--- route: /odleglosc-punktu-od-prostej-wzor-matura title: Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne description: Wzór d=|Ax+By+C|/sqrt(A2+B2) na odległość punktu od prostej. 6 przykładów krok po kroku: podstawowe obliczenia, okrąg styczny, proste równoległe. Zadania CKE. type: task_solution category: Geometria analityczna tags: odległość punktu od prostej, wzór na odległość punktu od prostej matura, odległość punktu od prostej krok po kroku, okrąg styczny do prostej matura, geometria analityczna matura zadania, odległość między prostymi równoległymi, wzór odległości matura 2027, geometria analityczna wzory, zadania z odległością punktu CKE, proste i okręgi matura published: 2026-06-08T13:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:49.664465+00:00 --- # Odległość punktu od prostej - wzór, wyprowadzenie i zadania maturalne Odległość punktu od prostej to jeden z tych wzorów, których nie ma w tablicach CKE. Musisz go znać na pamięć. Pojawia się w zadaniach z geometrii analitycznej - zarówno jako samodzielne obliczenie, jak i jako krok w zadaniach o okręgach stycznych do prostych. Na stronie [Geometria analityczna - zadania maturalne](/topics/geometria-analityczna) znajdziesz pełną bazę zadań z tej kategorii. Warto też przeczytać artykuł [geometria analityczna na maturze - proste, okręgi, wektory](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). ## Wzór na odległość punktu od prostej Wzór na odległość punktu \(P = (x_0, y_0)\) od prostej o równaniu ogólnym \(Ax + By + C = 0\): $$d(P, l) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ Zapamiętaj ten wzór. Tablice CKE go nie zawierają. ## Jak zamieniać równanie prostej na postać ogólną Wzór wymaga równania prostej w postaci \(Ax + By + C = 0\). Jeśli masz postać kierunkową \(y = ax + b\), zamieniasz tak: $$y = ax + b \implies ax - y + b = 0$$ Czyli: \(A = a\), \(B = -1\), \(C = b\). **Przykłady zamiany:** - \(y = 3x - 5\) to \(3x - y - 5 = 0\) (A=3, B=-1, C=-5) - \(y = -2x + 1\) to \(-2x - y + 1 = 0\) czyli \(2x + y - 1 = 0\) (A=2, B=1, C=-1) - \(y = 4\) to \(0 \cdot x + y - 4 = 0\) (A=0, B=1, C=-4) - \(x = -3\) to \(x + 0 \cdot y + 3 = 0\) (A=1, B=0, C=3) Warto też przejrzeć [równanie prostej - postać kierunkowa i ogólna](/rownanie-prostej-matura-kierunkowe-ogolne-przez-dwa-punkty) dla przypomnienia. ## Przykłady krok po kroku **Przykład 1.** Oblicz odległość punktu \(P = (3, 1)\) od prostej \(y = 2x - 5\). Zamieniam prostą na postać ogólną: \(2x - y - 5 = 0\). A=2, B=-1, C=-5. $$d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + (-5)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 1 - 5|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|0|}{\sqrt{5}} = 0$$ Odległość wynosi 0 - punkt \(P\) leży NA prostej. Możesz sprawdzić: \(1 = 2 \cdot 3 - 5 = 1\). Tak, \(P\) spełnia równanie prostej. **Przykład 2.** Oblicz odległość punktu \(A = (1, -2)\) od prostej \(3x + 4y - 12 = 0\). A=3, B=4, C=-12. $$d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot (-2) - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|3 - 8 - 12|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-17|}{\sqrt{25}} = \frac{17}{5}$$ Odległość wynosi \(\frac{17}{5} = 3{,}4\). **Przykład 3.** Oblicz odległość punktu \(S = (2, 3)\) od prostej \(y = -x + 1\). Zamieniam: \(-x - y + 1 = 0\), czyli \(x + y - 1 = 0\). A=1, B=1, C=-1. $$d = \frac{|1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 - 1|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|2 + 3 - 1|}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$$ Odległość wynosi \(2\sqrt{2}\). ## Zastosowanie 1: okrąg styczny do prostej Klasyczne zadanie maturalne: "Okrąg o środku S jest styczny do prostej l. Oblicz promień" albo "Wyznacz środek okręgu". Kluczowy fakt: jeśli okrąg jest styczny do prostej, to odległość środka od prostej jest równa promieniowi: $$d(\text{środek}, l) = r$$ **Przykład 4.** Okrąg ma środek \(S = (2, -1)\) i jest styczny do prostej \(3x - 4y + 5 = 0\). Oblicz promień. $$r = d(S, l) = \frac{|3 \cdot 2 - 4 \cdot (-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + 5|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$ Promień okręgu wynosi 3. Więcej o okręgach w artykule [równanie okręgu - wzór i zadania](/rownanie-okregu-matura-wzor-zadania). Powiązany temat to [wyznaczanie równania stycznej do okręgu](/jak-wyznaczyc-rownanie-stycznej-do-okregu-warunek-zadania). **Przykład 5.** Okrąg o promieniu \(r = 5\) jest styczny do prostej \(4x + 3y - 8 = 0\). Środek okręgu leży na osi OX. Wyznacz środek okręgu. Niech \(S = (a, 0)\) (leży na osi OX). Warunek styczności: \(d(S, l) = 5\). $$\frac{|4a + 3 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = 5$$ $$\frac{|4a - 8|}{\sqrt{16 + 9}} = 5$$ $$\frac{|4a - 8|}{5} = 5$$ $$|4a - 8| = 25$$ Stąd dwa przypadki: - \(4a - 8 = 25 \Rightarrow 4a = 33 \Rightarrow a = \frac{33}{4}\) - \(4a - 8 = -25 \Rightarrow 4a = -17 \Rightarrow a = -\frac{17}{4}\) Odpowiedź: środek okręgu to \(\left(\frac{33}{4}, 0\right)\) lub \(\left(-\frac{17}{4}, 0\right)\). ## Zastosowanie 2: odległość między prostymi równoległymi Gdy masz dwie proste równoległe \(Ax + By + C_1 = 0\) i \(Ax + By + C_2 = 0\) (te same A i B), odległość między nimi to: $$d = \frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$ **Przykład 6.** Oblicz odległość między prostymi \(l_1: 3x - 4y + 6 = 0\) i \(l_2: 3x - 4y - 9 = 0\). Sprawdzam: te same A=3, B=-4, więc proste są równoległe. $$d = \frac{|6 - (-9)|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 9|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3$$ Odległość między prostymi wynosi 3. Możesz też wziąć dowolny punkt z \(l_1\) i obliczyć jego odległość od \(l_2\) - wynik będzie ten sam. ## Zastosowanie 3: punkt symetrycznie odbity względem prostej To zadanie pojawia się rzadziej, ale warto znać schemat. Żeby znaleźć odbicie punktu P względem prostej l: 1. Wyznacz prostą prostopadłą do l przechodzącą przez P. 2. Oblicz punkt Q - przecięcie prostych l i prostej prostopadłej. 3. Punkt Q jest środkiem odcinka PP' (P' to szukane odbicie). 4. Stąd: \(P' = 2Q - P\). Więcej o prostych prostopadłych i równoległych w artykule [proste równoległe i prostopadłe - warunki i wzory](/proste-rownolegle-prostopadle-warunki-wzory-zadania). Konkretne zadania z tej kategorii: [zadanie cke-2015-2023-pp-111](/task/cke-2015-2023-pp-111), [zadanie cke-2015-2023-pp-83](/task/cke-2015-2023-pp-83), [zadanie cke-2015-2023-pp-86](/task/cke-2015-2023-pp-86). ## Typowe pułapki **Pułapka 1: zapomniany mianownik** Wzór wymaga \(\sqrt{A^2 + B^2}\) w mianowniku. Niektórzy obliczają tylko licznik i uważają to za odpowiedź. Błąd kosztuje punkt. **Pułapka 2: zły znak przy C** Gdy zamieniasz \(y = 2x - 5\) na postać ogólną, dostajesz \(2x - y - 5 = 0\). Tutaj \(C = -5\). Nie \(C = 5\). Zwróć uwagę na znaki. **Pułapka 3: brak wartości bezwzględnej** Wynik odległości jest zawsze nieujemny. Wartość bezwzględna w liczniku to gwarancja. Nie wolno jej pominąć. **Pułapka 4: prosta w złej postaci** Wzór działa dla \(Ax + By + C = 0\). Jeśli masz \(Ax + By = D\), przepisz jako \(Ax + By - D = 0\), czyli \(C = -D\). Łatwo o pomyłkę ze znakiem. ## Checklist - co musisz umieć - [ ] Znać wzór \(d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) na pamięć - [ ] Zamieniać równanie prostej z postaci kierunkowej na ogólną - [ ] Obliczać odległość punktu od prostej krok po kroku - [ ] Zastosować warunek \(d(\text{środek}, l) = r\) dla okręgu stycznego - [ ] Obliczać odległość między prostymi równoległymi wzorem \(\frac{|C_1 - C_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}}\) - [ ] Pilnować znaków przy współczynniku C - [ ] Zawsze używać wartości bezwzględnej w liczniku Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)