--- route: /nierownosci-kwadratowe-na-maturze-metoda-graficzna-zadania title: Nierówności kwadratowe na maturze - metoda graficzna krok po kroku z rozwiązanymi zadaniami description: Jak rozwiązać nierówność kwadratową metodą graficzną: delta, szkic paraboli i odczyt przedziałów. 8 przykładów krok po kroku i 5 zadań z odpowiedziami. type: topic_guide category: Równania i nierówności tags: nierówności kwadratowe, metoda graficzna, parabola, równania kwadratowe, matura matematyka, delta, przedziały, rozwiązywanie nierówności, zbiór rozwiązań, miejsca zerowe author: Marcel Bogdan author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/marcel-bogdan published: 2026-04-12T07:00:00+00:00 updated: 2026-10-02T07:54:29.063+00:00 --- # Nierówności kwadratowe na maturze - metoda graficzna krok po kroku z rozwiązanymi zadaniami ## Nierówności kwadratowe - jedna metoda, która zawsze działa Nierówność kwadratowa to nierówność postaci: $$ax^2 + bx + c > 0 \quad \text{(lub } \geq, 0\) to pytanie: **dla jakich \(x\) wykres funkcji \(f(x) = ax^2 + bx + c\) leży nad osią OX?** Żeby narysować wykres, potrzebujesz miejsc zerowych. Oblicz deltę: $$\Delta = b^2 - 4ac$$ Jeśli \(\Delta > 0\), masz dwa miejsca zerowe: $$x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}, \qquad x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}$$ Jeśli \(\Delta = 0\), jedno podwójne miejsce zerowe: \(x_0 = \frac{-b}{2a}\). Jeśli \(\Delta 0\) - parabola ma **ramiona do góry** (uśmiechnięta) - Jeśli \(a 0\) - szukasz, gdzie parabola jest **nad** osią OX - \(ax^2 + bx + c 3\). Oba zapisy są poprawne, byle nie mieszać ich w jednej odpowiedzi. I to tyle. Przejdźmy do przykładów. --- ## Przykład 1 - nierówność z dwoma miejscami zerowymi **Rozwiąż:** \(x^2 - 5x + 6 > 0\) **Krok 1.** Wyznaczamy miejsca zerowe: $$\Delta = 25 - 24 = 1$$ $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \qquad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ **Krok 2.** Współczynnik \(a = 1 > 0\), więc ramiona do góry. Parabola przecina oś OX w punktach 2 i 3. **Krok 3.** Szukamy, gdzie parabola jest nad osią OX. Z wykresu: parabola jest nad osią na zewnątrz miejsc zerowych. $$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$ --- ## Przykład 2 - nierówność z ramionami w dół **Rozwiąż:** \(-x^2 + 4x - 3 \geq 0\) **Krok 1.** Miejsca zerowe (\(a = -1, b = 4, c = -3\)): $$\Delta = 16 - 12 = 4$$ $$x_1 = \frac{-4 - 2}{-2} = 3, \qquad x_2 = \frac{-4 + 2}{-2} = 1$$ Więc \(x_1 = 1\) i \(x_2 = 3\) (uporządkowane). **Krok 2.** Współczynnik \(a = -1 0\) **Krok 1.** \(\Delta = 4 - 20 = -16 0\), ramiona do góry. Parabola leży **cała nad** osią OX. **Krok 3.** Nierówność jest spełniona dla **każdego** \(x\). $$x \in \mathbb{R}$$ **Ważna zasada:** Jeśli \(\Delta 0\), to \(ax^2 + bx + c > 0\) dla każdego \(x\). A \(ax^2 + bx + c 0\), ramiona do góry. Parabola dotyka osi OX w punkcie 3. **Krok 3.** Parabola nigdy nie jest pod osią OX - tylko ją dotyka. Ale nierówność jest nieostra (\(\leq\)), więc punkt styczności spełnia warunek. $$x \in \{3\}$$ Gdyby nierówność brzmiała \(x^2 - 6x + 9 0\), ramiona do góry. **Krok 3.** Szukamy, gdzie parabola jest pod osią lub na osi (\(\leq\)). To między miejscami zerowymi, z końcami włącznie. $$x \in \left[-\frac{1}{2}, 2\right]$$ --- ## Przykład 6 - nierówność do przekształcenia **Rozwiąż:** \(3x^2 > 12x - 9\) Najpierw przenosimy wszystko na jedną stronę: $$3x^2 - 12x + 9 > 0$$ Dzielimy przez 3 (dzielenie przez liczbę dodatnią nie zmienia znaku nierówności): $$x^2 - 4x + 3 > 0$$ $$\Delta = 16 - 12 = 4, \qquad x_1 = 1, \quad x_2 = 3$$ Ramiona do góry, szukamy nad osią: $$x \in (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$$ --- ## Przykład 7 - delta równa zero, nierówność ostra **Rozwiąż:** \(x^2 - 6x + 9 > 0\) Ten sam trójmian co w przykładzie 4, tylko z odwróconym znakiem nierówności. **Krok 1.** \(\Delta = 36 - 36 = 0\), jedno miejsce zerowe \(x_0 = 3\). **Krok 2.** \(a = 1 > 0\), ramiona do góry, parabola dotyka osi OX tylko w punkcie 3. **Krok 3.** Szukamy, gdzie parabola jest **ściśle** nad osią. Jest nad nią wszędzie poza punktem styczności, więc ten jeden punkt wyrzucamy: $$x \in \mathbb{R} \setminus \{3\}$$ Dla nierówności nieostrej \(x^2 - 6x + 9 \geq 0\) punkt 3 też spełnia warunek, więc rozwiązaniem jest cały zbiór \(\mathbb{R}\). Razem z przykładem 4 ten sam trójmian daje cztery różne odpowiedzi: \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\) dla \(> 0\), \(\mathbb{R}\) dla \(\geq 0\), \(\emptyset\) dla \( 0\) **Krok 1.** \(a = -1\), \(b = 4\), \(c = 5\): $$\Delta = 16 - 4 \cdot (-1) \cdot 5 = 36, \qquad x_1 = \frac{-4 + 6}{-2} = -1, \quad x_2 = \frac{-4 - 6}{-2} = 5$$ **Krok 2.** \(a 0 \iff x^2 - 4x - 5 0\) (ramiona do góry) | \(a 0\) | \((-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty)\) | \((x_1, x_2)\) | | \(\geq 0\) | \((-\infty, x_1] \cup [x_2, +\infty)\) | \([x_1, x_2]\) | | \( 0\) wyniki wyglądają tak: | Nierówność | \(\Delta = 0\) | \(\Delta 0\) | \(\mathbb{R} \setminus \{x_0\}\) | \(\mathbb{R}\) | | \(\geq 0\) | \(\mathbb{R}\) | \(\mathbb{R}\) | | \(\), \( 2x + 5\) nie licz delty z liczb, które widzisz. Najpierw przenieś wszystko na jedną stronę: \(3x^2 - 2x - 5 > 0\), dopiero potem \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = -5\). ### 6. Pomieszana kolejność miejsc zerowych W przedziale mniejsza liczba stoi zawsze z lewej. Gdy \(a x_2\) (jak w przykładzie 2), więc przed zapisaniem odpowiedzi ustaw miejsca zerowe rosnąco. --- ## Połączenie z innymi tematami Nierówności kwadratowe pojawiają się nie tylko w "czystej" postaci. Przydają się przy: - Wyznaczaniu **dziedziny** funkcji z pierwiastkiem: \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4}\) wymaga rozwiązania \(x^2 - 4 \geq 0\) - Określaniu, kiedy [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) przyjmuje wartości dodatnie - Zadaniach z **parametrem** na maturze rozszerzonej - Wyznaczaniu warunku na \(\Delta\) - np. "dla jakich \(m\) równanie ma dwa rozwiązania" to nierówność \(\Delta > 0\) Więcej o równaniach kwadratowych: [równania kwadratowe na maturze - wyróżnik, wzory Viète'a](/rownania-kwadratowe-matura-wzory-rozwiazania). --- ## Zadania do samodzielnego rozwiązania Rozwiąż nierówności i sprawdź odpowiedzi poniżej: 1. \(x^2 - 7x + 10 \leq 0\) 2. \(-x^2 + 6x - 8 > 0\) 3. \(4x^2 - 4x + 1 > 0\) 4. \(x^2 + 3x + 5 0\)) 5. \(\Delta = 25\), \(x_1 = -1, x_2 = \frac{2}{3}\), odpowiedź: \(x \in (-\infty, -1] \cup [\frac{2}{3}, +\infty)\) Ćwicz więcej zadań z nierówności na [Sprawnej Maturze](/topics/rownania-i-nierownosci) - mamy ich tam ponad 90. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)