--- route: /przekatna-kwadratu-prostokata-wzor-okrag-wpisany-opisany-matura title: Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne description: Przekątna kwadratu to a√2, prostokąta √(a²+b²). Wzory na bok, pole i promień okręgu opisanego i wpisanego oraz 8 zadań CKE rozwiązanych krok po kroku. type: task_solution category: Planimetria tags: przekątna kwadratu, przekątna kwadratu wzór, przekątna prostokąta wzór, kwadrat wpisany w okrąg, okrąg opisany na kwadracie promień, okrąg wpisany w kwadrat, pole kwadratu z przekątnej, bok kwadratu z przekątnej, prostokąt zadania maturalne, kwadrat zadania maturalne, planimetria matura czworokąty published: 2026-09-14T07:09:17.676+00:00 updated: 2026-09-14T07:12:01.54329+00:00 --- # Przekątna kwadratu i prostokąta - wzór, okrąg wpisany i opisany, zadania maturalne Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(d = a\sqrt{2}\), a przekątna prostokąta o bokach \(a\) i \(b\) to \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\). Oba wzory to twierdzenie Pitagorasa zapisane dla trójkąta, na który przekątna dzieli figurę. Z przekątnej odczytasz też okręgi: promień okręgu opisanego na kwadracie albo prostokącie to połowa przekątnej, \(R = \frac{d}{2}\), a promień okręgu wpisanego w kwadrat to połowa boku, \(r = \frac{a}{2}\). Kwadrat i prostokąt wyglądają na materiał ze szkoły podstawowej, ale na maturze wracają w całej planimetrii: okrąg opisany na kwadracie, kwadrat wpisany w okrąg, przekątna prostokąta z kątem \(30^\circ\), prostokąty podobne, kwadrat jako przekrój walca. W tym wpisie zbieramy wszystkie wzory w jednym miejscu, wyprowadzamy je z Pitagorasa i rozwiązujemy krok po kroku osiem zadań z arkuszy CKE, od jednopunktowych po otwarte. ## Gdzie kwadrat i prostokąt pojawiają się na maturze Zadania o kwadracie i prostokącie prawie nigdy nie pytają wprost "oblicz pole kwadratu o boku 5". Pytają o coś, co trzeba dopiero wyciągnąć z przekątnej: bok kwadratu, gdy znasz promień okręgu opisanego (matura maj 2010), pole kwadratu wpisanego w okrąg (matura maj 2012), drugi bok prostokąta z przekątnej i pierwszego boku (matura sierpień 2012), dłuższy bok z kąta między przekątną i bokiem (matura czerwiec 2012), obwód prostokąta podobnego do danego (matura czerwiec 2013) czy bok kwadratu z sumy pól dwóch kwadratów podobnych (matura czerwiec 2025). Te same wzory potrzebujesz poza [planimetrią](/topics/planimetria). W stereometrii przekrój osiowy walca bywa kwadratem, a [przekątna prostopadłościanu](/jak-obliczyc-przekatna-szescianu-prostopadloscianu-wzory-zadania) to Pitagoras zastosowany dwa razy, z przekątną prostokąta w podstawie jako krokiem pośrednim. W trygonometrii kąt między przekątną i bokiem prostokąta to gotowy trójkąt prostokątny do policzenia tangensa. ## Przekątna kwadratu - skąd bierze się a√2 Przekątna dzieli kwadrat na dwa trójkąty prostokątne równoramienne o przyprostokątnych \(a\) i przeciwprostokątnej \(d\). Z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania): $$d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2, \quad d = a\sqrt{2}$$ To jest ten sam trójkąt, który znasz jako [trójkąt o kątach 45, 45 i 90 stopni](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura): przeciwprostokątna jest \(\sqrt{2}\) razy dłuższa od przyprostokątnej. Kąt między przekątną i bokiem kwadratu zawsze ma \(45^\circ\). Wzór działa też w drugą stronę. Gdy znasz przekątną, bok liczysz jako \(a = \frac{d}{\sqrt{2}}\), a po [usunięciu niewymierności z mianownika](/usuwanie-niewymiernosci-z-mianownika-jak-upraszczac) dostajesz \(a = \frac{d\sqrt{2}}{2}\). Pole kwadratu z samej przekątnej to \(P = \frac{d^2}{2}\), bo kwadrat jest szczególnym rombem, a [pole rombu](/jak-obliczyc-pole-rombu-rownoleglobok-wzory-przekatne) to połowa iloczynu przekątnych: \(\frac{d \cdot d}{2}\). Ten sam wzór z kalkulatorem znajdziesz na stronie [pole rombu z przekątnych](/wzory/pole-rombu). Przekątne kwadratu są równe, prostopadłe i dzielą się na połowy. Punkt ich przecięcia jest jednocześnie środkiem okręgu wpisanego i środkiem okręgu opisanego. ## Przekątna prostokąta - Pitagoras i trygonometria W prostokącie o bokach \(a\) i \(b\) przekątna jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych \(a\) i \(b\): $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Obie przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy, ale nie są prostopadłe, chyba że prostokąt jest kwadratem. Gdy w zadaniu podano kąt \(\alpha\) między przekątną i jednym z boków, masz gotowy trójkąt prostokątny: bok przyległy do kąta to \(a\), bok naprzeciwko to \(b\), więc \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{b}{a}\), \(\sin \alpha = \frac{b}{d}\) i \(\cos \alpha = \frac{a}{d}\). Wartości dla \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\) masz w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela). Na każdym prostokącie da się opisać okrąg, bo przeciwległe kąty prostokąta sumują się do \(180^\circ\), a to jest warunek [czworokąta wpisanego w okrąg](/czworokat-wpisany-w-okrag-twierdzenie-katy-zadania-matura). Środek tego okręgu to punkt przecięcia przekątnych, a promień to połowa przekątnej: \(R = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}\). Okręgu wpisanego prostokąt nie ma, chyba że \(a = b\): okrąg styczny do wszystkich czterech boków wymaga, żeby sumy przeciwległych boków były równe, a \(a + a = b + b\) daje właśnie \(a = b\). ## Okrąg wpisany i opisany na kwadracie Kwadrat o boku \(a\) ma oba okręgi i oba mają środek w punkcie przecięcia przekątnych. Okrąg opisany przechodzi przez cztery wierzchołki, więc jego średnica to przekątna: \(R = \frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Odwrotnie, kwadrat wpisany w okrąg o promieniu \(R\) ma przekątną \(2R\), bok \(a = R\sqrt{2}\) i pole \(P = \frac{(2R)^2}{2} = 2R^2\). Okrąg wpisany jest styczny do czterech boków, więc jego średnica to bok: \(r = \frac{a}{2}\). Kwadrat opisany na okręgu o promieniu \(r\) ma bok \(a = 2r\) i pole \(P = 4r^2\). Z tych dwóch wzorów wynika zależność, którą CKE lubi ukrywać w zadaniach: pole kwadratu wpisanego w okrąg jest dokładnie połową pola kwadratu opisanego na tym samym okręgu, bo \(2R^2 : 4R^2 = 1 : 2\). Pełne zestawienie wzorów na pole i obwód wszystkich figur płaskich znajdziesz w [liście wzorów na pole i obwód figur](/pole-obwod-figur-matura-wzory). ## Wzory Przekątna kwadratu: $$d = a\sqrt{2}$$ Bok kwadratu z przekątnej: $$a = \frac{d\sqrt{2}}{2}$$ Pole kwadratu z przekątnej: $$P = \frac{d^2}{2}$$ Promień okręgu opisanego na kwadracie: $$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$ Promień okręgu wpisanego w kwadrat: $$r = \frac{a}{2}$$ Pole kwadratu wpisanego w okrąg: $$P = 2R^2$$ Przekątna prostokąta: $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Promień okręgu opisanego na prostokącie: $$R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2}$$ Kąt między przekątną i bokiem: $$\operatorname{tg} \alpha = \frac{b}{a}$$ ## Przykład 1: Bok kwadratu z promienia okręgu opisanego (matura maj 2010, zadanie 15) **Treść:** Okrąg opisany na kwadracie ma promień \(4\). Długość boku tego kwadratu jest równa: - A) \(4\sqrt{2}\) - B) \(2\sqrt{2}\) - C) \(8\) - D) \(4\) **Krok 1: Promień to połowa przekątnej.** Okrąg opisany przechodzi przez wierzchołki kwadratu, więc jego średnica jest przekątną kwadratu. $$d = 2R = 2 \cdot 4 = 8$$ **Krok 2: Bok z przekątnej.