---
route: /przedzialy-monotonicznosci-funkcji-kwadratowej-rosnaca-malejaca-matura
title: Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej - kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje (zadania maturalne)
description: Funkcja kwadratowa zmienia monotoniczność w p = -b/2a. Jak wyznaczyć przedziały, w których rośnie i maleje, z każdej postaci wzoru: 6 zadań maturalnych.
type: task_solution
category: Funkcja kwadratowa
tags: przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej, monotoniczność funkcji kwadratowej, funkcja kwadratowa rosnąca w przedziale, funkcja kwadratowa malejąca w przedziale, w jakim przedziale funkcja kwadratowa jest rosnąca, monotoniczność funkcji kwadratowej zadania, wierzchołek paraboli a monotoniczność, postać iloczynowa monotoniczność, funkcja kwadratowa matura zadania zamknięte, jak wyznaczyć przedziały monotoniczności
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-09-30T19:47:06.441+00:00
updated: 2026-09-30T19:51:39.51+00:00
---
# Przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej - kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje (zadania maturalne)
Funkcja kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\) zmienia monotoniczność w pierwszej współrzędnej wierzchołka paraboli, czyli w \(p = -\frac{b}{2a}\). Gdy \(a > 0\) (ramiona w górę), funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty, p\rangle\) i rosnąca w przedziale \(\langle p, +\infty)\). Gdy \(a  0\) po lewej stronie jest przedział malejący, przy \(a  0: \quad f \text{ maleje w } (-\infty, p\rangle, \quad f \text{ rośnie w } \langle p, +\infty)$$

Monotoniczność dla ramion w dół:

$$a  0\), ramiona paraboli są skierowane w górę.

**Krok 2: Oblicz p.**

$$p = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$$

**Krok 3: Zapisz przedziały.** Przy \(a > 0\) funkcja maleje na lewo od wierzchołka i rośnie na prawo od niego: jest malejąca w \((-\infty, 3\rangle\) i rosnąca w \(\langle 3, +\infty)\).

**Odpowiedź: B.** Odpowiedź A to przedział, w którym funkcja maleje, a C bierze się z pominięcia minusa we wzorze na \(p\).

## Przykład 2: Postać iloczynowa i ujemne a (matura maj 2021, zadanie 12)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\) jest malejąca w przedziale:

- A) \(\langle 1, +\infty)\)
- B) \((-\infty, 1\rangle\)
- C) \((-\infty, -8\rangle\)
- D) \(\langle -8, +\infty)\)

**Krok 1: Odczytaj miejsca zerowe.** Nawias \((x + 1)\) zeruje się dla \(x = -1\), nawias \((x - 3)\) dla \(x = 3\). Miejsca zerowe to \(x_1 = -1\) i \(x_2 = 3\).

**Krok 2: Oblicz p jako średnią.**

$$p = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

**Krok 3: Znak a i przedziały.** \(a = -2  0\), więc funkcja maleje do wierzchołka i od niego rośnie. Przedział malejący kończy się w \(2\), zatem \(p = 2\).

**Krok 2: Wyznacz q ze zbioru wartości.** Przy \(a > 0\) zbiorem wartości jest \(\langle q, +\infty)\), więc \(q = -4\).

**Krok 3: Złóż postać kanoniczną.**

$$f(x) = 1 \cdot (x - 2)^2 + (-4) = (x - 2)^2 - 4$$

**Odpowiedź: A.** Wzór B ma wierzchołek \((-2, 4)\), a wzory C i D mają drugą współrzędną wierzchołka równą \(2\), więc żaden z nich nie spełnia obu warunków.

## Przykład 6: Czy funkcja jest monotoniczna w danym przedziale

**Treść:** Dana jest funkcja \(f(x) = x^2 - 6x + 1\). Sprawdź, czy jest monotoniczna w przedziale \(\langle 4, 7\rangle\) oraz w przedziale \(\langle 1, 5\rangle\).

**Krok 1: Oblicz p.** \(p = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\) i \(a = 1 > 0\), więc \(f\) jest malejąca w \((-\infty, 3\rangle\) i rosnąca w \(\langle 3, +\infty)\).

**Krok 2: Przedział bez wierzchołka.** Przedział \(\langle 4, 7\rangle\) leży w całości na prawo od \(3\), czyli wewnątrz \(\langle 3, +\infty)\). Funkcja jest w nim rosnąca.

**Krok 3: Przedział z wierzchołkiem.** Przedział \(\langle 1, 5\rangle\) zawiera \(3\). Na \(\langle 1, 3\rangle\) funkcja maleje, a na \(\langle 3, 5\rangle\) rośnie, więc w całym \(\langle 1, 5\rangle\) nie jest monotoniczna. Widać to też z wartości: \(f(1) = -4\), \(f(3) = -8\), \(f(5) = -4\).

**Odpowiedź:** w \(\langle 4, 7\rangle\) funkcja jest rosnąca, a w \(\langle 1, 5\rangle\) nie jest monotoniczna. Ten sam test rozstrzyga, gdzie szukać najmniejszej wartości w przedziale: przy \(a > 0\) i \(p\) leżącym wewnątrz przedziału jest nią \(f(p)\).

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Znak w postaci kanonicznej. Z \(f(x) = (x + 5)^2 - 1\) odczytujesz \(p = -5\). Wpisanie \(p = 5\) przesuwa oba przedziały o dziesięć jednostek i daje odpowiedź, która wygląda sensownie, ale jest błędna.

**Pułapka 2:** Pomylenie \(p\) z \(q\). Przedziały monotoniczności leżą na osi \(x\), więc wyznacza je pierwsza współrzędna wierzchołka. Druga współrzędna, \(q\), mówi o zbiorze wartości, czyli o osi \(y\).

**Pułapka 3:** Ukryty minus w postaci iloczynowej. W \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\) współczynnik \(a = -2\) widać od razu. We wzorze \(f(x) = (3 - x)(x + 1)\) minus siedzi w nawiasie: \((3 - x)(x + 1) = -x^2 + 2x + 3\), więc \(a = -1\) i ramiona są skierowane w dół.

**Pułapka 4:** Minus we wzorze \(p = -\frac{b}{2a}\). Przy \(b = -12\) i \(a = 2\) wychodzi \(p = 3\), a nie \(-3\). Podstawiaj \(b\) razem ze znakiem, w nawiasie.

**Wskazówka:** Szkic zamiast reguły. Narysuj oś, zaznacz \(p\) i dorysuj parabolę z ramionami w górę albo w dół. Przedział rosnący to ten, w którym wykres idzie w prawo pod górę. Zajmuje to kilka sekund i chroni przed odwróceniem odpowiedzi.

**Wskazówka egzaminacyjna:** W zadaniu zamkniętym najpierw policz \(p\) i skreśl odpowiedzi z przedziałami, które kończą się w innej liczbie. Z tych, które zostaną, wybierasz już tylko po znaku \(a\): przy ramionach w górę przedział rosnący leży na prawo od \(p\), przy ramionach w dół na lewo.

**Zapamiętaj:** Każda funkcja kwadratowa ma dokładnie dwa przedziały monotoniczności, a ich wspólnym końcem jest \(p\). Zadanie o monotoniczności funkcji kwadratowej to w praktyce zadanie o pierwszej współrzędnej wierzchołka.

## Co musisz umieć

- Odczytać znak współczynnika \(a\) z postaci ogólnej, iloczynowej i kanonicznej.
- Obliczyć \(p = -\frac{b}{2a}\) z postaci ogólnej, podstawiając \(b\) razem ze znakiem.
- Wyznaczyć \(p\) jako średnią miejsc zerowych z postaci iloczynowej.
- Odczytać \(p\) z postaci kanonicznej ze zmienionym znakiem.
- Zapisać przedział rosnący i malejący z domknięciem w \(p\).
- Z danych o monotoniczności odtworzyć \(p\), a z niego brakujący współczynnik wzoru.
- Sprawdzić, czy funkcja jest monotoniczna w danym przedziale, patrząc, czy \(p\) leży w jego wnętrzu.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z funkcji kwadratowej z arkuszy maturalnych: przedziały monotoniczności z postaci iloczynowej, wierzchołek wyznaczony z miejsc zerowych i wartości funkcji w przedziale. Wszystkie zadania z tego działu znajdziesz na stronie [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), a powtórkę całego działu we wpisie [funkcja kwadratowa na maturze](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie z funkcji kwadratowej (/losuj)

## Najczęstsze pytania

### Jak wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji kwadratowej?

Oblicz pierwszą współrzędną wierzchołka \(p = -\frac{b}{2a}\) i sprawdź znak \(a\). Przy \(a > 0\) funkcja jest malejąca w \((-\infty, p\rangle\) i rosnąca w \(\langle p, +\infty)\), przy \(a  0\)), funkcja jest rosnąca w \(\langle p, +\infty)\), czyli na prawo od wierzchołka. Gdy są skierowane w dół (\(a  0\), więc funkcja jest malejąca w \((-\infty, 2\rangle\) i rosnąca w \(\langle 2, +\infty)\).

### Jak odczytać przedziały monotoniczności z wykresu paraboli?

Znajdź na rysunku wierzchołek i odczytaj jego pierwszą współrzędną, to jest \(p\). Potem spójrz, w którą stronę idą ramiona: gdy w górę, funkcja maleje do \(p\) i rośnie od \(p\), gdy w dół, odwrotnie. Przedziały zapisujesz na osi \(x\), a nie na osi \(y\), nawet jeśli wierzchołek ma wyraźnie zaznaczoną drugą współrzędną.

### Czy funkcja kwadratowa może być rosnąca na całej prostej?

Nie. Parabola ma wierzchołek, w którym funkcja zmienia monotoniczność, więc na całym zbiorze liczb rzeczywistych funkcja kwadratowa nie jest ani rosnąca, ani malejąca. Monotoniczna na całej prostej jest na przykład [funkcja liniowa](/funkcja-liniowa-matura-wzory-wykres-zadania) z niezerowym współczynnikiem kierunkowym.

### Jak z monotoniczności wyznaczyć współczynnik b?

Liczba, w której funkcja zmienia monotoniczność, to \(p\). Wstaw ją do wzoru \(p = -\frac{b}{2a}\) razem ze znanym \(a\) i rozwiąż równanie, jak w przykładzie 4. Gdy znasz też wartość w wierzchołku, możesz od razu zapisać postać kanoniczną.