---
route: /prawdopodobienstwo-obok-siebie-nie-sasiaduja-ustawienia-w-rzedzie-matura-rozszerzona
title: Prawdopodobieństwo, że osoby stoją obok siebie albo nie sąsiadują - ustawienia w rzędzie na maturze rozszerzonej
description: Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że osoby stoją obok siebie albo nie sąsiadują: metoda sklejania, metoda luk, wzór 2/n i 6 zadań z matury rozszerzonej.
type: task_solution
category: Prawdopodobieństwo
tags: prawdopodobieństwo obok siebie, osoby siedzą obok siebie prawdopodobieństwo, metoda sklejania kombinatoryka, metoda luk kombinatoryka, żadne dwie nie stoją obok siebie, ustawienia w rzędzie prawdopodobieństwo, permutacje z warunkiem, prawdopodobieństwo klasyczne matura rozszerzona, zadania z prawdopodobieństwa matura rozszerzona, ile jest ustawień obok siebie
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-09-30T19:47:06.441+00:00
updated: 2026-09-30T19:51:39.421+00:00
---
# Prawdopodobieństwo, że osoby stoją obok siebie albo nie sąsiadują - ustawienia w rzędzie na maturze rozszerzonej
Prawdopodobieństwo, że wskazane osoby ustawione losowo w rzędzie stoją obok siebie, liczysz **metodą sklejania**: \(k\) wskazanych osób traktujesz jak jeden blok, więc z \(n\) osób robi się \(n - k + 1\) elementów do ustawienia, a sam blok można ułożyć na \(k!\) sposobów. Stąd \(P = \frac{k! \cdot (n-k+1)!}{n!}\), a dla dwóch osób po prostu \(P = \frac{2}{n}\). Gdy wskazane elementy mają **nie sąsiadować**, ustawiasz najpierw pozostałe i wstawiasz wyróżnione w wolne luki między nimi (**metoda luk**). Oba schematy wracają w zadaniach z prawdopodobieństwa na [maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona).

W arkuszach rozszerzonych CKE ten typ zadania ma kilka wersji. W [maju 2018](/exams/matura-rozszerzona-maj-2018) (zadanie 9) żadne dwie liczby parzyste nie mogły stać obok siebie w ciągu. W [czerwcu 2021](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2021) (zadanie 11) znane było prawdopodobieństwo, że trzej sportowcy siedzą obok siebie, a szukało się liczby uczestników. W [czerwcu 2023](/exams/matura-rozszerzona-czerwiec-2023-formula-2023) (zadanie 2 w formule 2023) to samo pytanie wróciło w wersji czysto kombinatorycznej, a w [maju 2026](/exams/matura-rozszerzona-maj-2026) (zadanie 2) warunek dotyczył każdych trzech kolejnych wyrazów ciągu. Podstawy, czyli klasyczną definicję prawdopodobieństwa i liczenie permutacji, masz we wpisach [jak obliczyć prawdopodobieństwo](/jak-obliczyc-prawdopodobienstwo-zadania) oraz [silnia, permutacje i kombinacje](/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory). Tutaj jest jeden temat: kto stoi obok kogo.

## Ile jest wszystkich ustawień w rzędzie

Wszystkich ustawień \(n\) różnych elementów w rzędzie jest \(n!\), bo na pierwsze miejsce wybierasz jeden z \(n\) elementów, na drugie jeden z \(n - 1\) pozostałych i tak dalej. Losowe usadzenie osób na krzesłach, ustawienie książek na półce i ułożenie liczb w ciąg bez powtórzeń to ta sama przestrzeń zdarzeń: każda permutacja jest jednakowo prawdopodobna, więc liczysz z klasycznej definicji \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\).

Mianownik jest więc zawsze ten sam, \(|\Omega| = n!\), a cała praca polega na policzeniu ustawień sprzyjających.