** Korzystamy z \(d = a\sqrt{2}\). $$a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{8}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$$ **Odpowiedź: A.** Bok kwadratu ma długość \(4\sqrt{2}\). Odpowiedź C to długość przekątnej, nie boku. ## Przykład 2: Pole kwadratu wpisanego w okrąg (matura maj 2012, zadanie 15) **Treść:** Pole kwadratu wpisanego w okrąg o promieniu \(5\) jest równe: - A) \(25\) - B) \(50\) - C) \(75\) - D) \(100\) **Krok 1: Przekątna kwadratu.** Kwadrat wpisany w okrąg ma przekątną równą średnicy okręgu. $$d = 2 \cdot 5 = 10$$ **Krok 2: Pole z przekątnej.** Kwadrat jest rombem, więc \(P = \frac{d^2}{2}\). $$P = \frac{10^2}{2} = \frac{100}{2} = 50$$ **Odpowiedź: B.** Możesz to też policzyć przez bok: \(a = 5\sqrt{2}\), więc \(P = a^2 = 25 \cdot 2 = 50\). Odpowiedź D (\(100\)) to kwadrat średnicy, a A (\(25\)) to kwadrat promienia, żaden z nich nie jest polem. ## Przykład 3: Promień z pierwiastkiem (matura próbna Operon listopad 2012, zadanie 21) **Treść:** Długość promienia \(r\) okręgu opisanego na kwadracie jest równa \(2\sqrt{3}\). Długość boku tego kwadratu ma wartość: - A) \(4\sqrt{3}\) - B) \(2\sqrt{6}\) - C) \(4\sqrt{6}\) - D) \(2\sqrt{5}\) **Krok 1: Przekątna.** Średnica okręgu opisanego to przekątna kwadratu. $$d = 2r = 4\sqrt{3}$$ **Krok 2: Bok kwadratu.** Dzielimy przekątną przez \(\sqrt{2}\) i porządkujemy pierwiastki. $$a = \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{6}$$ **Odpowiedź: B.** Odpowiedź A to znów przekątna zamiast boku. Sprawdzenie: \(a\sqrt{2} = 2\sqrt{6} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{12} = 4\sqrt{3}\), zgadza się z przekątną. ## Przykład 4: Drugi bok prostokąta z przekątnej (matura sierpień 2012, zadanie 16) **Treść:** Przekątna \(AC\) prostokąta \(ABCD\) ma długość \(14\). Bok \(AB\) tego prostokąta ma długość \(6\). Długość boku \(BC\) jest równa: - A) \(8\) - B) \(4\sqrt{10}\) - C) \(2\sqrt{58}\) - D) \(10\) **Krok 1: Trójkąt prostokątny \(ABC\).** Boki \(AB\) i \(BC\) to przyprostokątne, przekątna \(AC\) to przeciwprostokątna. $$|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2$$ **Krok 2: Podstawiamy i liczymy.** $$6^2 + |BC|^2 = 14^2 \iff |BC|^2 = 196 - 36 = 160$$ **Krok 3: Wyciągamy pierwiastek i upraszczamy.** $$|BC| = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10}$$ **Odpowiedź: B.** Odpowiedź C (\(2\sqrt{58}\)) wychodzi temu, kto doda kwadraty zamiast odjąć: \(196 + 36 = 232 = 4 \cdot 58\). ## Przykład 5: Kąt między przekątną i bokiem (matura czerwiec 2012, zadanie 8) **Treść:** Krótszy bok prostokąta ma długość \(6\). Kąt między przekątną prostokąta i dłuższym bokiem ma miarę \(30^\circ\). Dłuższy bok prostokąta ma długość: - A) \(2\sqrt{3}\) - B) \(4\sqrt{3}\) - C) \(6\sqrt{3}\) - D) \(12\) **Krok 1: Rysujemy trójkąt.** Przekątna, dłuższy bok \(x\) i krótszy bok \(6\) tworzą trójkąt prostokątny. Kąt \(30^\circ\) leży między przekątną i dłuższym bokiem, więc krótszy bok \(6\) leży naprzeciwko tego kąta, a dłuższy bok \(x\) jest do niego przyległy. **Krok 2: Tangens.** Naprzeciwko przez przyległy. $$\operatorname{tg} 30^\circ = \frac{6}{x} \iff \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{6}{x}$$ **Krok 3: Wyznaczamy \(x\).** $$x = \frac{6 \cdot 3}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = \frac{18\sqrt{3}}{3} = 6\sqrt{3}$$ **Odpowiedź: C.** Odpowiedź D (\(12\)) to długość przekątnej: bok naprzeciw kąta \(30^\circ\) jest połową przeciwprostokątnej, więc \(d = 12\). Pytanie było jednak o bok, nie o przekątną. ## Przykład 6: Prostokąty podobne i obwód (matura czerwiec 2013, zadanie 13) **Treść:** Prostokąt \(ABCD\) o przekątnej długości \(2\sqrt{13}\) jest podobny do prostokąta o bokach długości \(2\) i \(3\). Obwód prostokąta \(ABCD\) jest równy: - A) \(10\) - B) \(20\) - C) \(5\) - D) \(24\) **Krok 1: Przekątna mniejszego prostokąta.** Pitagoras dla boków \(2\) i \(3\). $$d_1 = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}$$ **Krok 2: Skala podobieństwa.** W figurach podobnych stosunek odpowiadających sobie odcinków jest stały, także dla przekątnych. $$k = \frac{2\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = 2$$ **Krok 3: Boki i obwód prostokąta \(ABCD\).** Boki są \(2\) razy dłuższe: \(4\) i \(6\). $$L = 2 \cdot (4 + 6) = 20$$ **Odpowiedź: B.** Obwód, tak jak długości boków, skaluje się przez \(k\), a nie przez \(k^2\). Szczegóły we wpisie o [figurach podobnych i skali](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). ## Przykład 7: Suma pól dwóch kwadratów podobnych (matura czerwiec 2025, zadanie 27) **Treść:** Kwadrat \(K_2\) jest podobny do kwadratu \(K_1\) w skali \(5\). Suma pól tych kwadratów jest równa \(78\). Długość boku kwadratu \(K_1\) jest równa: - A) \(\sqrt{3}\) - B) \(3\) - C) \(\sqrt{13}\) - D) \(13\) **Krok 1: Oznaczamy bok.** Niech bok \(K_1\) ma długość \(a\). Skala \(5\) oznacza, że bok \(K_2\) ma długość \(5a\). **Krok 2: Pola.** Pole \(K_1\) to \(a^2\), pole \(K_2\) to \((5a)^2 = 25a^2\). Pole skaluje się przez kwadrat skali. **Krok 3: Równanie z sumy pól.** $$a^2 + 25a^2 = 78 \iff 26a^2 = 78 \iff a^2 = 3$$ **Krok 4: Bok.** Długość jest dodatnia. $$a = \sqrt{3}$$ **Odpowiedź: A.** Odpowiedź B (\(3\)) to pole \(K_1\), nie jego bok. Sprawdzenie: \(3 + 25 \cdot 3 = 78\). ## Przykład 8: Prostokąt z warunkiem na pole (zbiór zadań CKE 2015-2023, zadanie 21) **Treść:** Rozważmy prostokąt o polu mniejszym od \(24\), w którym jeden bok jest od drugiego dłuższy o \(5\). Oblicz długość dłuższego boku prostokąta, jeśli jest ona liczbą całkowitą parzystą. **Krok 1: Oznaczenia.** Krótszy bok \(x > 0\), dłuższy bok \(x + 5\). **Krok 2: Nierówność z pola.** Pole prostokąta to iloczyn boków. $$x(x + 5) < 24 \iff x^2 + 5x - 24 < 0$$ **Krok 3: Rozwiązujemy nierówność kwadratową.** Miejsca zerowe: \(\Delta = 25 + 96 = 121\), \(\sqrt{\Delta} = 11\), \(x_1 = \frac{-5 - 11}{2} = -8\), \(x_2 = \frac{-5 + 11}{2} = 3\). Parabola ma ramiona w górę, więc wartości ujemne są między miejscami zerowymi. $$x \in (-8, 3)$$ **Krok 4: Warunek geometryczny.** Bok jest dodatni, więc \(x \in (0, 3)\). Dłuższy bok \(x + 5\) należy wtedy do przedziału \((5, 8)\). **Krok 5: Liczba całkowita parzysta w przedziale.** W przedziale \((5, 8)\) jedyna liczba całkowita parzysta to \(6\). **Odpowiedź:** Dłuższy bok ma długość \(6\). Wtedy krótszy bok to \(1\), a pole \(6 < 24\). ## Sprawdź się na zadaniu z arkusza Zadanie z próbnej matury z marca 2012 łączy pole prostokąta ze stosunkiem boków. Oznacz boki jako \(2k\) i \(5k\), a resztę zrobi jedno równanie. Rozwiązanie odsłonisz pod kartą. Zadanie z bazy: /task/matura-pr-bna-marzec-2012-1-16 ## Typowe pułapki i błędy **Pułapka:** Mylenie przekątnej z promieniem. Promień okręgu opisanego to połowa przekątnej, \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\), a nie \(a\sqrt{2}\). W Przykładach 1 i 3 błędne odpowiedzi to dokładnie ta pomyłka. **Pułapka 2:** "Kwadrat wpisany w okrąg" i "okrąg wpisany w kwadrat" to dwie różne sytuacje. W pierwszej okrąg jest na zewnątrz i \(R = \frac{d}{2}\); w drugiej okrąg jest w środku i \(r = \frac{a}{2}\). Przeczytaj, co jest w czym. **Pułapka 3:** Dzielenie przez \(\sqrt{2}\) bez usunięcia niewymierności. \(\frac{8}{\sqrt{2}}\) to \(4\sqrt{2}\), nie \(8\sqrt{2}\) ani \(4\). Mnożysz licznik