--- route: /prawdopodobienstwo-matura-kombinatoryka-wzory-zadania title: Prawdopodobieństwo na maturze - kombinatoryka, wzory i zadania z rozwiązaniami description: Prawdopodobieństwo na maturze z matematyki: permutacje, kombinacje, wariacje bez powtórzeń, definicja klasyczna i drzewo zdarzeń. Zadania z rozwiązaniami. type: topic_guide category: Prawdopodobieństwo tags: prawdopodobieństwo, kombinatoryka, matura, permutacje, kombinacje, wariacje, drzewo zdarzeń author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-04-03T08:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00 --- # Prawdopodobieństwo na maturze - kombinatoryka, wzory i zadania z rozwiązaniami ## Dlaczego prawdopodobieństwo jest trudne i jak to zmienić Prawdopodobieństwo i kombinatoryka to dział, który na egzaminie maturalnym potrafi zaskoczyć. Zadania wyglądają prosto - "ile jest możliwości?", "jakie jest prawdopodobieństwo?" - ale wymagają precyzyjnego myślenia i dobrego zrozumienia, kiedy używać którego wzoru. W tym przewodniku rozbuduję Twój intuicję kombinatoryczną i pokażę, jak systematycznie podchodzić do zadań maturalnych. --- ## Podstawy kombinatoryki - trzy główne pojęcia ### 1. Permutacje - ustawiamy wszystkie elementy Permutacja to ustawienie wszystkich \(n\) różnych elementów w pewien ciąg. $$P_n = n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1$$ **Przykład:** Na ile sposobów można ustawić 5 różnych książek na półce? $$P_5 = 5! = 120$$ ### 2. Wariacje bez powtórzeń - wybieramy k z n i kolejność ma znaczenie Wariacja bez powtórzeń to wybór \(k\) elementów z \(n\) różnych, gdzie kolejność MA znaczenie. $$V_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)\ldots(n-k+1)$$ **Przykład:** Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, zastępcę i sekretarza z 10 osób? $$V_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$$ ### 3. Kombinacje bez powtórzeń - wybieramy k z n, kolejność NIE ma znaczenia Kombinacja to wybór \(k\) elementów z \(n\) różnych, gdzie kolejność NIE MA znaczenia. $$\binom{n}{k} = C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ **Przykład:** Na ile sposobów można wybrać 3-osobową komisję z 10 uczniów? $$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$ --- ## Jak odróżnić permutacje od kombinacji od wariacji To kluczowe pytanie przed każdym zadaniem kombinatorycznym: | Sytuacja | Wzór | |----------|------| | Ustawiamy WSZYSTKIE elementy, kolejność ważna | \(P_n = n!\) | | Wybieramy CZĘŚĆ, kolejność WAŻNA | \(V_n^k\) | | Wybieramy CZĘŚĆ, kolejność NIEWAŻNA | \(\binom{n}{k}\) | **Wskazówka:** Jeśli problem dotyczy: - ustawiania w rzędzie, przydzielania miejsc, kolejności - to permutacje lub wariacje - wybierania grupy, drużyny, zestawu - to kombinacje --- ## Klasyczna definicja prawdopodobieństwa Gdy wszystkie wyniki są jednakowo prawdopodobne: $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$ gdzie \(|A|\) to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu \(A\), a \(|\Omega|\) to całkowita liczba wyników. --- ## Działania na zdarzeniach **Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego:** $$P(\overline{A}) = 1 - P(A)$$ To jeden z najczęściej używanych wzorów! Jeśli szukasz "przynajmniej jednego", często łatwiej liczyć "żadnego" i odjąć od 1. **Zdarzenia wykluczające się** (nie mogą zajść jednocześnie): $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ **Zdarzenia dowolne:** $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ **Zdarzenia niezależne** (jedno nie wpływa na drugie): $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ --- ## Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite Prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) pod warunkiem, że zaszło \(B\): $$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ **Wzór na prawdopodobieństwo całkowite:** Jeśli \(B_1, B_2, \ldots, B_n\) to zupełny układ zdarzeń, to: $$P(A) = P(A|B_1) \cdot P(B_1) + P(A|B_2) \cdot P(B_2) + \ldots + P(A|B_n) \cdot P(B_n)$$ --- ## Drzewo zdarzeń - potężne narzędzie wizualne Drzewo zdarzeń pomaga w zadaniach, gdzie jest kilka etapów i zdarzenia w kolejnych etapach zależą od poprzednich (losowanie bez zwracania). **Przykład:** W urnie jest 4 białe i 3 czarne kule. Losujemy dwie kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą białe? Krok 1: Prawdopodobieństwo wylosowania białej w 1. losowaniu: \(\frac{4}{7}\) Krok 2: Jeśli 1. była biała, w urnie zostało 3 białe i 3 czarne. Prawdopodobieństwo białej: \(\frac{3}{6} = \frac{1}{2}\) $$P(BB) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{14} = \frac{2}{7}$$ --- ## Schemat Bernoulliego - próby niezależne Schemat Bernoulliego stosujemy, gdy: - wykonujemy \(n\) niezależnych prób - każda próba ma dwa wyniki: sukces (prawdopodobieństwo \(p\)) lub porażka (prawdopodobieństwo \(1-p\)) - szukamy prawdopodobieństwa dokładnie \(k\) sukcesów $$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$ **Przykład:** Rzucamy monetą 5 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że orzeł wypadnie dokładnie 3 razy? $$P(X=3) = \binom{5}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 10 \cdot \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$$ --- ## Zadania maturalne z rozwiązaniami ### Zadanie 1 - Kombinatoryka z warunkiem W zawodach bierze udział 8 osób, w tym 3 kobiety i 5 mężczyzn. Na podium stają 3 osoby (I, II, III miejsce). Oblicz prawdopodobieństwo, że na podium znajdzie się dokładnie 1 kobieta. **Rozwiązanie:** Liczba wszystkich możliwych podium (kolejność ważna): \(V_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336\) Wyniki sprzyjające (dokładnie 1 kobieta na 3 miejscach): - Wybieramy 1 kobietę z 3: \(\binom{3}{1} = 3\) sposoby - Wybieramy 2 mężczyzn z 5: \(\binom{5}{2} = 10\) sposobów - Ustawiamy 3 osoby na 3 miejscach: \(3! = 6\) sposobów Razem: \(3 \cdot 10 \cdot 6 = 180\) $$P = \frac{180}{336} = \frac{15}{28}$$ ### Zadanie 2 - Przynajmniej jedno Rzucamy dwiema kostkami do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo, że przynajmniej jedna wypadnie 6? **Rozwiązanie:** Korzystamy ze zdarzenia przeciwnego - "żadna nie wypadnie 6": $$P(\text{żadna 6}) = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$ $$P(\text{przynajmniej jedna 6}) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$ --- ## Najczęstsze błędy w zadaniach z prawdopodobieństwa 1. **Mylenie z i bez zwracania** - przy losowaniu bez zwracania mianownik się zmienia z każdym losowaniem. 2. **Ignorowanie kolejności** - "wybrać 3 osoby do komisji" (bez kolejności) to inaczej niż "wybrać 3 osoby na stanowiska". 3. **Brak zdarzenia przeciwnego** - zadania z "przynajmniej" są zwykle łatwiejsze przez dopełnienie. Znajdziesz więcej zadań w dziale [Prawdopodobieństwo na SprawnaMatura.pl](/topics/prawdopodobienstwo) oraz w sekcji [Kombinatoryka](/topics/kombinatoryka). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)