---
route: /reszta-z-dzielenia-wielomianu-z-parametrem-zadania-matura-rozszerzona
title: Reszta z dzielenia wielomianu z parametrem - twierdzenie Bezout w zadaniach z matury rozszerzonej
description: Reszta z dzielenia W(x) przez x - a to W(a). Jak z reszty i podzielności wyznaczyć parametr: 7 zadań z matury rozszerzonej z rozwiązaniem krok po kroku.
type: task_solution
category: Wielomiany
tags: reszta z dzielenia wielomianu, reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian, twierdzenie Bezout zadania, wielomian z parametrem, wielomian podzielny przez dwumian parametr, reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia, jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu, wielomiany matura rozszerzona, zadania z wielomianów matura rozszerzona, nierówność wielomianowa z parametrem
published: 2026-09-23T07:07:55.758+00:00
updated: 2026-09-23T07:10:36.812718+00:00
---
# Reszta z dzielenia wielomianu z parametrem - twierdzenie Bezout w zadaniach z matury rozszerzonej
Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x - a\) jest równa \(W(a)\). To twierdzenie Bezout i na nim stoi każde zadanie z [matury rozszerzonej](/matura-rozszerzona), w którym we wzorze wielomianu siedzi parametr: warunek „reszta z dzielenia przez \(x - a\) wynosi \(r\)" zapisujesz jako równanie \(W(a) = r\), a warunek „wielomian jest podzielny przez \(x - a\)" jako \(W(a) = 0\). Każdy taki warunek daje jedno równanie, więc dwa warunki wyznaczają dwa nieznane współczynniki. Reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia jest wielomianem co najwyżej pierwszego stopnia \(R(x) = px + q\).

Na maturze rozszerzonej ten mechanizm pojawia się w dwóch rozmiarach. Krótkie zadanie zamknięte za 1 punkt pyta wprost o resztę albo o parametr, przy którym wielomian dzieli się bez reszty. Długie zadanie otwarte za 4 do 6 punktów używa reszty tylko na starcie: w [maju 2022](/exams/matura-rozszerzona-maj-2022) (zadanie 9) z reszty wyznaczało się parametr \(m\), a potem rozwiązywało nierówność wielomianową, w [maju 2019](/exams/matura-rozszerzona-maj-2019) (zadanie 13) parametr wynikał z dwóch warunków naraz. Ogólne wiadomości o dzieleniu wielomianów, schemacie Hornera i szukaniu pierwiastków wymiernych masz we wpisie o [wielomianach na maturze](/wielomiany-matura-dzielenie-rozklad-bezout). Tu skupiam się na jednym typie polecenia: reszta albo podzielność plus niewiadomy współczynnik.

## Twierdzenie Bezout: skąd reszta równa W(a)

Dzielenie wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \(x - a\) daje iloraz \(Q(x)\) i resztę \(r\), która jest liczbą (stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, a dzielnik ma stopień 1):

$$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + r$$

Wstaw do tej równości \(x = a\). Pierwszy składnik zeruje się, bo zawiera czynnik \(a - a = 0\), i zostaje \(W(a) = r\). Całe dzielenie pisemne można więc pominąć: resztę liczysz jednym podstawieniem.

Dwa wnioski, z których korzystasz w każdym zadaniu:

- \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(a) = 0\), czyli gdy \(a\) jest pierwiastkiem wielomianu.
- Dzielnik \(x + 2\) to \(x - (-2)\), więc podstawiasz \(-2\), nie \(2\). Znak liczby do podstawienia jest przeciwny do znaku w nawiasie.

Gdy dzielnik ma stopień 2, na przykład \((x - 1)(x + 2)\), reszta ma stopień co najwyżej 1 i zapisujesz ją jako \(R(x) = px + q\) z dwiema niewiadomymi. Podstawienie obu pierwiastków dzielnika daje dwa równania na \(p\) i \(q\).

