest potrzebny. Gdy jednak chcesz wiedzieć, ile mniej więcej wynosi \(10^{2{,}2}\), da się to oszacować samym mnożeniem.

Rozbij potęgę na część całkowitą i ułamkową: \(10^{2{,}2}=10^{2}\cdot 10^{0{,}2}=100\cdot\sqrt[5]{10}\). Cała trudność siedzi w liczbie \(\sqrt[5]{10}\), czyli w takiej liczbie, która podniesiona do piątej potęgi daje \(10\). Sprawdzasz dwie próby. Liczba \(1{,}5\) do piątej potęgi to około \(7{,}59\), czyli za mało. Liczba \(1{,}6\) do piątej potęgi to około \(10{,}49\), czyli za dużo. Szukany pierwiastek leży więc między \(1{,}5\) a \(1{,}6\), a amplituda między \(150\) cm a \(160\) cm.

Ten sam trik działa dla każdej siły. Część całkowita wykładnika ustala rząd wielkości wyniku, czyli potęgę dziesięciu, przez którą mnożysz, a część ułamkowa daje mnożnik od \(1\) do \(10\). Przy sile \(5{,}5\) część ułamkowa to \(0{,}5\), więc mnożnik to \(\sqrt{10}\), czyli trochę ponad \(3\). Przy sile \(6{,}9\) mnożnik \(10^{0{,}9}\) jest bliski \(8\), bo \(10^{0{,}9}=\frac{10}{10^{0{,}1}}\), a \(10^{0{,}1}\) to niewiele ponad \(1{,}25\).

Z tego wynika prosta reguła kontrolna: jeśli wyliczona amplituda ma inny rząd wielkości, niż wskazuje część całkowita wykładnika, to gdzieś zgubiłeś znak albo potęgę. Przy sile \(6{,}2\) i wzorcu \(10^{-4}\) cm wynik musi mieć trzy cyfry przed przecinkiem, więc \(15{,}8\) cm albo \(1580\) cm od razu zdradzają pomyłkę.

## Przykład 1: Trzęsienie ziemi w Tajlandii (matura maj 2016, zadanie 31)

**Treść:** Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. Siła ta opisana jest wzorem \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) oznacza amplitudę trzęsienia wyrażoną w centymetrach, \(A_0=10^{-4}\) cm jest stałą, nazywaną amplitudą wzorcową. W 2014 roku w Tajlandii miało miejsce trzęsienie ziemi o sile \(6{,}2\) w skali Richtera. Oblicz amplitudę trzęsienia ziemi w Tajlandii i rozstrzygnij, czy jest ona większa, czy mniejsza od \(100\) cm.

**Krok 1: Podstaw dane do wzoru.** Znasz siłę \(R=6{,}2\) i amplitudę wzorcową, szukasz \(A\):

$$6{,}2=\log\frac{A}{10^{-4}}$$

**Krok 2: Zamień logarytm na potęgę.** Z definicji logarytmu dziesiętnego liczba pod logarytmem to \(10\) podniesione do wartości logarytmu:

$$\frac{A}{10^{-4}}=10^{6{,}2}$$

**Krok 3: Wyznacz amplitudę.** Mnożysz obie strony przez \(10^{-4}\) i dodajesz wykładniki:

$$A=10^{6{,}2}\cdot 10^{-4}=10^{2{,}2}\ \text{cm}$$

**Krok 4: Porównaj ze 100 cm.** Zapisz \(100\) jako potęgę dziesięciu: \(100=10^{2}\). Funkcja \(y=10^{x}\) jest rosnąca, a \(2{,}2>2\), więc:

$$10^{2{,}2}>10^{2}=100$$

**Odpowiedź:** Amplituda trzęsienia w Tajlandii wynosi \(10^{2{,}2}\) cm, czyli około \(158\) cm, więc jest większa od \(100\) cm.

## Jak zapisać rozwiązanie zadania z 2016 roku

Zadanie 31 z maja 2016 było zadaniem otwartym za dwa punkty, a jego polecenie ma dwie części: „oblicz amplitudę” i „rozstrzygnij, czy jest większa, czy mniejsza od 100 cm”. Rozwiązanie musi odpowiadać na obie. Pozostałe zadania z tego arkusza, krok po kroku, znajdziesz w omówieniu [matury z maja 2016 z rozwiązaniami](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Sama liczba \(10^{2{,}2}\) bez porównania zostawia drugą część polecenia bez odpowiedzi, a samo zdanie „amplituda jest większa” bez rachunku nie pokazuje, skąd ten wniosek.

Dobry zapis mieści się w czterech linijkach z Przykładu 1: podstawienie do wzoru, zamiana logarytmu na potęgę, wyznaczenie amplitudy i porównanie dwóch potęg dziesięciu z uzasadnieniem. Uzasadnienie porównania to jedno zdanie: funkcja wykładnicza o podstawie \(10\) jest rosnąca, więc większy wykładnik daje większą potęgę. Przybliżenie \(158\) cm możesz dopisać, ale nie zastępuje ono porównania wykładników, bo bez kalkulatora naukowego trudno je policzyć dokładnie.

Druga droga prowadzi przez sam logarytm i też jest poprawna. Zamiast liczyć amplitudę i porównywać ją ze \(100\) cm, policz siłę trzęsienia o amplitudzie dokładnie \(100\) cm: \(R=\log\frac{100}{10^{-4}}=\log 10^{6}=6\). Trzęsienie w Tajlandii miało siłę \(6{,}2>6\), a większa siła oznacza większą amplitudę, bo logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą. Tę drogę wybierz, gdy łatwiej ci myśleć o stopniach skali niż o centymetrach. Pamiętaj tylko, że polecenie każe też obliczyć amplitudę, więc wynik \(10^{2{,}2}\) cm i tak musi się pojawić.

## Przykład 2: Siła trzęsienia z amplitudy

**Treść:** Siłę trzęsienia ziemi opisuje wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A_0=10^{-4}\) cm. Amplituda pewnego trzęsienia wynosi \(10\) cm. Siła tego trzęsienia w skali Richtera jest równa:

- A) \(-3\)
- B) \(1\)
- C) \(5\)
- D) \(10^{5}\)

**Krok 1: Policz iloraz amplitud.** Dzielenie przez potęgę o ujemnym wykładniku to mnożenie przez potęgę o dodatnim:

$$\frac{A}{A_0}=\frac{10}{10^{-4}}=10\cdot 10^{4}=10^{5}$$

**Krok 2: Odczytaj logarytm.** Logarytm dziesiętny z \(10^{5}\) to wykładnik tej potęgi:

$$R=\log 10^{5}=5$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź A wychodzi, gdy zamiast dzielić przez \(10^{-4}\), pomnożysz przez \(10^{-4}\). Odpowiedź B to logarytm z samej amplitudy bez wzorca, a D to iloraz bez logarytmu.

## Przykład 3: Ile razy większa amplituda

**Treść:** Pierwsze trzęsienie ziemi miało siłę \(7{,}1\), a drugie siłę \(5{,}1\) w skali Richtera, gdzie \(R=\log\frac{A}{A_0}\). Amplituda pierwszego trzęsienia jest większa od amplitudy drugiego:

- A) \(2\) razy
- B) \(20\) razy
- C) \(100\) razy
- D) \(\frac{71}{51}\) razy

**Krok 1: Odejmij siły.** Różnica logarytmów o tej samej podstawie to logarytm ilorazu, a amplituda wzorcowa się skraca:

$$R_1-R_2=\log\frac{A_1}{A_0}-\log\frac{A_2}{A_0}=\log\frac{A_1}{A_2}$$

**Krok 2: Podstaw liczby.** Różnica sił to \(7{,}1-5{,}1=2\), więc \(\log\frac{A_1}{A_2}=2\).

**Krok 3: Zamień logarytm na potęgę.**

$$\frac{A_1}{A_2}=10^{2}=100$$

**Odpowiedź: C.** Odpowiedź A to różnica stopni wzięta za krotność, B to różnica pomnożona przez dziesięć, a D to iloraz samych sił. Siły w skali Richtera nie dzieli się przez siebie, bo to wykładniki, a nie amplitudy.

## Przykład 4: Amplituda tysiąc razy większa

**Treść:** Trzęsienie ziemi miało siłę \(3{,}4\) w skali Richtera, gdzie \(R=\log\frac{A}{A_0}\). Oblicz siłę trzęsienia, którego amplituda jest \(1000\) razy większa.

**Krok 1: Zapisz amplitudę drugiego trzęsienia.** Jeśli pierwsze ma amplitudę \(A\), to drugie ma \(1000A\).

**Krok 2: Rozbij logarytm iloczynu.** Logarytm iloczynu to suma logarytmów:

$$R_2=\log\frac{1000A}{A_0}=\log 1000+\log\frac{A}{A_0}=3+3{,}4$$

**Odpowiedź:** Siła drugiego trzęsienia wynosi \(6{,}4\). Mnożenie amplitudy przez \(1000=10^{3}\) dodaje do siły dokładnie \(3\).

## Teraz ty

Spróbuj sam zadania z bazy CKE, w którym zamieniasz logarytm odczytany z wykresu na liczbę bakterii, dokładnie tak jak siłę trzęsienia na amplitudę.

Zadanie z bazy: /task/cke-2025-pp-10

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z działu Logarytmy (/losuj)

## Inne zadania maturalne z logarytmem w treści

Skala Richtera to jeden z kilku przykładów, w których logarytm opisuje zjawisko z fizyki, chemii albo biologii. Wszystkie takie zadania mają ten sam szkielet: treść podaje wzór, a ty podstawiasz dane i przechodzisz między logarytmem a potęgą. Nie potrzebujesz wiedzy z innego przedmiotu, bo każdy potrzebny wzór i każda stała stoi w treści.

**Wykres logarytmu zamiast wykresu wielkości.** W zadaniu o bakteriach z sekcji wyżej oś pionowa pokazuje \(\log K(t)\). Gdy liczba bakterii rośnie dziesięć razy, wykres podnosi się tylko o jeden, więc wzrost wykładniczy wygląda na nim jak linia prosta. Każdy odczyt z takiego wykresu zamieniasz na liczbę tą samą definicją: \(\log K=2\) to \(K=100\), a \(\log K=2{,}5\) to \(K=10^{2{,}5}=100\sqrt{10}\), około \(316\). Najczęstszy błąd w takim zadaniu to wzięcie odczytu z osi za samą liczbę bakterii. Wykres pokazuje wykładnik, więc odczyt \(5\) to nie pięć bakterii, tylko sto tysięcy. Zanim zaznaczysz odpowiedź, sprawdź, czy nie wybierasz liczby przepisanej wprost z osi albo z czasu \(t\). Jak wygląda sama funkcja logarytmiczna i dlaczego jest rosnąca dla podstawy większej od jeden, opisuje wpis o [funkcji logarytmicznej: wykres, dziedzina i monotoniczność](/funkcja-logarytmiczna-wykres-dziedzina-monotonicznosc-matura).

**Rozpad promieniotwórczy.** W bazie jest [zadanie o datowaniu radiowęglowym](/task/cke-2025-pp-39), w którym liczba jąder izotopu maleje według wzoru \(N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{T}}\), gdzie \(T\) to czas połowicznego rozpadu. Tu ruch jest odwrotny niż w skali Richtera: wzór podaje potęgę, a pytanie o czas wymaga wykładnika, czyli logarytmu. Najpierw przećwicz ten schemat na mniejszych liczbach w przykładzie niżej, a potem wróć do zadania z bazy.

## Przykład 5: Czas rozpadu izotopu

**Treść:** Czas połowicznego rozpadu pewnego izotopu wynosi \(30\) lat, a liczba jego jąder po czasie \(t\) to \(N(t)=N_0\left(\frac12\right)^{\frac{t}{30}}\). Oblicz, po ilu latach w próbce zostanie \(\frac18\) początkowej liczby jąder.

