---
route: /przekatne-trapezu-trojkaty-podobne-pola-trojkatow-matura
title: Przekątne trapezu - trójkąty podobne, stosunek odcinków i pola czterech trójkątów (zadania maturalne)
description: Przekątne trapezu dzielą się w stosunku podstaw, a pola czterech trójkątów to P, kP, kP i k²P. Wzory, uzasadnienia i 6 zadań maturalnych krok po kroku.
type: task_solution
category: Planimetria
tags: przekątne trapezu, w jakim stosunku dzielą się przekątne trapezu, trójkąty podobne w trapezie, pola trójkątów w trapezie, pole trapezu z pól trójkątów, stosunek pól trójkątów podobnych, przekątne trapezu zadania maturalne, podobieństwo trójkątów trapez, planimetria matura podstawowa, trapez zadania z rozwiązaniami
published: 2026-09-26T07:16:17.85+00:00
updated: 2026-09-27T13:05:21.256473+00:00
---
# Przekątne trapezu - trójkąty podobne, stosunek odcinków i pola czterech trójkątów (zadania maturalne)
Przekątne trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(S\) i dzielą trapez na cztery trójkąty. Trójkąty przy podstawach, \(ABS\) i \(CDS\), są podobne w skali \(k = \frac{|AB|}{|CD|}\), więc przekątne dzielą się w stosunku podstaw: \(|AS| : |SC| = |BS| : |SD| = |AB| : |CD|\), a pola tych dwóch trójkątów są w stosunku \(k^2\). Trójkąty przy ramionach, \(ADS\) i \(BCS\), mają zawsze równe pola. Jeśli pole trójkąta \(CDS\) oznaczysz przez \(P\), to cztery trójkąty mają pola \(P\), \(kP\), \(kP\) i \(k^2P\), a cały trapez ma pole \(P(k + 1)^2\).

Na maturze podstawowej ten układ wraca zarówno w zadaniach zamkniętych typu prawda-fałsz, jak i w zadaniach otwartych. W arkuszach z [sierpnia 2025](/exams/matura-sierpien-2025) i z czerwca 2023 trzeba było ocenić zdania o polach i podobieństwie tych trójkątów, a w [sierpniu 2021](/exams/matura-sierpien-2021) obliczyć pole jednego z nich z podanego stosunku odcinków przekątnej. Poniżej masz uzasadnienie każdej z własności (przydaje się w zadaniach z poleceniem „uzasadnij” i „wykaż”), wzory, sześć rozwiązanych przykładów i pułapki, przez które najczęściej wychodzi zły wynik.

## Dlaczego trójkąty przy podstawach są podobne

Trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne z cechy kąt-kąt-kąt. Kąty \(ASB\) i \(CSD\) są wierzchołkowe, więc równe. Podstawy trapezu są równoległe, a przekątna \(AC\) przecina obie, więc kąty \(BAC\) i \(DCA\) są naprzemianległe i też równe. Tak samo przekątna \(BD\) daje równe kąty \(ABD\) i \(CDB\).

Z podobieństwa wynika, że odpowiadające sobie boki są proporcjonalne. Bokowi \(AB\) w jednym trójkącie odpowiada \(CD\) w drugim, odcinkowi \(AS\) odpowiada \(CS\), a odcinkowi \(BS\) odpowiada \(DS\):

$$\frac{|AS|}{|CS|} = \frac{|BS|}{|DS|} = \frac{|AB|}{|CD|} = k$$

Punkt \(S\) dzieli więc obie przekątne w tym samym stosunku, równym stosunkowi podstaw. Jeśli dłuższa podstawa jest dwa razy dłuższa od krótszej, to punkt \(S\) odcina od każdej przekątnej dwie trzecie jej długości po stronie dłuższej podstawy. Kolejność wierzchołków pilnuj tak samo jak w każdym zadaniu z [trójkątami podobnymi](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania): wierzchołek przy danym kącie w jednym trójkącie paruje się z wierzchołkiem przy równym kącie w drugim.