## Metoda sklejania: elementy obok siebie

Metoda sklejania polega na potraktowaniu elementów, które mają stać obok siebie, jako jednego bloku. Ustawiasz blok razem z pozostałymi elementami, a potem mnożysz przez liczbę sposobów ułożenia elementów wewnątrz bloku. Dla \(k\) elementów w bloku daje to \((n - k + 1)! \cdot k!\) ustawień.

Skąd \(n - k + 1\)? Z \(n\) elementów \(k\) zlepiasz w jeden, więc do ustawienia zostaje \(n - k\) luźnych elementów i jeden blok. Mnożenie przez \(k!\) jest potrzebne, bo blok „Ola, Piotr” i blok „Piotr, Ola” to dwa różne ustawienia. Jeśli treść mówi, że elementy stoją obok siebie **w ustalonej kolejności** (na przykład tomy I, II, III od lewej), mnożnika \(k!\) nie ma.

Dla dwóch osób wzór upraszcza się do \(P = \frac{2 \cdot (n-1)!}{n!} = \frac{2}{n}\). Warto to zapamiętać, bo pozwala sprawdzić wynik w pamięci.

## Metoda luk: żadne dwa nie stoją obok siebie

Metoda luk polega na tym, że najpierw ustawiasz elementy zwykłe, a wyróżnione wstawiasz w luki między nimi, po jednym w każdą lukę. Przy \(m\) zwykłych elementach luk jest \(m + 1\): po jednej między każdymi dwoma sąsiadami i dwie na końcach rzędu. Skoro w każdej luce stoi najwyżej jeden wyróżniony, żadne dwa wyróżnione się nie stykają.

Zwykłe elementy ustawiasz na \(m!\) sposobów. Pierwszy wyróżniony wybiera jedną z \(m + 1\) luk, drugi jedną z pozostałych \(m\), i tak dalej, aż do \(k\)-tego. Metoda działa tylko wtedy, gdy \(k \le m + 1\). Przy większej liczbie wyróżnionych takich ustawień po prostu nie ma.

Gdy wyróżnione są tylko dwa, prościej jest policzyć zdarzenie przeciwne: \(P(\text{nie obok siebie}) = 1 - \frac{2}{n}\). Przy trzech i więcej wyróżnionych ten skrót zawodzi, o czym piszę w pułapkach.

## Wzory

Liczba wszystkich ustawień w rzędzie:

$$|\Omega| = n!$$

Blok k elementów obok siebie:

$$|A| = (n - k + 1)! \cdot k!$$

Dwie wskazane osoby obok siebie:

$$P = \frac{2}{n}$$

Żadne dwa wyróżnione nie sąsiadują:

$$|A| = m! \cdot \frac{(m+1)!}{(m+1-k)!}$$

W ostatnim wzorze \(m\) to liczba elementów zwykłych, \(k\) to liczba wyróżnionych, a \(n = m + k\).

## Przykład 1: Dwie osoby obok siebie

**Treść:** Siedem osób, wśród nich Ola i Piotr, siada w losowej kolejności na siedmiu krzesłach ustawionych w jednym rzędzie. Prawdopodobieństwo, że Ola i Piotr siedzą obok siebie, jest równe:

- A) \(\frac{1}{42}\)
- B) \(\frac{1}{21}\)
- C) \(\frac{1}{7}\)
- D) \(\frac{2}{7}\)

**Krok 1: Policz wszystkie usadzenia.** Siedem różnych osób na siedmiu krzesłach:

$$|\Omega| = 7! = 5040$$

**Krok 2: Sklej Olę i Piotra.** Blok „Ola i Piotr” plus pięć pozostałych osób to sześć elementów, które ustawiasz na \(6!\) sposobów. Wewnątrz bloku są dwie kolejności:

$$|A| = 6! \cdot 2! = 720 \cdot 2 = 1440$$

**Krok 3: Podziel.**

$$P(A) = \frac{1440}{5040} = \frac{2}{7}$$

**Odpowiedź: D.** Wynik zgadza się ze wzorem \(\frac{2}{n}\) dla \(n = 7\). Odpowiedź C to pominięty mnożnik \(2!\), a B wychodzi, gdy ustawisz tylko pięć pozostałych osób i zapomnisz, że sam blok też zajmuje miejsce w rzędzie.

## Przykład 2: Trzy tomy obok siebie

**Treść:** Na półce ustawiamy w losowej kolejności osiem różnych książek, wśród których są trzy tomy jednej encyklopedii. Oblicz prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy tomy stoją obok siebie. Oblicz też prawdopodobieństwo, że stoją obok siebie w kolejności I, II, III od lewej.

**Krok 1: Policz wszystkie ustawienia.**

$$|\Omega| = 8! = 40\,320$$

**Krok 2: Sklej trzy tomy.** Blok trzech tomów i pięć pozostałych książek to sześć elementów. Wewnątrz bloku tomy mogą stać na \(3! = 6\) sposobów:

$$|A| = 6! \cdot 3! = 720 \cdot 6 = 4320$$

**Krok 3: Oblicz pierwsze prawdopodobieństwo.**

$$P(A) = \frac{4320}{40\,320} = \frac{3}{28}$$

**Krok 4: Ustalona kolejność tomów.** Gdy kolejność w bloku jest narzucona, zostaje tylko \(6! = 720\) ustawień:

$$P(B) = \frac{720}{40\,320} = \frac{1}{56}$$

**Odpowiedź:** tomy stoją obok siebie z prawdopodobieństwem \(\frac{3}{28}\), a obok siebie w kolejności I, II, III z prawdopodobieństwem \(\frac{1}{56}\). Drugi wynik jest sześć razy mniejszy, bo z sześciu możliwych kolejności w bloku pasuje tylko jedna.

## Przykład 3: Dwie osoby nie obok siebie

**Treść:** Sześć osób, w tym Ania i Bartek, ustawia się w losowej kolejności w kolejce. Oblicz prawdopodobieństwo, że Ania i Bartek nie stoją obok siebie.

**Krok 1: Zdarzenie przeciwne.** „Nie obok siebie” to dopełnienie zdarzenia „obok siebie”. Dla dwóch osób spośród sześciu:

$$P(\text{obok siebie}) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

**Krok 2: Odejmij od jedynki.**

$$P(\text{nie obok siebie}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$

**Krok 3: Sprawdź metodą luk.** Cztery pozostałe osoby ustawiasz na \(4! = 24\) sposoby. Tworzą one pięć luk. Ania wybiera jedną z pięciu, Bartek jedną z czterech pozostałych, co daje \(5 \cdot 4 = 20\) możliwości. Razem \(24 \cdot 20 = 480\) ustawień sprzyjających spośród \(6! = 720\), czyli \(\frac{480}{720} = \frac{2}{3}\).

**Odpowiedź:** \(P = \frac{2}{3}\). Oba sposoby dają ten sam wynik, więc na egzaminie liczysz krótszym, a drugim sprawdzasz rachunek.

## Przykład 4: Żadne dwie liczby parzyste obok siebie

**Treść:** Z liczb zbioru \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}\) tworzymy dziewięciowyrazowy ciąg, którego wyrazy się nie powtarzają. Oblicz prawdopodobieństwo, że żadne dwie liczby parzyste nie są sąsiednimi wyrazami tego ciągu.

**Krok 1: Policz wszystkie ciągi.** Każdy ciąg to permutacja dziewięciu liczb:

$$|\Omega| = 9! = 362\,880$$

**Krok 2: Ustaw liczby nieparzyste.** Nieparzystych jest pięć (1, 3, 5, 7, 9), więc ustawiasz je na \(5! = 120\) sposobów. Tworzą sześć luk: przed pierwszą, cztery między nimi i za ostatnią.

