--- route: /narzedzia/kalkulator-logarytmow title: Kalkulator logarytmów: log, zmiana podstawy, wzory description: Policz logarytm o dowolnej podstawie razem z rozpisaniem własności: logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi oraz wzór na zmianę podstawy. group: Logarytmy kind: kalkulator updated: 2026-08-30 --- # Kalkulator logarytmów Logarytm przy podstawie a z liczby b to wykładnik, do którego trzeba podnieść a, żeby otrzymać b. Podstawa musi być dodatnia i różna od jedynki, a liczba logarytmowana dodatnia. Kalkulator niżej podaje wynik dokładny wszędzie tam, gdzie istnieje, rozpisuje własności działań i pokazuje wzór na zmianę podstawy. ## Wzór $$\log_{a} b = c \iff a^{c} = b$$ ## Jak to policzyć 1. **Sprawdź założenia** - Wyrażenie ma sens tylko wtedy, gdy pod logarytmem stoi liczba większa od zera, a w podstawie liczba większa od zera i nierówna jedynce. To nie jest formalność dopisana do zadania: w zadaniach z niewiadomą pod logarytmem właśnie od tych warunków zaczyna się rozwiązanie, a pominięcie ich kosztuje punkt nawet wtedy, gdy dalszy rachunek jest bez zarzutu. 2. **Zapisz obie liczby jako potęgi wspólnej podstawy** - Prawie każdy logarytm z arkusza da się policzyć w pamięci, jeśli podstawę i liczbę logarytmowaną zapiszemy jako potęgi tej samej liczby. Dla logarytmu przy podstawie 4 z liczby 8 obie liczby są potęgami dwójki: cztery to dwa do kwadratu, a osiem to dwa do sześcianu. 3. **Porównaj wykładniki** - Po sprowadzeniu do wspólnej podstawy równanie z definicji logarytmu zamienia się w zwykłe równanie liniowe na wykładnikach. Dla podstawy 4 i liczby 8 mamy dwa razy niewiadoma równa się trzy, czyli wynik jest równy trzy drugie. Odpowiedź zostaje ułamkiem zwykłym i tak się ją zapisuje. 4. **Gdy wspólnej podstawy nie ma, zmień podstawę** - Wzór na zmianę podstawy zamienia jeden logarytm na iloraz dwóch logarytmów o wygodniejszej podstawie, zwykle dziesiętnej albo dwójkowej. Ten sam wzór służy do porównywania logarytmów o różnych podstawach, bo po sprowadzeniu do wspólnej podstawy wystarczy porównać dwa ułamki. ## Trzy własności, z których zbudowane są wszystkie zadania Logarytm iloczynu jest sumą logarytmów, logarytm ilorazu jest ich różnicą, a logarytm potęgi to wykładnik pomnożony przez logarytm podstawy tej potęgi. Te trzy równości wyglądają niewinnie, ale to na nich stoi cały dział: zadanie maturalne prawie nigdy nie pyta o gotowy logarytm, tylko o wyrażenie złożone z kilku, które po zwinięciu okazuje się liczbą całkowitą. Kierunek zwijania jest tu ważniejszy niż same wzory. Wyrażenie z trzema logarytmami o tej samej podstawie sprowadza się najpierw do jednego logarytmu, a dopiero potem liczy. Odwrotna kolejność, czyli liczenie każdego składnika osobno, prowadzi do przybliżeń dziesiętnych, których na arkuszu nie da się zapisać, a często do wniosku, że zadania nie da się rozwiązać. Kalkulator wyżej pokazuje obie drogi obok siebie właśnie po to, żeby różnica była widoczna. ## Dziedzina wyrażenia logarytmicznego Każde wyrażenie z niewiadomą pod logarytmem ma dziedzinę i jej wyznaczenie jest osobno punktowane. Warunki są zawsze te same: liczba logarytmowana większa od zera, podstawa większa od zera i różna od jedynki. Gdy niewiadoma stoi w podstawie, warunki mnożą się i trzeba je rozwiązać jako układ nierówności. Najczęstszy błąd nie polega na tym, że ktoś dziedziny nie zna, tylko na tym, że wyznacza ją po rozwiązaniu równania, a nie przed. Rozwiązanie, które wypada poza dziedziną, trzeba odrzucić, a odrzucenie musi być widoczne w zapisie. Rozpisane krok po kroku zadania tego typu stoją we wpisie o nierównościach logarytmicznych, gdzie dziedzina rozstrzyga dodatkowo o kierunku znaku nierówności. ## Logarytmy w zadaniach z treścią Logarytm pojawia się na arkuszu także poza działem algebry, zwykle w zadaniach o rozpadzie promieniotwórczym, o wzroście liczby bakterii albo o skali dźwięku. Schemat jest tam stały: wielkość maleje albo rośnie wykładniczo, a pytanie dotyczy czasu, czyli wykładnika. Logarytm jest jedynym narzędziem, które ten wykładnik wyciąga. W takich zadaniach wynik prawie nigdy nie jest liczbą