--- route: /sinus-cosinus-tangens-matura-definicje-wartosci title: Sinus, cosinus i tangens na maturze - definicje, wartości i zastosowania description: Kompletny przewodnik po sinusie, cosinusie i tangensie na maturę. Definicje, tabelka wartości trygonometrycznych, jedynka trygonometryczna, twierdzenia sinusów i cosinusów. Zadania CKE z rozwiązaniami. type: strategy tags: sinus, cosinus, tangens, trygonometria, matura, tabelka trygonometryczna, jedynka trygonometryczna, twierdzenie sinusów, twierdzenie cosinusów, funkcje trygonometryczne published: 2026-03-29T08:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:52.120974+00:00 --- # Sinus, cosinus i tangens na maturze - definicje, wartości i zastosowania ## Sinus, cosinus i tangens - podstawa trygonometrii maturalnej Sinus, cosinus i tangens to trzy funkcje trygonometryczne, które pojawiają się na **każdej** maturze z matematyki. Nie da się ich ominąć - CKE regularnie daje 2-4 zadania bezpośrednio z trygonometrii, a pośrednio trygonometria pojawia się w zadaniach z [planimetrii](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia), [stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) i [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). W tym przewodniku znajdziesz **wszystko**, co musisz wiedzieć o sinusie, cosinusie i tangensie na maturę podstawową: definicje, tabelkę wartości, kluczowe wzory i pełne rozwiązania zadań maturalnych. Cały materiał możesz przećwiczyć na zadaniach z naszego [zbioru zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria). ## Definicje w trójkącie prostokątnym To jest punkt wyjścia. Każda definicja odnosi się do **kąta ostrego** \(\alpha\) w trójkącie prostokątnym: $$\sin \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$$ $$\cos \alpha = \frac{\text{przyprostokątna przy } \alpha}{\text{przeciwprostokątna}}$$ $$\tan \alpha = \frac{\text{przyprostokątna naprzeciwko } \alpha}{\text{przyprostokątna przy } \alpha}$$ **Jak to zapamiętać?** Wystarczy prosty schemat: - **Sinus** - **S**inus = **S**tojąca naprzeciwko (przyprostokątna naprzeciwko kąta) do przeciwprostokątnej - **Cosinus** - przyprostokątna **przy** kącie do przeciwprostokątnej (ta "bliższa") - **Tangens** - stosunek dwóch przyprostokątnych: naprzeciwko do przy kącie Weźmy konkretny trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5 (trójka pitagorejska). Dla kąta \(\alpha\) leżącego naprzeciwko boku o długości 3: $$\sin \alpha = \frac{3}{5}, \quad \cos \alpha = \frac{4}{5}, \quad \tan \alpha = \frac{3}{4}$$ A dla kąta \(\beta\) leżącego naprzeciwko boku o długości 4: $$\sin \beta = \frac{4}{5}, \quad \cos \beta = \frac{3}{5}, \quad \tan \beta = \frac{4}{3}$$ Zauważ, że \(\sin \alpha = \cos \beta\) i \(\cos \alpha = \sin \beta\). To nie przypadek - **sinus jednego kąta ostrego równa się cosinusowi drugiego kąta ostrego** w trójkącie prostokątnym, bo \(\alpha + \beta = 90°\). ## Tabelka wartości trygonometrycznych To jest najważniejsza tabela na maturze. Musisz ją znać **na pamięć** - nie znajdziesz jej w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), choć część wartości da się z niej wywnioskować. | Kąt | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | |---|---|---|---|---|---| | \(\sin\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) | | \(\cos\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) | | \(\tan\) | \(0\) | \(\frac{\sqrt{3}}{3}\) | \(1\) | \(\sqrt{3}\) | niezdef. | ### Jak zapamiętać tabelkę? Oto trzy sprawdzone metody: **Metoda 1 - "pierwiastki z 0 do 4":** Wartości sinusa to kolejno: $$\sin 0° = \frac{\sqrt{0}}{2} = 0, \quad \sin 30° = \frac{\sqrt{1}}{2} = \frac{1}{2}, \quad \sin 45° = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 90° = \frac{\sqrt{4}}{2} = 1$$ Czyli pod pierwiastkiem masz kolejno: 0, 1, 2, 3, 4 - a wszystko dzielisz przez 2. **Metoda 2 - cosinus to odwrócony sinus:** Wartości cosinusa czytasz od prawej do lewej - to te same liczby co sinus, ale w odwrotnej kolejności. **Metoda 3 - tangens z definicji:** Jeśli znasz sinus i cosinus, tangens obliczysz z wzoru: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ Na przykład: \(\tan 60° = \frac{\sin 60°}{\cos 60°} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}\) ## Jedynka trygonometryczna Najważniejszy wzór trygonometryczny na maturze: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Ten wzór jest prawdziwy **dla każdego kąta** \(\alpha\). Wynika bezpośrednio z twierdzenia Pitagorasa - jeśli w trójkącie prostokątnym o przeciwprostokątnej \(c\) podzielisz obie strony równania \(a^2 + b^2 = c^2\) przez \(c^2\), dostaniesz: $$\frac{a^2}{c^2} + \frac{b^2}{c^2} = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$ Więcej o [twierdzeniu Pitagorasa na maturze](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) przeczytasz w osobnym artykule. ### Do czego służy jedynka trygonometryczna? Głównie do **obliczania jednej funkcji, gdy znasz drugą**. Na maturze to klasyka: **Przykład:** Wiedząc, że \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) i \(\alpha \in (0°, 90°)\), oblicz \(\cos \alpha\) i \(\tan \alpha\). **Rozwiązanie:** Z jedynki trygonometrycznej: $$\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$$ Ponieważ \(\alpha \in (0°, 90°)\), cosinus jest dodatni: $$\cos \alpha = \frac{4}{5}$$ Stąd tangens: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{3}{4}$$ ## Tangens jako iloraz sinusa i cosinusa Wzór, który łączy wszystkie trzy funkcje: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$$ Ten wzór wyjaśnia, dlaczego tangens \(90°\) jest nieokreślony - dzielilibyśmy przez \(\cos 90° = 0\). Z tego wzoru wynika też przydatna zależność: $$1 + \tan^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ Dowód jest prosty - wystarczy podzielić jedynkę trygonometryczną przez \(\cos^2 \alpha\): $$\frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} + \frac{\cos^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \quad \Rightarrow \quad \tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$$ ## Znaki funkcji trygonometrycznych w ćwiartkach Na maturze rozszerzonej (i czasem na podstawowej przy kątach rozwartych) musisz wiedzieć, w których ćwiartkach funkcje trygonometryczne są dodatnie, a w których ujemne. | Ćwiartka | Zakres kąta | \(\sin\) | \(\cos\) | \(\tan\) | |---|---|---|---|---| | I | \(0° - 90°\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | | II | \(90° - 180°\) | \(+\) | \(-\) | \(-\) | | III | \(180° - 270°\) | \(-\) | \(-\) | \(+\) | | IV | \(270° - 360°\) | \(-\) | \(+\) | \(-\) | **Jak zapamiętać?** Reguła "Ala Studencko Tańczy Codziennie" - w kolejnych ćwiartkach dodatnie są: **A**ll (I - wszystkie), **S**inus (II), **T**angens (III), **C**osinus (IV). Na maturze podstawowej najważniejsze jest zapamiętanie, że: - Sinus kąta rozwartego jest **dodatni** (bo kąty rozwarte leżą w II ćwiartce) - Cosinus kąta rozwartego jest **ujemny** To pojawia się w zadaniach z trójkątami, gdzie kąt może być rozwarty. ## Kąty w stopniach i radianach Na maturze podstawowej kąty podawane są w stopniach. Na rozszerzonej mogą pojawić się radiany. Przelicznik jest prosty: $$180° = \pi \text{ rad}$$ Najważniejsze odpowiedniki: | Stopnie | \(0°\) | \(30°\) | \(45°\) | \(60°\) | \(90°\) | \(180°\) | \(270°\) | \(360°\) | |---|---|---|---|---|---|---|---|---| | Radiany | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(\frac{3\pi}{2}\) | \(2\pi\) | ## Twierdzenie sinusów Twierdzenie sinusów pozwala rozwiązywać **dowolne trójkąty** (nie tylko prostokątne). W trójkącie o bokach \(a\), \(b\), \(c\) i kątach naprzeciwległych \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\): $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R$$ gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie. ### Kiedy stosować twierdzenie sinusów? Gdy znasz: - Dwa kąty i bok (obliczasz brakujący bok) - Dwa boki i kąt naprzeciwko jednego z nich (obliczasz kąt naprzeciwko drugiego) - Bok i kąt naprzeciwko niego, gdy szukasz promienia okręgu opisanego ## Twierdzenie cosinusów Twierdzenie cosinusów to uogólnienie twierdzenia Pitagorasa na **dowolne trójkąty**: $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma$$ Gdy \(\gamma = 90°\), to \(\cos 90° = 0\) i wzór upraszcza się do \(c^2 = a^2 + b^2\) - czyli do zwykłego twierdzenia Pitagorasa. ### Kiedy stosować twierdzenie cosinusów? Gdy znasz: - Dwa boki i kąt **między nimi** (obliczasz trzeci bok) - Trzy boki (obliczasz dowolny kąt) **Wzór na kąt z twierdzenia cosinusów:** $$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$ ## Wykresy funkcji trygonometrycznych Na maturze podstawowej rzadko pytają o wykresy sinusa i cosinusa wprost, ale warto znać ich kształt, bo pomaga to w rozumowaniu. ### Wykres sinusa Funkcja \(y = \sin x\): - Okres: \(2\pi\) (\(360°\)) - Zakres wartości: \(\langle -1, 1 \rangle\) - Przechodzi przez \((0, 0)\), rośnie do \((90°, 1)\), maleje do \((270°, -1)\) - Miejsca zerowe: \(0°, 180°, 360°, \ldots\) ### Wykres cosinusa Funkcja \(y = \cos x\): - Okres: \(2\pi\) (\(360°\)) - Zakres wartości: \(\langle -1, 1 \rangle\) - Zaczyna od \((0°, 1)\), maleje do \((180°, -1)\), rośnie do \((360°, 1)\) - Miejsca zerowe: \(90°, 270°, \ldots\) Cosinus to tak naprawdę sinus przesunięty o \(90°\) w lewo: \(\cos x = \sin(x + 90°)\). ### Wykres tangensa Funkcja \(y = \tan x\): - Okres: \(\pi\) (\(180°\)) - Zakres wartości: \(\mathbb{R}\) (cały zbiór liczb rzeczywistych) - Asymptoty pionowe przy \(90°, 270°, \ldots\) (tam, gdzie \(\cos x = 0\)) - Przechodzi przez \((0, 0)\) i jest funkcją rosnącą na każdym przedziale ciągłości Więcej o wykresach i własnościach funkcji znajdziesz w naszym przewodniku po [funkcjach na maturze](/funkcje-na-maturze-dziedzina-wykresy-monotonicznosc). ## Zadania maturalne z rozwiązaniami ### Zadanie 1 - Trójkąt prostokątny (1 pkt) **Treść:** W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 10, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Oblicz sinus, cosinus i tangens kąta \(\alpha\) leżącego naprzeciwko przyprostokątnej o długości 6. **Rozwiązanie:** Dane: przeciwprostokątna \(c = 10\), przyprostokątna \(a = 6\). Sinus z definicji: $$\sin \alpha = \frac{a}{c} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ Drugą przyprostokątną obliczamy z twierdzenia Pitagorasa: $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$ Cosinus i tangens: $$\cos \alpha = \frac{b}{c} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$$ $$\tan \alpha = \frac{a}{b} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$ **Odpowiedź:** \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\). ### Zadanie 2 - Jedynka trygonometryczna (1 pkt) **Treść:** Kąt ostry \(\alpha\) spełnia warunek \(\cos \alpha = \frac{5}{13}\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin \alpha + \tan \alpha\). **Rozwiązanie:** Z jedynki trygonometrycznej: $$\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym (sinus dodatni): $$\sin \alpha = \frac{12}{13}$$ Tangens: $$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$$ Suma: $$\sin \alpha + \tan \alpha = \frac{12}{13} + \frac{12}{5} = \frac{60}{65} + \frac{156}{65} = \frac{216}{65}$$ **Odpowiedź:** \(\sin \alpha + \tan \alpha = \frac{216}{65}\). ### Zadanie 3 - Twierdzenie cosinusów (2 pkt) **Treść:** W trójkącie \(ABC\) boki mają długości \(a = 5\), \(b = 7\), \(c = 8\). Oblicz cosinus kąta \(\gamma\) (kąt między bokami \(a\) i \(b\)). **Rozwiązanie:** Stosujemy twierdzenie cosinusów w postaci na kąt: $$\cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$$ Podstawiamy: $$\cos \gamma = \frac{25 + 49 - 64}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$ **Odpowiedź:** \(\cos \gamma = \frac{1}{7}\). Kąt \(\gamma\) jest ostry, bo cosinus jest dodatni. Gdyby cosinus wyszedł ujemny, kąt byłby rozwarty - to ważna informacja w zadaniach maturalnych. ### Zadanie 4 - Twierdzenie sinusów i okrąg opisany (2 pkt) **Treść:** W trójkącie \(ABC\) kąt \(\alpha = 30°\), a bok \(a = 6\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie. **Rozwiązanie:** Z twierdzenia sinusów: $$\frac{a}{\sin \alpha} = 2R$$ Podstawiamy: $$\frac{6}{\sin 30°} = 2R$$ Z tabelki: \(\sin 30° = \frac{1}{2}\), więc: $$\frac{6}{\frac{1}{2}} = 2R \quad \Rightarrow \quad 12 = 2R \quad \Rightarrow \quad R = 6$$ **Odpowiedź:** Promień okręgu opisanego wynosi \(R = 6\). ### Zadanie 5 - Pole trójkąta z sinusem kąta (2 pkt) **Treść:** W trójkącie \(ABC\) dane są boki \(a = 8\), \(b = 10\) oraz kąt \(\gamma = 60°\) między nimi. Oblicz pole tego trójkąta. **Rozwiązanie:** Wzór na pole trójkąta, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi: $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$ Podstawiamy: $$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 60° = \frac{1}{2} \cdot 80 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3}$$ **Odpowiedź:** Pole trójkąta wynosi \(P = 20\sqrt{3}\). Ten wzór jest niezwykle przydatny i pojawia się na maturze regularnie. Więcej zadań z polami figur znajdziesz w zbiorze [pól i obwodów na maturze](/pole-obwod-figur-matura-wzory) oraz w zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria). ### Zadanie 6 - Trójkąt z kątem rozwartym (3 pkt) **Treść:** W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 4\), bok \(b = 5\) i kąt \(\alpha = 120°\). Oblicz długość boku \(c\). **Rozwiązanie:** Uwaga - kąt \(\alpha\) leży naprzeciwko boku \(a\), ale w tym zadaniu kąt \(120°\) leży **między** bokami... Nie! Kąt \(\alpha\) leży naprzeciwko boku \(a = 4\). Spróbujmy inaczej. Oznaczymy kąt między bokami \(a\) i \(b\) jako \(\gamma\) i zastosujmy twierdzenie sinusów, żeby najpierw znaleźć \(\gamma\). W rzeczywistości, gdy znamy \(a\), \(b\) i kąt \(\alpha\) naprzeciwko \(a\), korzystamy z twierdzenia sinusów: $$\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta}$$ $$\frac{4}{\sin 120°} = \frac{5}{\sin \beta}$$ $$\sin \beta = \frac{5 \cdot \sin 120°}{4} = \frac{5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{4} = \frac{5\sqrt{3}}{8}$$ Sprawdźmy: \(\frac{5\sqrt{3}}{8} \approx \frac{5 \cdot 1{,}732}{8} \approx \frac{8{,}66}{8} \approx 1{,}08 > 1\). To niemożliwe - sinus nie może być większy od 1! Oznacza to, że **taki trójkąt nie istnieje**. Bok \(a = 4\) jest za krótki, żeby leżeć naprzeciwko kąta \(120°\) przy boku \(b = 5\). **Odpowiedź:** Trójkąt o podanych wymiarach nie istnieje. To ważna lekcja - na maturze mogą pojawić się zadania, w których trzeba wykazać, że dana konfiguracja jest niemożliwa. Zawsze sprawdzaj, czy wynik jest sensowny! ## Typowe pułapki na maturze ### Pułapka 1: Mylenie przyprostokątnych Sinus to stosunek przyprostokątnej **naprzeciwko** kąta do przeciwprostokątnej. Wielu uczniów myli ją z przyprostokątną **przy** kącie (to cosinus). Zanim podstawisz liczby, narysuj trójkąt i wyraźnie oznacz, która przyprostokątna jest "naprzeciwko", a która "przy". ### Pułapka 2: Zapominanie o znakach Jeśli kąt \(\alpha\) jest rozwarty (np. 120°), to: - \(\sin \alpha > 0\) - \(\cos \alpha < 0\) Wielu uczniów o tym zapomina i dostaje wynik z błędnym znakiem. ### Pułapka 3: Tangens 90° nie istnieje \(\tan 90°\) jest nieokreślony. Jeśli w zadaniu wychodzi kąt 90° i trzeba obliczyć tangens, odpowiedź brzmi: "nie istnieje" lub "jest nieokreślony". ### Pułapka 4: Niewłaściwe twierdzenie Twierdzenie sinusów stosujemy, gdy znamy kąt i bok naprzeciwko niego. Twierdzenie cosinusów - gdy znamy dwa boki i kąt **między** nimi lub trzy boki. Wybór złego twierdzenia prowadzi donikąd. ### Pułapka 5: Wartości z tabelki Częsty błąd: \(\sin 60° = \frac{1}{2}\). Nie! \(\sin 60° = \frac{\sqrt{3}}{2}\). To \(\sin 30° = \frac{1}{2}\). Skrótem myślowym: większy kąt, większy sinus (dla kątów ostrych). ## Podsumowanie - co musisz umieć na maturę 1. **Definicje** sinusa, cosinusa i tangensa w trójkącie prostokątnym 2. **Tabelkę wartości** dla 0°, 30°, 45°, 60°, 90° - na pamięć 3. **Jedynkę trygonometryczną** \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) i umiejętność jej stosowania 4. **Wzór na tangens:** \(\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) 5. **Twierdzenie sinusów** i kiedy je stosować 6. **Twierdzenie cosinusów** i kiedy je stosować 7. **Wzór na pole trójkąta** z sinusem kąta: \(P = \frac{1}{2}ab\sin \gamma\) 8. **Znaki** funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych Wszystkie te tematy przećwiczysz w naszym [zbiorze zadań z trygonometrii](/topics/trygonometria). Jeśli trygonometria sprawia ci trudności, zacznij od [pewniaki maturalne](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia), gdzie znajdziesz najprostsze typy zadań, które powtarzają się co roku. Sprawdź też nasz [kompletny przewodnik po maturze 2027](/matura-z-matematyki-2027-kompletny-przewodnik-egzamin), żeby zobaczyć, jak trygonometria wpisuje się w całość arkusza. Powodzenia na maturze! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)