## Wzory

Twierdzenie Bezout:

$$W(x) = (x - a) \cdot Q(x) + W(a)$$

Warunek podzielności przez dwumian:

$$(x - a) \mid W(x) \iff W(a) = 0$$

Reszta z dzielenia przez trójmian:

$$W(x) = (x - x_1)(x - x_2) \cdot Q(x) + px + q$$

Reszta z dzielenia przez dwumian liniowy:

$$\text{reszta z dzielenia } W(x) \text{ przez } (bx - c) = W\!\left(\tfrac{c}{b}\right)$$

Ostatni wzór przydaje się, gdy dzielnik ma przy \(x\) współczynnik różny od jedynki. Dla dzielnika \(2x - 1\) resztą jest \(W\left(\frac{1}{2}\right)\), bo \(2x - 1\) zeruje się właśnie w \(\frac{1}{2}\).

## Przykład 1: Reszta jednym podstawieniem (matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 3)

**Treść:** Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = 5x^3 - 3x^2 + 2x - 7\) przez dwumian \(x + 2\) jest równa:

- A) \((-63)\)
- B) \((-39)\)
- C) \(25\)
- D) \(41\)

**Krok 1: Ustal liczbę do podstawienia.** Dwumian \(x + 2\) zeruje się dla \(x = -2\), więc reszta to \(W(-2)\).

**Krok 2: Policz W(-2), każdą potęgę osobno.**

$$W(-2) = 5 \cdot (-8) - 3 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) - 7 = -40 - 12 - 4 - 7 = -63$$

**Odpowiedź: A.** Reszta jest równa \(-63\). To zadanie pochodzi z arkusza formuły 2015.

## Przykład 2: Parametr z warunku podzielności (matura rozszerzona maj 2016, zadanie 2)

**Treść:** Wielomian \(W(x) = 6x^3 + 3x^2 - 5x + p\) jest podzielny przez dwumian \(x - 1\) dla \(p\) równego:

- A) \(4\)
- B) \(-2\)
- C) \(2\)
- D) \(-4\)

**Krok 1: Zamień podzielność na równanie.** Podzielność przez \(x - 1\) oznacza \(W(1) = 0\).

**Krok 2: Podstaw i rozwiąż.**

$$W(1) = 6 + 3 - 5 + p = 4 + p = 0 \quad\Rightarrow\quad p = -4$$

**Odpowiedź: D.** Dla \(p = -4\) liczba \(1\) jest pierwiastkiem wielomianu.

## Przykład 3: Wielomian z ogromnymi wykładnikami (matura rozszerzona maj 2020, zadanie 1)

**Treść:** Wielomian \(W(x) = x^{2019} - 3x^{2000} + 2x + 6\):

- A) jest podzielny przez \((x-1)\) i z dzielenia przez \((x+1)\) daje resztę \(6\)
- B) jest podzielny przez \((x+1)\) i z dzielenia przez \((x-1)\) daje resztę \(6\)
- C) jest podzielny przez \((x-1)\) i przez \((x+1)\)
- D) nie jest podzielny ani przez \((x-1)\), ani przez \((x+1)\)

**Krok 1: Policz W(1).** Każda potęga jedynki to \(1\):

$$W(1) = 1 - 3 + 2 + 6 = 6$$

Reszta z dzielenia przez \(x - 1\) wynosi \(6\), więc przez \(x - 1\) wielomian się nie dzieli.

**Krok 2: Policz W(-1).** Wykładnik \(2019\) jest nieparzysty, więc \((-1)^{2019} = -1\). Wykładnik \(2000\) jest parzysty, więc \((-1)^{2000} = 1\):

$$W(-1) = -1 - 3 \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 6 = -1 - 3 - 2 + 6 = 0$$

Reszta z dzielenia przez \(x + 1\) wynosi \(0\), więc wielomian jest przez \(x + 1\) podzielny.

**Odpowiedź: B.** Wykładnik rzędu dwóch tysięcy nie ma tu znaczenia, liczy się tylko jego parzystość.

## Przykład 4: Dwie reszty, dwa współczynniki (matura rozszerzona maj 2010, zadanie 4)

**Treść:** Wyznacz wartości \(a\) i \(b\) współczynników wielomianu \(W(x) = x^3 + ax^2 + bx + 1\) wiedząc, że \(W(2) = 7\) oraz że reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \((x - 3)\) jest równa \(10\).