całkowitą i to jest w porządku. Punktuje się poprawne ułożenie równania wykładniczego, zastosowanie logarytmu do obu stron i zapisanie odpowiedzi z sensowną dokładnością wraz z jednostką. Kalkulator wyżej podaje w takiej sytuacji przybliżenie do czterech miejsc po przecinku i wprost pisze, że wynik jest niewymierny. > Wynik dokładny w postaci ułamka zwykłego, na przykład trzy drugie, jest na arkuszu punktowany, a jego przybliżenie dziesiętne zwykle nie. Kalkulator podaje obie postacie po to, żeby było widać, którą przepisać do zeszytu. ## Pułapki maturalne - **Logarytm ujemny to nie to samo co logarytm z liczby ujemnej** - Wartość logarytmu może być ujemna i nie ma w tym nic nadzwyczajnego: logarytm przy podstawie 5 z jednej dwudziestej piątej jest równy minus dwa. Czym innym jest logarytm z liczby ujemnej, który po prostu nie istnieje, bo żadna potęga liczby dodatniej nie daje wyniku ujemnego. Pomylenie tych dwóch rzeczy prowadzi do odrzucania poprawnych rozwiązań. - **Liczba przed logarytmem jest wykładnikiem, a nie mnożnikiem** - Zapis dwa razy logarytm z trójki oznacza logarytm z dziewiątki, a nie logarytm z szóstki. Współczynnik wchodzi pod logarytm jako wykładnik liczby logarytmowanej, więc podnosi ją do potęgi, a nie mnoży. To jest najczęstsza pomyłka rachunkowa w tym dziale i widać ją w każdej sesji. - **Suma logarytmów to logarytm iloczynu, nie logarytm sumy** - Wyrażenia z logarytmem sumy nie da się rozbić na prostsze składniki. Nie istnieje wzór zamieniający go na sumę ani na iloczyn logarytmów, więc zostawia się je w spokoju albo przekształca samą liczbę stojącą pod logarytmem. Wzory na sumę i różnicę mówią o logarytmach iloczynu i ilorazu, a to nie to samo. ## Zadania z arkuszy CKE - [Zadanie 4 z działu Logarytmy](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2026-04) - [Zadanie 3 z działu Logarytmy](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2025-03) - [Zadanie 4 z działu Logarytmy](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-04) ## Najczęściej zadawane pytania ### Co to jest logarytm? To wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę, żeby otrzymać daną liczbę. Trójka podniesiona do czwartej potęgi daje osiemdziesiąt jeden, więc logarytm przy podstawie 3 z osiemdziesięciu jeden jest równy cztery. Zamiana zapisu logarytmicznego na wykładniczy działa w obie strony i to ona rozwiązuje większość zadań z tego działu. ### Jak obliczyć logarytm o podstawie 2? Wystarczy sprawdzić, którą potęgą dwójki jest liczba logarytmowana. Dla 8 wynik to 3, dla 32 to 5, a dla jednej czwartej minus 2. Gdy liczba nie jest potęgą dwójki, wynik jest niewymierny i zapisuje się go w postaci logarytmu albo z przybliżeniem. ### Kiedy logarytm jest ujemny? Przy podstawie większej od jedynki logarytm jest ujemny dla liczb z przedziału od zera do jedynki, na przykład logarytm przy podstawie 2 z jednej ósmej wynosi minus trzy. Przy podstawie mniejszej od jedynki jest odwrotnie, bo funkcja logarytmiczna jest wtedy malejąca. ### Jak zmienić podstawę logarytmu? Zapisuje się go jako iloraz dwóch logarytmów o dowolnej wspólnej podstawie: w liczniku ten z liczbą logarytmowaną, w mianowniku ten ze starą podstawą. Najczęściej wybiera się podstawę dziesiętną albo dwójkową, bo dla nich łatwiej policzyć obie wartości. ### Czy na maturze wolno używać kalkulatora do logarytmów? Na egzaminie maturalnym z matematyki dozwolony jest wyłącznie kalkulator prosty, bez funkcji logarytmicznej. Logarytmy liczy się ręcznie, sprowadzając liczby do wspólnej podstawy, dlatego to narzędzie pokazuje wszystkie podstawienia: chodzi o sprawdzenie własnego rachunku, a nie o zastąpienie go. --- Powiązane narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia/kalkulator-poteg-i-pierwiastkow Zadania z logarytmów: https://www.sprawnamatura.pl/topics/logarytmy Logarytmy na maturze: wzory i własności: https://www.sprawnamatura.pl/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania Jak rozwiązać nierówność logarytmiczną: https://www.sprawnamatura.pl/jak-rozwiazac-nierownosc-logarytmiczna-metody-matura Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia