---
route: /promien-okregu-wpisanego-opisanego-trojkat-wzor-zadania
title: Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - wzory R i r, zadania
description: Wzory na promień okręgu wpisanego r i opisanego R na trójkącie - równoboczny, prostokątny, dowolny. Pięć zadań maturalnych krok po kroku.
type: task_solution
category: Planimetria
tags: promień okręgu wpisanego w trójkąt, promień okręgu opisanego na trójkącie, wzór na promień okręgu opisanego, wzór na promień okręgu wpisanego, R i r trójkąta, okrąg wpisany trójkąt równoboczny, okrąg opisany trójkąt prostokątny, wzór Herona promień, twierdzenie sinusów promień okręgu, planimetria matura okrąg wpisany, matura matematyka 2027 planimetria, promień okręgu trójkąt równoramienny
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-05-23T11:07:49.755+00:00
updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00
---
# Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie - wzory R i r, zadania
Promień okręgu wpisanego i opisanego na trójkącie to jeden z tych tematów, na których uczniowie tracą punkty nie dlatego, że są trudne, tylko dlatego, że nie wiedzą, którego wzoru użyć w danej sytuacji. Z naszej analizy [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) zadania z R i r pojawiają się prawie co roku, raz jako zadanie zamknięte za 1 punkt, raz jako element większego zadania otwartego z planimetrii za 3-5 punktów. Najczęściej w połączeniu z [twierdzeniem Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) albo [twierdzeniem sinusów lub kosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac).

W tym poście pokażę ci wszystkie wzory na R i r, które realnie przydają się na maturze podstawowej, omówię kiedy stosować który, rozwiążemy razem pięć zadań w różnych konfiguracjach trójkątów i przejdziemy przez najczęstsze pułapki. Na końcu znajdziesz checklistę, która pozwala w 30 sekund wybrać właściwy wzór i zacząć liczyć.

## Co to jest okrąg wpisany i opisany na trójkącie

Zanim wskoczymy we wzory, upewnij się, że dobrze rozumiesz, o czym mówimy. To są dwa różne okręgi, o różnym położeniu i różnych własnościach.

Okrąg opisany na trójkącie to taki, który przechodzi przez wszystkie trzy wierzchołki trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta (symetralna boku to prosta prostopadła do boku, przechodząca przez jego środek). Promień tego okręgu oznaczamy literą \(R\). Każdy trójkąt da się wpisać w jakiś okrąg, więc dla dowolnego trójkąta zawsze istnieje dokładnie jedno \(R\).

Okrąg wpisany w trójkąt to taki, który jest styczny do wszystkich trzech boków trójkąta. Jego środek leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta (dwusieczna to półprosta dzieląca kąt na dwie równe części). Promień tego okręgu oznaczamy literą \(r\). W każdy trójkąt można też wpisać dokładnie jeden okrąg.

Najprostszy sposób, żeby zapamiętać, który jest który: okrąg opisany jest "na zewnątrz" trójkąta (otacza go), a okrąg wpisany "wewnątrz" (jest w środku). R jak "rama z zewnątrz", r jak "rdzeń w środku". Banalne, ale działa.

Środki tych dwóch okręgów to są zupełnie różne punkty w trójkącie. Tylko w trójkącie równobocznym pokrywają się (bo wtedy pokrywa się też ortocentrum i środek ciężkości). To jedna z przyczyn, dla której trójkąt równoboczny ma najprostsze wzory na R i r, i dlaczego pojawia się w zadaniach maturalnych częściej niż dowolny inny.

## Wzór uniwersalny na promień okręgu opisanego

To jest wzór, który ratuje cię w 90 procentach zadań na promień okręgu opisanego. Działa dla dowolnego trójkąta, bez względu na kształt:

$$R = \frac{abc}{4P}$$

gdzie \(a\), \(b\), \(c\) to długości boków trójkąta, a \(P\) to jego pole. Ten wzór jest w [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), więc nie musisz go pamiętać na pamięć - ale lepiej żebyś go pamiętał, bo szybciej znajdziesz go w głowie niż w tablicy.

Schemat użycia jest banalny: jeśli znasz trzy boki trójkąta, policz pole (np. [wzorem Herona](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne)), pomnóż boki, podziel przez \(4P\) i masz \(R\). Jedna formuła do zapamiętania, zero kombinowania.

