--- route: /odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-zadania title: Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne krok po kroku description: Wzór na odległość punktu od prostej z wyprowadzeniem. 5 rozwiązanych zadań maturalnych, typowe pułapki i powiązania z innymi zagadnieniami geometrii analitycznej. type: task_solution category: Geometria analityczna tags: odległość punktu od prostej, wzór na odległość punktu od prostej, geometria analityczna matura, jak obliczyć odległość od prostej, odległość punkt prosta wzór, matura matematyka geometria, równanie prostej, postać ogólna prostej, odległość między prostymi równoległymi, promień okręgu wpisanego published: 2026-04-20T05:59:54.088+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:18.81733+00:00 --- # Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne krok po kroku Wzór na odległość punktu od prostej to jeden z najczęściej używanych wzorów na maturze z geometrii analitycznej. Pojawia się w zadaniach zamkniętych, otwartych, a nawet w stereometrii (odległość punktu od krawędzi). Opanuj go solidnie, bo CKE kocha pytać o odległości. ## Wzór na odległość punktu od prostej Jeśli prosta ma równanie w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\), a punkt ma współrzędne \(P = (x_0, y_0)\), to odległość punktu od prostej wynosi: $$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ **Co musisz pamiętać:** - W liczniku jest **wartość bezwzględna** - odległość jest zawsze nieujemna - Prosta musi być w **postaci ogólnej** \(Ax + By + C = 0\) - Jeśli prosta jest w postaci kierunkowej, musisz ją najpierw [zamienić](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty) Ten wzór jest na [karcie wzorów CKE](/karta-wzorow-cke-2026-co-jest-czego-brakuje), ale warto go znać na pamięć. ## Jak stosować wzór - krok po kroku 1. Zapisz równanie prostej w postaci ogólnej \(Ax + By + C = 0\) 2. Odczytaj współczynniki \(A\), \(B\), \(C\) 3. Podstaw współrzędne punktu \((x_0, y_0)\) do wzoru 4. Policz wartość bezwzględną w liczniku 5. Policz pierwiastek w mianowniku 6. Podziel i uprość ## Rozwiązane zadania ### Zadanie 1: Proste zastosowanie wzoru Oblicz odległość punktu \(P = (3, -1)\) od prostej \(4x - 3y + 2 = 0\). **Rozwiązanie:** Odczytujemy: \(A = 4\), \(B = -3\), \(C = 2\), \(x_0 = 3\), \(y_0 = -1\). $$d = \frac{|4 \cdot 3 + (-3) \cdot (-1) + 2|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|12 + 3 + 2|}{\sqrt{16 + 9}} = \frac{|17|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5} = 3{,}4$$ **Odpowiedź:** \(d = \frac{17}{5} = 3{,}4\). ### Zadanie 2: Prosta w postaci kierunkowej Oblicz odległość punktu \(A = (1, 5)\) od prostej \(y = 2x - 3\). **Rozwiązanie:** **Krok 1:** Zamieniamy na postać ogólną. Przenosimy wszystko na jedną stronę: $$y = 2x - 3 \implies 2x - y - 3 = 0$$ Więc \(A = 2\), \(B = -1\), \(C = -3\). **Krok 2:** Podstawiamy: $$d = \frac{|2 \cdot 1 + (-1) \cdot 5 + (-3)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 - 5 - 3|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-6|}{\sqrt{5}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}$$ **Odpowiedź:** \(d = \frac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\). ### Zadanie 3: Odległość między prostymi równoległymi Oblicz odległość między prostymi \(l_1: 3x + 4y - 5 = 0\) i \(l_2: 3x + 4y + 10 = 0\). **Rozwiązanie:** Proste są równoległe (te same współczynniki \(A\) i \(B\)). Odległość między prostymi równoległymi to odległość dowolnego punktu jednej prostej od drugiej. Bierzemy punkt z \(l_1\). Dla \(x = 0\): \(4y = 5\), czyli \(y = \frac{5}{4}\). Punkt \(P = (0, \frac{5}{4})\). Odległość \(P\) od \(l_2\): $$d = \frac{|3 \cdot 0 + 4 \cdot \frac{5}{4} + 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|0 + 5 + 10|}{5} = \frac{15}{5} = 3$$ **Odpowiedź:** \(d = 3\). **Skrót dla prostych równoległych:** Jeśli proste mają postać \(Ax + By + C_1 = 0\) i \(Ax + By + C_2 = 0\), to odległość to: $$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Sprawdzenie: \(\frac{|-5 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3\). Zgadza się. ### Zadanie 4: Wyznaczanie równania prostej w danej odległości Wyznacz równanie prostej równoległej do \(y = \frac{3}{4}x\), oddalonej od punktu \(A = (0, 0)\) o \(d = 3\). **Rozwiązanie:** Prosta równoległa do \(y = \frac{3}{4}x\) ma postać \(y = \frac{3}{4}x + b\), czyli \(3x - 4y + 4b = 0\) (mnożymy przez 4). Odległość początku układu od tej prostej: $$3 = \frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 0 + 4b|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|4b|}{5}$$ $$|4b| = 15$$ $$b = \frac{15}{4} \quad \text{lub} \quad b = -\frac{15}{4}$$ **Odpowiedź:** Są dwie proste: \(y = \frac{3}{4}x + \frac{15}{4}\) i \(y = \frac{3}{4}x - \frac{15}{4}\). ### Zadanie 5: Pole trójkąta z odległości Trójkąt \(ABC\) ma wierzchołki \(A = (0, 0)\), \(B = (6, 0)\), \(C = (2, 4)\). Oblicz [pole trójkąta](/jak-obliczyc-pole-trojkata-wzory-matura) korzystając z odległości punktu od prostej. **Rozwiązanie:** Podstawa \(AB\) leży na osi OX (oba punkty mają \(y = 0\)). Długość podstawy: \(|AB| = 6\). Wysokość to odległość punktu \(C = (2, 4)\) od prostej \(AB\), czyli od osi OX (równanie: \(y = 0\), czyli \(0x + 1y + 0 = 0\)): $$h = \frac{|0 \cdot 2 + 1 \cdot 4 + 0|}{\sqrt{0 + 1}} = \frac{4}{1} = 4$$ Pole: $$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$ **Odpowiedź:** \(P = 12\) j². W tym przypadku pole jest oczywiste, ale metoda działa dla dowolnych wierzchołków - wystarczy [wyznaczyć równanie prostej](/jak-wyznaczyc-rownanie-prostej-przez-dwa-punkty) przechodzącej przez dwa wierzchołki i policzyć odległość trzeciego. ## Powiązane zastosowania Wzór na odległość punktu od prostej przydaje się też w: - **Znajdowaniu promienia okręgu wpisanego** - promień okręgu wpisanego w trójkąt to odległość środka okręgu od dowolnego boku - **Sprawdzaniu stycznej do okręgu** - prosta jest styczna do [okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania) o środku \(S\) i promieniu \(r\), gdy odległość \(S\) od prostej wynosi dokładnie \(r\) - **Zadaniach optymalizacyjnych** - szukanie punktu na prostej najbliższego danemu punktowi Więcej zadań z geometrii analitycznej znajdziesz w naszym [przewodniku po GA](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). ## Typowe błędy **Błąd 1: Zapominanie o wartości bezwzględnej.** Bez modułu wynik może wyjść ujemny, co nie ma sensu dla odległości. **Błąd 2: Prosta nie w postaci ogólnej.** Wzór działa TYLKO dla \(Ax + By + C = 0\). Jeśli masz \(y = mx + b\), musisz zamienić. **Błąd 3: Mylenie A, B, C.** W równaniu \(2x - 3y + 7 = 0\) mamy \(A = 2\), \(B = -3\), \(C = 7\). Uważaj na znaki! **Błąd 4: Zapominanie o dwóch rozwiązaniach.** W zadaniu 4 dostaliśmy dwie proste. Wartość bezwzględna daje zawsze dwie opcje - po obu stronach. ## Co musisz umieć - checklista - Stosować wzór na odległość punktu od prostej - Zamieniać prostą z postaci kierunkowej na ogólną - Obliczać odległość między prostymi równoległymi - Wyznaczać prostą w danej odległości od punktu - Łączyć wzór z obliczaniem pól i sprawdzaniem stycznych - Usuwać niewymierność z mianownika (np. \(\frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}\)) Przećwicz zadania z geometrii analitycznej w [naszej bazie](/topics/geometria-analityczna) - mamy 280 zadań maturalnych z rozwiązaniami. Sprawdź też poradnik o [równaniu okręgu](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania), bo styczna do okręgu to popularne zastosowanie tego wzoru na maturze. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)