--- route: /narzedzia/kalkulator-prawdopodobienstwa title: Kalkulator prawdopodobieństwa: zdarzenia i drzewko description: Prawdopodobieństwo klasyczne ze stosunku zdarzeń sprzyjających do wszystkich, zdarzenie przeciwne, suma i iloczyn zdarzeń oraz drzewko. group: Prawdopodobieństwo kind: kalkulator updated: 2026-08-30 --- # Kalkulator prawdopodobieństwa klasycznego Prawdopodobieństwo klasyczne to iloraz liczby zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, przy założeniu, że każde z nich jest jednakowo prawdopodobne. Wynik zawsze mieści się między zerem a jedynką i na maturze zapisuje się go ułamkiem zwykłym. Kalkulator wyżej podaje ułamek nieskracalny, procent i pełne podstawienie. ## Wzór $$P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$ ## Jak to policzyć 1. **Opisz zbiór wszystkich wyników** - Najpierw ustal, czym jest pojedynczy wynik doświadczenia: liczbą, parą liczb, ciągiem rzutów. Dopiero potem policz, ile takich wyników jest w sumie. To jest mianownik ułamka i najczęstsze miejsce, w którym zadanie się rozjeżdża, bo dwa różne modele tego samego doświadczenia dają dwie różne liczby. 2. **Policz zdarzenia sprzyjające** - Krótką listę wypisuje się wprost: sumę 11 przy dwóch rzutach kostką dają dwie pary, (5, 6) oraz (6, 5). Wybór, w którym kolejność nie gra roli, liczy symbol Newtona, a zwrot o co najmniej jednym sukcesie prawie zawsze szybciej wychodzi przez zdarzenie przeciwne. Wypisanie kilku pierwszych przypadków opłaca się nawet wtedy, gdy zadanie ma wzór. 3. **Zapisz ułamek i skróć go** - Podziel liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich. Klucz odpowiedzi CKE podaje w tym dziale ułamek zwykły, więc to on jest odpowiedzią, i uznaje także postać nieskróconą: w arkuszu z maja 2025 poprawną odpowiedzią jest 2/36, a nie dopiero 1/18. Skrócenie jest dobrym zwyczajem, a nie warunkiem punktu. Rozwinięcie dziesiętne warto dopisać obok, ale samo rzadko wystarcza, bo najczęściej jest nieskończone. 4. **Sprawdź wynik zdrowym rozsądkiem** - Prawdopodobieństwo zawsze leży w przedziale od zera do jedynki, więc wynik większy od jedynki oznacza błąd w mianowniku albo policzenie tego samego wyniku dwa razy. Warto też porównać odpowiedź ze zdarzeniem przeciwnym: jeśli zdarzenie wydaje się rzadkie, a wyszło ponad połowę, gdzieś zamieniły się licznik z mianownikiem. ## Kiedy wolno użyć definicji klasycznej Definicja klasyczna działa pod jednym warunkiem: wszystkie zdarzenia elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne. Symetryczna moneta, symetryczna kostka i losowanie kuli z urny ten warunek spełniają. Suma oczek przy dwóch rzutach kostką już nie, bo suma 7 wypada częściej niż suma 2, więc zbiorem zdarzeń elementarnych są pary oczek, a nie możliwe sumy. To rozróżnienie jest w tym dziale źródłem większości utraconych punktów. Bezpieczna procedura wygląda tak samo w każdym zadaniu: opisz pojedynczy wynik doświadczenia w sposób, w którym wszystkie wyniki są równie prawdopodobne, policz ich liczbę, a dopiero potem szukaj sprzyjających. Szerzej pisze o tym wpis o definicji i drzewku stochastycznym. ## Zdarzenie przeciwne skraca rachunek Dwa rzuty kostką i pytanie o co najmniej jedną szóstkę pokazują cały mechanizm na liczbach. Wprost trzeba wypisać jedenaście par: sześć z szóstką w pierwszym rzucie, sześć z szóstką w drugim, minus para (6, 6) policzona dwa razy. Zdarzenie przeciwne to brak szóstki w obu rzutach, czyli 5/6 razy 5/6, co daje 25/36, a odpowiedź wychodzi jako 1 minus 25/36, czyli 11/36. Jedno mnożenie zamiast jedenastu przypadków, a przy trzech rzutach różnica rośnie jeszcze bardziej. Ta sama sztuczka działa przy zwrotach o przynajmniej jednej reszce, o co najmniej dwóch elementach i o niepustym przecięciu. Warto też pamiętać o prostym sprawdzeniu: prawdopodobieństwo zdarzenia i zdarzenia do niego przeciwnego dają w sumie dokładnie jeden, więc jeśli po dodaniu wychodzi coś innego, błąd stoi w jednym z dwóch rachunków. ## Drzewko stochastyczne i reguła mnożenia Drzewko opisuje doświadczenie złożone z kilku etapów. Wzdłuż jednej gałęzi prawdopodobieństwa mnoży się, a między gałęźmi prowadzącymi do tego samego zdarzenia dodaje. Suma prawdopodobieństw wszystkich gałęzi wychodzących z jednego węzła zawsze wynosi jeden i to jest najprostsze sprawdzenie poprawności rysunku. Na rysunku widać też różnicę między losowaniem ze zwracaniem a bez zwracania. Przy zwracaniu obie krawędzie drugiego etapu mają tę samą liczbę, bo pula wraca do stanu wyjściowego; bez zwracania każda gałąź ma własne prawdopodobieństwa, bo maleje i licznik, i mianownik. Kalkulator wyżej rysuje przypadek pierwszy, czyli etapy niezależne, a przy losowaniu bez zwracania drugi etap trzeba policzyć osobno dla każdej gałęzi. Dwa rozpisane przykłady tego typu, razem z rzutami monetą, znajdziesz we wpisie o drzewku przy rzutach monetą. **Prawdopodobieństwa, które warto znać na pamięć** | Doświadczenie | Zdarzenie | Prawdopodobieństwo | | --- | --- | --- | | jeden rzut kostką | wypadnie szóstka | 1/6 | | dwa rzuty kostką | suma oczek równa 7 | 6/36, czyli 1/6 | | dwa rzuty kostką | obie liczby oczek jednakowe | 6/36, czyli 1/6 | | trzy rzuty monetą | dokładnie dwa orły | 3/8 | | trzy rzuty monetą | co najmniej jeden orzeł | 7/8 | > Odpowiedź w tym dziale zapisuje się ułamkiem zwykłym; skrócenie jest zalecane, ale klucz CKE uznaje także postać nieskróconą: w arkuszu próbnym z marca 2026 punktowaną odpowiedzią jest 2/90, a ułamka 1/45 nie ma nawet wśród wariantów do wyboru. Zapis w rodzaju 0,0555 jest natomiast przybliżeniem i sam w sobie nie dostaje pełnej punktacji, bo rozwinięcie dziesiętne większości tych ułamków jest nieskończone. ## Pułapki maturalne - **Licznik i mianownik policzone w dwóch różnych modelach** - Zbiór wszystkich wyników opisany parami uporządkowanymi, a zdarzenia sprzyjające policzone kombinacjami, dają wynik pozbawiony sensu, mimo że każdy rachunek z osobna jest poprawny. Model wybiera się raz, na początku zadania, i obowiązuje po obu stronach ułamka do końca. - **Sumy oczek potraktowane jako zdarzenia elementarne** - Przy dwóch rzutach kostką sum jest jedenaście, od 2 do 12, ale nie są one jednakowo prawdopodobne, więc definicji klasycznej nie wolno do nich zastosować. Zdarzeniami elementarnymi są tu 36 par oczek. Podzielenie przez jedenaście zamiast przez trzydzieści sześć daje 1/11, czyli liczbę, która nie jest prawdopodobieństwem żadnej z tych sum. - **Dodawanie prawdopodobieństw zdarzeń, które się nakładają** - Wzór na sumę zdarzeń zawiera odjęcie prawdopodobieństwa iloczynu i nie wolno go pominąć, gdy zdarzenia mają część wspólną. Samo dodanie liczy wspólną część dwa razy i potrafi dać wynik większy od jedynki, co od razu widać jako sygnał błędu. ## Zadania z arkuszy CKE - [Zadanie 29 z działu Prawdopodobieństwo](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-pr-bna-cke-marzec-2026-32) - [Zadanie 28 z działu Prawdopodobieństwo](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-35) - [Zadanie 30 z działu Prawdopodobieństwo](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2024-38) ## Najczęściej zadawane pytania ### Jak obliczyć prawdopodobieństwo klasyczne? Dzieli się liczbę zdarzeń sprzyjających przez liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, pod warunkiem że każde z nich jest jednakowo prawdopodobne. Jeśli ze zbioru dwunastu liczb trzy spełniają warunek zadania, prawdopodobieństwo wynosi trzy dwunaste, czyli jedna czwarta. ### Ile wynosi prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego? Jeden minus prawdopodobieństwo zdarzenia wyjściowego. Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia A wynosi 0,7, to zdarzenia przeciwnego 0,3. Ta zależność jest najkrótszą drogą do zadań, w których pada zwrot o co najmniej jednym sukcesie. ### Ile jest wszystkich wyników przy dwóch rzutach kostką? Trzydzieści sześć, bo każdy z sześciu wyników pierwszego rzutu łączy się z każdym z sześciu wyników drugiego. Pary są uporządkowane, więc wynik 5 i 6 to co innego niż 6 i 5. Sum oczek jest tylko jedenaście, ale nie są one jednakowo prawdopodobne. ### Jak czytać drzewko stochastyczne? Wzdłuż jednej gałęzi prawdopodobieństwa mnoży się, a wyniki gałęzi prowadzących do tego samego zdarzenia dodaje. Prawdopodobieństwa wszystkich gałęzi wychodzących z jednego węzła sumują się do jedynki i to jest najszybsze sprawdzenie, czy rysunek jest poprawny. ### Czy prawdopodobieństwo można podać w procentach? Można, ale na maturze bezpieczniejszy jest ułamek zwykły, bo tak podaje odpowiedzi klucz CKE i uznaje przy tym również postać nieskróconą. Procent i rozwinięcie dziesiętne warto dopisać obok jako komentarz, zwłaszcza gdy rozwinięcie jest skończone. ### Czym różni się losowanie ze zwracaniem od losowania bez zwracania? Przy zwracaniu wylosowany element wraca do puli, więc w każdym etapie liczba możliwości jest taka sama. Bez zwracania pula maleje o jeden po każdym losowaniu, co zmienia zarówno liczbę wszystkich wyników, jak i liczbę zdarzeń sprzyjających. --- Powiązane narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia/kalkulator-kombinatoryczny, https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia/kalkulator-statystyczny Zadania z prawdopodobieństwa: https://www.sprawnamatura.pl/topics/prawdopodobienstwo Prawdopodobieństwo na maturze: https://www.sprawnamatura.pl/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania Rzut monetą i drzewko: https://www.sprawnamatura.pl/rzut-moneta-prawdopodobienstwo-drzewko-zadania-matura Zdarzenie przeciwne i suma zdarzeń: https://www.sprawnamatura.pl/zdarzenie-przeciwne-suma-zdarzen-wlasnosci-prawdopodobienstwa Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia