--- route: /rownania-logarytmiczne-matura-metody-przyklady title: Równania logarytmiczne na maturze - 5 metod rozwiązywania z przykładami description: Jak rozwiązać równanie logarytmiczne na maturze? 5 metod z przykładami: definicja, odlogarytmowanie, podstawienie, zmiana podstawy, własności. Dziedzina i pułapki. type: task_solution category: Logarytmy tags: równania logarytmiczne matura, jak rozwiązać równanie logarytmiczne, logarytmy zadania krok po kroku, dziedzina równania logarytmicznego, podstawienie logarytm matura, logarytm własności wzory, logarytmy matura 2027, równania z logarytmami CKE, metody rozwiązywania logarytmów, odlogarytmowanie równanie published: 2026-06-08T12:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:51.859528+00:00 --- # Równania logarytmiczne na maturze - 5 metod rozwiązywania z przykładami Równania logarytmiczne pojawiają się na maturze podstawowej prawie co roku. W zadaniach zamkniętych i otwartych łącznie dają zazwyczaj 3-5 punktów. Jeśli opanujesz 5 metod opisanych w tym artykule, zadania z logarytmami przestaną być problemem. Na stronie [Logarytmy - zadania maturalne](/topics/logarytmy) znajdziesz pełną bazę zadań. Warto też przejrzeć artykuł [logarytmy na maturze - wzory i własności](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania). ## Krok zerowy: dziedzina Zanim zaczniesz rozwiązywać jakiekolwiek równanie logarytmiczne, wyznacz dziedzinę. To jest najczęstszy błąd maturzystów. Logarytm \(\log_a x\) istnieje tylko gdy: - \(x > 0\) - argument musi być dodatni - \(a > 0\) i \(a \neq 1\) - podstawa musi być dodatnia i różna od jeden Jeśli wychodzi ci rozwiązanie, które nie spełnia tych warunków - odrzucasz je. Po obliczeniu \(x\) zawsze sprawdzasz, czy leży w dziedzinie. ## Metoda 1: logarytm równa się liczbie Najprostsza sytuacja. Masz równanie postaci: $$\log_a f(x) = c$$ Korzystasz wprost z definicji logarytmu: \(\log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b\). Przekształcasz do: $$f(x) = a^c$$ I rozwiązujesz zwykłe równanie algebraiczne. **Przykład 1.** Rozwiąż \(\log_2(x - 1) = 3\). Dziedzina: \(x - 1 > 0\), czyli \(x > 1\). Przekształcam z definicji: $$x - 1 = 2^3 = 8$$ $$x = 9$$ Sprawdzam: \(9 > 1\) - OK. Odpowiedź: \(x = 9\). **Przykład 2.** Rozwiąż \(\log_3(2x + 5) = 2\). Dziedzina: \(2x + 5 > 0\), czyli \(x > -\frac{5}{2}\). Przekształcam: $$2x + 5 = 3^2 = 9$$ $$2x = 4$$ $$x = 2$$ Sprawdzam: \(2 > -\frac{5}{2}\) - OK. Odpowiedź: \(x = 2\). ## Metoda 2: logarytm równa się logarytmowi (ta sama podstawa) Gdy po obu stronach stoi logarytm z identyczną podstawą: $$\log_a f(x) = \log_a g(x)$$ Stosujesz "odlogarytmowanie" - skoro logarytm jest funkcją różnowartościową, dwa logarytmy o tej samej podstawie są równe wtedy i tylko wtedy, gdy równe są ich argumenty: $$f(x) = g(x)$$ Pamiętaj: po wyznaczeniu \(x\) sprawdzasz, czy oba argumenty są dodatnie dla tego \(x\). **Przykład 3.** Rozwiąż \(\log_5(x + 3) = \log_5(2x - 1)\). Dziedzina: \(x + 3 > 0\) i \(2x - 1 > 0\). Drugi warunek daje \(x > \frac{1}{2}\) (ostrzejszy). Dziedzina: \(x > \frac{1}{2}\). Odlogarytmowuję: $$x + 3 = 2x - 1$$ $$4 = x$$ Sprawdzam: \(4 > \frac{1}{2}\) - OK. Odpowiedź: \(x = 4\). **Przykład 4.** Rozwiąż \(\log(x^2) = \log(3x - 2)\). Dziedzina: \(x^2 > 0\) (czyli \(x \neq 0\)) i \(3x - 2 > 0\) (czyli \(x > \frac{2}{3}\)). Dziedzina: \(x > \frac{2}{3}\). Odlogarytmowuję: $$x^2 = 3x - 2$$ $$x^2 - 3x + 2 = 0$$ $$(x - 1)(x - 2) = 0$$ $$x = 1 \quad \text{lub} \quad x = 2$$ Sprawdzam oba: - \(x = 1\): \(1 > \frac{2}{3}\) - OK - \(x = 2\): \(2 > \frac{2}{3}\) - OK Odpowiedź: \(x \in \{1, 2\}\). ## Metoda 3: podstawienie i równanie kwadratowe Kiedy w równaniu pojawia się \((\log_a x)^2\) lub kilka logarytmów z tym samym argumentem, podstawiasz \(t = \log_a x\). Dostaniesz równanie kwadratowe w zmiennej \(t\). **Przykład 5.** Rozwiąż \((\log_2 x)^2 - \log_2 x - 6 = 0\). Dziedzina: \(x > 0\). Podstawiam \(t = \log_2 x\): $$t^2 - t - 6 = 0$$ $$(t - 3)(t + 2) = 0$$ $$t = 3 \quad \text{lub} \quad t = -2$$ Wracam do zmiennej \(x\): - \(\log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8\) - \(\log_2 x = -2 \Rightarrow x = 2^{-2} = \frac{1}{4}\) Sprawdzam: \(8 > 0\) i \(\frac{1}{4} > 0\) - oba OK. Odpowiedź: \(x = 8\) lub \(x = \frac{1}{4}\). **Przykład 6.** Rozwiąż \((\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0\). Dziedzina: \(x > 0\). Podstawiam \(t = \log_3 x\): $$t^2 - 3t + 2 = 0$$ $$(t - 1)(t - 2) = 0$$ $$t = 1 \quad \text{lub} \quad t = 2$$ Wracam do \(x\): - \(\log_3 x = 1 \Rightarrow x = 3\) - \(\log_3 x = 2 \Rightarrow x = 9\) Odpowiedź: \(x = 3\) lub \(x = 9\). ## Metoda 4: sprowadzenie do tej samej podstawy Jeśli logarytmy mają różne podstawy, ale jedna jest potęgą drugiej, możesz je sprowadzić do jednej podstawy. Wzór: \(\log_{a^k} x = \frac{\log_a x}{k}\) Na przykład: \(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}\) (bo \(4 = 2^2\)). **Przykład 7.** Rozwiąż \(\log_4 x = \log_2 x - 1\). Dziedzina: \(x > 0\). Zamieniam \(\log_4 x = \frac{\log_2 x}{2}\) i podstawiam \(t = \log_2 x\): $$\frac{t}{2} = t - 1$$ $$t = 2t - 2$$ $$2 = t$$ $$\log_2 x = 2 \Rightarrow x = 4$$ Sprawdzam: \(4 > 0\) - OK. Odpowiedź: \(x = 4\). ## Metoda 5: własności logarytmów - sklejanie i rozklejanie Najważniejsze wzory: $$\log_a(m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$$ $$\log_a \frac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$$ $$\log_a m^k = k \cdot \log_a m$$ Używasz ich żeby sprowadzić sumę lub różnicę logarytmów do jednego logarytmu - a potem rozwiązujesz metodą 1. **Przykład 8.** Rozwiąż \(\log_3 x + \log_3(x - 6) = 3\). Dziedzina: \(x > 0\) i \(x - 6 > 0\), więc \(x > 6\). Sklejam lewą stronę: $$\log_3[x(x - 6)] = 3$$ $$x(x - 6) = 3^3 = 27$$ $$x^2 - 6x - 27 = 0$$ $$\Delta = 36 + 108 = 144$$ $$\sqrt{\Delta} = 12$$ $$x = \frac{6 \pm 12}{2}$$ $$x_1 = 9, \quad x_2 = -3$$ Sprawdzam w dziedzinie (\(x > 6\)): - \(x = 9\): OK - \(x = -3\): nie spełnia - odrzucam! Odpowiedź: \(x = 9\). **Przykład 9.** Rozwiąż \(\log_2(x + 1) - \log_2(x - 1) = 1\). Dziedzina: \(x + 1 > 0\) i \(x - 1 > 0\), więc \(x > 1\). Korzystam ze wzoru na różnicę logarytmów: $$\log_2 \frac{x + 1}{x - 1} = 1$$ $$\frac{x + 1}{x - 1} = 2$$ $$x + 1 = 2(x - 1)$$ $$x + 1 = 2x - 2$$ $$3 = x$$ Sprawdzam: \(3 > 1\) - OK. Odpowiedź: \(x = 3\). ## Typowe pułapki na egzaminie **Pułapka 1: zapomniana dziedzina** Wychodzi ci \(x = -5\) i wpisujesz odpowiedź. Tymczasem przy \(x = -5\) argument logarytmu jest ujemny. Tracisz punkty za rozwiązanie, które wygląda poprawnie. Zawsze sprawdzaj dziedzinę. **Pułapka 2: \(\log x^2 \neq (\log x)^2\)** To dwa zupełnie różne wyrażenia: - \(\log x^2 = 2\log x\) (wzór na potęgę) - \((\log x)^2\) - logarytm do kwadratu (metoda 3: podstawienie) **Pułapka 3: suma pod logarytmem** $$\log_a(m + n) \neq \log_a m + \log_a n$$ Wzór działa dla iloczynu, nie sumy. To jeden z najczęstszych błędów. **Pułapka 4: zmiana kierunku przy podstawie mniejszej od 1** Przy \(0 < a < 1\) logarytm jest funkcją malejącą. W nierównościach to zmienia kierunek - ale w równaniach nie ma znaczenia. Więcej o tym przeczytasz w artykule [nierówności logarytmiczne](/jak-rozwiazac-nierownosc-logarytmiczna-metody-matura). ## Powiązane tematy Równania logarytmiczne łączą się z kilkoma innymi działami matury: - [Funkcja wykładnicza](/funkcja-wykladnicza-na-maturze-wykresy-rownania-zadania) - logarytm i funkcja wykładnicza to funkcje odwrotne. Jeśli umiesz jedno, szybciej rozumiesz drugie. - [Równania i nierówności na maturze](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) - kontekst wszystkich typów równań. - Konkretne zadania z bazy CKE: [zadanie matura 2013](/task/matura-czerwiec-2013-04), [zadanie CKE 2025](/task/cke-2025-pp-10), [zadanie treningowe](/task/cke-pp-treningowe-03). ## Checklist - co musisz umieć - [ ] Zamieniać \(\log_a b = c\) na \(a^c = b\) i odwrotnie - [ ] Wyznaczać dziedzinę każdego równania logarytmicznego - [ ] "Odlogarytmować" gdy obie strony mają logarytm z tą samą podstawą - [ ] Stosować podstawienie \(t = \log_a x\) i rozwiązywać równanie kwadratowe - [ ] Sprowadzać logarytmy do jednej podstawy wzorem \(\log_{a^k} x = \frac{\log_a x}{k}\) - [ ] Sklejać logarytmy wzorami na iloczyn i iloraz - [ ] Sprawdzać każde rozwiązanie w dziedzinie i odrzucać te nieprawidłowe Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)