--- route: /nierownosc-liniowa-jak-rozwiazac-najmniejsza-liczba-calkowita-matura title: Nierówność liniowa - jak rozwiązać krok po kroku, zbiór rozwiązań i najmniejsza liczba całkowita (zadania maturalne) description: Jak rozwiązać nierówność liniową z ułamkami, kiedy zmienić znak i jak znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność. 6 zadań krok po kroku. type: task_solution category: Równania i nierówności tags: nierówność liniowa, nierówności liniowe zadania, jak rozwiązać nierówność liniową, nierówność liniowa z ułamkami, najmniejsza liczba całkowita spełniająca nierówność, największa liczba całkowita spełniająca nierówność, ile liczb całkowitych spełnia nierówność, zmiana znaku nierówności, zbiór rozwiązań nierówności przedział, nierówności matura podstawowa, zadania maturalne z nierówności published: 2026-09-25T07:16:40.778+00:00 updated: 2026-09-25T07:21:05.611792+00:00 --- # Nierówność liniowa - jak rozwiązać krok po kroku, zbiór rozwiązań i najmniejsza liczba całkowita (zadania maturalne) Nierówność liniową, na przykład \(3x - 5 a\) | \((a, +\infty)\) | puste kółko | | \(x \ge a\) | \(\langle a, +\infty)\) | zamalowane kółko | | \(x -3\). Mnożenie przez liczbę ujemną odbija liczby na osi względem zera, więc odwraca ich kolejność, a razem z nią nierówność. Dzielenia przez liczbę ujemną możesz w ogóle uniknąć. Przenieś wyrazy z \(x\) na tę stronę, po której współczynnik wyjdzie dodatni. Nierówność \(6 - 9x \frac{2}{3}$$ $$6 - 4 \frac{2}{3}$$ Wynik jest ten sam, a w drugiej wersji nie ma okazji zapomnieć o zmianie znaku. Uważaj też na współczynnik, który nie wygląda na ujemny: \(\sqrt{3} - 2\) jest ujemne, bo \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\). Dzielenie przez taką liczbę też odwraca znak. Quiz: Sprawdź, czy pamiętasz o znaku Pytanie: Dzielisz obie strony nierówności \(-4x > 12\) przez \(-4\). Co dostajesz? - A. \(x > -3\) - B. \(x 12\) wychodzi \(x a\) najmniejszą liczbą całkowitą jest pierwsza liczba całkowita na prawo od \(a\). Przy \(x \ge a\) jest nią samo \(a\), jeśli \(a\) jest liczbą całkowitą. | Wynik nierówności | Szukana liczba | | --- | --- | | \(x \ge 3\) | najmniejsza całkowita to \(3\) | | \(x > 3\) | najmniejsza całkowita to \(4\) | | \(x > -2{,}5\) | najmniejsza całkowita to \(-2\) | | \(x \le \frac{15}{4}\) | największa całkowita to \(3\) | | \(x x^2 - 1 \;\Rightarrow\; x^2 + 6x + 9 > x^2 - 1 \;\Rightarrow\; 6x > -10 \;\Rightarrow\; x > -\frac{5}{3}$$ Do rozpisania kwadratu sumy potrzebujesz [wzorów skróconego mnożenia](/wzory-skroconego-mnozenia-matura-zastosowania). Zdarza się też, że po uproszczeniu znika całe \(x\). Wtedy patrzysz na to, co zostało: - \(2(x + 1) > 2x - 5\) daje \(2 > -5\), zdanie prawdziwe, więc nierówność spełnia każda liczba rzeczywista, - \(3x - 1 0, \qquad a \neq 0$$ Dzielenie przez liczbę dodatnią: $$a > 0: \quad ax > c \iff x > \frac{c}{a}$$ Dzielenie przez liczbę ujemną: $$a c \iff x \) może stać dowolny inny znak nierówności. Zasada jest ta sama: dzielenie przez liczbę ujemną zamienia \(>\) na \( \frac{2}{3}$$ **Odpowiedź: D.** Zbiorem rozwiązań jest \(\left(\frac{2}{3}, +\infty\right)\). Odpowiedź B wybierze ten, kto podzieli \(-3x \frac{20}{7}$$ **Krok 3: Zaokrąglij w dobrą stronę.** \(\frac{20}{7} = 2\frac{6}{7}\), czyli trochę mniej niż \(3\). Rozwiązania to liczby większe od \(2\frac{6}{7}\), więc pierwsza liczba całkowita w tym zbiorze to \(3\). Sprawdzenie: dla \(x = 3\) lewa strona to \(\frac{5 \cdot 1}{2} = 2{,}5\), a \(2{,}5 -2{,}5\) to \(-2\), bo leży na prawo od \(-2{,}5\). Liczba \(-3\) jest mniejsza od \(-2{,}5\), więc tej nierówności nie spełnia. **Wskazówka:** Sprawdź odpowiedź podstawieniem. Wstaw wybraną liczbę całkowitą i jej sąsiada spoza zbioru do nierówności wyjściowej. Pierwsza liczba musi ją spełnić, druga nie. To pół minuty, a wyłapuje zgubiony znak. **Zapamiętaj:** Nierówność ostra (\(\)) nie obejmuje końca przedziału, więc przy końcu stoi nawias okrągły i puste kółko na osi. Nierówność nieostra (\(\le\), \(\ge\)) obejmuje koniec: nawias ostry albo kwadratowy i zamalowane kółko. ## Co musisz umieć - Pomnożyć nierówność przez wspólny mianownik tak, żeby każdy wyraz został pomnożony. - Poprawnie opuścić nawias po minusie stojącym przed ułamkiem. - Wiedzieć, kiedy znak nierówności się zmienia, a kiedy nie. - Zapisać wynik jako przedział z właściwymi nawiasami i zaznaczyć go na osi liczbowej. - Znaleźć najmniejszą albo największą liczbę całkowitą w zbiorze rozwiązań, także gdy granica jest ujemna. - Policzyć liczby całkowite w przedziale wzorem \(n - m + 1\). ## Poćwicz na zadaniach z bazy Poniżej kolejne zadania maturalne z nierówności liniowych: zbiory rozwiązań z ułamkami i jedno pytanie o największą liczbę całkowitą. Wszystkie zadania z działu znajdziesz na stronie [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci), a przegląd wszystkich typów nierówności z matury masz we wpisie [nierówności na maturze: liniowe, kwadratowe i z wartością bezwzględną](/nierownosci-matura-liniowe-kwadratowe-metody). Nierówności z modułem, które na osi wyglądają podobnie, rozwiązuje się inaczej: opisuję je we wpisie [jak rozwiązać nierówność z wartością bezwzględną](/jak-rozwiazac-nierownosc-z-wartoscia-bezwzgledna). Następny krok: Losuj kolejne zadanie z równań i nierówności (/losuj) ## Najczęstsze pytania ### Jak rozwiązać nierówność liniową? Tak jak równanie liniowe: pozbądź się ułamków, wymnóż nawiasy, przenieś wyrazy z \(x\) na jedną stronę, a liczby na drugą, i podziel przez współczynnik przy \(x\). Jeśli ten współczynnik jest ujemny, zmień znak nierówności na przeciwny. Wynik zapisz jako przedział. ### Kiedy zmienia się znak nierówności? Tylko przy mnożeniu albo dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Przenoszenie wyrazów na drugą stronę, dodawanie, odejmowanie i mnożenie przez liczbę dodatnią znaku nie zmieniają. ### Jak znaleźć najmniejszą liczbę całkowitą spełniającą nierówność? Rozwiąż nierówność do postaci \(x > a\) albo \(x \ge a\) i zaznacz \(a\) na osi. Najmniejsza liczba całkowita to pierwsza liczba całkowita w zaznaczonym zbiorze: przy \(x \ge a\) i całkowitym \(a\) jest nią samo \(a\), w pozostałych przypadkach najbliższa liczba całkowita na prawo od \(a\). ### Ile liczb całkowitych spełnia nierówność podwójną? Wyznacz najmniejszą liczbę całkowitą \(m\) i największą \(n\), które spełniają obie części nierówności, i policz \(n - m + 1\). Dla \(4 -5\), oznacza, że nierówność spełnia każda liczba rzeczywista. Fałszywe, jak \(-1 < -3\), oznacza, że nierówność nie ma rozwiązań. ### Czym różni się nierówność liniowa od kwadratowej? W liniowej \(x\) występuje najwyżej w pierwszej potędze, a zbiorem rozwiązań jest półprosta, cała oś albo zbiór pusty. W kwadratowej zostaje \(x^2\) i potrzebujesz miejsc zerowych oraz szkicu paraboli. Uważaj na nierówności, które tylko wyglądają na kwadratowe: po wymnożeniu \(x^2\) potrafi się skrócić.