## Dlaczego trójkąty przy ramionach mają równe pola

Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólną podstawę \(CD\), a ich trzecie wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na prostej równoległej do \(CD\). Obie wysokości opuszczone na \(CD\) są więc równe wysokości trapezu, a oba trójkąty mają równe pola. Każdy z nich zawiera trójkąt \(CDS\), a po jego odjęciu zostają trójkąty \(ADS\) i \(BCS\), które też muszą mieć równe pola:

$$P_{ADS} = P_{ACD} - P_{CDS} = P_{BCD} - P_{CDS} = P_{BCS}$$

To działa w każdym trapezie, nie tylko w równoramiennym. W [trapezie równoramiennym](/trapez-rownoramienny-wlasnosci-katy-przekatne-zadania-matura) trójkąty \(ADS\) i \(BCS\) są dodatkowo przystające, ale do samej równości pól to niepotrzebne.

## Pola czterech trójkątów: P, kP, kP i k²P

Trójkąty \(CDS\) i \(ADS\) mają wspólny wierzchołek \(D\), a ich boki \(CS\) i \(AS\) leżą na jednej prostej, przekątnej \(AC\). Wysokość opuszczona z \(D\) na tę prostą jest dla obu wspólna, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi tych boków: \(P_{ADS} : P_{CDS} = |AS| : |CS| = k\).

Oznacz pole najmniejszego trójkąta, przy krótszej podstawie, przez \(P = P_{CDS}\). Wtedy:

- \(P_{ADS} = kP\), z twierdzenia o wspólnej wysokości,
- \(P_{BCS} = kP\), bo trójkąty przy ramionach mają równe pola,
- \(P_{ABS} = k^2P\), bo pola trójkątów podobnych są w stosunku kwadratu skali, o czym więcej we wpisie o [stosunku pól figur podobnych](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura).

Po zsumowaniu dostajesz pole trapezu: \(P + kP + kP + k^2P = P(k^2 + 2k + 1) = P(k + 1)^2\). Z tych samych równości wynika też, że \(P_{ADS} \cdot P_{BCS} = k^2P^2 = P_{ABS} \cdot P_{CDS}\), czyli pole trójkąta przy ramieniu to średnia geometryczna pól trójkątów przy podstawach.

## Wzory

Stosunek odcinków przekątnych trapezu:

$$\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{|BS|}{|SD|} = \frac{|AB|}{|CD|} = k$$

Pola trójkątów przy podstawach:

$$\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2$$

Pola trójkątów przy ramionach:

$$P_{ADS} = P_{BCS} = k \cdot P_{CDS}$$

Średnia geometryczna pól:

$$P_{ADS} = P_{BCS} = \sqrt{P_{ABS} \cdot P_{CDS}}$$

Pole trapezu z pól trójkątów:

$$P_{ABCD} = P_{CDS} \cdot (k + 1)^2 = \left(\sqrt{P_{ABS}} + \sqrt{P_{CDS}}\right)^2$$

Pole trapezu z podstaw i wysokości:

$$P_{ABCD} = \frac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h$$

Ostatni wzór przyda się, gdy zadanie łączy pola trójkątów z długościami podstaw. Możesz go sprawdzić w kalkulatorze poniżej.

Interaktywny kalkulator: pole-trapezu (dostępny na stronie wpisu)

## Przykład 1: Równe pola i stosunek pól (matura sierpień 2025)

**Treść:** Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) takich, że \(|AB| = 2 \cdot |CD|\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(E\). Oceń prawdziwość zdań. Zdanie 1: pola trójkątów \(BCE\) oraz \(AED\) są równe. Zdanie 2: pole trójkąta \(ABE\) jest dwa razy większe od pola trójkąta \(CDE\).

**Krok 1: Zdanie pierwsze.** Trójkąty \(ACD\) i \(BCD\) mają wspólną podstawę \(CD\) i wysokość równą wysokości trapezu, więc mają równe pola. Po odjęciu wspólnego trójkąta \(CDE\) zostają trójkąty \(AED\) i \(BCE\), które też mają równe pola. Zdanie jest prawdziwe.

**Krok 2: Zdanie drugie.** Trójkąty \(ABE\) i \(CDE\) są podobne w skali \(k = \frac{|AB|}{|CD|} = 2\). Pola figur podobnych są w stosunku \(k^2 = 4\), a nie \(k = 2\). Pole trójkąta \(ABE\) jest cztery razy większe, więc zdanie jest fałszywe.