**Krok 1: Ułóż równanie.** Szukasz \(t\), dla którego \(N(t)=\frac18 N_0\). Dzielisz obie strony przez \(N_0\):

$$\left(\frac12\right)^{\frac{t}{30}}=\frac18$$

**Krok 2: Zapisz prawą stronę jako potęgę tej samej podstawy.** \(\frac18=\left(\frac12\right)^{3}\), więc wykładniki muszą być równe:

$$\frac{t}{30}=3$$

**Krok 3: Wyznacz czas.** \(t=3\cdot 30=90\). Ten sam wynik daje logarytm: \(\frac{t}{30}=\log_{\frac12}\frac18=3\).

**Odpowiedź:** Po \(90\) latach zostanie \(\frac18\) początkowej liczby jąder, czyli po trzech okresach połowicznego rozpadu.

## Jak użyć wzoru z logarytmem, którego nie znasz

W zadaniu o datowaniu radiowęglowym z bazy ułamek jest inny niż w Przykładzie 5, ale pomysł identyczny: zapisz go jako potęgę \(\frac12\), odczytaj wykładnik i pomnóż go przez czas połowicznego rozpadu. Zaokrąglenie, o które prosi treść, robisz dopiero na samym końcu. Gdyby ułamek nie dawał się zapisać jako całkowita potęga \(\frac12\), na przykład \(\frac{1}{10}\), wykładnik byłby logarytmem \(\log_{\frac12}\frac{1}{10}\), czyli liczbą niecałkowitą między \(3\) a \(4\), bo \(\frac18>\frac1{10}>\frac1{16}\). Takie oszacowanie wystarcza, żeby sprawdzić, czy wynik ma sens.

Zdarza się też, że treść poda wzór, którego nigdy nie widziałeś, na przykład \(L=10\log\frac{I}{I_0}\). Nie musisz wiedzieć, co oznaczają litery, żeby go użyć. Dla \(L=60\) dzielisz obie strony przez \(10\) i dostajesz \(\log\frac{I}{I_0}=6\), czyli \(\frac{I}{I_0}=10^{6}\). To ten sam ruch co w Przykładzie 1, tylko z dodatkowym współczynnikiem przed logarytmem. Równania, w których niewiadoma siedzi pod logarytmem, ćwiczysz szerzej we wpisie o tym, [jak rozwiązać równanie logarytmiczne](/jak-rozwiazac-rownanie-logarytmiczne), a te z niewiadomą w wykładniku we wpisie [jak rozwiązać równanie wykładnicze](/jak-rozwiazac-rownanie-wykladnicze).

## Najczęstsze błędy w zadaniach o skali Richtera

**Pułapka:** Skala Richtera nie jest liniowa. Trzęsienie o sile \(6\) nie jest dwa razy silniejsze od trzęsienia o sile \(3\): jego amplituda jest \(10^{6-3}=1000\) razy większa. Różnicę stopni zawsze zamieniasz na potęgę dziesięciu.

**Pułapka 2:** Zgubiony minus w wykładniku wzorca. Amplituda wzorcowa to \(10^{-4}\) cm, a nie \(10^{4}\) cm. Dzielenie przez \(10^{-4}\) to mnożenie przez \(10^{4}\), a mnożenie przez \(10^{-4}\) to dzielenie przez \(10^{4}\). W Przykładzie 1 pomyłka w tym miejscu daje \(10^{10{,}2}\) cm zamiast \(10^{2{,}2}\) cm.

**Pułapka 3:** Zaokrąglenie siły przed liczeniem. Gdybyś w zadaniu z 2016 roku zaokrąglił \(6{,}2\) do \(6\), amplituda wyszłaby dokładnie \(100\) cm i nie dałoby się rozstrzygnąć, czy jest większa, czy mniejsza. Licz na dokładnych wykładnikach, a przybliżenie podaj na końcu.

**Pułapka 4:** Mnożenie siły zamiast dodawania. Gdy amplituda rośnie tysiąc razy, siła nie rośnie tysiąc razy, tylko o trzy stopnie, bo \(\log(1000A)=\log 1000+\log A\). W Przykładzie 4 błędna odpowiedź \(3{,}4\cdot 1000=3400\) powinna od razu zapalić czerwoną lampkę, bo amplituda tysiąc razy większa to tylko trzy stopnie więcej: \(3{,}4+3=6{,}4\). Logarytm zamienia mnożenie na dodawanie i na tym opiera się cała skala.

