---
route: /proporcjonalnosc-odwrotna-wzor-wykres-zadania-matura
title: Proporcjonalność odwrotna - wzór, wykres hiperboli i zadania maturalne
description: Proporcjonalność odwrotna: wzór y = a/x, wykres hiperboli, własności funkcji i zadania maturalne CKE z rozwiązaniami krok po kroku. Zobacz, jak obliczyć a.
type: task_solution
category: Funkcje
tags: proporcjonalność odwrotna, proporcjonalność odwrotna wzór, proporcjonalność odwrotna zadania, wielkości odwrotnie proporcjonalne, funkcja f(x) = a/x, wykres proporcjonalności odwrotnej, hiperbola wykres funkcji, współczynnik proporcjonalności odwrotnej, proporcjonalność prosta a odwrotna, zadania maturalne funkcje, matura podstawowa matematyka
published: 2026-08-05T07:15:42.187+00:00
updated: 2026-08-30T12:55:29.153855+00:00
---
# Proporcjonalność odwrotna - wzór, wykres hiperboli i zadania maturalne
Proporcjonalność odwrotna to zależność między dwiema wielkościami \(x\) i \(y\), w której iloczyn \(x \cdot y\) jest stały: \(x \cdot y = a\), czyli \(y = \frac{a}{x}\) dla pewnej liczby \(a \neq 0\). Gdy jedna wielkość rośnie 2 razy, druga maleje dokładnie 2 razy. Wykresem funkcji \(f(x) = \frac{a}{x}\) jest hiperbola złożona z dwóch gałęzi, a liczbę \(a\) nazywamy współczynnikiem proporcjonalności odwrotnej.

Na maturze podstawowej ten temat wraca w najprostszej możliwej formie: dostajesz tabelkę z wielkościami odwrotnie proporcjonalnymi i masz znaleźć brakującą liczbę. Dokładnie takie zadania pojawiły się na maturze w sierpniu 2020 (zadanie 20) oraz na maturze próbnej CKE z marca 2026 (zadanie 16). Oba rozwiązujemy niżej krok po kroku, a po drodze ogarniesz wzór, wykres i własności funkcji \(f(x) = \frac{a}{x}\), które CKE lubi sprawdzać w zadaniach zamkniętych.

## Co to jest proporcjonalność odwrotna - definicja i wzór

Dwie wielkości \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne, gdy ich iloczyn jest stały i różny od zera: \(x \cdot y = a\). Równoważnie: \(y = \frac{a}{x}\). Liczba \(a\) to współczynnik proporcjonalności odwrotnej. Im większe \(x\), tym mniejsze \(y\), i to nie "jakoś tam" mniejsze, tylko dokładnie w tej samej skali: podwojenie jednej wielkości oznacza zmniejszenie drugiej o połowę.

Najłatwiej to poczuć na przykładach z życia:

- **Prędkość i czas.** Masz do przejechania 120 km. Przy prędkości 60 km/h jedziesz 2 godziny, przy 120 km/h tylko godzinę. Iloczyn \(v \cdot t = 120\) jest stały, więc prędkość i czas są odwrotnie proporcjonalne.
- **Liczba maszyn i czas pracy.** Jeśli 2 maszyny pakują zamówienie w 12 godzin, to 4 takie same maszyny zrobią to w 6 godzin. Iloczyn liczby maszyn i czasu jest stały.
- **Składka na wspólny prezent.** Prezent kosztuje 600 zł. Przy 10 osobach każdy płaci 60 zł, przy 20 osobach już tylko 30 zł.

Wspólny mianownik: w każdej z tych sytuacji "całość" (droga, praca do wykonania, koszt) jest stała, a dwie wielkości dzielą się nią między sobą.

## Jak rozpoznać proporcjonalność odwrotną w tabelce

Mnożysz liczby w każdej kolumnie tabelki. Jeśli wszystkie iloczyny \(x \cdot y\) wychodzą takie same, wielkości są odwrotnie proporcjonalne, a wspólny iloczyn to współczynnik \(a\). Jeśli natomiast stały jest iloraz \(\frac{y}{x}\), masz do czynienia z proporcjonalnością prostą, czyli zupełnie inną zależnością.

Przykład. Sprawdźmy tabelkę:

| \(x\) | 2 | 4 | 10 |
|---|---|---|---|
| \(y\) | 20 | 10 | 4 |

Liczymy iloczyny: \(2 \cdot 20 = 40\), \(4 \cdot 10 = 40\), \(10 \cdot 4 = 40\). Wszystkie równe, więc \(x\) i \(y\) są odwrotnie proporcjonalne, a \(a = 40\). Wzór zależności: \(y = \frac{40}{x}\).

Ta jedna metoda (stały iloczyn) wystarcza do rozwiązania praktycznie każdego maturalnego zadania z tabelką. Zobaczysz to w zadaniach 1 i 2 niżej.

## Wykres proporcjonalności odwrotnej, czyli hiperbola

Wykresem funkcji \(f(x) = \frac{a}{x}\) jest hiperbola, czyli krzywa złożona z dwóch osobnych gałęzi, które nigdy nie dotykają osi układu współrzędnych. Dla \(a > 0\) gałęzie leżą w I i III ćwiartce, dla \(a  0\) funkcja jest malejąca w przedziale \((-\infty, 0)\) i malejąca w przedziale \((0, +\infty)\), ale NIE jest malejąca na całej dziedzinie (dlaczego, wyjaśniam w pułapkach). Dla \(a  0\), dla których \(\frac{8}{x} > 2\).

**Krok 2: rozwiąż nierówność.** Dla \(x > 0\) możesz pomnożyć obie strony przez \(x\) bez zmiany znaku nierówności: \(8 > 2x\), czyli \(x  0\) i \(x  0\) jest malejąca w przedziale \((-\infty, 0)\) oraz malejąca w przedziale \((0, +\infty)\), ale nie jest malejąca na całej dziedzinie. Porównując argumenty z różnych gałęzi, na przykład \(-2\) i \(2\), dostajesz wzrost wartości. To częsta pułapka w zadaniach zamkniętych typu prawda-fałsz.

### Jak obliczyć współczynnik proporcjonalności odwrotnej?
Wystarczy jedna pełna para danych: pomnóż \(x\) przez odpowiadające mu \(y\), a wynik to współczynnik \(a\). Na przykład jeśli \(y = 24\) dla \(x = 3\), to \(a = 3 \cdot 24 = 72\) i cała zależność ma wzór \(y = \frac{72}{x}\).

### Czy proporcjonalność odwrotna jest na maturze podstawowej?
Tak, jest wprost wymieniona w wymaganiach egzaminacyjnych CKE i regularnie pojawia się w zadaniach zamkniętych za 1 punkt, zwykle w formie tabelki z brakującą liczbą. Takie zadania były między innymi na maturze w sierpniu 2020 i na maturze próbnej CKE w marcu 2026.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)