--- route: /narzedzia/kalkulator-pol-figur title: Kalkulator pola figur: trójkąt, czworokąt, koło description: Pola i obwody figur płaskich w jednym narzędziu: trójkąt, kwadrat, prostokąt, romb, trapez, równoległobok, koło i wielokąt foremny. Ze wzorem. group: Planimetria kind: kalkulator updated: 2026-08-30 --- # Kalkulator pól i obwodów figur Pole figury płaskiej liczy się z wymiarów, które ją wyznaczają: boku, przekątnych, podstawy z wysokością albo promienia. Obwód to długość brzegu, więc czasem wynika z tych samych danych, a czasem trzeba dołożyć kolejne. Kalkulator wyżej obsługuje osiem figur, pokazuje wzór, całe podstawienie i wynik w postaci dokładnej. ## Wzór $$P = \frac{a + b}{2} \cdot h, \quad P = \pi r^2$$ ## Jak to policzyć 1. **Nazwij figurę i wypisz dane** - Zacznij od rozstrzygnięcia, co dokładnie masz: prostokąt czy równoległobok, romb czy kwadrat, koło czy okrąg. Nazwa figury wybiera wzór, a wypisane dane rozstrzygają, czy tego wzoru da się użyć wprost, czy trzeba najpierw wyznaczyć brakujący wymiar z twierdzenia Pitagorasa albo z trygonometrii. 2. **Wybierz wzór pasujący do danych** - Ta sama figura ma zwykle kilka wzorów na pole i różnią się one danymi, a nie wynikiem. Pole rombu policzysz z przekątnych albo z boku i wysokości, a pole trójkąta z podstawy z wysokością, ze wzoru Herona albo z dwóch boków i kąta między nimi. Wybierz ten wzór, do którego masz komplet liczb. 3. **Podstaw i pilnuj jednostek** - Wszystkie wymiary muszą być wyrażone w tej samej jednostce, zanim cokolwiek pomnożysz. Pole wychodzi w jednostkach kwadratowych, a obwód w liniowych, więc odpowiedź bez jednostki albo z jednostką liniową przy polu nie dostaje pełnej punktacji, nawet gdy sama liczba jest poprawna. 4. **Sprawdź, czy obwód wynika z danych** - Obwód kwadratu, prostokąta, rombu, równoległoboku i koła wynika z tych samych danych, co pole. Obwód trójkąta z podstawy i wysokości oraz obwód trapezu z podstaw i wysokości nie wynikają, bo tych samych danych ma nieskończenie wiele różnych figur. Wtedy potrzebne są długości pozostałych boków. ## Czworokąty i wzory, które je odróżniają Czworokąty maturalne tworzą drabinę: trapez ma jedną parę boków równoległych, równoległobok dwie, romb to równoległobok o równych bokach, prostokąt to równoległobok o kątach prostych, a kwadrat ma jedno i drugie. Każdy szczebel dziedziczy wzory z poprzedniego, więc pole rombu można policzyć wzorem równoległoboku, a pole kwadratu wzorem rombu z przekątnych. Warto pamiętać o dwóch wzorach, które działają tylko wyżej na drabinie. Pole z połowy iloczynu przekątnych wymaga, żeby przekątne przecinały się pod kątem prostym, co zachodzi w rombie i w kwadracie, ale nie w każdym równoległoboku. Obwód z podwojonej sumy dwóch sąsiednich boków wymaga równoległoboku i w trapezie nie działa. Więcej przykładów zebraliśmy we wpisie o planimetrii na maturze. ## Koło i okrąg to nie to samo Okrąg jest linią, czyli zbiorem punktów odległych od środka o promień, a koło jest obszarem, czyli okręgiem razem z jego wnętrzem. Dlatego mówi się o długości okręgu i o polu koła, a nie odwrotnie, i dlatego zadanie o obwodzie figury złożonej z odcinków i łuku wymaga długości łuku, a nie pola wycinka. Oba wzory zawierają liczbę pi i to ona decyduje o postaci odpowiedzi. Pole koła o promieniu 3 wynosi dokładnie dziewięć pi, a nie 28,27, i właśnie ten zapis jest na arkuszu punktowany. Przybliżenie dziesiętne podaje się tylko wtedy, gdy polecenie prosi o wynik z określoną dokładnością. Kalkulator pokazuje obie postacie i oddziela je znakiem przybliżenia. ## Wielokąt foremny na maturze Wielokąt foremny ma wszystkie boki i wszystkie kąty równe, więc daje się wpisać w okrąg i opisać na okręgu. Kąt wewnętrzny wielokąta o n bokach ma miarę równą sumie kątów podzielonej przez n, a kąt środkowy oparty na jednym boku ma miarę pełnego kąta podzieloną przez n. Te dwie miary sumują się do kąta półpełnego i ta obserwacja rozwiązuje większość zadań zamkniętych z tego tematu. Pole liczy się przez podział na n przystających trójkątów równoramiennych o wspólnym wierzchołku w środku okręgu opisanego. Dla trójkąta, kwadratu i sześciokąta foremnego wynik ma postać dokładną z pierwiastkiem z trzech albo bez pierwiastka, i takich właśnie wielokątów