---
route: /rownanie-trzeciego-stopnia-matura-metoda-grupowania
title: Równanie trzeciego stopnia na maturze - metoda grupowania krok po kroku
description: Jak rozwiązać równanie trzeciego stopnia metodą grupowania: schemat w czterech krokach, pięć zadań CKE z rozwiązaniami i typowe pułapki maturalne.
type: task_solution
category: Równania i nierówności
tags: równanie trzeciego stopnia, metoda grupowania, rozwiąż równanie wielomianowe, równanie sześcienne matura, rozkład na czynniki matura, równania i nierówności matura, zadania CKE równania, wielomian trzeciego stopnia zadania, grupowanie wyrazów wielomianu, matura matematyka rozwiąż równanie
published: 2026-09-12T07:14:10.068+00:00
updated: 2026-09-12T07:17:58.546275+00:00
---
# Równanie trzeciego stopnia na maturze - metoda grupowania krok po kroku
Równanie trzeciego stopnia typu \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\) rozwiązujesz na maturze metodą grupowania. Dzielisz cztery wyrazy na dwie pary, z każdej pary wyciągasz wspólny czynnik przed nawias tak, żeby w obu nawiasach zostało to samo wyrażenie, i zapisujesz całość jako iloczyn. Potem korzystasz z warunku zerowania się iloczynu: skoro \(A \cdot B = 0\), to \(A = 0\) lub \(B = 0\). Każdy z tych dwóch warunków rozwiązujesz osobno i zbierasz wszystkie pierwiastki.

To zadanie ma na maturze stały adres. W Formule 2023 polecenie "Rozwiąż równanie" z wielomianem trzeciego stopnia stało w arkuszu maja 2023, czerwca 2023, sierpnia 2023, maja 2024, czerwca 2024 i sierpnia 2024, a także w arkuszu próbnym CKE z grudnia 2023. W arkuszach sprzed Formuły 2023 to samo polecenie wracało równie regularnie. Zawsze jest za 2 lub 3 punkty i zawsze da się je zrobić bez schematu Hornera i bez twierdzenia Bezouta.

## Kiedy działa metoda grupowania

Metoda grupowania działa, gdy wielomian ma dokładnie cztery wyrazy i da się je podzielić na dwie pary o wspólnym czynniku. Praktyczny test jest jednolinijkowy: wyciągnij \(x^2\) z dwóch pierwszych wyrazów i jakąś liczbę z dwóch ostatnich. Jeśli w obu nawiasach zostanie to samo wyrażenie, metoda zadziała. Jeśli nie, spróbuj zamienić kolejność wyrazów.

Na maturze podstawowej praktycznie każde równanie trzeciego stopnia jest tak skonstruowane, żeby ta metoda zadziałała za pierwszym razem. Widać to po strukturze: współczynniki przy \(x^3\) i \(x^2\) są w tej samej proporcji co współczynniki przy \(x\) i przy wyrazie wolnym. W równaniu \(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0\) proporcja \(3 : (-2)\) powtarza się w \((-12) : 8\), i to jest sygnał, że grupowanie zadziała.

Jeśli chcesz zobaczyć szerszy kontekst i pozostałe sposoby rozkładania wielomianu, mamy osobny wpis o tym, [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki). Grupowanie jest w nim jedną z sześciu metod, a tutaj rozbieramy tę jedną na części, bo to ona odpowiada za konkretne zadanie maturalne.

## Wzory

Warunek zerowania się iloczynu:

$$A \cdot B = 0 \quad \text{wtedy i tylko wtedy, gdy} \quad A = 0 \ \text{lub} \ B = 0$$

Schemat grupowania czterech wyrazów:

$$x^2(px+q) + r(px+q) = (px+q)(x^2+r)$$

Wzór na różnicę kwadratów:

$$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$$

Pierwiastki równania niezupełnego:

$$x^2 = c \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{c} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{c} \quad \text{dla} \ c > 0$$

Rozwiązanie czynnika liniowego:

$$px + q = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{q}{p}$$

## Schemat w czterech krokach

Ten schemat pasuje do każdego maturalnego równania tego typu. Warto go przećwiczyć tak, żeby wchodził z automatu, bo wtedy całe zadanie zajmuje niecałe trzy minuty.

1. Przenieś wszystko na jedną stronę, tak żeby po prawej stronie zostało zero. Bez tego reszta nie ma sensu, bo warunek zerowania się iloczynu działa tylko wtedy, gdy iloczyn równa się zero.
2. Podziel cztery wyrazy na dwie pary. Z pierwszej wyciągnij \(x^2\), z drugiej liczbę. Pilnuj znaków: gdy przed trzecim wyrazem stoi minus, prawdopodobnie wyciągasz liczbę ujemną.
3. Sprawdź, czy w obu nawiasach zostało to samo wyrażenie. Jeśli tak, wyciągnij ten nawias przed całość i zapisz iloczyn dwóch czynników.
4. Przyrównaj każdy czynnik do zera osobno i rozwiąż. Czynnik liniowy daje jeden pierwiastek, czynnik kwadratowy zero, jeden albo dwa. Na końcu wypisz wszystkie znalezione rozwiązania.

**Wskazówka egzaminacyjna:** w Formule 2023 to zadanie jest warte 3 punkty i w kryteriach oceniania punkty rozkładają się na etapy. Nawet jeśli pomylisz się w ostatnim rachunku, poprawny rozkład na czynniki jest wart punktu. Dlatego zapisuj rozkład w osobnej linii, a nie w pamięci.

## Przykład 1: Podstawowy rozkład (matura czerwiec 2023)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\).

**Krok 1: Podziel wyrazy na dwie pary.** Pierwsza para to \(x^3 + 4x^2\), druga to \(-9x - 36\).

**Krok 2: Wyciągnij wspólny czynnik z każdej pary.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej liczba \(-9\).

$$x^2(x+4) - 9(x+4) = 0$$

**Krok 3: Wyciągnij wspólny nawias.** W obu składnikach stoi \((x+4)\), więc wychodzi on przed całość.

$$(x+4)(x^2-9) = 0$$

**Krok 4: Rozłóż drugi czynnik i przyrównaj do zera.** Wyrażenie \(x^2 - 9\) to różnica kwadratów.

$$(x+4)(x-3)(x+3) = 0$$

**Odpowiedź:** \(x = -4\) lub \(x = -3\) lub \(x = 3\).

## Przykład 2: Współczynnik przy x do trzeciej różny od jedynki (matura maj 2023)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0\).

**Krok 1: Wyciągnij czynnik z pierwszej pary.** Z \(3x^3 - 2x^2\) wychodzi \(x^2\), a w nawiasie zostaje \(3x-2\).

$$x^2(3x-2) - 12x + 8 = 0$$

**Krok 2: Dobierz czynnik z drugiej pary tak, żeby nawiasy się zgadzały.** Z \(-12x + 8\) trzeba wyciągnąć \(-4\), bo tylko wtedy w nawiasie zostanie \(3x-2\).

$$x^2(3x-2) - 4(3x-2) = 0$$

**Krok 3: Zapisz iloczyn.**

$$(3x-2)(x^2-4) = 0$$

**Krok 4: Rozwiąż oba czynniki.** Z pierwszego \(3x - 2 = 0\), czyli \(x = \frac{2}{3}\). Z drugiego \(x^2 = 4\), czyli \(x = 2\) lub \(x = -2\).

**Odpowiedź:** \(x = \frac{2}{3}\) lub \(x = -2\) lub \(x = 2\).

## Przykład 3: Pierwiastki niewymierne (matura maj 2024)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0\).

**Krok 1: Zgrupuj i wyciągnij czynniki.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej \(-3\).

$$x^2(x-2) - 3(x-2) = 0$$

**Krok 2: Zapisz iloczyn.**

$$(x-2)(x^2-3) = 0$$

**Krok 3: Rozwiąż czynnik kwadratowy.** Liczba \(3\) nie jest kwadratem liczby całkowitej, więc pierwiastki wychodzą niewymierne. To normalne i nie znaczy, że gdzieś jest błąd.

$$x^2 = 3 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{3} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** \(x = 2\) lub \(x = \sqrt{3}\) lub \(x = -\sqrt{3}\).

## Przykład 4: Gdy drugi czynnik nie ma pierwiastków (matura próbna marzec 2013)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(2x^3 + 3x^2 + 4x + 6 = 0\).

**Krok 1: Zgrupuj wyrazy.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej \(2\).

$$x^2(2x+3) + 2(2x+3) = 0$$

**Krok 2: Zapisz iloczyn.**

$$(2x+3)(x^2+2) = 0$$

**Krok 3: Zbadaj drugi czynnik.** Wyrażenie \(x^2 + 2\) jest dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej, bo \(x^2 \ge 0\), więc \(x^2 + 2 \ge 2\). Ten czynnik nigdy nie jest zerem i nie wnosi żadnego rozwiązania.

**Krok 4: Rozwiąż czynnik liniowy.**

$$2x + 3 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -\frac{3}{2}$$

**Odpowiedź:** \(x = -\frac{3}{2}\).

## Przykład 5: Najpierw porządki, potem grupowanie (matura próbna CKE grudzień 2023)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(2x^3 + 3x^2 = 10x + 15\).

**Krok 1: Przenieś wszystko na lewą stronę.** Po prawej ma zostać zero, inaczej warunek zerowania się iloczynu nie zadziała.

$$2x^3 + 3x^2 - 10x - 15 = 0$$

**Krok 2: Zgrupuj wyrazy.** Z pierwszej pary wychodzi \(x^2\), z drugiej \(-5\).

$$x^2(2x+3) - 5(2x+3) = 0$$

**Krok 3: Zapisz iloczyn.**

$$(2x+3)(x^2-5) = 0$$

**Krok 4: Rozwiąż oba czynniki.** Z pierwszego \(x = -\frac{3}{2}\), z drugiego \(x^2 = 5\).

$$x = \sqrt{5} \ \text{lub} \ x = -\sqrt{5}$$

**Odpowiedź:** \(x = -\frac{3}{2}\) lub \(x = -\sqrt{5}\) lub \(x = \sqrt{5}\).

## Przykład 6: Minus przed czynnikiem i ułamkowe pierwiastki (matura czerwiec 2024)

**Treść:** Rozwiąż równanie \(4x^3 - 12x^2 - x + 3 = 0\).

**Krok 1: Wyciągnij czynnik z pierwszej pary.** Z \(4x^3 - 12x^2\) wychodzi \(4x^2\), a w nawiasie zostaje \(x-3\).

$$4x^2(x-3) - x + 3 = 0$$

**Krok 2: Z drugiej pary wyciągnij minus jeden.** Zapis \(-x+3\) to \(-1 \cdot (x-3)\). To najczęstsze miejsce na zgubienie znaku w całym zadaniu.

$$4x^2(x-3) - 1(x-3) = 0$$

**Krok 3: Zapisz iloczyn.**

$$(x-3)(4x^2-1) = 0$$

**Krok 4: Rozwiąż czynnik kwadratowy.** Wyrażenie \(4x^2 - 1\) to różnica kwadratów, bo \(4x^2 = (2x)^2\).

$$4x^2 - 1 = (2x-1)(2x+1) \quad \Rightarrow \quad x = \frac{1}{2} \ \text{lub} \ x = -\frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(x = 3\) lub \(x = \frac{1}{2}\) lub \(x = -\frac{1}{2}\).

## Jak sprawdzić wynik w kilkanaście sekund

Sprawdzenie polega na podstawieniu pierwiastka do pierwotnego równania i policzeniu, czy wychodzi zero. Wybierz do tego rozwiązanie o najmniejszej wartości bezwzględnej, bo rachunki będą najkrótsze. W równaniu \(x^3 + 4x^2 - 9x - 36 = 0\) podstaw \(x = 3\): dostajesz \(27 + 36 - 27 - 36 = 0\), więc pierwiastek jest poprawny.

Jest też szybszy test samego rozkładu, bez podstawiania. Wymnóż w pamięci wyrazy wolne obu nawiasów i porównaj z wyrazem wolnym pierwotnego wielomianu. Dla rozkładu \((x+4)(x^2-9)\) wychodzi \(4 \cdot (-9) = -36\), czyli dokładnie tyle, ile stoi na końcu równania. Jeśli te dwie liczby się nie zgadzają, gdzieś zgubiłeś znak i nie ma sensu liczyć dalej.

## Sprawdź się na oryginalnym zadaniu CKE

Spróbuj przejść całą drogę sam, zanim odsłonisz rozwiązanie. Struktura jest ta sama co w przykładach wyżej, zmieniają się tylko liczby.

Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2024-07

## Typowe pułapki

**Pułapka:** zatrzymanie się po rozłożeniu na czynniki. Rozkład to jeszcze nie odpowiedź. Zadanie brzmi "rozwiąż równanie", więc trzeba wypisać wszystkie pierwiastki, a nie zostawić postaci iloczynowej. To najczęstsza strata punktu w tym zadaniu.

**Pułapka 2:** pisanie \(x = \pm\sqrt{-2}\), gdy drugi czynnik ma postać \(x^2 + 2\). Suma kwadratu i liczby dodatniej nigdy nie jest zerem w liczbach rzeczywistych. W takim równaniu jest tylko jeden pierwiastek, ten z czynnika liniowego, i tak trzeba to zapisać.

**Pułapka 3:** grupowanie bez przeniesienia wszystkiego na jedną stronę. Jeśli równanie ma postać \(2x^3 + 3x^2 = 10x + 15\), to rozkład lewej strony niczego nie daje, bo prawa nie jest zerem. Porządki są krokiem zerowym, nie opcją.

**Uwaga:** znak przy drugim wyciąganym czynniku decyduje o wszystkim. W równaniu \(3x^3 - 2x^2 - 12x + 8 = 0\) wyciągnięcie \(+4\) z ostatniej pary dałoby nawias \(-3x+2\), czyli inny niż \(3x-2\), i metoda pozornie by nie zadziałała. Wyciągnij \(-4\) i nawiasy się zgodzą.

**Wskazówka:** zanim przepiszesz odpowiedź na czysto, podstaw jeden z pierwiastków do pierwotnego równania. To kosztuje kilkanaście sekund, a wyłapuje pomyłkę w znaku, czyli najczęstszy błąd w tym zadaniu. Sprawdzaj pierwiastek o najmniejszej wartości bezwzględnej, bo potęgowanie będzie najprostsze.

**Zapamiętaj:** gdy grupowanie nie chce zadziałać przy pierwszym podziale, zamień kolejność wyrazów. Wielomian \(x^3 - 3x + 2x^2 - 6\) grupuje się dopiero po przestawieniu na \(x^3 + 2x^2 - 3x - 6\), a wtedy wychodzi \((x+2)(x^2-3)\).

## Co musisz umieć

- Przenieść wszystkie wyrazy na jedną stronę i doprowadzić równanie do postaci z zerem po prawej.
- Podzielić cztery wyrazy na dwie pary i wyciągnąć wspólny czynnik z każdej.
- Dobrać znak wyciąganej liczby tak, żeby oba nawiasy były identyczne.
- Zapisać wielomian jako iloczyn dwóch czynników.
- Zastosować [wzór na różnicę kwadratów](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania) do czynnika postaci \(x^2 - c\).
- Rozpoznać czynnik postaci \(x^2 + c\), który nie ma pierwiastków rzeczywistych.
- Wypisać komplet rozwiązań, także wtedy, gdy jest ich tylko jedno.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej masz zadania z arkuszy CKE zbudowane dokładnie na tym schemacie, z obu formuł egzaminu. Rób je pod czas, bo na maturze to zadanie ma być szybkie. Więcej zadań z tego działu leży na stronie [równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), a całe arkusze znajdziesz na przykład tutaj: [matura maj 2023](/exams/matura-maj-2023) oraz [matura czerwiec 2024](/exams/matura-czerwiec-2024).

Metoda grupowania to jedna z niewielu technik na maturze, która działa zawsze tak samo i nigdy nie wymaga pomysłu. Naucz się jej schematu, a potem sprawdź, jak wygląda ten sam mechanizm w [równaniach dwukwadratowych](/rownania-dwukwadratowe-jak-rozwiazac-podstawienie-matura), gdzie zamiast grupowania wchodzi podstawienie.

## Najczęstsze pytania

### Ile rozwiązań ma równanie trzeciego stopnia?

Najwyżej trzy, ale może mieć mniej. Po rozłożeniu na iloczyn czynnika liniowego i kwadratowego liczba pierwiastków zależy od czynnika kwadratowego: postać \(x^2 - c\) dla \(c > 0\) daje dwa pierwiastki, postać \(x^2 + c\) dla \(c > 0\) nie daje żadnego, a \(x^2 = 0\) daje jeden.

### Czy do rozwiązania trzeba znać schemat Hornera?

Nie. Na maturze podstawowej równania trzeciego stopnia są tak dobrane, żeby wystarczyło grupowanie. Schemat Hornera i twierdzenie Bezouta przydają się w zadaniach z poziomu rozszerzonego oraz wtedy, gdy wielomian ma pięć albo więcej wyrazów. Opisujemy je we wpisie o [wielomianach na maturze](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout).

### Co zrobić, gdy w obu nawiasach nie wychodzi to samo wyrażenie?

Sprawdź najpierw znak wyciąganej liczby, bo to najczęstsza przyczyna. Jeśli to nie pomaga, przestaw kolejność wyrazów i zgrupuj je inaczej, na przykład pierwszy z trzecim i drugi z czwartym. Dopiero gdy żaden podział nie działa, sięgnij po twierdzenie o pierwiastkach wymiernych.

### Czy odpowiedź trzeba zapisać jako zbiór?

Nie trzeba. Wystarczy wypisać wszystkie pierwiastki oddzielone słowem "lub", bo tak są sformułowane oczekiwane odpowiedzi w kryteriach CKE. Zapis zbiorem też jest poprawny, ale nie daje dodatkowych punktów.

### Czy metoda grupowania działa dla równań czwartego stopnia?

Czasem tak, jeśli wielomian ma cztery wyrazy o pasującej strukturze. Częściej jednak w równaniach czwartego stopnia z samymi parzystymi potęgami lepiej działa podstawienie \(t = x^2\), czyli metoda znana z równań dwukwadratowych. Wybór metody zależy od tego, jakie potęgi występują w równaniu.

### Skąd wiadomo, że w zadaniu chodzi o grupowanie?

Po dwóch sygnałach naraz: wielomian ma dokładnie cztery wyrazy i jest trzeciego stopnia, a polecenie brzmi po prostu "Rozwiąż równanie". W arkuszach CKE ta para występuje razem konsekwentnie, więc gdy oba znaki są spełnione, zaczynaj od podziału na pary, a nie od szukania pierwiastka wymiernego.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z równań i nierówności (/losuj)