--- route: /nierownosc-trojkata-warunek-istnienia-zadania-matura title: Nierówność trójkąta - warunek istnienia i zadania maturalne description: Nierówność trójkąta: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Warunek istnienia, oszacowanie trzeciego boku i 5 zadań z rozwiązaniami. type: task_solution category: Planimetria tags: nierówność trójkąta, warunek istnienia trójkąta, czy z odcinków można zbudować trójkąt, nierówność trójkąta zadania, długości boków trójkąta, trójkąt zdegenerowany, oszacowanie trzeciego boku trójkąta, boki trójkąta z parametrem, nierówność trójkąta matura podstawowa, planimetria matura zadania published: 2026-09-08T07:15:00+00:00 updated: 2026-09-08T00:36:19.618357+00:00 --- # Nierówność trójkąta - warunek istnienia i zadania maturalne Nierówność trójkąta mówi, że w każdym trójkącie suma długości dwóch boków jest większa od długości trzeciego boku. Dla boków \(a\), \(b\), \(c\) muszą zachodzić trzy warunki naraz: \(a + b > c\), \(a + c > b\) oraz \(b + c > a\). W praktyce sprawdzasz tylko jeden z nich, ten dla najdłuższego boku: jeśli suma dwóch krótszych boków jest większa od najdłuższego, trójkąt istnieje. Gdy suma jest równa najdłuższemu bokowi albo od niego mniejsza, trójkąta nie da się zbudować. To jeden z tych warunków, o których łatwo zapomnieć, bo zadanie nigdy o nim nie przypomina. Na maturze wchodzi bocznymi drzwiami: w zadaniach zamkniętych z parametrem, w zadaniach otwartych typu "liczby \(a\), \(b\), \(c\) są długościami boków trójkąta" i wszędzie tam, gdzie trzeba rozstrzygnąć, który bok jest najdłuższy. W bazie sprawnamatura takie zadania znajdziesz między innymi w arkuszu z [matury maj 2016](/exams/matura-maj-2016), w arkuszu z [matury maj 2012](/exams/matura-maj-2012) i w zestawie treningowym CKE. Poniżej masz warunek, jego wersję skróconą, oszacowanie trzeciego boku i pięć zadań rozwiązanych krok po kroku. ## Na czym polega nierówność trójkąta Nierówność trójkąta to warunek, który musi spełniać każda trójka długości boków. Suma dwóch dowolnych boków ma być większa od trzeciego. Powód jest czysto geometryczny: najkrótsza droga z punktu \(A\) do punktu \(C\) to odcinek \(AC\). Idąc z \(A\) do \(C\) przez punkt \(B\), pokonujesz \(|AB| + |BC|\), a ta droga musi być dłuższa od odcinka. Wyobraź sobie dwa patyki przymocowane zawiasami do końców trzeciego. Jeśli razem są krótsze od podstawy, ich wolne końce nigdy się nie spotkają. Jeśli razem są dokładnie tak długie jak podstawa, kładą się na niej płasko i zamiast trójkąta dostajesz odcinek. Dopiero gdy są dłuższe, końce spotykają się nad podstawą i figura się domyka. **Zapamiętaj:** równość \(a + b = c\) nie daje trójkąta. Trzy punkty leżą wtedy na jednej prostej, a figura nie ma pola. Nierówność trójkąta jest ostra i nigdy nie dopuszcza znaku równości. ## Warunek istnienia trójkąta - najszybsze sprawdzenie Trzy nierówności wyglądają na dużo pracy, ale wystarczy sprawdzić jedną. Uporządkuj boki od najkrótszego do najdłuższego, oznacz je \(a \le b \le c\) i sprawdź jedno porównanie: czy \(a + b > c\). Jeśli ten warunek zachodzi, dwa pozostałe zachodzą automatycznie. Dlaczego automatycznie? Bok \(c\) jest najdłuższy, a wszystkie długości są dodatnie. Wtedy \(a + c > c \ge b\) oraz \(b + c > c \ge a\), więc obie te nierówności są prawdziwe bez liczenia. Cała robota siedzi w porównaniu sumy dwóch krótszych boków z najdłuższym. Do tego dochodzi warunek, o którym uczniowie zapominają najczęściej: każda długość musi być dodatnia. Gdy boki są zapisane wyrażeniami z parametrem, to właśnie ten warunek odsiewa część rozwiązań, zanim jeszcze dojdziesz do nierówności trójkąta. Ten sam warunek da się odwrócić i zapisać jako oszacowanie trzeciego boku. Znasz dwa boki \(a\) i \(b\), a szukasz zakresu dla trzeciego boku \(c\). Z nierówności \(a + c > b\) wynika \(c > b - a\), z nierówności \(b + c > a\) wynika \(c > a - b\), a obie razem dają \(c > |a - b|\). Z ostatniej nierówności \(a + b > c\) masz górne ograniczenie. Całość zapisujesz jednym wierszem: \(|a - b| c \quad \text{oraz} \quad a + c > b \quad \text{oraz} \quad b + c > a$$ Warunek skrócony dla najdłuższego boku: $$a \le b \le c \quad \Rightarrow \quad a + b > c$$ Oszacowanie trzeciego boku: $$|a - b| 9\) oraz \(9 + 12 = 21 > 7\). Obie zachodzą, dokładnie tak, jak zapowiadał warunek skrócony. **Odpowiedź: D.** Tylko z odcinków \(7, 9, 12\) zbudujesz trójkąt. ## Przykład 2: Jak długi może być trzeci bok **Treść:** Dwa boki trójkąta mają długości \(7\) i \(11\), a trzeci bok ma długość \(c\). Zakres, w którym musi mieścić się \(c\), to: - A) \(0 c\), \(7 + c > 11\) oraz \(11 + c > 7\). **Krok 2: Rozwiąż każdą z nich osobno.** Pierwsza daje \(c 4\). Trzecia daje \(c > -4\) i nic nie wnosi, bo długość boku i tak jest dodatnia. **Krok 3: Weź część wspólną.** Zostaje \(4 0\), \(m + 3 > 0\) i \(2m - 1 > 0\). Najostrzejszy z tych trzech warunków to \(m > \frac{1}{2}\). **Krok 2: Zapisz trzy nierówności trójkąta.** $$m + (m + 3) > 2m - 1$$ $$m + (2m - 1) > m + 3$$ $$(m + 3) + (2m - 1) > m$$ **Krok 3: Uprość każdą z nich.** Pierwsza daje \(2m + 3 > 2m - 1\), czyli \(3 > -1\), a to jest prawda dla każdego \(m\). Druga daje \(3m - 1 > m + 3\), czyli \(2m > 4\), a stąd \(m > 2\). Trzecia daje \(3m + 2 > m\), czyli \(2m > -2\), a stąd \(m > -1\), co przy dodatnim \(m\) też zachodzi zawsze. **Krok 4: Weź część wspólną wszystkich warunków.** Łączysz \(m > \frac{1}{2}\) z \(m > 2\) i zostaje \(m > 2\). **Krok 5: Sprawdź wynik na dwóch liczbach.** Dla \(m = 3\) boki to \(3\), \(6\) i \(5\), a \(3 + 5 = 8 > 6\), więc trójkąt istnieje. Dla \(m = 2\) boki to \(2\), \(5\) i \(3\), a \(2 + 3 = 5\), czyli przypadek graniczny bez trójkąta. Granica przedziału jest więc otwarta. **Odpowiedź:** \(m \in (2, +\infty)\). ## Przykład 5: Dowód, że trójkąta nie ma **Treść:** Wykaż, że dla żadnej liczby \(a > 1\) z odcinków o długościach \(a - 1\), \(a\) oraz \(2a - 1\) nie da się zbudować trójkąta. **Krok 1: Sprawdź, że długości są dodatnie.** Z założenia \(a > 1\), więc \(a - 1 > 0\), \(a > 0\) i \(2a - 1 > 1 > 0\). Trzy odcinki faktycznie istnieją. **Krok 2: Ustal, który bok jest najdłuższy.** Nierówność \(2a - 1 > a\) sprowadza się do \(a > 1\), czyli zachodzi z założenia. Oczywiste jest też \(a > a - 1\). Najdłuższy bok to zatem \(2a - 1\). **Krok 3: Dodaj dwa krótsze boki.** $$(a - 1) + a = 2a - 1$$ **Krok 4: Porównaj z bokiem najdłuższym.