--- route: /pole-obwod-figur-matura-wzory title: Pole i obwód figur na maturze - wzory, które musisz znać na pamięć description: Wszystkie wzory na pole i obwód figur płaskich z matury z matematyki: trójkąt (5 wzorów!), prostokąt, romb, trapez, koło, wycinek kołowy. Każdy wzór z wyjaśnieniem, kiedy stosować i przykładem maturalnym. type: strategy tags: pole figur, obwód figur, wzory maturalne, pole trójkąta, pole koła, pole rombu, pole trapezu, planimetria, matura published: 2026-03-26T08:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:50.148791+00:00 --- # Pole i obwód figur na maturze - wzory, które musisz znać na pamięć ## Dlaczego warto mieć te wzory w jednym miejscu Pola i obwody figur płaskich to jeden z filarów [planimetrii na maturze](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia). Na arkuszu CKE pojawia się od 3 do 6 zadań wymagających obliczenia pola lub obwodu - zarówno w części zamkniętej (szybkie 1-punktowe), jak i w zadaniach otwartych za 2-5 punktów. To solidna porcja łatwych punktów, o ile znasz wzory i wiesz, kiedy który zastosować. Część tych wzorów znajdziesz na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje), ale nie wszystkie. W tym artykule zebraliśmy **kompletną listę wzorów** na pole i obwód każdej figury, która może pojawić się na maturze - z wyjaśnieniem, kiedy stosować dany wzór, i z przykładem. Traktuj to jak referencję, do której wracasz przed egzaminem. Jeśli szukasz ogólnego planu nauki, polecam zacząć od [strategii przygotowań do matury 2027](/jak-zdac-mature-z-matematyki-strategia). --- ## Trójkąt Trójkąt to figura, do której masz na maturze najwięcej wzorów na pole. Wybór właściwego wzoru zależy od tego, jakie dane masz w zadaniu. ### Wzór 1: Podstawa razy wysokość $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$ gdzie \(a\) to długość wybranego boku (podstawy), a \(h_a\) to wysokość opuszczona na ten bok. **Kiedy stosować:** Gdy znasz długość boku i wysokość na ten bok. To najprostszy i najczęstszy wzór. **Obwód trójkąta:** $$L = a + b + c$$ ### Wzór 2: Wzór Herona $$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$ gdzie \(s = \frac{a + b + c}{2}\) to połowa obwodu (półobwód). **Kiedy stosować:** Gdy znasz długości wszystkich trzech boków, ale **nie znasz** żadnej wysokości. Na maturze pojawia się w zadaniach, gdzie najpierw obliczasz boki (np. z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) lub z [twierdzenia cosinusów](/topics/trygonometria)), a potem musisz wyznaczyć pole. **Przykład maturalny:** Oblicz pole trójkąta o bokach \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = 7\). $$s = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9$$ $$P = \sqrt{9 \cdot (9-5) \cdot (9-6) \cdot (9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6}$$ ### Wzór 3: Dwa boki i sinus kąta między nimi $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin \gamma$$ gdzie \(a\) i \(b\) to dwa boki, a \(\gamma\) to kąt między nimi. **Kiedy stosować:** Gdy znasz dwa boki i kąt między nimi. Bardzo popularny na maturze - pojawia się w zadaniach z [trygonometrią](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). Pamiętaj, że kąt musi być **między** danymi bokami, nie dowolny kąt trójkąta. **Przykład:** Dwa boki trójkąta mają długości 8 i 10, a kąt między nimi to \(30°\). $$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \sin 30° = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 10 \cdot \frac{1}{2} = 20$$ ### Wzór 4: Pole trójkąta wpisanego w okrąg $$P = \frac{abc}{4R}$$ gdzie \(a, b, c\) to boki trójkąta, a \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie. **Kiedy stosować:** Gdy zadanie dotyczy trójkąta wpisanego w okrąg (okrąg opisany) i znasz boki oraz promień. Ten wzór pojawia się rzadziej, ale bywa kluczowy w trudniejszych zadaniach planimetrycznych. ### Wzór 5: Pole ze współrzędnych wierzchołków $$P = \frac{1}{2}|x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$$ gdzie \(A = (x_1, y_1)\), \(B = (x_2, y_2)\), \(C = (x_3, y_3)\) to wierzchołki trójkąta. **Kiedy stosować:** W zadaniach z [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), gdy masz podane współrzędne wierzchołków. Nie zapomnij o wartości bezwzględnej - bez niej wynik może wyjść ujemny. **Przykład:** Oblicz pole trójkąta o wierzchołkach \(A = (1, 2)\), \(B = (4, 6)\), \(C = (7, 1)\). $$P = \frac{1}{2}|1 \cdot (6 - 1) + 4 \cdot (1 - 2) + 7 \cdot (2 - 6)|$$ $$= \frac{1}{2}|5 + (-4) + (-28)| = \frac{1}{2}|-27| = \frac{27}{2} = 13{,}5$$ ### Dodatkowy wzór: Pole z promieniem okręgu wpisanego $$P = s \cdot r$$ gdzie \(s\) to półobwód, a \(r\) to promień okręgu wpisanego w trójkąt. Rzadki na maturze podstawowej, ale warto go znać. --- ## Prostokąt $$P = a \cdot b$$ $$L = 2a + 2b = 2(a + b)$$ **Przekątna prostokąta** (z twierdzenia Pitagorasa): $$d = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Przekątne prostokąta są równej długości i przecinają się w połowie. Każda przekątna dzieli prostokąt na dwa przystające trójkąty prostokątne. **Przykład maturalny:** Przekątna prostokąta ma długość 13, a jeden bok ma długość 5. Oblicz pole prostokąta. $$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$$ $$P = 5 \cdot 12 = 60$$ --- ## Kwadrat $$P = a^2$$ $$L = 4a$$ **Przekątna kwadratu:** $$d = a\sqrt{2}$$ **Pole kwadratu z przekątnej** (wzór, którego wielu uczniów nie zna!): $$P = \frac{d^2}{2}$$ Ten wzór wynika z faktu, że kwadrat to szczególny romb. Na maturze bywa bardzo przydatny - gdy zadanie podaje przekątną kwadratu, od razu masz pole bez obliczania boku. To jeden z [wzorów spoza tablic, które warto znać](/matura-matematyka-wzory-spoza-tablic-ktore-musisz-znac). **Przykład:** Przekątna kwadratu wynosi \(6\sqrt{2}\). Oblicz pole kwadratu. $$P = \frac{(6\sqrt{2})^2}{2} = \frac{72}{2} = 36$$ --- ## Romb $$P = a \cdot h$$ gdzie \(a\) to bok, \(h\) to wysokość. **Pole rombu z przekątnych:** $$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$$ gdzie \(d_1\) i \(d_2\) to przekątne rombu. **Pole rombu z bokiem i kątem:** $$P = a^2 \cdot \sin \alpha$$ gdzie \(\alpha\) to dowolny kąt ostry rombu. **Obwód rombu:** $$L = 4a$$ **Przekątne rombu** przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy. Jeśli znasz przekątne \(d_1\) i \(d_2\), to bok rombu: $$a = \sqrt{\left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2} = \frac{1}{2}\sqrt{d_1^2 + d_2^2}$$ **Przykład maturalny:** Przekątne rombu mają długości 10 i 24. Oblicz pole i obwód rombu. $$P = \frac{10 \cdot 24}{2} = 120$$ $$a = \frac{1}{2}\sqrt{10^2 + 24^2} = \frac{1}{2}\sqrt{100 + 576} = \frac{1}{2}\sqrt{676} = \frac{1}{2} \cdot 26 = 13$$ $$L = 4 \cdot 13 = 52$$ --- ## Równoległobok $$P = a \cdot h_a$$ gdzie \(a\) to podstawa, \(h_a\) to wysokość na tę podstawę. **Pole z dwóch boków i kątem:** $$P = a \cdot b \cdot \sin \alpha$$ gdzie \(\alpha\) to kąt między bokami \(a\) i \(b\). **Obwód:** $$L = 2a + 2b = 2(a + b)$$ **Ważna własność:** Przekątne równoległoboku przecinają się w połowie (ale nie muszą być prostopadłe, jak w rombie, ani równe, jak w prostokącie). **Związek przekątnych z bokami** (z twierdzenia równoległoboku): $$d_1^2 + d_2^2 = 2a^2 + 2b^2$$ **Przykład:** Boki równoległoboku mają długości 6 i 10, a kąt ostry wynosi \(60°\). Oblicz pole. $$P = 6 \cdot 10 \cdot \sin 60° = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}$$ --- ## Trapez $$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$$ gdzie \(a\) i \(b\) to podstawy (boki równoległe), a \(h\) to wysokość. **Obwód trapezu:** $$L = a + b + c + d$$ gdzie \(c\) i \(d\) to ramiona trapezu. **Trapez równoramienny** (ramiona równej długości): - Przekątne są równej długości - Kąty przy każdej podstawie są równe - Można go wpisać w okrąg **Linia środkowa trapezu** (łączy środki ramion): $$m = \frac{a + b}{2}$$ Pole trapezu za pomocą linii środkowej: \(P = m \cdot h\). **Przykład maturalny:** Podstawy trapezu mają długości 6 i 14, a wysokość wynosi 5. Oblicz pole. $$P = \frac{(6 + 14) \cdot 5}{2} = \frac{20 \cdot 5}{2} = 50$$ --- ## Koło $$P = \pi r^2$$ $$L = 2\pi r = \pi d$$ gdzie \(r\) to promień, a \(d = 2r\) to średnica. **Pole koła ze średnicy:** $$P = \frac{\pi d^2}{4}$$ Ten wzór oszczędza krok - nie musisz najpierw obliczać promienia. **Przykład:** Średnica koła wynosi 10. Oblicz pole. $$P = \frac{\pi \cdot 10^2}{4} = \frac{100\pi}{4} = 25\pi$$ --- ## Wycinek kołowy $$P_{\text{wyc}} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$ **Długość łuku:** $$l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$ gdzie \(\alpha\) to kąt środkowy wycinka (w stopniach). **Obwód wycinka** (łuk + dwa promienie): $$L_{\text{wyc}} = l + 2r = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r + 2r$$ **Przykład maturalny:** Oblicz pole wycinka kołowego o promieniu 6 i kącie środkowym \(120°\). $$P = \frac{120°}{360°} \cdot \pi \cdot 6^2 = \frac{1}{3} \cdot 36\pi = 12\pi$$ --- ## Wycinek pierścieniowy i pierścień **Pole pierścienia** (obszar między dwoma współśrodkowymi okręgami): $$P_{\text{pierścienia}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi(R^2 - r^2)$$ gdzie \(R\) to promień większego okręgu, \(r\) to promień mniejszego. **Pole wycinka pierścieniowego:** $$P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi(R^2 - r^2)$$ --- ## Wielokąt foremny Wielokąt foremny o \(n\) bokach długości \(a\): **Pole:** $$P = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \cot\frac{\pi}{n} = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \frac{\cos\frac{\pi}{n}}{\sin\frac{\pi}{n}}$$ **Obwód:** $$L = n \cdot a$$ Na maturze najczęściej pojawiają się: **Trójkąt równoboczny** (\(n = 3\)): $$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ **Sześciokąt foremny** (\(n = 6\)): $$P = \frac{3a^2\sqrt{3}}{2}$$ Sześciokąt foremny składa się z 6 trójkątów równobocznych. Jego przekątna główna (łącząca przeciwległe wierzchołki) ma długość \(2a\), a przekątna "krótka" ma długość \(a\sqrt{3}\). **Przykład:** Oblicz pole trójkąta równobocznego o boku 8. $$P = \frac{8^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}$$ --- ## Trójkąty specjalne - wzory, które przyspieszają rozwiązywanie Na maturze wiele zadań dotyczy trójkątów o szczególnych własnościach. Warto znać ich wzory na pamięć, bo oszczędzają czas. ### Trójkąt prostokątny Pole trójkąta prostokątnego to najłatwiejszy przypadek - przyprostokątne pełnią rolę podstawy i wysokości: $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$$ gdzie \(a\) i \(b\) to przyprostokątne. Przeciwprostokątna (z [twierdzenia Pitagorasa](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania)): $$c = \sqrt{a^2 + b^2}$$ Promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny: $$r = \frac{a + b - c}{2}$$ Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym: $$R = \frac{c}{2}$$ Środek okręgu opisanego leży w połowie przeciwprostokątnej - ten fakt jest bardzo przydatny w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). ### Trójkąt prostokątny 30-60-90 Boki w stosunku \(1 : \sqrt{3} : 2\). Jeśli krótsza przyprostokątna ma długość \(a\): $$P = \frac{a \cdot a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$$ ### Trójkąt prostokątny 45-45-90 (równoramienny prostokątny) Boki w stosunku \(1 : 1 : \sqrt{2}\). Jeśli przyprostokątna ma długość \(a\): $$P = \frac{a^2}{2}$$ **Przykład maturalny:** W trójkącie prostokątnym równoramiennym przeciwprostokątna ma długość 10. Oblicz pole. Przyprostokątna: \(a = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\) $$P = \frac{(5\sqrt{2})^2}{2} = \frac{50}{2} = 25$$ ### Trójkąt równoramienny Jeśli ramiona mają długość \(a\), a podstawa \(b\): $$h = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$$ $$P = \frac{b}{2} \cdot \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}}$$ Wysokość w trójkącie równoramiennym dzieli podstawę na pół - to kluczowa własność, z której korzystasz w wielu zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria). --- ## Częste błędy przy obliczaniu pól i obwodów Na podstawie [analizy najczęstszych błędów maturalnych](/najczestsze-bledy-na-maturze-z-matematyki) wyodrębniliśmy typowe pomyłki: ### Błąd 1: Zapominanie o \(\frac{1}{2}\) w polu trójkąta Uczniowie piszą \(P = a \cdot h\) zamiast \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h\). Pod presją czasu na maturze ten błąd zdarza się zaskakująco często. ### Błąd 2: Mylenie promienia ze średnicą W zadaniach z kołem często podana jest średnica, a uczeń podstawia ją bezpośrednio do wzoru \(P = \pi r^2\). Pamiętaj: \(r = \frac{d}{2}\). Pole koła o średnicy 10 to \(\pi \cdot 5^2 = 25\pi\), a nie \(100\pi\). ### Błąd 3: Złe podstawienie w trapez We wzorze \(P = \frac{(a+b)h}{2}\) litery \(a\) i \(b\) to **podstawy** (boki równoległe), a nie dowolne boki. Ramiona trapezu nie wchodzą do wzoru na pole. ### Błąd 4: Kąt w złym miejscu We wzorze \(P = \frac{1}{2}ab\sin\gamma\) kąt \(\gamma\) musi być **między** bokami \(a\) i \(b\). Podstawienie dowolnego kąta trójkąta da zły wynik. ### Błąd 5: Brak wartości bezwzględnej we wzorze ze współrzędnych Wzór na pole ze współrzędnych wierzchołków wymaga wartości bezwzględnej. Bez niej wynik może wyjść ujemny, jeśli wierzchołki podałeś w kolejności zgodnej z ruchem wskazówek zegara. To zagadnienie omawiamy szerzej w artykule o [wartości bezwzględnej na maturze](/wartosc-bezwzgledna-matura-rownania-nierownosci). --- ## Przekątne wybranych figur - zestawienie Na maturze często trzeba obliczyć przekątną, żeby potem użyć jej w innym wzorze. Oto zestawienie: | Figura | Wzór na przekątną | Uwagi | |---|---|---| | Prostokąt (boki \(a, b\)) | \(d = \sqrt{a^2 + b^2}\) | Obie przekątne równe | | Kwadrat (bok \(a\)) | \(d = a\sqrt{2}\) | Obie równe, prostopadłe | | Romb (bok \(a\), kąt \(\alpha\)) | \(d_1 = 2a\sin\frac{\alpha}{2}\), \(d_2 = 2a\cos\frac{\alpha}{2}\) | Prostopadłe, nierówne | | Sześciokąt foremny (bok \(a\)) | \(d_{\text{gł}} = 2a\), \(d_{\text{kr}} = a\sqrt{3}\) | Trzy pary symetrii | --- ## Pola figur w układzie współrzędnych W zadaniach z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) obliczanie pól wymaga specjalnych metod. ### Metoda z wyznacznikiem (wzór sznurowadłowy) Dla wielokąta o wierzchołkach \((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)\) podanych **kolejno** (zgodnie z ruchem wskazówek zegara lub przeciwnie): $$P = \frac{1}{2}|x_1 y_2 - x_2 y_1 + x_2 y_3 - x_3 y_2 + \ldots + x_n y_1 - x_1 y_n|$$ Dla trójkąta (\(n = 3\)) to daje dokładnie wzór 5, który już znamy. **Przykład:** Oblicz pole czworokąta o wierzchołkach \(A = (0, 0)\), \(B = (4, 0)\), \(C = (5, 3)\), \(D = (1, 3)\). $$P = \frac{1}{2}|0 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 4 \cdot 3 - 5 \cdot 0 + 5 \cdot 3 - 1 \cdot 3 + 1 \cdot 0 - 0 \cdot 3|$$ $$= \frac{1}{2}|0 - 0 + 12 - 0 + 15 - 3 + 0 - 0| = \frac{1}{2} \cdot 24 = 12$$ ### Metoda prostokąta otaczającego Jeśli wzór sznurowadłowy wydaje się zbyt skomplikowany, możesz: 1. Narysować najmniejszy prostokąt otaczający figurę (z bokami równoległymi do osi) 2. Obliczyć pole tego prostokąta 3. Odjąć pola trójkątów prostokątnych w rogach Ta metoda jest bardziej intuicyjna i mniej podatna na [błędy rachunkowe](/bledy-rachunkowe-matura-matematyka-jak-unikac). --- ## Najczęstsze zadania maturalne z polami figur Na podstawie analizy [arkuszy CKE z lat 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) najczęściej pojawiają się takie typy zadań: ### Typ 1: Pole trójkąta z danymi pośrednimi Zadanie nie daje ci wprost podstawy i wysokości - musisz je wyznaczyć z innych informacji (np. z równań prostych w [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) albo z zależności trygonometrycznych). ### Typ 2: Pole figury złożonej Na rysunku jest koło z wpisanym kwadratem albo trójkąt z wyciętym wycinkiem kołowym. Musisz obliczyć pole "reszty" - to znaczy odjąć jedno pole od drugiego. **Przykład:** W kwadrat o boku 10 wpisano koło. Oblicz pole obszaru między kwadratem a kołem. $$P_{\text{kwadratu}} = 10^2 = 100$$ Promień wpisanego koła to połowa boku: \(r = 5\). $$P_{\text{koła}} = \pi \cdot 5^2 = 25\pi$$ $$P_{\text{reszty}} = 100 - 25\pi \approx 100 - 78{,}54 = 21{,}46$$ ### Typ 3: Pole w zadaniu z proporcjami Dwa trójkąty są podobne w skali \(k\). Stosunek ich pól wynosi \(k^2\). Stosunek obwodów wynosi \(k\). Ten fakt jest kluczowy w zadaniach z [twierdzeniem Talesa](/twierdzenie-talesa-matura-proporcje-zadania). $$\frac{P_1}{P_2} = k^2 \quad \text{gdzie } k = \frac{a_1}{a_2} \text{ to skala podobieństwa}$$ ### Typ 4: Pole w zadaniu optymalizacyjnym Masz ograniczoną ilość materiału (np. ogrodzenia) i szukasz figury o maksymalnym polu. Więcej o tym typie zadań przeczytasz w artykule o [zadaniach optymalizacyjnych na maturze](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka). Kluczowy fakt: - Spośród prostokątów o danym obwodzie, **kwadrat ma największe pole** - Spośród figur o danym obwodzie, **koło ma największe pole** ### Typ 5: Pole z powiązaniem ze stereometrią Na maturze zdarzają się zadania, w których trzeba obliczyć pole podstawy lub przekroju bryły. Wtedy wzory planimetryczne łączysz z [wzorami stereometrycznymi](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy). Np. pole podstawy graniastosłupa o podstawie trójkąta równobocznego wymaga wzoru \(P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). --- ## Tabela zbiorcza - ściąga przed maturą | Figura | Pole | Obwód | |---|---|---| | Trójkąt | \(\frac{1}{2}ah\) | \(a + b + c\) | | Trójkąt (Heron) | \(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\) | - | | Trójkąt (trygon.) | \(\frac{1}{2}ab\sin\gamma\) | - | | Trójkąt równoboczny | \(\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\) | \(3a\) | | Prostokąt | \(ab\) | \(2(a+b)\) | | Kwadrat | \(a^2\) lub \(\frac{d^2}{2}\) | \(4a\) | | Romb | \(ah\) lub \(\frac{d_1 d_2}{2}\) | \(4a\) | | Równoległobok | \(ah\) lub \(ab\sin\alpha\) | \(2(a+b)\) | | Trapez | \(\frac{(a+b)h}{2}\) | \(a+b+c+d\) | | Koło | \(\pi r^2\) | \(2\pi r\) | | Wycinek kołowy | \(\frac{\alpha}{360°}\pi r^2\) | \(\frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r + 2r\) | | Pierścień | \(\pi(R^2 - r^2)\) | \(2\pi R + 2\pi r\) | | Sześciokąt foremny | \(\frac{3a^2\sqrt{3}}{2}\) | \(6a\) | --- ## Jak się uczyć tych wzorów Lista wzorów jest długa, ale większość z nich **nie trzeba uczyć się na pamięć** - wystarczy je rozumieć. 1. **Wzory podstawowe** (prostokąt, trójkąt \(\frac{1}{2}ah\), koło) - te musisz znać na 100%. 2. **Wzory pochodne** (romb z przekątnych, trapez) - wynikają z rozkładu na prostsze figury. 3. **Wzory trygonometryczne** (\(\frac{1}{2}ab\sin\gamma\), romb z kątem) - pamiętaj schemat "dwa boki razy sinus kąta między nimi". 4. **Wzory specjalne** (Heron, pole z wierzchołków) - naucz się je stosować, ale nie wkuwaj na pamięć - są na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-co-jest-czego-brakuje). Najlepszy sposób nauki? Rozwiązywanie prawdziwych zadań maturalnych. Wejdź do naszej [bazy zadań z planimetrii](/topics/planimetria) - masz tam kilkaset zadań z polami i obwodami, każde z pełnym rozwiązaniem krok po kroku. ## Co dalej? Po opanowaniu pól i obwodów figur płaskich warto przejść do: - [Planimetria na maturze](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia) - pełny przewodnik po wszystkich zagadnieniach planimetrycznych - [Stereometria na maturze](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) - objętości i pola powierzchni brył (korzystają z pól figur płaskich!) - [Trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania) - bez trygonometrii nie obliczysz pola z dwóch boków i kąta - [Twierdzenie Pitagorasa - zadania maturalne](/twierdzenie-pitagorasa-matura-zadania-zastosowania) - potrzebne do wyznaczania wysokości i przekątnych - [Geometria analityczna na maturze](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - pola figur w układzie współrzędnych - [Pewniaki maturalne 2027](/pewniaki-maturalne-zadania-ktore-na-pewno-sie-pojawia) - które zadania z polami na pewno się pojawią Powodzenia na maturze! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)