**Krok 3: Wstaw parzyste w luki.** Cztery liczby parzyste (2, 4, 6, 8) wstawiasz po jednej w różne luki. Pierwsza wybiera jedną z sześciu luk, druga jedną z pięciu, trzecia z czterech, czwarta z trzech:

$$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$$

**Krok 4: Pomnóż i podziel.**

$$|A| = 120 \cdot 360 = 43\,200, \qquad P(A) = \frac{43\,200}{362\,880} = \frac{5}{42}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{5}{42}\). Ten sam schemat, tylko z ośmioma liczbami, pojawił się w arkuszu z maja 2018. Znajdziesz go niżej jako zadanie do samodzielnego rozwiązania.

## Przykład 5: Ilu było uczestników (matura rozszerzona czerwiec 2023, zadanie 2)

**Treść:** Wśród \(n\) osób są Ania i jej dwaj znajomi. Wszystkie te \(n\) osób ustawiamy w kolejkę jedna za drugą. Liczba wszystkich takich ustawień jest \(12\) razy większa od liczby tych ustawień, w których Ania i jej dwaj znajomi zajmują trzy kolejne miejsca (w dowolnej kolejności). Oblicz \(n\).

**Krok 1: Policz ustawienia z blokiem.** Ania i dwaj znajomi tworzą blok. Z \(n\) osób robi się \(n - 2\) elementów, a wewnątrz bloku trzy osoby można ułożyć na \(3! = 6\) sposobów:

$$|A| = 3! \cdot (n-2)!$$

**Krok 2: Zapisz warunek z treści.**

$$n! = 12 \cdot 3! \cdot (n-2)!$$

**Krok 3: Skróć silnie.** Ponieważ \(n! = n(n-1) \cdot (n-2)!\), po podzieleniu obu stron przez \((n-2)!\) zostaje:

$$n(n-1) = 72$$

**Krok 4: Rozwiąż równanie kwadratowe.** Z \(n^2 - n - 72 = 0\) masz \(\Delta = 1 + 288 = 289\) i \(\sqrt{\Delta} = 17\), więc \(n = \frac{1 + 17}{2} = 9\) albo \(n = \frac{1 - 17}{2} = -8\). Liczba osób jest naturalna, więc zostaje \(n = 9\).

**Odpowiedź:** \(n = 9\). Warunek „12 razy więcej ustawień” mówi to samo co prawdopodobieństwo \(\frac{1}{12}\), że trójka stoi obok siebie. To zadanie pochodzi z arkusza w formule 2023.

## Przykład 6: Każde trzy kolejne wyrazy (matura rozszerzona maj 2026, zadanie 2)

**Treść:** Ze zbioru ośmiu liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\) losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie i ustawiamy je w ciąg zgodnie z kolejnością losowania. Oblicz prawdopodobieństwo, że iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów tego ciągu jest liczbą podzielną przez \(3\).

**Krok 1: Przetłumacz warunek.** Iloczyn trzech liczb całkowitych jest podzielny przez \(3\) wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna z nich jest podzielna przez \(3\). W zbiorze są tylko dwie takie liczby: \(3\) i \(6\). Każde okno trzech kolejnych miejsc musi więc zawierać \(3\) albo \(6\).

**Krok 2: Znajdź miejsca dla 3 i 6.** Oznacz miejsca zajęte przez te dwie liczby jako \(p < q\). Okno z miejscami 1, 2, 3 wymusza \(p \le 3\), a okno z miejscami 6, 7, 8 wymusza \(q \ge 6\). Okno z miejscami \(p + 1\), \(p + 2\), \(p + 3\) nie zawiera \(p\), więc musi zawierać \(q\), czyli \(q \le p + 3\). Z \(p \le 3\), \(q \ge 6\) i \(q - p \le 3\) zostaje jedna para: \(p = 3\), \(q = 6\).

**Krok 3: Policz ciągi sprzyjające.** Liczby \(3\) i \(6\) stają na miejscach 3 i 6 na \(2\) sposoby, a pozostałe sześć liczb zajmuje sześć wolnych miejsc na \(6! = 720\) sposobów:

$$|A| = 2 \cdot 720 = 1440$$

**Krok 4: Podziel przez liczbę wszystkich ciągów.**

$$P(A) = \frac{1440}{8!} = \frac{1440}{40\,320} = \frac{1}{28}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{1}{28}\). Warunek działa tu odwrotnie niż w przykładzie 4: wyróżnione liczby nie mogą stać za daleko od siebie ani od końców ciągu.

## Sprawdź się na zadaniach z arkuszy

Dwa zadania otwarte z arkuszy CKE. Pierwsze to przykład 4 w wersji z ośmioma liczbami, drugie to przykład 5 odwrócony: znasz prawdopodobieństwo, że trójka siedzi obok siebie, i szukasz liczby uczestników. Pełne rozwiązania zadań z rozszerzenia odblokujesz w [abonamencie](/payment/checkout).

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-maj-2018-9

Zadanie z bazy: /task/pr-matura-rozszerzona-czerwiec-2021-11

## Typowe pułapki

**Pułapka:** Brak mnożnika \(k!\) za kolejność wewnątrz bloku. Jeśli treść nie narzuca kolejności, blok „Ola, Piotr” i blok „Piotr, Ola” to dwa różne ustawienia. W przykładzie 1 ten błąd daje \(\frac{1}{7}\) zamiast \(\frac{2}{7}\).

**Pułapka 2:** Zła liczba elementów po sklejeniu. Blok zastępuje \(k\) elementów jednym, więc ustawiasz \(n - k + 1\) elementów, a nie \(n - k\). Blok też zajmuje miejsce w rzędzie.

**Pułapka 3:** Zdarzenie przeciwne przy trzech osobach. Dopełnieniem zdarzenia „wszystkie trzy stoją obok siebie” jest „nie wszystkie trzy stoją obok siebie”, a nie „żadne dwie nie stoją obok siebie”. Zdarzenie „nie wszystkie trzy obok siebie” obejmuje też ustawienia, w których stykają się tylko dwie z trzech osób, a warunek „żadne dwie” takie ustawienia wyklucza. Dla niego licz metodą luk.

**Pułapka 4:** Za mało luk. Między \(m\) elementami jest \(m - 1\) luk wewnętrznych, ale do tego dochodzą dwa miejsca na końcach rzędu. Razem \(m + 1\).

**Uwaga:** Okrągły stół to inna przestrzeń niż rząd. Przy stole z \(n\) miejscami (dla \(n \ge 3\)) każde miejsce ma dwóch sąsiadów, bo nie ma końców, więc dla dwóch osób wychodzi \(\frac{2}{n-1}\), a nie \(\frac{2}{n}\).

**Wskazówka:** Wynik dla dwóch osób sprawdzisz bez silni. Ola z prawdopodobieństwem \(\frac{2}{n}\) trafia na koniec rzędu i ma jednego sąsiada, a z prawdopodobieństwem \(\frac{n-2}{n}\) siedzi w środku i ma dwóch. Piotr trafia na jedno z \(n - 1\) pozostałych miejsc, więc \(P = \frac{2}{n} \cdot \frac{1}{n-1} + \frac{n-2}{n} \cdot \frac{2}{n-1} = \frac{2n-2}{n(n-1)} = \frac{2}{n}\).

## Co musisz umieć

- Zapisać liczbę wszystkich ustawień \(n\) różnych elementów w rzędzie jako \(n!\).
- Skleić \(k\) elementów w blok i policzyć ustawienia jako \((n-k+1)! \cdot k!\).
- Odróżnić blok w dowolnej kolejności od bloku w kolejności narzuconej przez treść.
- Wstawić elementy w luki między \(m\) elementami, pamiętając o dwóch lukach na końcach.
- Policzyć „nie obok siebie” dla dwóch osób przez zdarzenie przeciwne.
- Ułożyć równanie z silniami, skrócić je do równania kwadratowego i odrzucić ujemne rozwiązanie.

## Poćwicz na zadaniach z bazy

Poniżej zadania z prawdopodobieństwa klasycznego z arkuszy rozszerzonych, w których liczbę zdarzeń sprzyjających liczysz kombinatoryką: ciągi cyfr, losowanie kul i rzuty kostką. Wszystkie zadania z działu są na stronie [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo), a zadania czysto kombinatoryczne w dziale [kombinatoryka](/topics/kombinatoryka). Gdy w treści pojawia się „pod warunkiem”, sięgnij po wpis o [prawdopodobieństwie warunkowym i wzorze Bayesa](/prawdopodobienstwo-warunkowe-wzor-bayesa-zadania-matura), a przy powtarzanych próbach po [schemat Bernoulliego](/schemat-bernoulliego-matura-wzor-zadania).

Następny krok: Wszystkie działy matury rozszerzonej (/matura-rozszerzona)

## Najczęstsze pytania

### Jak obliczyć prawdopodobieństwo, że dwie osoby stoją obok siebie?

Dla \(n\) osób ustawionych losowo w rzędzie to prawdopodobieństwo jest równe \(\frac{2}{n}\). Wynika to z metody sklejania: dwie osoby tworzą blok, blok i pozostałe osoby ustawiasz na \((n-1)!\) sposobów, a wewnątrz bloku masz dwie kolejności, więc \(P = \frac{2 \cdot (n-1)!}{n!}\).

### Na czym polega metoda sklejania?

Elementy, które mają stać obok siebie, traktujesz jak jeden element. Liczysz ustawienia bloku razem z pozostałymi elementami, a wynik mnożysz przez liczbę ustawień elementów wewnątrz bloku. Dla \(k\) elementów w bloku spośród \(n\) daje to \((n-k+1)! \cdot k!\) ustawień.

### Jak policzyć ustawienia, w których żadne dwie osoby nie stoją obok siebie?

Ustaw najpierw pozostałe osoby, a wyróżnione wstawiaj w luki między nimi, po jednej w lukę. Przy \(m\) pozostałych osobach luk jest \(m + 1\), razem z dwiema na końcach. Tak liczy się przykład 4: \(5! \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3\) ciągów sprzyjających.

### Czy przy okrągłym stole wynik jest taki sam jak w rzędzie?

Nie. Przy okrągłym stole z \(n\) miejscami (dla \(n \ge 3\)) każda osoba ma dwóch sąsiadów, więc prawdopodobieństwo, że dwie wskazane osoby siedzą obok siebie, wynosi \(\frac{2}{n-1}\). W rzędzie osoby na końcach mają tylko po jednym sąsiedzie i wynik spada do \(\frac{2}{n}\).

### Kiedy liczyć przez zdarzenie przeciwne, a kiedy metodą luk?

Przy dwóch wyróżnionych elementach „nie obok siebie” to dokładnie dopełnienie „obok siebie”, więc wystarczy \(1 - \frac{2}{n}\). Przy trzech i więcej zdarzenie „żadne dwa nie sąsiadują” nie jest dopełnieniem zdarzenia „wszystkie obok siebie”, więc liczysz je metodą luk.

### Czy takie zadania są też na maturze podstawowej?

Proste liczenie ustawień z blokiem, bez prawdopodobieństwa, spotkasz także w kombinatoryce na poziomie podstawowym, na przykład w bazie [zadań CKE z kombinatoryki](/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami). Omówione wyżej zadania z lukami, z trzema osobami w bloku i z niewiadomą liczbą uczestników pochodzą z arkuszy rozszerzonych. Pełny zakres tego poziomu opisuje wpis o [wymaganiach na maturze rozszerzonej](/matura-rozszerzona-matematyka-2027-wymagania-tematy).