---
route: /planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia
title: Planimetria na maturze - pola figur, twierdzenia i zadania z rozwiązaniami
description: Przewodnik po planimetrii na maturze z matematyki: pola trójkątów i czworokątów, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo figur. Zadania CKE z rozwiązaniami.
type: topic_guide
category: Planimetria
tags: planimetria, matura, pola figur, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo, trójkąty, czworokąty
published: 2026-03-24T16:00:00+00:00
updated: 2026-09-09T12:00:49.946608+00:00
---
# Planimetria na maturze - pola figur, twierdzenia i zadania z rozwiązaniami
## Planimetria - geometria, która daje punkty

Planimetria (geometria płaska) pojawia się na maturze w 2-4 zadaniach, łącznie za **4-8 punktów**. To jeden z "Big 5" - pięciu tematów, które stanowią ponad 60% punktów na egzaminie. Zadania z planimetrii wymagają dobrej znajomości wzorów na pola figur, twierdzenia Pitagorasa i umiejętności "widzenia" figur pomocniczych w złożonych konstrukcjach.

## Twierdzenie Pitagorasa - fundament planimetrii

$$a^2 + b^2 = c^2$$

gdzie \(a\) i \(b\) to przyprostokątne, a \(c\) to przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego.

To twierdzenie pojawia się na maturze **w co drugim zadaniu z planimetrii**. Często nie wprost - musisz sam zauważyć, że w figurze jest trójkąt prostokątny.

### Trójkąty prostokątne szczególne

**Trójkąt o bokach 3, 4, 5** (i wielokrotności: 6-8-10, 9-12-15):
$$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$$

**Trójkąt o bokach 5, 12, 13:**
$$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$$

**Połowa kwadratu** (trójkąt 45-45-90): boki w stosunku \(1 : 1 : \sqrt{2}\)

**Połowa trójkąta równobocznego** (trójkąt 30-60-90): boki w stosunku \(1 : \sqrt{3} : 2\)

Zapamiętaj te proporcje - CKE regularnie daje zadania, w których rozpoznanie trójkąta szczególnego oszczędza kilka minut obliczeń.

## Pola figur - kompletna lista

### Trójkąty

**Podstawowy wzór:** \(P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a\) (podstawa razy wysokość przez 2)

**Ze wzoru Herona** (gdy znasz 3 boki):
$$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$
gdzie \(s = \frac{a+b+c}{2}\) (połowa obwodu)

**Z sinusem kąta** (gdy znasz 2 boki i kąt między nimi):
$$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin\gamma$$

**Trójkąt równoboczny** o boku \(a\):
$$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$

### Czworokąty

**Prostokąt:** \(P = a \cdot b\)

**Kwadrat:** \(P = a^2 = \frac{d^2}{2}\) (z boku lub z przekątnej)

**Równoległobok:** \(P = a \cdot h\) (bok razy wysokość na ten bok)

**Romb:** \(P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}\) (połowa iloczynu przekątnych)

**Trapez:** \(P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}\) (suma podstaw razy wysokość przez 2)

### Koło

**Pole koła:** \(P = \pi r^2\)

**Obwód koła:** \(L = 2\pi r\)

**Pole wycinka:** \(P = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2\)

**Długość łuku:** \(l = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r\)

## Podobieństwo figur

Dwa trójkąty są podobne, gdy mają równe kąty (wystarczą 2 z 3) lub gdy boki są proporcjonalne. Na maturze podobieństwo pojawia się w dwóch kontekstach:

### Cechy podobienstwa trójkątów

- **KKK** - trzy pary kątów równych (wystarczą dwie, bo trzecia wynika)
- **BBB** - trzy pary boków proporcjonalnych
- **BKB** - dwie pary boków proporcjonalnych i kąt między nimi równy

### Skala podobienstwa

Jeśli skala podobienstwa wynosi \(k\):
- Boki odpowiadające się mają stosunek \(k\)
- Pola mają stosunek \(k^2\)
- Obwody mają stosunek \(k\)

**Przykład:** Jeśli dwa trójkąty są podobne w skali \(k = 3\), to pole większego jest \(3^2 = 9\) razy większe od pola mniejszego.

## Okrąg wpisany i opisany

### Okrąg wpisany w trójkąt

Promień okręgu wpisanego:
$$r = \frac{P}{s}$$

gdzie \(P\) to pole trójkąta, a \(s\) to połowa obwodu.

### Okrąg opisany na trójkącie

Promień okręgu opisanego (z twierdzenia sinusów):
$$R = \frac{a}{2\sin\alpha}$$

**Ważna własność:** Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty (90°). CKE uwielbia to testować!

## Rozwiązane przykłady z arkuszy CKE

### Przykład 1: Trapez równoramienny (otwarte, 3 pkt)

**Treść:** W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawy mają długości \(AB = 14\) cm i \(CD = 6\) cm, a ramię \(AD = 5\) cm. Oblicz pole tego trapezu.

**Rozwiązanie:**

**Krok 1.** Wyznaczamy wysokość. Różnica podstaw: \(14 - 6 = 8\). W trapezie równoramiennym dzieli się po równo: \(\frac{8}{2} = 4\) cm po każdej stronie.

**Krok 2.** Trójkąt prostokątny z przyprostokątną 4 cm i przeciwprostokątną 5 cm (ramię):
$$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$$

Rozpoznajemy trójkąt 3-4-5!

**Krok 3.** Pole trapezu:
$$P = \frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = \frac{60}{2} = 30 \text{ cm}^2$$

**Odpowiedź:** Pole trapezu wynosi \(30 \text{ cm}^2\)

### Przykład 2: Podobieństwo trójkątów (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne. Jeśli \(AB = 6\), \(DE = 9\) i pole \(ABC = 20\), to pole \(DEF\) jest równe

A. \(30\)    B. \(45\)    C. \(60\)    D. \(180\)

**Rozwiązanie:**

Skala podobienstwa: \(k = \frac{DE}{AB} = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\)

Stosunek pól: \(k^2 = \frac{9}{4}\)

$$P_{DEF} = P_{ABC} \cdot k^2 = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$$

**Odpowiedź: B**

### Przykład 3: Trójkąt z sinusem kąta (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Dwa boki trójkąta mają długości 8 cm i 12 cm, a kąt między nimi wynosi \(150°\). Pole tego trójkąta jest równe

A. \(24\) cm\(^2\)    B. \(24\sqrt{3}\) cm\(^2\)    C. \(48\) cm\(^2\)    D. \(48\sqrt{3}\) cm\(^2\)

**Rozwiązanie:**

$$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \sin 150° = \frac{1}{2} \cdot 96 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ cm}^2$$

Kluczowe: \(\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}\) (kąt w II ćwiartce).

**Odpowiedź: A**

### Przykład 4: Okrąg i kąt wpisany (zamknięte, 1 pkt)

**Treść:** Punkt \(C\) leży na okręgu o średnicy \(AB = 10\). Jeśli \(AC = 6\), to \(BC\) jest równe

A. \(4\)    B. \(8\)    C. \(\sqrt{64}\)    D. \(\sqrt{136}\)

**Rozwiązanie:**

Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty, więc trójkąt \(ACB\) jest prostokątny z przeciwprostokątną \(AB = 10\).

$$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8$$

**Odpowiedź: B** (i C - to ta sama wartość)

## Najczęstsze błędy

**Błąd 1: Mylenie wysokości z bokiem.** Wysokość trójkąta to odcinek **prostopadły** do podstawy, nie bok trójkąta! W trójkącie rozwartokątnym wysokość może wypadać poza figurę.

**Błąd 2: Zapominanie o połowie.** Pole trójkąta to podstawa razy wysokość **podzielone przez 2**. Pole trapezu to suma podstaw razy wysokość **podzielone przez 2**. Pod presją czasu łatwo pominąć tę dwójkę.

**Błąd 3: Brak rysunku.** Planimetria bez rysunku to jak jazda z zamkniętymi oczami. Nawet brzydki szkic pomaga zauważyć trójkąty prostokątne, symetrie i zależności.

**Błąd 4: Niemożność "zobaczenia" trójkąta prostokątnego.** W trapezach, równoległobokach i wielokątach prawie zawsze jest ukryty trójkąt prostokątny (np. po opuszczeniu wysokości). Szukaj go - to klucz do rozwiązania.

## Jak ćwiczyć planimetrię?

1. **Rysuj.** Do każdego zadania rób rysunek - nawet jeśli nie jest wymagany.
2. **Szukaj trójkątów prostokątnych.** Opuść wysokość, poprowadź przekątną, znajdź kąt prosty.
3. **Zacznij od łatwych.** Rozwiąż 20 zamkniętych, potem przejdź do otwartych.
4. **Trenuj wzór Herona.** Na maturze pojawia się rzadko, ale gdy się pojawi - oszczędza czas.

Na Sprawnej Maturze masz zadania z planimetrii z prawdziwych arkuszy CKE - przećwicz je wszystkie, robiąc rysunki do każdego zadania.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)