i mianownik przez \(\sqrt{2}\): \(\frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}\). **Pułapka 4:** Skala podobieństwa a pole. Długości (bok, przekątna, obwód) mnożysz przez \(k\), pola przez \(k^2\). W Przykładzie 7 kwadrat podobny w skali \(5\) ma pole \(25\) razy większe, nie \(5\) razy. **Pułapka 5:** W zadaniu z kątem \(30^\circ\) bok naprzeciw tego kąta jest połową przekątnej, a nie połową dłuższego boku. Zawsze ustal, który bok jest przyległy, a który przeciwległy do podanego kąta, zanim wybierzesz funkcję trygonometryczną. **Wskazówka egzaminacyjna:** Zrób rysunek i podpisz przekątną literą \(d\), nawet w zadaniu za 1 punkt. Większość błędnych odpowiedzi w tych zadaniach to poprawnie policzona inna wielkość: przekątna zamiast boku, pole zamiast boku, promień zamiast średnicy. **Zapamiętaj:** Kwadrat to szczególny romb, więc \(P = \frac{d^2}{2}\). Prostokąt to szczególny równoległobok, więc jego przekątne dzielą się na połowy. Na każdym prostokącie da się opisać okrąg, ale okrąg wpisany ma tylko kwadrat. ## Co musisz umieć - Wyprowadzić wzór \(d = a\sqrt{2}\) z twierdzenia Pitagorasa. - Obliczyć bok i pole kwadratu, znając samą przekątną. - Przeliczyć promień okręgu opisanego na kwadracie na bok i odwrotnie. - Odróżnić okrąg wpisany w kwadrat od okręgu opisanego na kwadracie. - Obliczyć przekątną prostokąta z boków oraz brakujący bok z przekątnej. - Zapisać tangens, sinus i cosinus kąta między przekątną i bokiem prostokąta. - Zastosować skalę podobieństwa do długości (razy \(k\)) i do pól (razy \(k^2\)). ## Poćwicz na zadaniach z bazy Zadania z arkuszy CKE o kwadracie i prostokącie: od jednopunktowych zamkniętych po otwarte z układem równań. Każde otwiera się na własnej stronie z pełnym rozwiązaniem, a całą [bazę zadań CKE z planimetrii](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami) masz pod jednym adresem. Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/losuj) ## Najczęstsze pytania o przekątną kwadratu i prostokąta ### Jaki jest wzór na przekątną kwadratu? Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(d = a\sqrt{2}\). Wzór wynika z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o dwóch przyprostokątnych długości \(a\): \(d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2\). ### Jak obliczyć bok kwadratu, mając przekątną? Dzielisz przekątną przez \(\sqrt{2}\): \(a = \frac{d}{\sqrt{2}} = \frac{d\sqrt{2}}{2}\). Dla przekątnej \(10\) bok to \(\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}\). Pole możesz policzyć od razu z przekątnej: \(P = \frac{d^2}{2}\). ### Jaki promień ma okrąg opisany na kwadracie? Połowę przekątnej: \(R = \frac{a\sqrt{2}}{2}\). Okrąg opisany przechodzi przez wszystkie cztery wierzchołki, a przekątna kwadratu łączy dwa przeciwległe wierzchołki przez środek, więc jest średnicą tego okręgu. ### Jaki promień ma okrąg wpisany w kwadrat? Połowę boku: \(r = \frac{a}{2}\). Okrąg wpisany jest styczny do każdego boku w jego środku, a odległość między środkami dwóch przeciwległych boków to dokładnie długość boku, czyli średnica okręgu. ### Jak obliczyć przekątną prostokąta? Z twierdzenia Pitagorasa: \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\), gdzie \(a\) i \(b\) to długości boków. Prostokąt o bokach \(6\) i \(8\) ma przekątną \(\sqrt{36 + 64} = 10\). Obie przekątne prostokąta są równe i przecinają się w połowie. ### Czy w każdy prostokąt da się wpisać okrąg? Nie. Okrąg wpisany w czworokąt wymaga, żeby sumy długości przeciwległych boków były równe, a dla prostokąta oznacza to \(a = b\), czyli kwadrat. Za to na każdym prostokącie da się opisać okrąg, bo jego przeciwległe kąty sumują się do \(180^\circ\).