**Krok 1: Zapisz pierwszy warunek.**

$$W(2) = 8 + 4a + 2b + 1 = 7 \quad\Rightarrow\quad 4a + 2b = -2 \quad\Rightarrow\quad 2a + b = -1$$

**Krok 2: Zamień resztę na drugi warunek.** Z twierdzenia Bezout reszta z dzielenia przez \(x - 3\) to \(W(3)\):

$$W(3) = 27 + 9a + 3b + 1 = 10 \quad\Rightarrow\quad 9a + 3b = -18 \quad\Rightarrow\quad 3a + b = -6$$

**Krok 3: Rozwiąż układ.** Odejmij pierwsze równanie od drugiego: \((3a + b) - (2a + b) = -6 - (-1)\), więc \(a = -5\). Wtedy \(b = -1 - 2a = -1 + 10 = 9\).

**Krok 4: Sprawdź.** \(W(2) = 8 - 20 + 18 + 1 = 7\) oraz \(W(3) = 27 - 45 + 27 + 1 = 10\). Oba warunki się zgadzają.

**Odpowiedź:** \(a = -5\), \(b = 9\).

## Przykład 5: Z dwóch reszt trzecia (matura próbna CKE marzec 2021, zadanie 10)

**Treść:** Reszty z dzielenia wielomianu \(W(x) = x^4 + bx^3 + cx^2\) przez dwumiany \((x - 2)\) i \((x - 3)\) są odpowiednio równe \((-8)\) oraz \((-18)\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu \(W\) przez dwumian \((x - 4)\).

**Krok 1: Zapisz oba warunki.**

$$W(2) = 16 + 8b + 4c = -8 \quad\Rightarrow\quad 2b + c = -6$$

$$W(3) = 81 + 27b + 9c = -18 \quad\Rightarrow\quad 3b + c = -11$$

**Krok 2: Rozwiąż układ.** Odejmując równania, dostajesz \(b = -5\), a stąd \(c = -6 - 2b = -6 + 10 = 4\). Wielomian to \(W(x) = x^4 - 5x^3 + 4x^2\).

**Krok 3: Policz resztę z dzielenia przez x - 4.**

$$W(4) = 256 - 5 \cdot 64 + 4 \cdot 16 = 256 - 320 + 64 = 0$$

**Odpowiedź:** reszta jest równa \(0\), czyli \(W\) dzieli się przez \(x - 4\). Widać to też z rozkładu \(W(x) = x^2(x - 1)(x - 4)\).

## Przykład 6: Reszta z dzielenia przez trójmian kwadratowy

**Treść:** Wielomian \(W(x)\) przy dzieleniu przez \(x - 1\) daje resztę \(3\), a przy dzieleniu przez \(x + 2\) daje resztę \(-6\). Wyznacz resztę z dzielenia \(W(x)\) przez \((x - 1)(x + 2)\).

**Krok 1: Zapisz postać reszty.** Dzielnik ma stopień 2, więc reszta ma stopień co najwyżej 1:

$$W(x) = (x - 1)(x + 2) \cdot Q(x) + px + q$$

**Krok 2: Przełóż reszty na wartości wielomianu.** Z twierdzenia Bezout \(W(1) = 3\) i \(W(-2) = -6\). Podstawienie \(x = 1\) i \(x = -2\) zeruje iloczyn z \(Q(x)\):

$$p + q = 3, \qquad -2p + q = -6$$

**Krok 3: Rozwiąż układ.** Odejmij drugie równanie od pierwszego: \(3p = 9\), więc \(p = 3\) i \(q = 0\).

**Odpowiedź:** reszta z dzielenia przez \((x - 1)(x + 2)\) to \(R(x) = 3x\). Nie znasz samego wielomianu, a mimo to reszta jest wyznaczona jednoznacznie.

