--- route: /narzedzia/kalkulator-objetosci-bryl title: Kalkulator objętości brył: walec, stożek, ostrosłup description: Objętość i pole powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli. Wzory maturalne, rysunek bryły i obliczenia krok po kroku. group: Stereometria kind: kalkulator updated: 2026-08-30 --- # Kalkulator objętości i pola powierzchni brył Objętość graniastosłupa i walca liczy się jako pole podstawy razy wysokość, a objętość ostrosłupa i stożka jako jedna trzecia tego samego iloczynu. W tych czterech bryłach pole całkowite to pole podstaw plus pole boczne, a kula ma własny wzór. Kalkulator wyżej liczy obie wielkości dla siedmiu brył, podaje wynik dokładny i rysuje bryłę. ## Wzór $$V = P_p \cdot H \quad \text{oraz} \quad V = \frac{1}{3} P_p \cdot H$$ ## Jak to policzyć 1. **Rozpoznaj bryłę i wypisz dane** - Zacznij od nazwy bryły, bo od niej zależy komplet wzorów. Graniastosłup prawidłowy ma w podstawie wielokąt foremny i krawędzie boczne prostopadłe do podstawy, ostrosłup prawidłowy ma wierzchołek nad środkiem podstawy, a walec, stożek i kula powstają z obrotu figury płaskiej. Wypisz osobno wymiary podstawy i wysokość bryły, bo w treści zadania prawie zawsze stoją one w różnych zdaniach. 2. **Policz pole podstawy** - Podstawa graniastosłupa i ostrosłupa prawidłowego to wielokąt foremny, więc jej pole liczy się ze wzoru na pole tego wielokąta. Trójkąt równoboczny o boku a ma pole równe iloczynowi kwadratu boku i pierwiastka z trzech podzielonemu przez cztery, kwadrat pole równe kwadratowi boku, a sześciokąt foremny pole sześciu takich trójkątów. Podstawą walca i stożka jest koło, więc jej pole to iloczyn liczby pi i kwadratu promienia. 3. **Podstaw do wzoru na objętość** - Graniastosłup i walec mają objętość równą iloczynowi pola podstawy i wysokości bryły. Ostrosłup i stożek o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości mają objętość trzy razy mniejszą, czyli z czynnikiem jedna trzecia. Kula ma własny wzór, w którym występuje trzecia potęga promienia. Wysokość podstawiaj tę mierzoną prostopadle do podstawy, a nie długość krawędzi bocznej. 4. **Dolicz pole boczne i całkowite** - Pole boczne graniastosłupa to obwód podstawy razy wysokość, pole boczne walca to obwód koła razy wysokość, a pole boczne ostrosłupa to suma pól ścian, czyli połowa obwodu podstawy razy wysokość ściany bocznej. Tę ostatnią wyznaczasz z twierdzenia Pitagorasa. Pole całkowite to pole boczne powiększone o jedną podstawę w ostrosłupie i stożku, a o dwie w graniastosłupie i walcu. ## Skąd w wynikach biorą się pierwiastki Pierwiastek z trzech pojawia się w stereometrii zawsze z tego samego powodu: z trójkąta równobocznego. Jego wysokość to bok pomnożony przez pierwiastek z trzech i podzielony przez dwa, więc każda bryła, której podstawa zawiera trójkąt równoboczny, wnosi ten pierwiastek do wyniku. Dotyczy to graniastosłupa i ostrosłupa prawidłowego trójkątnego oraz sześciokątnego, bo sześciokąt foremny rozpada się na sześć trójkątów równobocznych o boku równym bokowi sześciokąta. Drugie źródło to przekątne. Przekątna kwadratu o boku a ma długość a razy pierwiastek z dwóch, a przekątna sześcianu a razy pierwiastek z trzech. Właśnie dlatego kalkulator podaje wynik w postaci dokładnej, a przybliżenie dziesiętne dopisuje dopiero obok: na arkuszu punktowana jest postać z pierwiastkiem, bo tylko ona jest wartością ścisłą. ## Trójkąty prostokątne ukryte w bryle Prawie każde zadanie ze stereometrii sprowadza się do znalezienia właściwego trójkąta prostokątnego i użycia w nim twierdzenia Pitagorasa albo funkcji trygonometrycznej kąta ostrego. W ostrosłupie prawidłowym pierwszy taki trójkąt tworzą wysokość bryły, odcinek od środka podstawy do środka boku podstawy i wysokość ściany bocznej. Drugi tworzą wysokość bryły, promień okręgu opisanego na podstawie i krawędź boczna. W stożku ten sam schemat daje związek między promieniem podstawy, wysokością i tworzącą, a w sześcianie trójkąt zbudowany z krawędzi, przekątnej ściany i przekątnej bryły. Rysunek jest tu częścią rozwiązania, a nie ozdobą, dlatego kalkulator rysuje schemat bryły razem z wynikiem. Więcej takich układów opisuje wpis o bryłach, objętościach i kątach w stereometrii. ## Bryły obrotowe i przekrój osiowy Walec, stożek i kula są bryłami obrotowymi, czyli powstają z obrotu figury płaskiej dookoła prostej. Prostokąt obracany wokół boku daje walec, trójkąt prostokątny obracany wokół przyprostokątnej daje stożek, a półkole obracane wokół średnicy daje kulę. To rozpoznanie bywa całym zadaniem zamkniętym, bo z niego wynikają wszystkie wymiary bryły. Drugim stałym motywem jest