--- route: /pochodna-funkcji-wzory-jak-obliczyc-zadania-matura title: Pochodna funkcji - wzory, jak obliczyć i zadania z matury rozszerzonej description: Pochodna funkcji: wzory z karty, reguła iloczynu i ilorazu, równanie stycznej, monotoniczność. Pięć rozwiązanych przykładów z matury rozszerzonej. type: topic_guide category: Rachunek różniczkowy tags: pochodna funkcji, jak obliczyć pochodną, wzory na pochodne, pochodna funkcji wzory matura, reguła iloczynu pochodna, pochodna ilorazu wzór, równanie stycznej do wykresu funkcji, pochodna matura rozszerzona, monotoniczność funkcji pochodna, ekstrema lokalne pochodna, rachunek różniczkowy matura published: 2026-09-06T07:15:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:50.021552+00:00 --- # Pochodna funkcji - wzory, jak obliczyć i zadania z matury rozszerzonej Pochodna funkcji \(f\) w punkcie \(x_0\) to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie \((x_0, f(x_0))\). Liczysz ją z gotowych wzorów: \((x^n)' = nx^{n-1}\), pochodna stałej jest równa zeru, a suma, iloczyn i iloraz mają własne reguły. Znak pochodnej mówi o monotoniczności funkcji: tam, gdzie \(f'(x) > 0\), funkcja rośnie, tam, gdzie \(f'(x) 0\) - w otoczeniu \(x_0\) funkcja rośnie, styczna wznosi się w prawo; - \(f'(x_0) 0\). Oblicz \(f'(4)\). **Krok 1: Zamień na potęgi.** Pierwiastek to potęga o wykładniku \(\frac{1}{2}\), a ułamek to potęga o wykładniku \(-1\). $$f(x) = 3x^{\frac{1}{2}} + 5x^{-1}$$ **Krok 2: Zastosuj wzór na pochodną potęgi.** Wykładnik schodzi przed \(x\) i maleje o jeden. $$f'(x) = 3 \cdot \tfrac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}} - 5x^{-2} = \frac{3}{2\sqrt{x}} - \frac{5}{x^2}$$ **Krok 3: Podstaw \(x = 4\).** Pamiętaj, że \(\sqrt{4} = 2\). $$f'(4) = \frac{3}{2 \cdot 2} - \frac{5}{16} = \frac{3}{4} - \frac{5}{16} = \frac{12}{16} - \frac{5}{16} = \frac{7}{16}$$ **Odpowiedź:** \(f'(4) = \frac{7}{16}\). ## Przykład 3: Reguła iloczynu **Treść:** Oblicz pochodną funkcji \(f(x) = (x^2 + 1)(3x - 2)\) określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). **Krok 1: Nazwij czynniki.** Przyjmij \(u = x^2 + 1\) oraz \(v = 3x - 2\), wtedy \(u' = 2x\) i \(v' = 3\). **Krok 2: Podstaw do wzoru na pochodną iloczynu.** $$f'(x) = 2x(3x - 2) + (x^2 + 1) \cdot 3$$ **Krok 3: Uporządkuj.** $$f'(x) = 6x^2 - 4x + 3x^2 + 3 = 9x^2 - 4x + 3$$ **Krok 4: Sprawdź innym sposobem.** Po wymnożeniu \(f(x) = 3x^3 - 2x^2 + 3x - 2\), a stąd \(f'(x) = 9x^2 - 4x + 3\). Wynik się zgadza. **Odpowiedź:** \(f'(x) = 9x^2 - 4x + 3\). ## Przykład 4: Reguła ilorazu **Treść:** Funkcja \(f\) jest określona wzorem \(f(x) = \frac{3x + 1}{x^2 + 1}\) dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). Wyznacz \(f'(x)\). **Krok 1: Nazwij licznik i mianownik.** Przyjmij \(u = 3x + 1\) oraz \(v = x^2 + 1\), wtedy \(u' = 3\) i \(v' = 2x\). **Krok 2: Podstaw do wzoru na pochodną ilorazu.** Kolejność w liczniku jest istotna: najpierw pochodna licznika razy mianownik, potem odejmujesz. $$f'(x) = \frac{3(x^2 + 1) - (3x + 1) \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2}$$ **Krok 3: Uporządkuj licznik.** $$f'(x) = \frac{3x^2 + 3 - 6x^2 - 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{-3x^2 - 2x + 3}{(x^2 + 1)^2}$$ **Odpowiedź:** \(f'(x) = \frac{-3x^2 - 2x + 3}{(x^2+1)^2}\). Mianownik jest dodatni dla każdego \(x\), więc o znaku pochodnej decyduje wyłącznie licznik. ## Przykład 5: Równanie stycznej do wykresu **Treść:** Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) w punkcie o odciętej \(x_0 = 2\). **Krok 1: Policz rzędną punktu styczności.** $$f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$$ **Krok 2: Policz pochodną i jej wartość w \(x_0\).** $$f'(x) = 3x^2 - 3, \qquad f'(2) = 12 - 3 = 9$$ **Krok 3: Podstaw do równania stycznej.** Styczna przechodzi przez punkt \((2, 3)\) i ma współczynnik kierunkowy \(9\). $$y = 9(x - 2) + 3 = 9x - 15$$ **Odpowiedź:** \(y = 9x - 15\). ## Styczna do wykresu, czyli po co liczysz pochodną Najczęstszy sposób, w jaki pochodna wchodzi do zadania, to styczna. Wzór jest jeden i wynika wprost z równania prostej o zadanym współczynniku kierunkowym przechodzącej przez zadany punkt, które rozpisujemy we wpisie o [wyznaczaniu równania prostej](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty). $$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)$$ Zadania na maturze rozszerzonej rzadko pytają wprost „wyznacz styczną". Częściej podają warunek na tę styczną i każą znaleźć punkt: styczna ma być równoległa do danej prostej (czyli \(f'(x_0)\) ma być równe jej współczynnikowi kierunkowemu), prostopadła do niej (iloczyn współczynników równy \(-1\)) albo nachylona do osi pod danym kątem (\(f'(x_0) = \mathrm{tg}\,\alpha\)). We wszystkich tych wariantach schemat jest ten sam: zamieniasz warunek geometryczny na równanie z pochodną, rozwiązujesz je i dopiero potem liczysz rzędną. Zobacz to na jednym warunku. Szukasz punktu, w którym styczna do wykresu \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) jest równoległa do prostej \(y = 9x - 4\). Prosta ma współczynnik kierunkowy \(9\), więc warunek równoległości daje równanie \(f'(x_0) = 9\), czyli \(3x_0^2 - 3 = 9\). Stąd \(x_0^2 = 4\), a więc \(x_0 = 2\) albo \(x_0 = -2\). Punktów jest zatem dwa i oba trzeba w odpowiedzi wymienić, bo równanie kwadratowe rzadko ma tylko jedno rozwiązanie. Gdyby styczna miała być prostopadła do prostej o współczynniku \(m\), zamiast \(f'(x_0) = m\) rozwiązywałbyś \(f'(x_0) = -\frac{1}{m}\), a resztę robiłbyś identycznie. Warunki równoległości i prostopadłości prostych zebraliśmy we wpisie o [prostych równoległych i prostopadłych](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania). **Uwaga:** styczna w punkcie o odciętej \(x_0\) i sieczna przechodząca przez dwa punkty wykresu to nie to samo. Sieczna ma współczynnik kierunkowy liczony z ilorazu różnicowego dla konkretnego przyrostu, a styczna z granicy tego ilorazu. W treści zadania rozstrzyga słowo „styczna", nie rysunek. ## Jak pochodna wchodzi do zadania maturalnego W arkuszach rozszerzonych pochodna pojawia się w czterech powtarzalnych rolach i warto je rozpoznawać po pierwszym zdaniu polecenia. **Rola pierwsza: policz wartość pochodnej.** Zadanie podaje wzór funkcji i pyta o \(f'(x_0)\) albo o współczynnik kierunkowy stycznej. Punkt dostajesz za poprawne zróżniczkowanie i podstawienie, więc liczy się wyłącznie rachunkowa staranność. **Rola druga: warunek na styczną.** Zadanie opisuje styczną słowami (równoległa, prostopadła, przechodząca przez dany punkt) i każe znaleźć punkt styczności albo parametr we wzorze funkcji. Tu pochodna jest tylko pierwszym krokiem, a resztą jest zwykłe równanie. **Rola trzecia: monotoniczność i ekstrema.** Zadanie prosi o przedziały monotoniczności, wartość ekstremalną albo wartość najmniejszą i największą w przedziale domkniętym. Rozwiązanie to zawsze pochodna, jej miejsca zerowe i tabela znaków. **Rola czwarta: optymalizacja.** Zadanie opisuje figurę albo bryłę i każe znaleźć wymiary, przy których pewna wielkość jest największa lub najmniejsza. Najtrudniejszy jest tu nie rachunek, tylko zapisanie tej wielkości jako funkcji jednej zmiennej wraz z jej dziedziną, bo dopiero potem wchodzi pochodna. We wszystkich czterech rolach schemat obliczeniowy jest ten sam, a różni je wyłącznie to, co trzeba zrobić przed policzeniem pochodnej i po odczytaniu jej znaku. ## Monotoniczność i ekstrema w skrócie Drugie duże zastosowanie pochodnej to badanie przebiegu funkcji. Kolejność działań: **Krok 1: Wyznacz dziedzinę.** Bez niej reszta jest zgadywaniem. **Krok 2: Policz pochodną i przyrównaj ją do zera.** Miejsca zerowe pochodnej to kandydaci na ekstrema. **Krok 3: Zbadaj znak pochodnej.** Najwygodniej w tabeli: przedziały, znak \(f'\), strzałka monotoniczności. **Krok 4: Odczytaj ekstrema.** Zmiana znaku z plusa na minus to maksimum lokalne, z minusa na plus to minimum lokalne. Przy wielomianie znak pochodnej odczytasz z jej postaci iloczynowej, więc przyda się umiejętność [rozkładania wielomianu na czynniki](/jak-rozlozyc-wielomian-na-czynniki). Przy funkcji wymiernej mianownik pochodnej jest kwadratem, czyli dodatni w całej dziedzinie, i o znaku decyduje sam licznik. Weź \(f(x) = x^3 - 3x^2\) określoną dla każdej liczby rzeczywistej. Pochodna to \(f'(x) = 3x^2 - 6x\), a po wyciągnięciu wspólnego czynnika \(f'(x) = 3x(x-2)\). Miejsca zerowe pochodnej to \(x = 0\) i \(x = 2\), a znak iloczynu odczytujesz z paraboli o ramionach w górę: dodatni poza przedziałem \((0, 2)\), ujemny wewnątrz niego. Wniosek: funkcja rośnie w przedziale \((-\infty, 0\rangle\), maleje w \(\langle 0, 2 \rangle\) i znowu rośnie w \(\langle 2, +\infty)\). W \(x = 0\) pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny, więc jest tam maksimum lokalne o wartości \(f(0) = 0\). W \(x = 2\) zmienia znak z ujemnego na dodatni, więc jest tam minimum lokalne o wartości \(f(2) = 8 - 12 = -4\). Zauważ, że maksimum lokalne bywa mniejsze od wielu innych wartości funkcji: słowo „lokalne" znaczy dokładnie tyle, że porównujesz tylko z najbliższym otoczeniem. ## Typowe pułapki **Pułapka:** miejsce zerowe pochodnej nie musi być ekstremum. Dla \(f(x) = x^3\) mamy \(f'(x) = 3x^2\), więc \(f'(0) = 0\), ale pochodna po obu stronach zera jest dodatnia i funkcja cały czas rośnie. Ekstremum wymaga ZMIANY znaku pochodnej, nie samego zera. **Pułapka 2:** przy regule ilorazu łatwo zamienić kolejność w liczniku. Odejmowanie nie jest przemienne, więc \(u'v - uv'\) to nie to samo co \(uv' - u'v\); zamiana kolejności daje wynik przeciwny i najczęściej dokładnie odwrotne wnioski o monotoniczności. **Pułapka 3:** punkt spoza dziedziny nigdy nie jest ekstremum. Funkcja \(f(x) = \frac{x^2+3}{x-1}\) nie ma ekstremum w \(x = 1\), bo w tym punkcie nie ma nawet wartości. W tabeli znaków taki punkt zaznaczasz pionową kreską, nie zerem pochodnej. **Wskazówka egzaminacyjna:** w zadaniu na wartość najmniejszą i największą w przedziale domkniętym porównaj wartości funkcji w ekstremach ORAZ na końcach przedziału. Sama tabela znaków nie wystarczy, bo największa wartość często wypada właśnie na końcu przedziału. **Zapamiętaj:** pochodna wielomianu stopnia \(n\) jest wielomianem stopnia \(n-1\). Jeśli po zróżniczkowaniu stopień się nie obniżył, gdzieś zgubiłeś wykładnik. ## Co musisz umieć - Podać interpretację geometryczną pochodnej jako współczynnika kierunkowego stycznej. - Policzyć pochodną wielomianu i funkcji zapisanej za pomocą pierwiastka lub ułamka. - Zastosować regułę iloczynu i regułę ilorazu bez mylenia kolejności w liczniku. - Wyznaczyć równanie stycznej do wykresu w danym punkcie. - Wyznaczyć przedziały monotoniczności z tabeli znaków pochodnej. - Odróżnić kandydata na ekstremum od faktycznego ekstremum. - Znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji w przedziale domkniętym. Quiz: Sprawdź się: pochodna w pięciu pytaniach Pytanie: Pochodna funkcji \(f(x) = 5x^4\) jest równa - A. \(5x^3\) - B. \(20x^3\) - C. \(4x^3\) - D. \(20x^4\) Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Wykładnik schodzi przed \(x\) i maleje o jeden: \(5 \cdot 4x^3 = 20x^3\). Odpowiedź \(20x^4\) to zapomniane obniżenie wykładnika. Pytanie: Ile wynosi pochodna funkcji stałej \(f(x) = 7\)? - A. \(7\) - B. \(0\) - C. \(1\) - D. \(7x\) Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Funkcja stała ma poziomy wykres, więc styczna też jest pozioma i jej współczynnik kierunkowy wynosi \(0\). Pytanie: Jeśli \(f'(3) = -2\), to w otoczeniu punktu \(x = 3\) funkcja - A. rośnie - B. maleje - C. ma minimum lokalne - D. ma maksimum lokalne Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Ujemna wartość pochodnej oznacza opadającą styczną, czyli funkcję malejącą. Ekstremum wymagałoby wartości zerowej. Pytanie: Pochodna iloczynu \(f(x) = x^2 \cdot (x+1)\) jest równa - A. \(2x\) - B. \(3x^2 + 2x\) - C. \(2x(x+1)\) - D. \(2x + 1\) Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Z reguły iloczynu: \(2x(x+1) + x^2 \cdot 1 = 2x^2 + 2x + x^2 = 3x^2 + 2x\). Sam iloczyn pochodnych nie jest pochodną iloczynu. Pytanie: Styczna do wykresu \(f\) w punkcie o odciętej \(x_0\) jest pozioma. Wynika stąd, że - A. \(f(x_0) = 0\) - B. \(f'(x_0) = 0\) - C. funkcja ma w \(x_0\) minimum - D. funkcja ma w \(x_0\) maksimum Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Pozioma prosta ma współczynnik kierunkowy \(0\), więc \(f'(x_0) = 0\). O ekstremum decyduje dopiero zmiana znaku pochodnej. ## Poćwicz na zadaniach z bazy Poniżej zadania z arkuszy rozszerzonych, w których pochodna jest głównym narzędziem. Zacznij od tych, w których liczysz pochodną wprost, a potem przejdź do zadań ze styczną i ekstremum. Następny krok: Losuj kolejne zadanie z rachunku różniczkowego (/losuj) ## Najczęstsze pytania ### Czy pochodna jest na maturze podstawowej? Nie. Wszystkie zadania z rachunku różniczkowego w bazie Sprawnej Matury pochodzą z arkuszy rozszerzonych. Na poziomie podstawowym wartość najmniejszą i największą wyznacza się innymi narzędziami, na przykład postacią kanoniczną funkcji kwadratowej, o czym piszemy we wpisie o [najmniejszej i największej wartości funkcji kwadratowej w przedziale](/najmniejsza-najwieksza-wartosc-funkcji-kwadratowej-w-przedziale). ### Czy wzory na pochodne są w karcie wzorów? Tak, wzory na pochodne podstawowych funkcji oraz reguły różniczkowania sumy, iloczynu i ilorazu znajdziesz w zestawie wzorów wydawanym na egzaminie. Nie zwalnia cię to z ich rozumienia: karta podaje wzór, ale nie podpowie, że w danym zadaniu trzeba najpierw zamienić pierwiastek na potęgę. ### Jak zapisać, że liczba jest pochodną w punkcie, a nie funkcją? Zapis \(f'(x)\) oznacza funkcję pochodną, czyli wzór, a \(f'(x_0)\) to liczba, czyli wartość tej funkcji w konkretnym punkcie. W rozwiązaniu warto zapisać oba kroki osobno: najpierw ogólny wzór pochodnej, potem podstawienie. Egzaminator widzi wtedy, że liczba nie wzięła się znikąd. ### Co zrobić, gdy pochodna nie ma miejsc zerowych? To poprawny wynik, nie błąd. Jeśli pochodna jest stale dodatnia albo stale ujemna, funkcja jest monotoniczna w całej dziedzinie i nie ma ekstremów. Przy pochodnej będącej trójmianem kwadratowym rozstrzyga o tym znak wyróżnika, który liczysz [wzorem na deltę](/delta-rownanie-kwadratowe-wzor-obliczanie-matura). ### Czy do zadania optymalizacyjnego zawsze potrzebna jest pochodna? Nie zawsze, ale prawie zawsze najszybciej jest właśnie z nią. Jeśli funkcja opisująca wielkość optymalizowaną okaże się kwadratowa, wystarczy wierzchołek paraboli. Gdy jest wielomianem stopnia trzeciego albo funkcją wymierną, pochodna jest jedynym rozsądnym narzędziem. Schemat całego typu zadań rozpisujemy w tekście o [zadaniach optymalizacyjnych](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka). ### Jak sprawdzić, czy dobrze policzyłem pochodną wielomianu? Najprostszy test to stopień: pochodna wielomianu stopnia \(n\) ma stopień \(n-1\). Drugi test to wartość w wygodnym punkcie: policz pochodną dwoma drogami, na przykład regułą iloczynu i po wcześniejszym wymnożeniu nawiasów, i porównaj wyniki. Jeśli się różnią, błąd jest w jednej z dwóch dróg i zwykle widać go od razu. ### Czy funkcję wymierną zawsze trzeba różniczkować regułą ilorazu? Nie zawsze i często szybciej jest bez niej. Jeśli mianownik jest jednomianem, wygodniej rozbić ułamek na sumę: \(\frac{x^3 + 5}{x} = x^2 + 5x^{-1}\), a taką sumę różniczkujesz składnik po składniku. Regułę ilorazu zostaw na przypadki, w których mianownik jest sumą, na przykład \(x^2 + 1\), bo tam rozbicie nic nie daje. ### Jak zapisać rozwiązanie, żeby dostać komplet punktów? Zapisz cztery rzeczy w tej kolejności: dziedzinę funkcji, wzór pochodnej, rozwiązanie równania \(f'(x) = 0\) i wniosek o znaku pochodnej wraz z odczytanym ekstremum. Sam poprawny wynik bez zapisanego znaku pochodnej to rozwiązanie niepełne, bo nie widać, skąd wiadomo, że kandydat na ekstremum faktycznie nim jest. Ta sama zasada obowiązuje w zadaniach optymalizacyjnych, gdzie trzeba jeszcze dopisać, że znaleziona wartość mieści się w dziedzinie wynikającej z treści. ### Czy pochodną można policzyć w punkcie, w którym funkcja nie jest określona? Nie. Pochodna w punkcie wymaga, żeby funkcja była określona w otoczeniu tego punktu. Dlatego pierwszym krokiem badania funkcji wymiernej jest dziedzina, a punkty z niej wykluczone zaznaczasz w tabeli znaków pionową kreską i nigdy nie traktujesz ich jako ekstremów.