--- route: /prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania title: Prawdopodobieństwo i kombinatoryka na maturze - wzory, metody i zadania CKE description: Przewodnik po prawdopodobieństwie na maturze z matematyki: klasyczna definicja, reguła mnożenia, symbol Newtona, permutacje. Zadania CKE z rozwiązaniami. type: topic_guide category: Prawdopodobieństwo tags: prawdopodobieństwo, kombinatoryka, matura, symbol Newtona, permutacje, kombinacje, reguła mnożenia published: 2026-03-24T12:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:50.605303+00:00 --- # Prawdopodobieństwo i kombinatoryka na maturze - wzory, metody i zadania CKE ## Prawdopodobieństwo na maturze - łatwiejsze niż myślisz Prawdopodobieństwo i kombinatoryka pojawiają się na maturze w 2-3 zadaniach (zwykle zamkniętych za 1 pkt + jedno otwarte za 2 pkt). Łącznie to **3-4 punkty**. Zadania z tego tematu mają jedną cechę: albo wiesz jak je rozwiązać i robisz to w minutę, albo nie masz pojęcia od czego zacząć. Ten przewodnik sprawi, że będziesz w tej pierwszej grupie. ## Klasyczna definicja prawdopodobienstwa $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$ Gdzie \(|A|\) to liczba zdarzeń sprzyjających (tych, które chcemy), a \(|\Omega|\) to liczba wszystkich możliwych zdarzeń. **Ważne:** Ta definicja działa tylko wtedy, gdy wszystkie zdarzenia elementarne są **jednakowo prawdopodobne** (np. rzut kostką, losowanie z urny). Na maturze podstawowej to warunek spełniony w 99% zadań. ## Reguła mnożenia Jeśli jedno zdarzenie może zajść na \(m\) sposobów, a drugie (niezależne od pierwszego) na \(n\) sposobów, to oba mogą zajść na \(m \cdot n\) sposobów. **Przykład:** Ile jest trzycyfrowych liczb parzystych? - Pierwsza cyfra: 9 możliwości (1-9, bo nie może być 0) - Druga cyfra: 10 możliwości (0-9) - Trzecia cyfra: 5 możliwości (0, 2, 4, 6, 8 - bo parzysta) - Razem: \(9 \cdot 10 \cdot 5 = 450\) ## Silnia, permutacje, kombinacje ### Silnia $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot n$$ Wartości, które warto pamiętać: \(0! = 1\), \(1! = 1\), \(2! = 2\), \(3! = 6\), \(4! = 24\), \(5! = 120\), \(6! = 720\). ### Permutacje **Ile jest sposobów ustawienia \(n\) elementów w kolejności?** $$P_n = n!$$ **Przykład:** Na ile sposobów 5 osób może ustawić się w kolejce? \(5! = 120\). ### Kombinacje (symbol Newtona) **Na ile sposobów wybrać \(k\) elementów z \(n\) (bez kolejności)?** $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$ **Przykład:** Na ile sposobów wybrać 3 osoby z 10? $$\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$$ **Trick obliczeniowy:** Nie mnóż całych silni! Skracaj od razu: $$\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1}$$ W liczniku bierzesz \(k\) kolejnych liczb od \(n\) w dół. W mianowniku bierzesz \(k!\). ### Kiedy permutacja, a kiedy kombinacja? - **Kolejność ma znaczenie** (kto pierwszy, kto drugi) = permutacja/reguła mnożenia - **Kolejność nie ma znaczenia** (wybieramy grupę) = kombinacja/symbol Newtona Na maturze najczęściej pojawiają się **kombinacje** - losujemy kule z urny, wybieramy uczniów do drużyny itp. ## Zdarzenia złożone ### Zdarzenie przeciwne $$P(A') = 1 - P(A)$$ Używaj, gdy łatwiej policzyć to, czego **nie chcemy**, a potem odjąć od 1. **Przykład:** Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród 3 losowanych kart z talii 52 kart jest **co najmniej jeden as**? Łatwiej policzyć: "żaden as" i odjąć od 1: $$P(\text{żaden as}) = \frac{\binom{48}{3}}{\binom{52}{3}}$$ $$P(\text{co najmniej 1 as}) = 1 - P(\text{żaden as})$$ ### Zdarzenia rozłączne Jeśli \(A\) i \(B\) nie mogą zajść jednocześnie: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B)$$ **Przykład:** Prawdopodobieństwo wyrzucenia 1 lub 6 na kostce: \(\frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\). ## Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE ### Przykład 1: Losowanie z urny (zamknięte, 1 pkt) **Treść:** W urnie jest 6 kul białych i 4 kule czarne. Losujemy jedną kulę. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej jest równe A. \(\frac{2}{5}\) B. \(\frac{3}{5}\) C. \(\frac{2}{3}\) D. \(\frac{3}{2}\) **Rozwiązanie:** $$P = \frac{6}{6 + 4} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$$ **Odpowiedź: B** ### Przykład 2: Losowanie dwóch kul (otwarte, 2 pkt) **Treść:** W pudełku jest 5 kul czerwonych i 3 kule zielone. Losujemy jednocześnie 2 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że obie wylosowane kule są czerwone. **Rozwiązanie:** Wszystkie sposoby wybrania 2 kul z 8: $$|\Omega| = \binom{8}{2} = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$$ Sposoby wybrania 2 czerwonych z 5: $$|A| = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$$ $$P = \frac{10}{28} = \frac{5}{14}$$ **Odpowiedź:** \(P = \frac{5}{14}\) ### Przykład 3: Reguła mnożenia (zamknięte, 1 pkt) **Treść:** Ile czterocyfrowych liczb można utworzyć z cyfr 1, 2, 3, 4, 5, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać? A. \(20\) B. \(60\) C. \(120\) D. \(625\) **Rozwiązanie:** Bez powtórzeń: - Pierwsza cyfra: 5 możliwości - Druga: 4 (jedna już użyta) - Trzecia: 3 - Czwarta: 2 $$5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$$ **Odpowiedź: C** ### Przykład 4: Zdarzenie przeciwne (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rzucamy dwa razy kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka. **Rozwiązanie:** Łatwiej przez zdarzenie przeciwne ("ani razu szóstka"): Prawdopodobieństwo, że w jednym rzucie **nie** wypadnie 6: \(\frac{5}{6}\) Prawdopodobieństwo, że w dwóch rzutach **ani razu** nie wypadnie 6: $$P(A') = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$$ Prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie 6: $$P(A) = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$$ **Odpowiedź:** \(P = \frac{11}{36}\) ## Najczęstsze błędy **Błąd 1: Losowanie "jednocześnie" vs "po kolei".** Losowanie 2 kul jednocześnie to to samo co losowanie po kolei **bez zwracania** i **bez kolejności**. Używaj symbolu Newtona. **Błąd 2: Zapominanie o skracaniu ułamków.** Wynik \(\frac{10}{28}\) na maturze musisz skrócić do \(\frac{5}{14}\). Nieskrócony ułamek = utrata punktu. **Błąd 3: Mieszanie "z powtórzeniami" i "bez powtórzeń".** Rzucając kostką 3 razy - wyniki mogą się powtarzać (\(6 \cdot 6 \cdot 6 = 216\)). Losując 3 kule z urny - nie mogą (symbol Newtona). **Błąd 4: Nieprawidłowe użycie dodawania.** Prawdopodobienstwa dodajemy **tylko** dla zdarzeń rozłącznych. "Wypadnie 1 lub 6" - dodajemy. "Pierwsza kula czerwona lub druga zielona" - **nie** dodajemy (zdarzenia mogą zajść jednocześnie). ## Strategia "urna" Na maturze 80% zadań z prawdopodobienstwa to warianty jednego schematu: losowanie z urny/pudełka/zbioru. Schemat rozwiązywania: 1. Policz \(|\Omega|\) - wszystkie sposoby losowania (zwykle \(\binom{n}{k}\)) 2. Policz \(|A|\) - sposoby sprzyjające (zwykle \(\binom{n_1}{k_1} \cdot \binom{n_2}{k_2}\)) 3. Podziel: \(P = \frac{|A|}{|\Omega|}\) 4. Skróć ułamek Na Sprawnej Maturze masz zadania z prawdopodobienstwa i kombinatoryki z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz schemat "urna" na 20 zadaniach i opanujesz ten temat na stałe. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)