dotyczą zadania maturalne. Ośmiokąt i dwunastokąt też mają wzory dokładne, tyle że dwuczłonowe: pole ośmiokąta to kwadrat boku pomnożony przez dwa plus dwa pierwiastki z dwóch, a pole dwunastokąta kwadrat boku pomnożony przez sześć plus trzy pierwiastki z trzech. Kalkulator zapisuje wartość dokładną jako jeden człon postaci liczba razy pierwiastek, więc sumy części wymiernej i niewymiernej nie uniesie i podaje przybliżenie. Przy pięciokącie i dziesięciokącie dochodzi jeszcze pierwiastek pod pierwiastkiem, którego ten zapis też nie obejmuje. **Pole rombu z przekątnych i pole koła** $$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}, \quad P = \pi r^2$$ > Wysokość równoległoboku nie może być dłuższa od boku, na który ją opuszczono z sąsiedniego wierzchołka: wysokość jest przyprostokątną, a bok przeciwprostokątną tego samego trójkąta prostokątnego. Kalkulator odrzuca takie dane, zamiast liczyć pole figury, która nie istnieje. ## Pułapki maturalne - **Wysokość trapezu to nie ramię** - W trapezie prostokątnym jedno ramię jest jednocześnie wysokością i stąd bierze się przyzwyczajenie, które w trapezie równoramiennym daje wynik zawyżony. Wysokość zawsze jest odcinkiem prostopadłym do obu podstaw. Gdy w zadaniu podane jest ramię i kąt przy podstawie, wysokość trzeba najpierw wyliczyć z sinusa tego kąta. - **Pole z liczbą pi zostaje z liczbą pi** - Zamiana dziewięciu pi na 28,27 w połowie rozwiązania sprawia, że wszystkie kolejne wyniki są przybliżeniami, a ostatni bywa już poza tolerancją oceniającego. Liczbę pi traktuje się jak zwykły symbol i przenosi przez cały rachunek. Zaokrągla się dopiero odpowiedź i tylko wtedy, gdy polecenie tego wymaga. - **Skala pola to kwadrat skali podobieństwa** - Jeżeli figury są podobne w skali k, to ich obwody są w stosunku k, ale pola w stosunku k do kwadratu. Zadania z arkuszy lubią właśnie ten przeskok: podają skalę i pole jednej figury, a pytają o pole drugiej. Pomnożenie pola przez samą skalę zamiast przez jej kwadrat to błąd, który wygląda jak rachunkowy, a jest merytoryczny. ## Zadania z arkuszy CKE - [Zadanie 21 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-sierpie-2023-24) - [Zadanie 20 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-23) - [Zadanie 25 z działu Planimetria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-czerwiec-2023-29) ## Najczęściej zadawane pytania ### Jak obliczyć pole rombu? Najprościej z przekątnych: pole to połowa ich iloczynu. Dla przekątnych 8 i 6 wychodzi 24. Jeżeli zamiast przekątnych masz bok i wysokość, użyj wzoru dla równoległoboku, czyli pomnóż bok przez wysokość opuszczoną na ten bok. ### Jak obliczyć pole trapezu? Dodaj obie podstawy, podziel sumę przez dwa i pomnóż przez wysokość. Dla podstaw 10 i 6 oraz wysokości 4 wychodzi 32. Wysokość musi być odcinkiem prostopadłym do podstaw, a nie ramieniem trapezu. ### Ile wynosi pole koła o promieniu 3? Dokładnie dziewięć pi, czyli w przybliżeniu 28,27. Długość okręgu o tym samym promieniu to sześć pi, czyli około 18,85. W odpowiedzi zapisuje się postać z liczbą pi, chyba że polecenie prosi o przybliżenie. ### Dlaczego obwodu trójkąta nie da się policzyć z pola? Bo to samo pole ma nieskończenie wiele trójkątów o różnych bokach. Podstawa i wysokość wyznaczają pole, ale nie wyznaczają pozostałych dwóch boków. Obwód policzysz dopiero z trzech boków albo z dwóch boków i kąta między nimi. ### Które wzory na pole są w tablicach maturalnych? Tablice CKE zawierają wzory na pole trójkąta, w tym wzór Herona i wzór z sinusem kąta, oraz pola czworokątów, koła i wycinka koła. Nie ma tam gotowego wzoru na pole wielokąta foremnego, więc ten przypadek rozwiązuje się przez podział na trójkąty. --- Powiązane narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia/kalkulator-objetosci-bryl, https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia/kalkulator-trojkata Zadania z planimetrii: https://www.sprawnamatura.pl/topics/planimetria Wzór na pole rombu: https://www.sprawnamatura.pl/wzory/pole-rombu Wzór na pole trapezu: https://www.sprawnamatura.pl/wzory/pole-trapezu Wzór na pole koła: https://www.sprawnamatura.pl/wzory/pole-kola Planimetria na maturze: https://www.sprawnamatura.pl/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia