---
route: /schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania
title: Schemat Bernoulliego na maturze - wzór, prawdopodobieństwo sukcesu i zadania krok po kroku
description: Schemat Bernoulliego krok po kroku: wzór na prawdopodobieństwo dokładnie k sukcesów, warunki stosowania i 5 rozwiązanych zadań maturalnych z pełnym rachunkiem.
type: task_solution
category: Prawdopodobieństwo
tags: schemat bernoulliego wzór, prawdopodobieństwo bernoulliego zadania, dokładnie k sukcesów wzór, prawdopodobieństwo powtórzenia doświadczenia, schemat bernoulliego matura, wzór na prawdopodobieństwo sukcesu, ile sukcesów bernoulli, prawdopodobieństwo warunki bernoulliego, zadania z prawdopodobieństwa matura, co najmniej k sukcesów prawdopodobieństwo
published: 2026-07-21T09:05:00+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:29.217072+00:00
---
# Schemat Bernoulliego na maturze - wzór, prawdopodobieństwo sukcesu i zadania krok po kroku
## Po czym poznać, że to schemat Bernoulliego

Zanim przejdziesz do [ogólnego przewodnika po prawdopodobieństwie](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania), warto poznać jeden konkretny sygnał, który powinien Ci się zapalić w głowie na widok zadania: **powtarzamy to samo doświadczenie kilka razy, niezależnie, i pytamy o dokładnie k sukcesów.** Rzucamy monetą 3 razy - dokładnie 2 orły. Rzucamy kostką 4 razy - dokładnie 1 szóstka. Losujemy kulę ze zwracaniem 5 razy - dokładnie 3 białe. Za każdym razem, gdy widzisz te słowa kluczowe („rzucamy n razy”, „losujemy ze zwracaniem”, „dokładnie k razy”), masz do czynienia ze schematem Bernoulliego, i zamiast liczyć wszystko ręcznie, możesz użyć jednego gotowego wzoru.

Problem w tym, że mnóstwo uczniów próbuje takie zadania rozwiązywać przez rysowanie drzewka albo wypisywanie wszystkich możliwości - da się tak zrobić dla 3 rzutów monetą, ale robi się to niewykonalne przy 5 czy 6 powtórzeniach. Ten wzór jest właśnie po to, żeby tego uniknąć.

## Warunki schematu Bernoulliego

Schemat Bernoulliego stosujesz, gdy spełnione są trzy warunki:

1. Doświadczenie powtarzamy \\(n\\) razy, **niezależnie** od siebie (wynik jednej próby nie wpływa na kolejną - dlatego losowanie musi być **ze zwracaniem**, a nie bez zwracania).
2. W każdej próbie są tylko dwa możliwe wyniki: **sukces** albo **porażka**.
3. Prawdopodobieństwo sukcesu \\(p\\) jest **takie samo** w każdej próbie (a prawdopodobieństwo porażki to zawsze \\(1-p\\)).

Jeśli te trzy warunki są spełnione, prawdopodobieństwo otrzymania **dokładnie \\(k\\) sukcesów** w \\(n\\) próbach wynosi:

$$P(X=k) = \\binom{n}{k} \\cdot p^k \\cdot (1-p)^{n-k}$$

gdzie \\(\\binom{n}{k} = \\frac{n!}{k! \\cdot (n-k)!}\\) to liczba sposobów, na jakie możesz wybrać, które \\(k\\) spośród \\(n\\) prób jest sukcesami (przypomnienie tego wzoru znajdziesz w [przewodniku po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje), bo to dokładnie ta sama liczba, co przy wyborze podzbioru).

Skąd bierze się ten wzór? Każdy konkretny ciąg wyników z dokładnie \\(k\\) sukcesami i \\(n-k\\) porażkami ma to samo prawdopodobieństwo \\(p^k (1-p)^{n-k}\\) (bo próby są niezależne, więc mnożysz prawdopodobieństwa). A takich ciągów jest dokładnie \\(\\binom{n}{k}\\) - tyle, ile sposobów rozmieszczenia \\(k\\) sukcesów na \\(n\\) pozycjach. Mnożysz jedno przez drugie i masz cały wzór.

## Skąd dokładnie bierze się ten wzór - wyprowadzenie na małej próbce

Zanim przejdziemy do większych przykładów, warto zobaczyć ten wzór „od kuchni”, bo wtedy naprawdę zapamiętasz, po co jest w nim akurat symbol Newtona. Weźmy 3 rzuty monetą i policzmy prawdopodobieństwo dokładnie 2 orłów, ale tym razem bez wzoru, tylko wypisując wszystko ręcznie.

Każdy wynik to ciąg trzech liter, O (orzeł) albo R (reszka). Interesują nas ciągi z dokładnie dwoma O. Są to: OOR, ORO, ROO. Zauważ, że każdy z tych trzech ciągów ma dokładnie takie samo prawdopodobieństwo, bo próby są niezależne: prawdopodobieństwo dowolnego konkretnego ciągu trzech rzutów to \\(\\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}\\), niezależnie od tego, w jakiej kolejności wypadły orły i reszki. Skoro pasujących ciągów jest 3, to całe prawdopodobieństwo to \\(3 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{3}{8}\\).

A skąd wiadomo, że pasujących ciągów jest akurat 3, bez wypisywania ich ręcznie? To jest dokładnie pytanie: „na ile sposobów mogę wybrać, które 2 z 3 rzutów są orłami?” - a to jest \\(\\binom{3}{2} = 3\\), czyli ta sama liczba, którą liczysz przy [wyborze podzbioru w kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje). Dla większych \\(n\\) i \\(k\\) wypisywanie ciągów ręcznie przestaje być wykonalne, ale zasada zostaje dokładnie ta sama: liczba pasujących ciągów razy prawdopodobieństwo jednego ciągu.

### Przykład 1: Rzuty monetą - najprostszy przypadek

Rzucamy symetryczną monetą 3 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 2 razy.

Sukces to „orzeł”, więc \\(p = \\frac{1}{2}\\). Mamy \\(n=3\\) próby i szukamy \\(k=2\\) sukcesów.

$$P(X=2) = \\binom{3}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^{1} = 3 \\cdot \\frac{1}{4} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{3}{8}$$

Możesz to sprawdzić ręcznie, bo przy 3 rzutach jest tylko \\(2^3=8\\) możliwych wyników: OOO, OOR, ORO, ROO, ORR, ROR, RRO, RRR (O - orzeł, R - reszka). Dokładnie 2 orły dają wyniki OOR, ORO, ROO - czyli 3 z 8, dokładnie \\(\\frac{3}{8}\\). Wzór działa.

### Przykład 2: Kostka do gry

Rzucamy symetryczną sześcienną kostką 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że szóstka wypadnie dokładnie raz.

Sukces to wyrzucenie szóstki: \\(p = \\frac{1}{6}\\), porażka to każda inna ściana: \\(1-p = \\frac{5}{6}\\). Mamy \\(n=4\\), \\(k=1\\).

$$P(X=1) = \\binom{4}{1} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^1 \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^3 = 4 \\cdot \\frac{1}{6} \\cdot \\frac{125}{216} = \\frac{500}{1296} = \\frac{125}{324}$$

Tutaj wypisywanie wszystkich możliwości ręcznie już nie ma sensu (kostka ma \\(6^4 = 1296\\) możliwych wyników) - to jest właśnie moment, w którym wzór Bernoulliego oszczędza Ci naprawdę dużo czasu na maturze.

### Przykład 3: Losowanie kul ze zwracaniem

W pojemniku są 3 kule białe i 2 czarne. Losujemy kulę, zapisujemy kolor, wkładamy z powrotem i losujemy ponownie - łącznie 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że dokładnie 3 razy wylosujemy kulę białą.

To, że losujemy **ze zwracaniem**, jest kluczowe - dzięki temu każde losowanie jest niezależne i prawdopodobieństwo sukcesu jest stałe. Sukces to „kula biała”: \\(p = \\frac{3}{5}\\), porażka to „kula czarna”: \\(1-p = \\frac{2}{5}\\). Mamy \\(n=4\\), \\(k=3\\).

$$P(X=3) = \\binom{4}{3} \\cdot \\left(\\frac{3}{5}\\right)^3 \\cdot \\left(\\frac{2}{5}\\right)^1 = 4 \\cdot \\frac{27}{125} \\cdot \\frac{2}{5} = \\frac{216}{625}$$

Gdyby zadanie mówiło, że losujemy **bez zwracania**, schemat Bernoulliego w ogóle by się nie stosował - prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli zmieniałoby się z losowania na losowanie, bo pula kul by się zmniejszała. To jest jeden z najczęstszych warunków, które sprawdzają zadania maturalne, więc zawsze czytaj uważnie, czy jest mowa o zwracaniu.

### Przykład 4: Co najmniej k sukcesów

Rzucamy symetryczną kostką 3 razy. Sukcesem nazywamy wyrzucenie liczby parzystej oczek. Oblicz prawdopodobieństwo, że sukces wystąpi co najmniej 2 razy.

Sukces to wyrzucenie 2, 4 albo 6 oczek, czyli \\(p = \\frac{3}{6} = \\frac{1}{2}\\). Zwrot „co najmniej 2” oznacza, że musisz zsumować przypadki \\(k=2\\) i \\(k=3\\) - to najczęstsza pułapka w tym typie zadań, bo łatwo policzyć tylko jeden przypadek i zapomnieć o drugim.

$$P(X=2) = \\binom{3}{2} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^2 \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^1 = 3 \\cdot \\frac{1}{8} = \\frac{3}{8}$$

$$P(X=3) = \\binom{3}{3} \\cdot \\left(\\frac{1}{2}\\right)^3 = \\frac{1}{8}$$

$$P(X \\ge 2) = P(X=2) + P(X=3) = \\frac{3}{8} + \\frac{1}{8} = \\frac{4}{8} = \\frac{1}{2}$$

Przy okazji: gdybyś miał policzyć „co najwyżej 1 sukces”, najszybciej jest skorzystać z tego, że wszystkie prawdopodobieństwa sumują się do 1, czyli \\(P(X \\le 1) = 1 - P(X \\ge 2)\\). To duża oszczędność czasu, gdy „co najwyżej” dotyczyłoby więcej niż jednej wartości.

### Przykład 5: Zadanie odwrotne - szukamy prawdopodobieństwa sukcesu

W pojemniku jest 10 kul, w tym \\(b\\) kul białych, gdzie \\(1 \\le b \\le 9\\). Losujemy kulę ze zwracaniem 2 razy. Wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednej kuli białej wynosi \\(0{,}42\\). Wyznacz \\(b\\).

Ten typ zadania lubi się pojawiać na maturze właśnie z parametrem \\(b\\) zamiast konkretnej liczby - to dokładnie ten sam wzór, tylko używany „od tyłu”. Niech \\(p = \\frac{b}{10}\\) będzie prawdopodobieństwem sukcesu (wylosowania białej). Dla \\(n=2\\), \\(k=1\\):

$$P(X=1) = \\binom{2}{1} \\cdot p \\cdot (1-p) = 2p(1-p)$$

Z treści zadania wiemy, że to ma być równe \\(0{,}42\\):

$$2p(1-p) = 0{,}42 \\implies p(1-p) = 0{,}21 \\implies p^2 - p + 0{,}21 = 0$$

Rozwiązujemy to równanie kwadratowe (możesz sięgnąć po [wzór na deltę](/delta-rownanie-kwadratowe-wzor-obliczanie-matura), jeśli potrzebujesz przypomnienia): \\(\\Delta = 1 - 4 \\cdot 0{,}21 = 1 - 0{,}84 = 0{,}16\\), więc \\(\\sqrt{\\Delta} = 0{,}4\\).

$$p = \\frac{1 \\pm 0{,}4}{2} \\implies p = 0{,}7 \\quad \\text{lub} \\quad p = 0{,}3$$

Skoro \\(p = \\frac{b}{10}\\), to \\(b = 7\\) lub \\(b = 3\\). Oba rozwiązania spełniają warunek \\(1 \\le b \\le 9\\), więc jeśli zadanie nie daje dodatkowej informacji (na przykład że białych kul jest więcej niż czarnych), poprawną odpowiedzią są **obie wartości**. To typowa sytuacja w zadaniach maturalnych z parametrem - równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki i trzeba sprawdzić, czy oba mieszczą się w dziedzinie zadania, zamiast odruchowo wybierać jeden.

### Przykład 6: Zdarzenie przeciwne - „co najmniej jeden sukces”

Rzucamy symetryczną kostką 5 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka.

Moglibyśmy liczyć osobno \\(P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5)\\), ale to pięć osobnych obliczeń. Dużo szybciej jest skorzystać ze zdarzenia przeciwnego: „co najmniej jeden sukces” to dopełnienie zdarzenia „zero sukcesów”.

$$P(X \\ge 1) = 1 - P(X=0)$$

Liczymy \\(P(X=0)\\), czyli prawdopodobieństwo, że szóstka nie wypadnie ani razu w 5 rzutach. Sukces to szóstka: \\(p = \\frac{1}{6}\\), porażka to \\(1-p = \\frac{5}{6}\\).

$$P(X=0) = \\binom{5}{0} \\cdot \\left(\\frac{1}{6}\\right)^0 \\cdot \\left(\\frac{5}{6}\\right)^5 = 1 \\cdot 1 \\cdot \\frac{3125}{7776} = \\frac{3125}{7776}$$

Zatem

$$P(X \\ge 1) = 1 - \\frac{3125}{7776} = \\frac{4651}{7776} \\approx 0{,}598$$

Zapamiętaj tę sztuczkę: za każdym razem, gdy zadanie pyta o „co najmniej jeden sukces”, prawie zawsze szybciej jest policzyć \\(1 - P(X=0)\\) niż sumować wszystkie pozostałe przypadki osobno.

## Wartość oczekiwana - ile sukcesów „średnio” wypada

Oprócz prawdopodobieństwa dokładnie \\(k\\) sukcesów, w schemacie Bernoulliego czasem pojawia się pytanie o wartość oczekiwaną, czyli średnią liczbę sukcesów, jakiej możesz się spodziewać przy wielokrotnym powtarzaniu całego doświadczenia. Wzór jest bardzo prosty:

$$E(X) = n \\cdot p$$

Na przykład dla 4 rzutów kostką i sukcesu „wypadła szóstka” (\\(p = \\frac{1}{6}\\)), oczekiwana liczba szóstek to \\(E(X) = 4 \\cdot \\frac{1}{6} = \\frac{2}{3}\\). To nie oznacza, że w konkretnym eksperymencie wypadnie „dwie trzecie szóstki” - to średnia z bardzo wielu powtórzeń całego doświadczenia (czyli wielu serii po 4 rzuty), a nie wynik pojedynczej serii.

## Częste błędy i pułapki

- **Stosowanie wzoru, gdy losowanie jest bez zwracania.** Bez zwracania prawdopodobieństwo sukcesu zmienia się w kolejnych próbach, więc warunki schematu Bernoulliego nie są spełnione - trzeba liczyć inaczej (przez prawdopodobieństwo klasyczne albo drzewko).
- **Mylenie \\(p\\) z \\(1-p\\).** Zawsze najpierw jasno określ, co jest „sukcesem” w danym zadaniu, i dopiero potem podstawiaj do wzoru.
- **Zapominanie o współczynniku \\(\\binom{n}{k}\\).** Samo \\(p^k(1-p)^{n-k}\\) to prawdopodobieństwo jednego konkretnego ciągu wyników, a nie wszystkich możliwych ustawień - bez tego mnożnika wynik będzie za mały.
- **Błędne sumowanie przy „co najmniej” i „co najwyżej”.** Trzeba policzyć osobno prawdopodobieństwo dla każdej wartości \\(k\\) objętej warunkiem i je zsumować, a nie tylko dla jednej wartości brzegowej.
- **Pomijanie sprawdzenia dziedziny parametru** w zadaniach odwrotnych (jak Przykład 5) - oba pierwiastki równania mogą być poprawną odpowiedzią.
- **Liczenie „co najmniej jeden sukces” przez sumowanie wielu przypadków zamiast przez zdarzenie przeciwne.** Przy większym \\(n\\) to niepotrzebnie długie i łatwo o pomyłkę - użyj \\(P(X \\ge 1) = 1 - P(X=0)\\).
- **Mylenie wartości oczekiwanej \\(E(X) = np\\) z prawdopodobieństwem \\(P(X=k)\\).** To dwa różne pytania: jedno pyta o średnią liczbę sukcesów, drugie o konkretne prawdopodobieństwo.

## Co musisz umieć - checklista

- Rozpoznać w treści zadania sygnały schematu Bernoulliego: powtórzenia, niezależność, stałe \\(p\\), dwa możliwe wyniki.
- Zapisać wzór \\(P(X=k) = \\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\\) i podstawić poprawne \\(n\\), \\(k\\), \\(p\\).
- Odróżnić losowanie ze zwracaniem (Bernoulli) od losowania bez zwracania (inne metody liczenia).
- Sumować przypadki przy „co najmniej” i „co najwyżej” zamiast liczyć tylko jedną wartość \\(k\\).
- Rozwiązywać zadania odwrotne, w których szukane jest \\(p\\) (albo parametr, od którego zależy \\(p\\)), zamiast \\(P(X=k)\\).
- Liczyć „co najmniej jeden sukces” przez zdarzenie przeciwne, a wartość oczekiwaną ze wzoru \\(E(X) = np\\).

Jeśli chcesz utrwalić rachunek na kombinacjach, wróć do [przewodnika po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje) albo przejrzyj [pełną bazę zadań CKE z prawdopodobieństwa](/zadania-cke-prawdopodobienstwo-z-rozwiazaniami). Warto też poznać [prawdopodobieństwo warunkowe i wzór Bayesa](/prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura) - to kolejny typ zadań, w którym łatwo się pogubić bez jasnego schematu. A jeśli szukasz więcej ćwiczeń z rachunkiem krok po kroku, [rozwiąż zadania testowe online](/solve).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)