**Odpowiedź:** zdanie 1 jest prawdziwe (P), zdanie 2 jest fałszywe (F).

## Przykład 2: Podobieństwo i równe pola dużych trójkątów (matura czerwiec 2023)

**Treść:** W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne przecinają się w punkcie \(E\). Oceń prawdziwość zdań. Zdanie 1: trójkąt \(ABE\) jest podobny do trójkąta \(CDE\). Zdanie 2: pole trójkąta \(ACD\) jest równe polu trójkąta \(BCD\).

**Krok 1: Zdanie pierwsze.** Kąty \(AEB\) i \(CED\) są wierzchołkowe. Kąty \(BAE\) i \(DCE\) są naprzemianległe przy równoległych podstawach, tak samo kąty \(ABE\) i \(CDE\). Cecha kąt-kąt-kąt daje podobieństwo, więc zdanie jest prawdziwe.

**Krok 2: Zdanie drugie.** Oba trójkąty mają podstawę \(CD\), a ich trzecie wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na prostej \(AB\), równoległej do \(CD\). Wysokości opuszczone na \(CD\) są równe wysokości trapezu, więc pola są równe. Zdanie jest prawdziwe.

**Odpowiedź:** oba zdania są prawdziwe (P, P). To dokładnie te dwie własności, na których opiera się cały ten wpis.

## Przykład 3: Pole małego trójkąta ze stosunku odcinków (matura sierpień 2021)

**Treść:** Dany jest trapez \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\). Przekątne \(AC\) i \(BD\) tego trapezu przecinają się w punkcie \(S\) tak, że \(\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{3}{2}\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(12\). Oblicz pole trójkąta \(CDS\).

**Krok 1: Ustal skalę podobieństwa.** Trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne, a odcinkowi \(AS\) odpowiada odcinek \(CS\). Skala to \(k = \frac{|AS|}{|CS|} = \frac{3}{2}\), przy czym większy jest trójkąt \(ABS\).

**Krok 2: Zapisz stosunek pól.**

$$\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2 = \frac{9}{4}$$

**Krok 3: Oblicz pole.**

$$P_{CDS} = \frac{4}{9} \cdot 12 = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$$

**Odpowiedź:** \(P_{CDS} = \frac{16}{3}\). Podzielenie pola przez \(\frac{3}{2}\) zamiast przez \(\frac{9}{4}\) daje błędny wynik \(8\).

## Przykład 4: Pole trapezu z pól dwóch trójkątów

**Treść:** Przekątne trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(S\). Pole trójkąta \(ABS\) jest równe \(18\), a pole trójkąta \(CDS\) jest równe \(8\). Oblicz pole trapezu.

**Krok 1: Ustal skalę.** Z ilorazu pól \(k^2 = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}\), więc \(k = \frac{3}{2}\), bo skala podobieństwa jest dodatnia.

**Krok 2: Oblicz pola trójkątów przy ramionach.** \(P_{ADS} = P_{BCS} = k \cdot P_{CDS} = \frac{3}{2} \cdot 8 = 12\). Kontrola ze średniej geometrycznej: \(\sqrt{18 \cdot 8} = \sqrt{144} = 12\).

**Krok 3: Dodaj cztery pola.** \(P_{ABCD} = 18 + 8 + 12 + 12 = 50\).

**Krok 4: Sprawdź wzorem skróconym.**

$$\left(\sqrt{18} + \sqrt{8}\right)^2 = \left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right)^2 = \left(5\sqrt{2}\right)^2 = 50$$

**Odpowiedź:** pole trapezu jest równe \(50\).

## Przykład 5: Pole trapezu z jednego trójkąta (matura próbna grudzień 2014)

**Treść:** W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(O\) takim, że \(|AO| : |OC| = 5 : 1\). Pole trójkąta \(AOD\) jest równe \(10\). Uzasadnij, że pole trapezu \(ABCD\) jest równe \(72\).

**Krok 1: Oblicz pole trójkąta COD.** Trójkąty \(AOD\) i \(COD\) mają wspólny wierzchołek \(D\), a ich boki \(AO\) i \(OC\) leżą na przekątnej \(AC\). Wspólna wysokość z \(D\) daje \(P_{AOD} : P_{COD} = 5 : 1\), więc \(P_{COD} = 2\).

**Krok 2: Oblicz pole trójkąta ABO.** Trójkąty \(ABO\) i \(CDO\) są podobne w skali \(k = \frac{|AO|}{|OC|} = 5\), więc \(P_{ABO} = 5^2 \cdot 2 = 50\).

**Krok 3: Oblicz pole trójkąta BOC.** Trójkąty przy ramionach mają równe pola: \(P_{BOC} = P_{AOD} = 10\).

**Krok 4: Dodaj pola.**

$$P_{ABCD} = 50 + 10 + 10 + 2 = 72$$

**Odpowiedź:** pole trapezu jest równe \(72\), co należało uzasadnić. Ten sam wynik daje wzór \(P(k + 1)^2 = 2 \cdot 6^2 = 72\).

## Przykład 6: Stosunek pól z części przekątnej (matura sierpień 2016)

**Treść:** W trapezie \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przekątne \(AC\) oraz \(BD\) przecinają się w punkcie \(S\). Wykaż, że jeżeli \(|AS| = \frac{5}{6}|AC|\), to pole trójkąta \(ABS\) jest \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\).

**Krok 1: Podziel przekątną.** Skoro \(|AS| = \frac{5}{6}|AC|\), to \(|SC| = |AC| - |AS| = \frac{1}{6}|AC|\), więc \(\frac{|AS|}{|SC|} = 5\).

**Krok 2: Uzasadnij podobieństwo.** Trójkąty \(ABS\) i \(CDS\) są podobne z cechy kąt-kąt-kąt: kąty przy \(S\) są wierzchołkowe, a kąty przy podstawach naprzemianległe. Odcinkowi \(AS\) odpowiada \(CS\), więc skala to \(k = 5\).

**Krok 3: Zapisz stosunek pól.** \(\frac{P_{ABS}}{P_{DCS}} = k^2 = 25\), co kończy dowód.

**Odpowiedź:** pole trójkąta \(ABS\) jest \(25\) razy większe od pola trójkąta \(DCS\). W zadaniu na dowód zapisz uzasadnienie podobieństwa, czyli które kąty są równe i dlaczego, a nie tylko samą proporcję. Więcej o zapisie takich rozwiązań znajdziesz we wpisie o [zadaniach dowodowych z matury](/zadania-dowodowe-matura-cke-z-rozwiazaniami).

## Sprawdź się na zadaniu z bazy

Tu przekątne są podzielone na odcinki o podanych długościach, a podstawy różnią się o \(15\). Ułóż proporcję z podobieństwa trójkątów przy podstawach i jedno równanie z różnicy podstaw.

Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-operon-listopad-2018-26

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Stosunek pól to \(k^2\), a nie \(k\). Jeśli jedna podstawa jest dwa razy dłuższa od drugiej, pole trójkąta przy dłuższej podstawie jest cztery razy większe od pola trójkąta przy krótszej. Trójkąty przy ramionach na ogół nie są podobne do trójkątów przy podstawach, a ich pola mają się do nich jak \(k\), a nie jak \(k^2\).

**Pułapka 2:** Pomylone odcinki w proporcji. Odcinkowi \(AS\) odpowiada \(CS\), a nie \(DS\). W proporcji \(\frac{|AS|}{|SC|} = \frac{|BS|}{|SD|}\) oba liczniki to odcinki przy tej samej podstawie \(AB\).

**Pułapka 3:** Skala wzięta z całej przekątnej. Warunek \(|AS| = \frac{5}{6}|AC|\) nie znaczy, że \(k = \frac{5}{6}\) ani że \(k = \frac{6}{5}\). Najpierw policz drugi odcinek, \(|SC| = \frac{1}{6}|AC|\), i dopiero z ich ilorazu skalę: \(k = 5\).

**Uwaga:** Równość pól trójkątów \(ADS\) i \(BCS\) zachodzi w każdym trapezie. Nie potrzebujesz do niej ramion równej długości ani kątów prostych.

**Wskazówka:** W zadaniu z polami zacznij od trójkąta przy krótszej podstawie i oznacz jego pole przez \(P\). Pozostałe trzy mają pola \(kP\), \(kP\) i \(k^2P\), więc całe zadanie sprowadza się do znalezienia \(k\) i \(P\).

**Zapamiętaj:** Pole trapezu to \(P(k + 1)^2\), gdzie \(P\) to pole trójkąta przy krótszej podstawie, a \(k\) to stosunek dłuższej podstawy do krótszej. Przy \(k = 5\) i \(P = 2\) daje to \(2 \cdot 36 = 72\), jak w przykładzie 5.

## Co musisz umieć

- Uzasadnić podobieństwo trójkątów przy podstawach kątami wierzchołkowymi i naprzemianległymi.
- Zapisać, że przekątne trapezu dzielą się w stosunku długości podstaw.
- Wykazać, że trójkąty przy ramionach trapezu mają równe pola.
- Obliczyć stosunek pól trójkątów przy podstawach jako kwadrat skali podobieństwa.
- Wyznaczyć pola wszystkich czterech trójkątów, znając pole jednego z nich i skalę.
- Obliczyć pole trapezu jako sumę pól czterech trójkątów.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z arkuszy, w których trapez i podobieństwo trójkątów działają razem: przedłużone ramiona trapezu równoramiennego, trapez prostokątny podzielony przekątną na trójkąty podobne i pole trójkąta podobnego ze skali. Jeśli chcesz najpierw powtórzyć podstawy, zajrzyj do wpisu [jak obliczyć pole trapezu](/jak-obliczyc-pole-trapezu-wzory-zadania-matura) albo do [twierdzenia Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania), które działa na tej samej zasadzie proporcji. Pełną listę zadań z działu znajdziesz na stronie [Planimetria](/topics/planimetria).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### W jakim stosunku dzielą się przekątne trapezu?

W stosunku długości podstaw. Jeśli przekątne trapezu \(ABCD\) o podstawach \(AB\) i \(CD\) przecinają się w punkcie \(S\), to \(|AS| : |SC| = |BS| : |SD| = |AB| : |CD|\). Wynika to z podobieństwa trójkątów \(ABS\) i \(CDS\).

### Czy przekątne dzielą trapez na cztery trójkąty o równych polach?

Nie wszystkie cztery. Równe pola mają zawsze dwa trójkąty przy ramionach, \(ADS\) i \(BCS\). Trójkąty przy podstawach mają pola w stosunku \(k^2\), więc są równe tylko wtedy, gdy podstawy mają równą długość, a wtedy czworokąt jest równoległobokiem.

### Jak obliczyć pole trapezu, znając pola trójkątów przy podstawach?

Dodaj pierwiastki z tych pól i podnieś sumę do kwadratu: \(P_{ABCD} = \left(\sqrt{P_1} + \sqrt{P_2}\right)^2\). Dla pól \(18\) i \(8\) wychodzi \(\left(3\sqrt{2} + 2\sqrt{2}\right)^2 = 50\). Wzór bierze się stąd, że każdy z trójkątów przy ramionach ma pole \(\sqrt{P_1 P_2}\).

### Czy te własności działają tylko w trapezie równoramiennym?

Nie, w każdym trapezie, bo korzystają wyłącznie z równoległości podstaw. W trapezie równoramiennym dochodzi dodatkowo równość przekątnych i przystawanie trójkątów przy ramionach.

### Skąd wiadomo, że trójkąty przy podstawach trapezu są podobne?

Z cechy kąt-kąt-kąt. Kąty przy punkcie przecięcia przekątnych są wierzchołkowe, a kąty przy podstawach są naprzemianległe, bo podstawy są równoległe, a każda przekątna przecina obie. W zadaniu otwartym warto te trzy równości kątów wypisać.

### Jaki jest stosunek pola trójkąta przy ramieniu do pola trójkąta przy podstawie?

Równy skali \(k\) albo jej odwrotności, a nie jej kwadratowi. Trójkąty \(ADS\) i \(CDS\) mają wspólną wysokość z wierzchołka \(D\), a ich boki \(AS\) i \(SC\) są w stosunku \(k\), więc \(P_{ADS} : P_{CDS} = k\) i tak samo \(P_{ABS} : P_{ADS} = k\). Kwadrat skali dotyczy tylko pary trójkątów podobnych, czyli tych przy podstawach. Wzory na pole trójkąta, z których tu korzystasz, zebrałem we wpisie [pole trójkąta: 8 wzorów](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).