przekrój osiowy, czyli przekrój płaszczyzną przechodzącą przez oś obrotu. Dla walca jest to prostokąt o bokach równych średnicy i wysokości, dla stożka trójkąt równoramienny o ramionach równych tworzącej, a dla kuli koło wielkie o promieniu równym promieniowi kuli. Zadania podają wymiary właśnie przez ten przekrój, więc warto umieć przechodzić w obie strony. Rozpisane przykłady znajdziesz we wpisach o bryłach obrotowych i o przekrojach brył płaszczyzną. > Wynik z liczbą pi zostaw w postaci dokładnej. Objętość kuli o promieniu 3 zapisuje się jako 36 pi, a nie jako 113,1, bo zaokrąglenie nie jest wartością tej objętości i na arkuszu nie dostaje pełnej punktacji. ## Pułapki maturalne - **Wysokość bryły to nie jest wysokość ściany bocznej** - W ostrosłupie prawidłowym wysokość bryły łączy wierzchołek ze środkiem podstawy, a wysokość ściany bocznej ze środkiem krawędzi podstawy. Ta druga jest zawsze dłuższa i to ona wchodzi do wzoru na pole boczne, podczas gdy do wzoru na objętość wchodzi ta pierwsza. Zamiana tych dwóch odcinków miejscami jest najczęstszym błędem w całym dziale i psuje jednocześnie objętość i pole. - **Czynnik jedna trzecia dotyczy ostrosłupa i stożka** - Graniastosłup i walec mają objętość równą iloczynowi pola podstawy i wysokości, bez żadnego dodatkowego czynnika. Jedna trzecia pojawia się wyłącznie przy bryłach zakończonych wierzchołkiem, czyli przy ostrosłupie i stożku. Dopisanie jej do graniastosłupa albo pominięcie w ostrosłupie zmienia wynik trzykrotnie, a zadania zamknięte często stawiają obie wartości w tym samym zestawie odpowiedzi. - **Pole całkowite ostrosłupa ma jedną podstawę, nie dwie** - Graniastosłup i walec mają dwie podstawy, więc ich pole całkowite zawiera podwojone pole podstawy. Ostrosłup i stożek mają jedną podstawę i pole całkowite jest sumą pola bocznego oraz jednego pola podstawy. Przepisanie wzoru z graniastosłupa na ostrosłup daje wynik zawyżony dokładnie o pole podstawy i wygląda przy tym na poprawnie policzony. ## Zadania z arkuszy CKE - [Zadanie 25 z działu Stereometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2023-28) - [Zadanie 28 z działu Stereometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-31) - [Zadanie 26 z działu Stereometria](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-33) ## Najczęściej zadawane pytania ### Jak obliczyć objętość graniastosłupa? Objętość graniastosłupa to iloczyn pola podstawy i wysokości bryły. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 3 i wysokości 5 pole podstawy wynosi 9, więc objętość jest równa 45. Wysokość mierzy się prostopadle do podstawy. ### Jaki jest wzór na objętość ostrosłupa? Objętość ostrosłupa to jedna trzecia iloczynu pola podstawy i wysokości bryły. Ostrosłup o takiej samej podstawie i takiej samej wysokości co graniastosłup ma więc objętość trzy razy mniejszą. Wysokość to odcinek od wierzchołka do płaszczyzny podstawy, a nie krawędź boczna. ### Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka? Pole całkowite stożka to suma pola koła w podstawie i pola powierzchni bocznej, czyli iloczynu liczby pi, promienia i tworzącej. Tworzącą wyznaczasz z twierdzenia Pitagorasa z promienia i wysokości. Dla promienia 3 i wysokości 4 tworząca wynosi 5, a pole całkowite 24 pi. ### Jak obliczyć objętość kuli? Objętość kuli to cztery trzecie iloczynu liczby pi i trzeciej potęgi promienia. Dla promienia 3 wychodzi 36 pi, czyli około 113,1. Pole powierzchni kuli to cztery razy iloczyn liczby pi i kwadratu promienia i dla tego samego promienia również wynosi 36 pi. ### Czy wzory na objętość brył są w tablicach maturalnych? Tak, karta wzorów wydawana na egzaminie zawiera objętości i pola powierzchni graniastosłupa, ostrosłupa, walca, stożka i kuli. Tablice nie podpowiadają jednak, który odcinek jest wysokością bryły, a który wysokością ściany bocznej, i to właśnie rozstrzygnięcie jest punktowane. ### Ile ścian ma graniastosłup prawidłowy sześciokątny? Osiem: dwie podstawy będące sześciokątami foremnymi i sześć prostokątnych ścian bocznych. Krawędzi ma osiemnaście, a wierzchołków dwanaście. Zadania zamknięte lubią pytać o te liczby dla podstawy o n bokach, gdzie ścian jest n plus dwa, krawędzi trzy n, a wierzchołków dwa n. --- Powiązane narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia/kalkulator-pol-figur Zadania ze stereometrii: https://www.sprawnamatura.pl/topics/stereometria Stereometria na maturze: https://www.sprawnamatura.pl/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni Wzory z tablic maturalnych: https://www.sprawnamatura.pl/formulas Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia