--- route: /planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag title: Planimetria na maturze - trójkąty, czworokąty i okrąg z wzorami i zadaniami description: Planimetria na maturze krok po kroku: wzory na pole i obwód trójkąta, czworokątów i okręgu, Pitagoras, sinus i cosinus. Zadania z rozwiązaniami. type: topic_guide category: Planimetria tags: planimetria, matura, trójkąt, czworokąt, okrąg, twierdzenie Pitagorasa, pole, obwód author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-04-04T08:00:00+00:00 updated: 2026-10-02T07:54:29.063+00:00 --- # Planimetria na maturze - trójkąty, czworokąty i okrąg z wzorami i zadaniami ## Planimetria na maturze - zakres i znaczenie Planimetria (geometria płaska) to jeden z fundamentalnych działów matematyki maturalnej. Zadania z planimetrii pojawiają się na każdym egzaminie - zarówno na poziomie podstawowym, jak i rozszerzonym. Dobra wiadomość: wzory są skończone i można je opanować! --- ## Trójkąty - wzory i właściwości ### Pole trójkąta - trzy podstawowe wzory **Ze wzoru podstawowego** (podstawa i wysokość): $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$$ **Ze wzoru sinusowego** (dwa boki i kąt między nimi): $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C$$ **Ze wzoru Herona** (gdy znamy trzy boki): $$P = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$ ### Twierdzenie Pitagorasa W trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych \(a\), \(b\) i przeciwprostokątnej \(c\): $$a^2 + b^2 = c^2$$ **Często używana odwrotność:** Jeśli boki trójkąta spełniają \(a^2 + b^2 = c^2\), to trójkąt jest prostokątny. **Trójki pitagorejskie** warto rozpoznawać od razu: \(3, 4, 5\) (i wielokrotności, na przykład \(6, 8, 10\) albo \(9, 12, 15\)) oraz \(5, 12, 13\), bo \(25 + 144 = 169\). Gdy w zadaniu widzisz dwie z tych liczb, trzecią znasz bez liczenia. ### Twierdzenie cosinusów (uogólnienie Pitagorasa) $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$ Przydatne, gdy znamy dwa boki i kąt między nimi i szukamy trzeciego boku. ### Twierdzenie sinusów $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$$ gdzie \(R\) to promień okręgu opisanego na trójkącie. ### Specjalne trójkąty **Trójkąt równoboczny** o boku \(a\): $$P = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}, \quad h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ **Trójkąt 30-60-90** (połowa trójkąta równobocznego): Jeśli przeciwprostokątna = \(2a\), to krótka przyprostokątna = \(a\), długa = \(a\sqrt{3}\). **Trójkąt 45-45-90** (połowa kwadratu): Jeśli przyprostokątna = \(a\), to przeciwprostokątna = \(a\sqrt{2}\). --- ## Czworokąty - pola i właściwości ### Kwadrat o boku \(a\) $$P = a^2, \quad Ob = 4a, \quad d = a\sqrt{2}$$ Gdy znasz tylko przekątną: \(P = \frac{d^2}{2}\). ### Prostokąt o bokach \(a\) i \(b\) $$P = ab, \quad Ob = 2(a+b), \quad d = \sqrt{a^2 + b^2}$$ ### Romb o boku \(a\) i przekątnych \(d_1\), \(d_2\) $$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2} = a \cdot h, \quad Ob = 4a$$ Przekątne rombu są prostopadle i wzajemnie się dzielą na połowy. ### Trapez o podstawach \(a\), \(b\) i wysokości \(h\) $$P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$$ ### Równoległobok o bokach \(a\), \(b\) i kącie \(\alpha\) $$P = a \cdot b \cdot \sin \alpha = a \cdot h$$ --- ## Okrąg i koło Okrąg to linia - zbiór punktów w odległości \(r\) od środka. Koło to wnętrze - zbiór punktów w odległości nie większej niż \(r\) od środka. **Pole koła:** \(P = \pi r^2\) **Obwód okręgu (długość):** \(l = 2\pi r\) **Wycinek koła** o kącie środkowym \(\alpha\) (w stopniach): $$P_{wycinka} = \frac{\alpha}{360°} \cdot \pi r^2$$ $$l_{łuku} = \frac{\alpha}{360°} \cdot 2\pi r$$ ### Okrąg wpisany w trójkąt i opisany na trójkącie **Promień okręgu wpisanego (\(r\)) w trójkąt o bokach \(a\), \(b\), \(c\):** $$r = \frac{P}{s}, \quad s = \frac{a+b+c}{2}$$ gdzie \(P\) to pole trójkąta. **Promień okręgu opisanego (\(R\)) na trójkącie:** $$R = \frac{abc}{4P}$$ Z twierdzenia sinusów wychodzi też \(R = \frac{a}{2\sin\alpha}\), gdzie \(\alpha\) to kąt naprzeciw boku \(a\). **Kąt wpisany oparty na średnicy jest prosty.** Jeśli bok trójkąta jest średnicą okręgu opisanego, trójkąt jest prostokątny. Na maturze ta własność bywa jedynym kluczem do zadania. --- ## Podobieństwo figur Dwa trójkąty są podobne, gdy spełniają jedną z cech: - **KKK**: mają dwie pary równych kątów (trzecia para wynika z sumy kątów), - **BBB**: trzy pary boków są proporcjonalne, - **BKB**: dwie pary boków są proporcjonalne, a kąty między nimi równe. Jeśli [skala podobieństwa](/stosunek-pol-i-objetosci-figur-podobnych-skala-zadania-matura#skala-podobienstwa-co-dokladnie-mnozysz-przez-k) wynosi \(k\), to odpowiadające sobie boki i obwody mają stosunek \(k\), a pola \(k^2\). Trójkąty podobne w skali \(3\) mają więc pola w stosunku \(9 : 1\). --- ## Geometria układu współrzędnych - kluczowe wzory Na maturze planimetria łączy się często z geometrią analityczną. Podstawowe wzory: **Odległość między punktami \(A(x_1, y_1)\) i \(B(x_2, y_2)\):** $$|AB| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$$ **Środek odcinka \(AB\):** $$M = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$$ --- ## Zadania maturalne z planimetrii z rozwiązaniami ### Zadanie 1 - Pole trójkąta ze wzoru sinusowego W trójkącie \(ABC\) bok \(a = 6\) cm, bok \(b = 8\) cm, kąt \(C = 60°\). Oblicz pole trójkąta. **Rozwiązanie:** $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin C = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 \cdot \sin 60° = 24 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \text{ cm}^2$$ ### Zadanie 2 - Trapez i okrąg Trapez prostokątny ma podstawy \(a = 10\) cm i \(b = 6\) cm. Ramię prostopadłe do podstaw ma długość \(h = 8\) cm. Oblicz pole trapeza i długość ramienia ukośnego. **Rozwiązanie:** Pole: \(P = \frac{(10+6) \cdot 8}{2} = 64 \text{ cm}^2\) Różnica podstaw: \(10 - 6 = 4\) cm. Ramię ukośne to przeciwprostokątna w trójkącie o przyprostokątnych 4 i 8: $$l = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ cm}$$ ### Zadanie 3 - Okrąg wpisany w trójkąt prostokątny Trójkąt prostokątny ma przyprostokątne \(a = 3\) cm i \(b = 4\) cm. Oblicz promień okręgu wpisanego. **Rozwiązanie:** Pole trójkąta: \(P = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6 \text{ cm}^2\) Przeciwprostokątna: \(c = \sqrt{9+16} = 5\) cm Półobwód: \(s = \frac{3+4+5}{2} = 6\) $$r = \frac{P}{s} = \frac{6}{6} = 1 \text{ cm}$$ Ciekawa zależność: dla trójkąta prostokątnego \(r = \frac{a + b - c}{2} = \frac{3+4-5}{2} = 1\) cm - zgadza się! ### Zadanie 4 - Trapez równoramienny W trapezie równoramiennym \(ABCD\) podstawy mają długości \(AB = 14\) cm i \(CD = 6\) cm, a ramię \(AD = 5\) cm. Oblicz pole trapezu. **Rozwiązanie:** Różnica podstaw \(14 - 6 = 8\) rozkłada się po równo na obie strony, po \(4\) cm. Wysokość opuszczona z \(D\) tworzy trójkąt prostokątny z przyprostokątną \(4\) i przeciwprostokątną \(5\): $$h = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3 \text{ cm}$$ To trójka pitagorejska \(3, 4, 5\). Pole: $$P = \frac{(14 + 6) \cdot 3}{2} = 30 \text{ cm}^2$$ ### Zadanie 5 - Pola trójkątów podobnych Trójkąty \(ABC\) i \(DEF\) są podobne, \(AB = 6\), \(DE = 9\), a pole trójkąta \(ABC\) wynosi \(20\). Oblicz pole trójkąta \(DEF\). **Rozwiązanie:** Skala podobieństwa \(k = \frac{9}{6} = \frac{3}{2}\), więc pola mają stosunek \(k^2 = \frac{9}{4}\): $$P_{DEF} = 20 \cdot \frac{9}{4} = 45$$ ### Zadanie 6 - Kąt rozwarty we wzorze z sinusem Dwa boki trójkąta mają długości \(8\) cm i \(12\) cm, a kąt między nimi \(150°\). Oblicz pole trójkąta. **Rozwiązanie:** \(\sin 150° = \sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\), więc: $$P = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 12 \cdot \frac{1}{2} = 24 \text{ cm}^2$$ ### Zadanie 7 - Kąt oparty na średnicy Punkt \(C\) leży na okręgu o średnicy \(AB = 10\), a \(AC = 6\). Oblicz \(BC\). **Rozwiązanie:** Kąt \(ACB\) jest wpisany i oparty na średnicy, więc jest prosty. Z twierdzenia Pitagorasa: $$BC = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{64} = 8$$ --- ## Najczęstsze błędy **Mylenie wysokości z bokiem.** Wysokość trójkąta jest prostopadła do podstawy. W trójkącie rozwartokątnym może wypaść poza figurę. **Zgubiona połowa.** Pole trójkąta i pole trapezu dzielisz przez \(2\). Pod presją czasu ta dwójka znika najczęściej. **Brak trójkąta prostokątnego.** W trapezach, równoległobokach i wielokątach prawie zawsze da się go zbudować, opuszczając wysokość albo prowadząc przekątną. To zwykle pierwszy krok rozwiązania. --- ## Jak ćwiczyć planimetrię przed maturą Planimetria pojawia się na maturze jako zadania rysunkowe - zawsze RYSUJ. Nawet pobieżny szkic pomaga zobaczyć, który wzór zastosować i czy warto szukać pomocniczego trójkąta prostokątnego. Na [SprawnaMatura.pl](/topics/planimetria) znajdziesz ponad 200 zadań z planimetrii z różnych arkuszy CKE. Polecam też artykuł o [trygonometrii na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), bo te działy mocno się przenikają. --- ## Podsumowanie najważniejszych wzorów Zanim pójdziesz na egzamin, upewnij się, że znasz: - Pole trójkąta: 3 wzory (z wysokości, z sinusa, Heron) - Twierdzenie Pitagorasa i jego odwrotność - Twierdzenie cosinusów i sinusów - Cechy podobieństwa trójkątów i stosunek pól figur podobnych - Pola czworokątów: kwadrat, prostokąt, romb, trapez, równoległobok - Wzory na koło: pole i obwód, wycinek i łuk - Wzory analityczne: odległość, środek Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)