**Wskazówka:** Zapis \(\log x\) bez podstawy oznacza logarytm dziesiętny, czyli o podstawie \(10\). Dlatego \(\log 1000=3\), bo \(10^{3}=1000\).

**Zapamiętaj:** Porównujesz amplitudy, a nie siły. Pytanie „ile razy większa” zawsze rozwiązujesz wzorem \(\frac{A_1}{A_2}=10^{R_1-R_2}\), a pytanie „większa czy mniejsza” sprowadzasz do porównania dwóch potęg dziesięciu.

## Co musisz umieć

- Zamienić równanie \(\log x=R\) na \(x=10^{R}\) i odwrotnie.
- Podzielić i pomnożyć potęgi dziesięciu o ujemnych wykładnikach, jak \(\frac{10}{10^{-4}}=10^{5}\).
- Porównać dwie potęgi o tej samej podstawie większej od jeden, patrząc na wykładniki.
- Skorzystać z logarytmu ilorazu i logarytmu iloczynu, żeby skrócić amplitudę wzorcową.
- Odczytać wartość logarytmu z wykresu i zamienić ją na wielkość z treści zadania.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Zadania z logarytmów z arkuszy maturalnych, które ćwiczą definicję logarytmu i działania na logarytmach o tej samej podstawie. Każde rozwiążesz w minutę, jeśli płynnie przechodzisz między logarytmem a potęgą. Pełny przegląd zadań z tego działu z rozwiązaniami masz we wpisie [zadania CKE z logarytmów](/zadania-cke-logarytmy-z-rozwiazaniami).

## Najczęstsze pytania

### Do czego służy skala Richtera?

Skala Richtera służy do określania siły trzęsień ziemi. W zadaniu maturalnym siłę opisuje wzór \(R=\log\frac{A}{A_0}\), w którym \(A\) to amplituda trzęsienia w centymetrach, a \(A_0=10^{-4}\) cm to amplituda wzorcowa. Siła to więc logarytm dziesiętny z tego, ile razy amplituda trzęsienia jest większa od wzorcowej. Dzięki temu trzęsienia, których amplitudy różnią się tysiące razy, opisuje kilka liczb z małego zakresu, a każdy kolejny stopień to dziesięciokrotny wzrost amplitudy.

### Ile razy większa jest amplituda trzęsienia silniejszego o jeden stopień?

Dziesięć razy, bo \(\frac{A_1}{A_2}=10^{R_1-R_2}=10^{1}\). Przy różnicy dwóch stopni amplituda jest \(100\) razy większa, przy różnicy trzech stopni \(1000\) razy. Różnica pół stopnia daje \(10^{0{,}5}=\sqrt{10}\), czyli około \(3{,}16\) razy większą amplitudę.

### Czy siła w skali Richtera może być ujemna?

We wzorze z zadania tak. Gdy amplituda jest mniejsza od wzorcowej, iloraz \(\frac{A}{A_0}\) jest mniejszy od jednego, a logarytm takiej liczby jest ujemny. Dla \(A=10^{-5}\) cm iloraz to \(10^{-1}\), więc \(R=-1\). Siła równa zero oznacza amplitudę równą dokładnie wzorcowej.

### Jak policzyć 10 do potęgi 2,2?

Rozbij wykładnik na część całkowitą i ułamkową: \(10^{2{,}2}=10^{2}\cdot 10^{0{,}2}=100\cdot\sqrt[5]{10}\). Pierwiastek piątego stopnia z \(10\) leży między \(1{,}5\) a \(1{,}6\), bo \(1{,}5^{5}\) to mniej niż \(10\), a \(1{,}6^{5}\) to więcej. Wynik to więc około \(158\), ale do porównania ze \(100\) wystarczy zauważyć, że \(2{,}2>2\).

### Czy na maturze trzeba znać wzór na skalę Richtera?

W zadaniu z matury maj 2016 wzór stał w treści razem z wartością amplitudy wzorcowej, więc sprawdzana była definicja logarytmu, a nie wiedza o trzęsieniach ziemi. Musisz umieć zamienić logarytm na potęgę, mnożyć potęgi dziesięciu i porównywać je ze sobą. Bez tych trzech umiejętności nawet podany wzór nie pomoże.