Drugi wzór, który warto znać, pochodzi z twierdzenia sinusów:

$$R = \frac{a}{2 \sin \alpha}$$

gdzie \(\alpha\) to kąt naprzeciw boku \(a\). Jeśli więc znasz jeden bok i kąt naprzeciw niego, masz \(R\) w jednym kroku. Pełne twierdzenie sinusów mówi, że \(\frac{a}{\sin \alpha} = \frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma} = 2R\), więc którąkolwiek parę bok-kąt weźmiesz, dostaniesz to samo \(R\). To często szybsze rozwiązanie niż liczenie pola.

## Wzór uniwersalny na promień okręgu wpisanego

Dla promienia okręgu wpisanego masz jeden naprawdę elegancki wzór, który działa zawsze:

$$r = \frac{P}{p}$$

gdzie \(P\) to pole trójkąta, a \(p\) to połowa obwodu, czyli \(p = \frac{a+b+c}{2}\). Połowa obwodu nazywana jest też "obwodem połówkowym" albo "p" - i tym samym \(p\) liczymy też wzór Herona, więc oba ze sobą świetnie współgrają.

Jeśli więc znasz trzy boki trójkąta, najlepsza droga to: policz \(p\), policz \(P\) ze wzoru Herona \(P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), potem \(r = P/p\). Dwie minuty roboty, niezawodne.

W praktyce maturalnej pole trójkąta często liczy się prościej, niż przez Herona. Jeśli masz trójkąt prostokątny, pole to po prostu \(P = \frac{1}{2}ab\) z przyprostokątnych. Jeśli masz wysokość, to \(P = \frac{1}{2}ah\). Jeśli masz dwa boki i kąt między nimi, to \(P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\). Wybieraj najprostszą drogę do \(P\), bo wzór \(r = P/p\) zostaje ten sam niezależnie od metody.

## Trójkąt równoboczny - wzory ze ściągi

Trójkąt równoboczny jest tak symetryczny, że jego R i r liczy się jednym wzorem. Dla trójkąta równobocznego o boku długości \(a\):

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3}, \quad r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$

Zauważ, że \(R = 2r\) - promień okręgu opisanego jest dokładnie dwa razy większy od promienia okręgu wpisanego. To wynik faktu, że oba środki pokrywają się w punkcie przecięcia środkowych, który dzieli każdą środkową w stosunku 2:1.

Skąd te wzory? Sprawdźmy. Pole trójkąta równobocznego to \(P = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}\). Wzór uniwersalny \(R = \frac{abc}{4P} = \frac{a^3}{4 \cdot \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}} = \frac{a^3}{a^2 \sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). Dla \(r\): \(p = \frac{3a}{2}\), więc \(r = \frac{P}{p} = \frac{a^2 \sqrt{3}/4}{3a/2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Wzory się zgadzają.

W praktyce maturalnej polecam wkuć tę dwójkę na pamięć. Trójkąt równoboczny pojawia się w arkuszach co rok, bo CKE uwielbia tę figurę. Mając w głowie \(R = a\sqrt{3}/3\) i \(r = a\sqrt{3}/6\), zaoszczędzisz pełne dwie minuty na każdym takim zadaniu. Więcej o trójkątach z konkretnymi kątami przeczytasz w [trójkąty 30-60-90 i 45-45-90 - zależności boków](/trojkat-30-60-90-45-45-90-zaleznosci-bokow-matura).

## Trójkąt prostokątny - super proste wzory

Trójkąt prostokątny też ma swoje wzory specjalne i też warto je znać. Niech \(a\) i \(b\) to przyprostokątne, a \(c\) to przeciwprostokątna. Wtedy:

$$R = \frac{c}{2}, \quad r = \frac{a+b-c}{2}$$

Wzór na \(R\) jest pięknie geometryczny: w trójkącie prostokątnym środek okręgu opisanego leży dokładnie w środku przeciwprostokątnej, a promień to połowa przeciwprostokątnej. To z kolei wynik twierdzenia Talesa o kącie wpisanym opartym na średnicy. Czyli jeśli widzisz trójkąt prostokątny i pytanie o \(R\), nie musisz nic liczyć - bierzesz przeciwprostokątną przez dwa i już.

Wzór na \(r\) jest mniej oczywisty, ale można go łatwo wyprowadzić z \(r = P/p\): pole \(P = \frac{ab}{2}\), obwód połówkowy \(p = \frac{a+b+c}{2}\), więc \(r = \frac{ab/2}{(a+b+c)/2} = \frac{ab}{a+b+c}\). Po podstawieniu \(c^2 = a^2 + b^2\) (twierdzenie Pitagorasa) i pewnych przekształceniach algebraicznych otrzymujesz \(r = \frac{a+b-c}{2}\). Oba wzory \(\frac{ab}{a+b+c}\) i \(\frac{a+b-c}{2}\) są równoważne. Pierwszy jest wygodniejszy, jeśli znasz wszystkie trzy boki, drugi - jeśli pole liczyć łatwo.

## Schemat: jaki wzór kiedy stosować

Tu masz prosty algorytm decyzyjny. Pamiętaj go i dobiegniesz do wyniku w każdej konfiguracji.

Krok 1: Sprawdź, jaki to trójkąt. Równoboczny? Użyj wzoru \(R = a\sqrt{3}/3\) lub \(r = a\sqrt{3}/6\). Koniec, jedno podstawienie.

Krok 2: Czy to trójkąt prostokątny? Jeśli pytanie o \(R\) to bierzesz przeciwprostokątną przez 2. Jeśli o \(r\) to \(r = (a+b-c)/2\).

Krok 3: Trójkąt dowolny, ale masz trzy boki? Dla \(R\) użyj \(R = \frac{abc}{4P}\) (policz pole Heronem). Dla \(r\) policz pole Heronem i \(r = P/p\).

Krok 4: Trójkąt dowolny, masz bok i kąt naprzeciw niego? Dla \(R\) idź przez twierdzenie sinusów: \(R = \frac{a}{2 \sin \alpha}\). Dla \(r\) musisz najpierw znaleźć pozostałe boki lub pole.

Krok 5: Trójkąt dowolny, masz dwa boki i kąt między nimi? Pole \(P = \frac{1}{2}ab \sin \gamma\), trzeci bok z [twierdzenia kosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac): \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma\). Dalej standardowo.

Mając te pięć kroków w głowie, ogarniesz każdy układ. Teraz przykłady.

## Przykład 1: Trójkąt równoboczny

Oblicz promień okręgu wpisanego i opisanego dla trójkąta równobocznego o boku długości 6.

Trójkąt równoboczny - wzory specjalne. Wstawiam \(a = 6\):

$$R = \frac{a\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$

$$r = \frac{a\sqrt{3}}{6} = \frac{6\sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$$

Sprawdzenie: \(R = 2r\), więc \(2\sqrt{3} = 2 \cdot \sqrt{3}\). Zgadza się. Odpowiedź: \(R = 2\sqrt{3}\), \(r = \sqrt{3}\).

Trzydzieści sekund pracy. Tyle czasu zajmuje zadanie warte 2 punkty, jeśli znasz wzory. Bez nich liczyłbyś przez Herona i nakręcał się przez trzy minuty.

## Przykład 2: Trójkąt prostokątny

W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długość 6 i 8. Oblicz promień okręgu opisanego \(R\) i okręgu wpisanego \(r\).

Najpierw przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: \(c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\).

Promień okręgu opisanego (środek na połowie przeciwprostokątnej):

$$R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5$$

Promień okręgu wpisanego (wzór dla trójkąta prostokątnego):

$$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{6+8-10}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Sprawdzenie alternatywnym wzorem \(r = P/p\): \(P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24\), \(p = \frac{6+8+10}{2} = 12\), więc \(r = 24/12 = 2\). Zgodne, świetnie.

Odpowiedź: \(R = 5\), \(r = 2\).

To bardzo częsty typ zadania na maturze podstawowej - patrz np. [matura maj 2023](/matura-maj-2023-rozwiazania-arkusz), gdzie pojawiła się dokładnie taka konfiguracja z trójkątem 6-8-10.

## Przykład 3: Trójkąt dowolny przez wzór Herona

Trójkąt ma boki długości 5, 6 i 7. Oblicz promień okręgu opisanego i wpisanego.

To trójkąt dowolny, więc idziemy przez wzory uniwersalne. Najpierw obwód połówkowy:

$$p = \frac{5+6+7}{2} = 9$$

Pole ze wzoru Herona:

$$P = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216}$$

Upraszczam \(\sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6\sqrt{6}\).

Teraz \(R\):

$$R = \frac{abc}{4P} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{4 \cdot 6\sqrt{6}} = \frac{210}{24\sqrt{6}} = \frac{35}{4\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{24}$$

I \(r\):

$$r = \frac{P}{p} = \frac{6\sqrt{6}}{9} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$$

Odpowiedź: \(R = \frac{35\sqrt{6}}{24}\), \(r = \frac{2\sqrt{6}}{3}\). Pamiętaj o usunięciu niewymierności z mianownika.

Wzór Herona jest tu kluczowy. Jeśli go nie znasz, zerknij do [wzory na pole trójkąta - 8 metod](/pole-trojkata-matura-8-wzorow-heron-wspolrzedne).

## Przykład 4: Z twierdzenia sinusów

W trójkącie \(ABC\) bok \(BC = 12\) leży naprzeciw kąta \(\alpha = 30^\circ\). Oblicz promień okręgu opisanego na tym trójkącie.

Idziemy przez twierdzenie sinusów. Bok i kąt naprzeciw niego - to dokładnie ten przypadek:

$$R = \frac{a}{2 \sin \alpha} = \frac{12}{2 \sin 30^\circ} = \frac{12}{2 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{12}{1} = 12$$

Odpowiedź: \(R = 12\).

Jedno podstawienie, kilkanaście sekund. To dlatego twierdzenie sinusów warto znać - czasem ratuje cię od długiego liczenia. Wartości \(\sin 30^\circ\), \(\sin 45^\circ\), \(\sin 60^\circ\) musisz mieć w głowie - znajdziesz je w [tabeli wartości funkcji trygonometrycznych](/wartosci-funkcji-trygonometrycznych-tabela).

## Przykład 5: Trójkąt równoramienny

Dany jest trójkąt równoramienny o ramionach długości 5 i podstawie 6. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Trójkąt równoramienny - liczę wysokość opuszczoną na podstawę. Z twierdzenia Pitagorasa, gdzie połowa podstawy to 3, a ramię to 5:

$$h^2 + 3^2 = 5^2 \Rightarrow h^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow h = 4$$

Pole:

$$P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$

Obwód połówkowy:

$$p = \frac{5+5+6}{2} = 8$$

Promień:

$$r = \frac{P}{p} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2}$$

Odpowiedź: \(r = \frac{3}{2}\), czyli \(1{,}5\).

Jak widzisz, wzór \(r = P/p\) działa idealnie - wystarczy znaleźć dwa proste składniki: pole i połowę obwodu. Cała sztuka to wybranie najprostszej drogi do pola.

## Typowe pułapki i błędy

Mylenie \(R\) z \(r\). Klasyk: uczeń policzy poprawnie pole i obwód połówkowy, potem wstawi \(R = abc/(4P)\) zamiast \(r = P/p\). Albo na odwrót. Zanim zaczniesz liczyć, podkreśl w treści zadania, którego promienia szukasz. Zapisz "szukam R" lub "szukam r" na marginesie. Drobny rytuał, który ratuje od bezsensownej straty 1-3 punktów.

Stosowanie wzoru dla trójkąta równobocznego do trójkąta równoramiennego. To nie to samo. Wzór \(R = a\sqrt{3}/3\) działa tylko, gdy WSZYSTKIE trzy boki są równe. Jeśli masz trójkąt o bokach 5, 5, 6 (równoramienny, ale nie równoboczny), to musisz iść standardową drogą przez \(P\) i \(p\). Sprawdzaj definicje na początku.

Zapomnienie, że \(R = c/2\) działa tylko dla trójkąta prostokątnego. Jeśli trójkąt nie ma kąta prostego, nie ma znaczenia, który bok nazwiesz "c" - wzór \(R = c/2\) nie zadziała. Sprawdź, czy w trójkącie jest kąt 90 stopni. Często da się to zauważyć po długościach boków: jeśli \(a^2 + b^2 = c^2\), to trójkąt jest prostokątny (twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa).

Błąd w obwodzie połówkowym. Pamiętaj, że \(p = \frac{a+b+c}{2}\), nie \(p = a+b+c\). Wstawienie pełnego obwodu zamiast połowy to klasyczny błąd ze stresu - daje wynik dwa razy mniejszy niż prawdziwy. Zawsze sprawdzaj jednostki i porządek wielkości.

Pominięcie niewymierności w mianowniku. Gdy w odpowiedzi wychodzi \(\sqrt{6}\) w mianowniku, CKE oczekuje, że usuniesz niewymierność. \(\frac{35}{4\sqrt{6}}\) zapisz jako \(\frac{35\sqrt{6}}{24}\). To nie jest błąd merytoryczny, ale formalny - CKE może odjąć pół punktu za "brak finalizacji" albo "nieczytelny zapis odpowiedzi".

Mylenie środka okręgu wpisanego z opisanym. Środek okręgu wpisanego to przecięcie dwusiecznych KĄTÓW. Środek okręgu opisanego to przecięcie symetralnych BOKÓW. Jeśli w zadaniu otwartym musisz uzasadnić położenie środka, użyj poprawnej własności. W trójkącie równobocznym oba środki się pokrywają, w innych trójkątach to dwa różne punkty. Więcej o własnościach kątów i punktów szczególnych przeczytasz w [kąty w figurach - wpisane, środkowe, w trójkątach](/katy-w-figurach-matura-wpisane-srodkowe-trojkat).

## Dodatkowy przykład 6: Trójkąt rozwartokątny

W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 7\), \(b = 8\), kąt między nimi \(\gamma = 120^\circ\). Oblicz promień okręgu opisanego.

Najpierw trzeci bok z [twierdzenia kosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac):

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma = 49 + 64 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot \cos 120^\circ$$

\(\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}\), więc:

$$c^2 = 113 - 112 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = 113 + 56 = 169$$

Stąd \(c = 13\).

Teraz idziemy przez twierdzenie sinusów dla boku \(c\) i kąta \(\gamma\):

$$R = \frac{c}{2 \sin \gamma} = \frac{13}{2 \sin 120^\circ} = \frac{13}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{13}{\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{3}$$

Odpowiedź: \(R = \frac{13\sqrt{3}}{3}\).

Zwróć uwagę na elegancję rozwiązania: w trójkątach rozwartokątnych nie da się prosto pójść przez \(R = c/2\), bo to działa tylko dla prostokątnego. Ale twierdzenie kosinusów + twierdzenie sinusów to kombinacja, która ratuje cię w każdej konfiguracji "dwa boki i kąt między nimi".

## Dodatkowy przykład 7: Promień okręgu wpisanego w trójkąt opisany na okręgu

W trójkącie prostokątnym przeciwprostokątna ma długość 13, a jedna z przyprostokątnych 5. Oblicz promień okręgu wpisanego.

Drugą przyprostokątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa: \(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169-25} = \sqrt{144} = 12\).

Stąd:

$$r = \frac{a+b-c}{2} = \frac{5+12-13}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Sprawdzenie wzorem alternatywnym: \(P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30\), \(p = \frac{5+12+13}{2} = 15\), \(r = P/p = 30/15 = 2\). Zgadza się.

Odpowiedź: \(r = 2\).

Trójkąt 5-12-13 to klasyczna trójka pitagorejska, której CKE uwielbia używać. Warto ją mieć w głowie razem z trójką 3-4-5 i 8-15-17.

## Powiązania z innymi tematami matury

Promienie R i r rzadko występują samodzielnie - prawie zawsze są elementem większego zadania, w którym musisz połączyć kilka twierdzeń. Najczęstsze kombinacje:

R z twierdzeniem sinusów. To czysta para - skoro \(2R = \frac{a}{\sin \alpha}\), to CKE lubi zadania, w których podają ci bok i kąt, a ty masz znaleźć R bezpośrednio.

r z polem trójkąta i obwodem. CKE potrafi dać ci sytuację, w której znasz r i obwód, a musisz wyznaczyć pole (\(P = r \cdot p\)). To wzór odwrotny do \(r = P/p\) - jeśli zapamiętasz oba kierunki, masz przewagę.

R i twierdzenie o kącie wpisanym opartym na średnicy. Klasyk: jeśli kąt wpisany w okrąg ma 90 stopni, to opiera się na średnicy, czyli przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego to średnica okręgu opisanego. Stąd \(R = c/2\).

Promienie i [trójkąty podobne](/trojkaty-podobne-matura-cechy-skala-zadania). Jeśli dwa trójkąty są podobne w skali k, to ich promienie okręgów wpisanych mają stosunek k, podobnie opisanych. Pola mają stosunek \(k^2\), więc to się ze sobą spina.

## Geometria analityczna: gdy trójkąt jest podany przez współrzędne

Czasem CKE podaje ci trójkąt nie przez długości boków, ale przez współrzędne wierzchołków. Np. \(A = (0,0)\), \(B = (6,0)\), \(C = (2,4)\). Pytanie o R lub r wymaga dwóch dodatkowych kroków, ale schemat zostaje ten sam.

Krok 1: Policz długości boków ze wzoru na odległość między dwoma punktami: \(|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}\). Dla naszego trójkąta: \(|AB| = 6\), \(|AC| = \sqrt{4+16} = 2\sqrt{5}\), \(|BC| = \sqrt{16+16} = 4\sqrt{2}\).

Krok 2: Policz pole jednym z dwóch sposobów. Albo ze wzoru ze współrzędnych: \(P = \frac{1}{2}|x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B)|\), albo geometrycznie: \(AB\) leży na osi \(OX\), więc wysokość z \(C\) na \(AB\) to po prostu współrzędna \(y\) punktu \(C\), czyli 4. Stąd \(P = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\).

Krok 3: Stosuj standardowe wzory. \(R = \frac{abc}{4P} = \frac{6 \cdot 2\sqrt{5} \cdot 4\sqrt{2}}{48} = \frac{48\sqrt{10}}{48} = \sqrt{10}\). I \(r = P/p\), gdzie \(p = (6 + 2\sqrt{5} + 4\sqrt{2})/2 = 3 + \sqrt{5} + 2\sqrt{2}\).

To podejście łączy planimetrię z [równaniem prostej](/rownanie-prostej-matura-wzory-zadania) i [równaniem okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania). Świetna kombinacja na maturze - jeśli zauważysz, że bok leży na osi współrzędnych, oszczędzisz pełne dwie minuty na liczeniu wysokości.

## Checklista do zadania o promieniu R lub r

Zanim oddasz pracę, przejdź przez ten check:

- Czy poprawnie odczytałem, którego promienia szukam (R czy r)?
- Czy rozpoznałem typ trójkąta (równoboczny, prostokątny, dowolny)?
- Czy dla równobocznego użyłem wzorów specjalnych \(R = a\sqrt{3}/3\) lub \(r = a\sqrt{3}/6\)?
- Czy dla prostokątnego sprawdziłem, że \(R\) to połowa przeciwprostokątnej?
- Czy obwód połówkowy \(p\) policzyłem jako \((a+b+c)/2\) (a nie cały obwód)?
- Czy pole policzyłem najprostszą dostępną metodą (Heron, wysokość, dwa boki i kąt)?
- Czy w odpowiedzi nie ma niewymierności w mianowniku?
- Czy wynik ma sensowny rząd wielkości (\(R\) większy od najdłuższego boku/2, \(r\) mniejszy od najkrótszej wysokości)?
- Czy zapisałem odpowiedź zgodnie z formą oczekiwaną przez CKE (najczęściej jako liczba lub ułamek z pierwiastkiem)?
- Czy w zadaniach otwartych podałem uzasadnienie wyboru wzoru, a nie tylko końcową liczbę?

## Podsumowanie

Promień okręgu wpisanego \(r\) i opisanego \(R\) na trójkącie to temat, który w istocie sprowadza się do czterech wzorów: \(R = abc/(4P)\), \(R = a/(2 \sin \alpha)\), \(r = P/p\) plus wzory specjalne dla trójkąta równobocznego i prostokątnego. Wszystko, co musisz umieć, to wybrać właściwy wzór do danej konfiguracji i poprawnie podstawić.

W praktyce maturalnej kluczowe są dwa nawyki: po pierwsze, zawsze rozpoznaj typ trójkąta przed wyborem wzoru (równoboczny i prostokątny mają skróty, które oszczędzą ci minut); po drugie, dla dowolnego trójkąta zacznij od policzenia pola - mając \(P\), masz oba promienie po jednym podzieleniu. Resztę zostaw schematowi.

Jeśli przerobisz pięć przykładów z tego posta i zrobisz dodatkowo 3-4 zadania z [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) - zwłaszcza z [matury maj 2019](/matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz), [matury maj 2021](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), gdzie temat się powtarzał - to zadania o R i r przestaną być dla ciebie wyzwaniem. To kilka punktów, które masz pewne, jeśli tylko trzymasz się prostego schematu: rozpoznaj trójkąt, wybierz wzór, policz pole, policz promień, sprawdź jednostki. Pełna instrukcja w [topiku planimetria](/topics/planimetria) i w przewodniku [planimetria na maturze](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag).

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)