## Przykład 7: Parametr z reszty, potem nierówność (matura rozszerzona maj 2022, zadanie 9)

**Treść:** Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x) = 4x^3 - 6x^2 - (5m + 1)x - 2m\) przez dwumian \(x + 2\) jest równa \((-30)\). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x) \geq 0\).

**Krok 1: Wyznacz m z reszty.** Reszta to \(W(-2)\):

$$W(-2) = -32 - 24 + 2(5m + 1) - 2m = -54 + 8m$$

Z warunku \(-54 + 8m = -30\) dostajesz \(8m = 24\), czyli \(m = 3\).

**Krok 2: Zapisz wielomian dla m = 3.**

$$W(x) = 4x^3 - 6x^2 - 16x - 6 = 2(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3)$$

**Krok 3: Znajdź pierwiastek wymierny.** Kandydaci to dzielniki \(3\) podzielone przez dzielniki \(2\). Dla \(x = 3\): \(54 - 27 - 24 - 3 = 0\), więc \(3\) jest pierwiastkiem.

**Krok 4: Rozłóż na czynniki.** Dzieląc przez \(x - 3\), dostajesz \(2x^3 - 3x^2 - 8x - 3 = (x - 3)(2x^2 + 3x + 1)\), a trójmian rozkłada się dalej:

$$W(x) = 2(x - 3)(2x + 1)(x + 1)$$

**Krok 5: Rozwiąż nierówność.** Pierwiastki to \(-1\), \(-\frac{1}{2}\) i \(3\), wszystkie jednokrotne, a współczynnik przy \(x^3\) jest dodatni. Wykres idzie od dołu, więc \(W(x) \geq 0\) między \(-1\) a \(-\frac{1}{2}\) oraz od \(3\) w prawo.

**Odpowiedź:** \(m = 3\), a zbiór rozwiązań to \(x \in \left\langle -1, -\frac{1}{2} \right\rangle \cup \langle 3, +\infty)\).

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania otwarte z tego samego schematu. W pierwszym warunek podzielności i warunek reszty dają dwa równania z tym samym parametrem, a odpowiedź musi spełniać oba naraz. W drugim reszta wyznacza współczynnik \(m\), a potem trzeba znaleźć wszystkie pierwiastki. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [abonamencie](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2019-13

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2013-8

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Zły znak przy podstawieniu. Reszta z dzielenia przez \(x + 2\) to \(W(-2)\), a z dzielenia przez \(x - 2\) to \(W(2)\). W zadaniu zamkniętym błędna wartość \(W(2)\) prawie zawsze stoi wśród odpowiedzi.

**Pułapka 2:** Potęgi liczb ujemnych. \((-2)^3 = -8\), ale \((-2)^2 = 4\). Przy wielomianie trzeciego stopnia licz każdą potęgę osobno i dopiero potem mnóż przez współczynnik, jak w przykładzie 1.

**Pułapka 3:** Reszta z dzielenia przez trójmian zapisana jako liczba. Przy dzielniku stopnia 2 reszta ma postać \(px + q\). Zapis \(W(x) = (x - 1)(x + 2)Q(x) + r\) z jedną stałą \(r\) zakłada, że \(p = 0\), i zwykle prowadzi do sprzecznego układu.

**Uwaga:** Parametr w wyższej potędze. Gdy warunek daje równanie z \(m^3\) albo \(m^2\), wychodzi kilka kandydatów na \(m\). W zadaniu z dwoma warunkami (jak maj 2019, zadanie 13) odpowiedź to wyłącznie wartości spełniające oba równania jednocześnie.

**Wskazówka:** Po wyznaczeniu parametru podstaw go z powrotem i sprawdź warunek z treści. W przykładzie 4 to dwa krótkie rachunki, a chronią przed przeniesieniem błędu do dalszej części zadania, gdzie kosztuje kilka punktów naraz.

**Zapamiętaj:** Wielomian podzielny przez \(x - a\) ma pierwiastek \(a\), więc możesz od razu wydzielić czynnik \((x - a)\) i rozkładać dalej. To zwykle pierwszy krok w części „rozwiąż nierówność", opisany szerzej we wpisie [jak rozłożyć wielomian na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki).

## Co musisz umieć

- Obliczyć resztę z dzielenia wielomianu przez dwumian \(x - a\), podstawiając \(a\) zamiast dzielić pisemnie.
- Zamienić warunek podzielności przez \(x - a\) na równanie \(W(a) = 0\).
- Ułożyć i rozwiązać układ dwóch równań, gdy treść podaje dwie reszty i dwa nieznane współczynniki.
- Zapisać resztę z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia jako \(px + q\) i wyznaczyć \(p\) oraz \(q\).
- Po wyznaczeniu parametru rozłożyć wielomian na czynniki i rozwiązać nierówność wielomianową.
- Wykorzystać parzystość wykładnika przy liczeniu \(W(-1)\) dla wielomianów wysokiego stopnia.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej kolejne zadania z wielomianów z arkuszy rozszerzonych: reszta i parametr, podzielność przez trójmian, iloraz z dzielenia i pierwiastek wymierny. Pełna lista jest na stronie działu [Wielomiany](/topics/wielomiany), a plan powtórki całego zakresu we wpisie o [wymaganiach na maturze rozszerzonej 2027](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy). Jeśli równanie trzeciego stopnia po wyznaczeniu parametru daje się pogrupować, skorzystaj z [metody grupowania](/rownanie-trzeciego-stopnia-matura-metoda-grupowania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z wielomianów (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć resztę z dzielenia wielomianu bez dzielenia?

Skorzystaj z twierdzenia Bezout: reszta z dzielenia \(W(x)\) przez \(x - a\) jest równa \(W(a)\). Wystarczy podstawić liczbę, dla której dzielnik się zeruje, i policzyć wartość wielomianu. Dzielenie pisemne albo schemat Hornera są potrzebne dopiero wtedy, gdy chcesz znać iloraz.

### Kiedy wielomian jest podzielny przez dwumian?

Wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez \(x - a\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(W(a) = 0\), czyli gdy \(a\) jest jego pierwiastkiem. Z tego warunku wyznaczasz parametr w zadaniach typu „dla jakiego \(p\) wielomian jest podzielny przez \(x - 1\)".

### Jaką postać ma reszta z dzielenia przez wielomian drugiego stopnia?

Stopień reszty jest mniejszy od stopnia dzielnika, więc przy dzielniku stopnia 2 reszta ma postać \(px + q\). Współczynniki \(p\) i \(q\) wyznaczasz z dwóch równań, podstawiając pierwiastki dzielnika, jak w przykładzie 6.

### Co zrobić, gdy dzielnikiem jest 2x - 1, a nie x - a?

Znajdź liczbę, dla której dzielnik się zeruje: \(2x - 1 = 0\) daje \(x = \frac{1}{2}\). Reszta z dzielenia przez \(2x - 1\) jest równa \(W\left(\frac{1}{2}\right)\). Iloraz jest wtedy inny niż przy dzieleniu przez \(x - \frac{1}{2}\), ale reszta ta sama.

### Czym różni się reszta z dzielenia wielomianu od ilorazu?

Iloraz \(Q(x)\) to wielomian, który mnożysz przez dzielnik, a reszta to to, co zostaje: \(W(x) = (x - a)Q(x) + r\). Twierdzenie Bezout daje szybko tylko resztę. Iloraz liczysz dzieleniem pisemnym albo schematem Hornera, gdy chcesz rozłożyć wielomian na czynniki, jak w kroku 4 przykładu 7.

### Dlaczego w zadaniu z dwoma warunkami wychodzi kilka wartości parametru?

Bo każdy warunek osobno może mieć kilka rozwiązań, zwłaszcza gdy parametr stoi w kwadracie albo sześcianie. Odpowiedzią są tylko wartości wspólne dla wszystkich warunków. Rozwiąż każde równanie do końca i weź część wspólną zbiorów rozwiązań.