** Suma dwóch krótszych boków jest dokładnie równa najdłuższemu bokowi, a nierówność trójkąta wymaga, żeby była od niego większa. Warunek nie jest spełniony dla żadnej liczby \(a > 1\). **Odpowiedź:** Trzy odcinki układają się wzdłuż jednej prostej niezależnie od wartości \(a\), więc trójkąta nie da się zbudować. To kończy dowód. ## Typowe pułapki **Pułapka:** Sprawdzasz warunek dla przypadkowej pary boków. Nierówność \(a + c > b\) może zachodzić, a trójkąta i tak nie będzie, bo pęka warunek dla innej pary. Zawsze porównuj sumę dwóch krótszych boków z najdłuższym. **Pułapka 2:** Traktujesz równość jak spełniony warunek. Odcinki \(3\), \(4\) i \(7\) nie tworzą trójkąta, bo \(3 + 4 = 7\). To trzy punkty na jednej prostej, a nie figura o dodatnim polu. **Pułapka 3:** Zapominasz o dodatnich długościach. Wyrażenie \(a - 1\) przy \(a = 0{,}5\) daje \(-0{,}5\), a bok o ujemnej długości nie istnieje. Ten warunek dopisz zanim zaczniesz rozwiązywać nierówności. **Pułapka 4:** W zadaniu zamkniętym podstawiasz odpowiedzi i zatrzymujesz się na pierwszym trafieniu. Wartość parametru może dać dwa równe boki, więc wygląda na trafioną, a mimo to trójkąta nie tworzy, bo trzeci bok jest za długi. Dwa równe boki to warunek na równoramienność, nie na istnienie trójkąta. **Wskazówka:** W trójkącie równoramiennym rozpisz przypadki po kolei: który bok jest równy któremu. Dopiero potem sprawdź nierówność w każdym przypadku osobno. Zwykle to właśnie ten krok odsiewa jedno z rozwiązań. **Wskazówka egzaminacyjna:** Jeśli w zadaniu otwartym wychodzi ci kilka wartości parametru, sprawdzenie nierówności trójkąta jest częścią rozwiązania, a nie dodatkiem. Bez niego rozwiązanie jest niepełne, nawet gdy końcowa liczba jest poprawna. Klasyczny przykład tej pułapki stoi w arkuszu z maja 2016. Rozwiąż to zadanie samodzielnie, zanim zajrzysz do rozwiązania, i zwróć uwagę na to, ile odpowiedzi daje dwa równe boki. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2016-18 ## Poćwicz na zadaniach z bazy Poniżej zadania z bazy, w których nierówność trójkąta albo rozstrzyga wynik, albo odsiewa fałszywe rozwiązanie. Zacznij od zestawu treningowego CKE, bo tam warunek jest jedyną trudnością, a potem przejdź do zadań z arkuszy. Cały dział przerobisz w zestawie [zadań CKE z planimetrii z rozwiązaniami](/zadania-cke-planimetria-z-rozwiazaniami), a wszystkie zadania z figur płaskich zebrane są na stronie działu [planimetria](/topics/planimetria). ## Co musisz umieć - checklista - Zapisać trzy nierówności trójkąta dla boków \(a\), \(b\) i \(c\). - Skrócić sprawdzenie do jednego porównania: suma dwóch krótszych boków z najdłuższym. - Oszacować trzeci bok ze wzoru \(|a - b| < c < a + b\). - Odróżnić przypadek graniczny \(a + b = c\) od prawdziwego trójkąta. - Dopisać warunek dodatniej długości, gdy boki są wyrażeniami z parametrem. - Rozpisać przypadki w trójkącie równoramiennym i odrzucić te, które nie domykają figury. - Wskazać najdłuższy bok, gdy w trójkącie prostokątnym dane są dwa boki. Quiz: Sprawdź się: nierówność trójkąta Pytanie: Czy z odcinków o długościach 8, 15 i 23 można zbudować trójkąt? - A. Tak, bo wszystkie długości są dodatnie - B. Tak, bo 15 + 23 jest większe od 8 - C. Nie, bo 8 + 15 jest równe 23 - D. Nie da się tego ustalić bez znajomości kątów Poprawna odpowiedź: C Wyjaśnienie: Suma dwóch krótszych boków wynosi \(8 + 15 = 23\), czyli tyle samo co bok najdłuższy. Nierówność trójkąta jest ostra, więc odcinki układają się wzdłuż jednej prostej. Pytanie: Dwa boki trójkąta mają długości 6 i 10. Ile najwięcej może wynosić trzeci bok, jeśli jest liczbą całkowitą? - A. 16 - B. 15 - C. 4 - D. 6 Poprawna odpowiedź: B Wyjaśnienie: Trzeci bok spełnia \(4 < c < 16\). Największa liczba całkowita w tym przedziale to \(15\), bo \(c = 16\) dałoby \(6 + 10 = 16\), czyli przypadek graniczny. Pytanie: Ramię trójkąta równoramiennego ma długość 9. Która podstawa jest niemożliwa? - A. 1 - B. 9 - C. 17 - D. 18 Poprawna odpowiedź: D Wyjaśnienie: Podstawa musi być krótsza od sumy ramion, czyli od \(2 \cdot 9 = 18\). Wartość \(18\) daje przypadek graniczny, w którym ramiona kładą się płasko na podstawie. Następny krok: Losuj kolejne zadanie z planimetrii (/random) ## Najczęstsze pytania ### Czy nierówność trójkąta trzeba znać na pamięć? Tak, bo to warunek, o którym treść zadania zwykle nie przypomina. Wystarczy jedno zdanie: suma dwóch krótszych boków musi być większa od najdłuższego. Reszta, łącznie z oszacowaniem trzeciego boku, wynika z tego jednego porównania. ### Czy nierówność trójkąta może przejść w równość? Nie. Nierówność jest ostra. Gdy suma dwóch boków jest dokładnie równa trzeciemu, trzy punkty leżą na jednej prostej, a figura nie ma pola. Taki układ nazywa się trójkątem zdegenerowanym i na maturze traktujesz go jako brak trójkąta. ### Ile nierówności trzeba sprawdzić, żeby mieć pewność? Formalnie trzy, praktycznie jedną. Uporządkuj boki rosnąco i sprawdź, czy suma dwóch pierwszych jest większa od trzeciego. Pozostałe dwie nierówności zachodzą wtedy automatycznie, bo najdłuższy bok powiększony o dowolną dodatnią długość przekracza każdy z dwóch pozostałych. ### Jak oszacować trzeci bok, znając dwa pozostałe? Ze wzoru \(|a - b| < c < a + b\). Dla boków \(6\) i \(10\) trzeci bok mieści się w przedziale \((4, 16)\). Oba końce są wyłączone, bo dają przypadek graniczny bez trójkąta. ### Czy nierówność trójkąta obowiązuje w trójkącie prostokątnym? Tak, obowiązuje w każdym trójkącie. W prostokątnym dochodzi jednak mocniejsza informacja: przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem, więc od razu wiesz, którą sumę z czym porównywać. Ten sam trop przydaje się przy [wyznaczaniu długości boku trójkąta](/jak-obliczyc-dlugosc-boku-trojkata-wzory-metody). ### Co zrobić, gdy boki są podane wyrażeniami z parametrem? Najpierw zapisz warunki dodatniości wszystkich trzech wyrażeń, potem trzy nierówności trójkąta, a na końcu weź część wspólną otrzymanych przedziałów. Ta kolejność chroni przed przyjęciem rozwiązania z ujemną długością boku. ### Czy dwa równe boki wystarczą, żeby powstał trójkąt równoramienny? Nie. Odcinki \(4\), \(4\) i \(10\) mają dwa równe boki, ale trójkąta nie tworzą, bo \(4 + 4 < 10\). Podstawa musi być krótsza od sumy ramion. Ten warunek sprawdzasz zawsze na końcu, po rozpisaniu przypadków. ### Czy z nierówności trójkąta wynika coś o kątach? Pośrednio tak. Naprzeciw najdłuższego boku leży największy kąt, a naprzeciw najkrótszego najmniejszy. Gdy potrzebujesz konkretnych miar, sięgasz po [twierdzenie sinusów lub cosinusów](/twierdzenie-sinusow-cosinusow-matura-kiedy-stosowac), ale kolejność boków od razu mówi ci, gdzie szukać największego kąta.