--- route: /narzedzia/kalkulator-kombinatoryczny title: Kalkulator symbolu Newtona, silni i kombinacji description: Silnia, symbol Newtona, permutacje, wariacje z powtórzeniami i bez oraz kombinacje. Każdy wynik z rozpisanym wzorem i podstawieniem. group: Kombinatoryka kind: kalkulator updated: 2026-08-30 --- # Kalkulator kombinatoryczny: silnia i symbol Newtona Kombinatoryka maturalna stoi na trzech pytaniach: czy kolejność wybranych elementów ma znaczenie, czy elementy mogą się powtarzać i ile ich wybieramy. Odpowiedzi wskazują wzór: permutacje, wariacje albo kombinacje. Symbol Newtona zlicza podzbiory, w których kolejność nie gra roli. Kalkulator wyżej podaje wynik dokładny i rozpisuje skrócenie silni. ## Wzór $$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$ ## Jak to policzyć 1. **Ustal, czy kolejność ma znaczenie** - To jest jedyne pytanie, które naprawdę rozdziela wzory tego działu. Kod do sejfu, ustawienie osób w kolejce i numer telefonu zależą od kolejności, więc prowadzą do wariacji albo permutacji. Skład drużyny, zestaw liczb w losowaniu i podzbiór punktów zależą tylko od tego, kto został wybrany, więc prowadzą do kombinacji. 2. **Sprawdź, czy element może się powtórzyć** - Wybór ze zwracaniem oznacza, że ten sam element wraca do puli i może wystąpić kilka razy, więc liczba możliwości nie maleje z każdym krokiem. Wybór bez zwracania zmniejsza pulę o jeden po każdym losowaniu. Dokładnie ta różnica dzieli wariacje z powtórzeniami od wariacji bez powtórzeń. 3. **Podstaw do wzoru i skróć silnie** - Silni z licznika i mianownika nigdy nie liczy się osobno. W symbolu Newtona skraca się większa silnia z mianownika, więc zostaje iloczyn k kolejnych liczb podzielony przez k silnia. W wariacjach bez powtórzeń zostaje sam iloczyn k kolejnych liczb malejących od n. Kalkulator pokazuje to skrócenie osobnym krokiem. 4. **Sprawdź rząd wielkości odpowiedzi** - Zadania zamknięte z tego działu podają cztery bardzo różne liczby, więc oszacowanie rzędu wielkości często wystarczy do wskazania odpowiedzi bez pełnego rachunku. Warto też sprawdzić kierunek: kombinacji nigdy nie jest więcej niż wariacji bez powtórzeń dla tych samych n i k, a przy k co najmniej równym dwa jest ich dokładnie k silnia razy mniej, bo kombinacja nie rozróżnia kolejności. ## Reguła mnożenia jest ważniejsza od wzorów Zadania maturalne z kombinatoryki dają się rozwiązać regułą mnożenia częściej niż gotowym wzorem. Reguła mówi, że jeśli decyzję da się rozłożyć na kolejne niezależne kroki, to liczba wyników jest iloczynem liczb możliwości w każdym kroku. Trzycyfrowy kod z cyfr od 1 do 9 bez powtórzeń to 9 razy 8 razy 7, i nie trzeba wiedzieć, że jest to wariacja bez powtórzeń. Wzory są skrótem tej samej myśli, a nie osobną wiedzą. Dlatego przy zadaniu z dodatkowym warunkiem, na przykład o parzystej ostatniej cyfrze albo o dziewiątce występującej dokładnie raz, bezpieczniej jest wrócić do reguły mnożenia i policzyć kroki w wygodnej kolejności, zamiast szukać wzoru, który obsłuży cały warunek naraz. Więcej rozpisanych przykładów znajdziesz we wpisie o permutacjach, wariacjach i kombinacjach. ## Symbol Newtona i jego dwie własności Symbol Newtona zapisywany jako n nad k oznacza liczbę k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego. Ma dwie własności, które skracają rachunek na tyle, że warto je znać na pamięć. Pierwsza to symetria: symbol dla k i symbol dla n minus k są równe, bo wybranie drużyny jest tym samym co wskazanie osób, które w drużynie nie zagrają. Dzięki temu symbol dla 20 nad 18 liczy się jak symbol dla 20 nad 2. Druga własność to wartości brzegowe: symbol dla k równego zero i dla k równego n zawsze wynosi jeden, bo zbiór pusty i cały zbiór można wybrać tylko na jeden sposób. Obie własności wracają w zadaniach zamkniętych jako szybka droga do odpowiedzi bez liczenia silni. ## Kombinatoryka jako wstęp do prawdopodobieństwa Na maturze podstawowej kombinatoryka rzadko stoi sama. Częściej jest pierwszym krokiem zadania o prawdopodobieństwie: najpierw liczy się moc zbioru wszystkich zdarzeń elementarnych, potem moc zbioru zdarzeń sprzyjających, a dopiero na końcu dzieli się jedno przez drugie. Obie liczby wychodzą z tego samego wzoru kombinatorycznego, tylko z innymi danymi. Warunek, o którym łatwo zapomnieć, brzmi: model musi być ten sam po obu stronach ułamka. Jeśli zbiór wszystkich wyników liczysz jako ciągi z uwzględnieniem kolejności, to zdarzenia sprzyjające też muszą być ciągami. Policzenie mianownika kombinacjami, a licznika wariacjami, daje wynik bez sensu i zero punktów. Co dokładnie się wtedy psuje i jak to rozpoznać w treści zadania, rozpisuje kalkulator prawdopodobieństwa. **Który wzór wybrać** | Kolejność | Powtórzenia | Nazwa | Wzór | | --- | --- | --- | --- | | ma znaczenie | dozwolone | wariacje z powtórzeniami | n^k | | ma znaczenie | niedozwolone | wariacje bez powtórzeń | n!/(n-k)! | | ma znaczenie | niedozwolone | permutacje, czyli wariacje przy k = n | n! | | nie ma znaczenia | niedozwolone | kombinacje | C(n, k) | > Na egzaminie maturalnym wolno mieć wyłącznie kalkulator prosty. Karta wzorów CKE podaje sam wzór na symbol Newtona, a nie tablicę jego wartości ani trójkąt Pascala, więc liczbę i tak trzeba policzyć ręcznie ze skróconego ilorazu silni. To narzędzie służy do sprawdzenia własnego rachunku, a nie do zastąpienia go. ## Pułapki maturalne - **Wariacje policzone jako kombinacje** - To jest najczęstszy błąd całego działu i widać go w kluczu odpowiedzi jako wynik k silnia razy mniejszy albo większy od poprawnego. Test jest jednozdaniowy: zamień miejscami dwa wybrane elementy i zapytaj, czy powstał nowy wynik. Jeśli tak, kolejność ma znaczenie i liczysz wariacje. Jeśli nie, liczysz kombinacje. - **Zero silnia to jeden, a nie zero** - Wartość zero silnia równa jeden nie jest umową bez powodu: pusty ciąg da się ustawić dokładnie na jeden sposób, a bez tej wartości wzór na symbol Newtona przestałby działać dla k równego zero i dla k równego n. Wpisanie zera w tym miejscu wywraca cały dalszy rachunek, bo w mianowniku pojawia się zero. - **Warunek z zadania dołożony po policzeniu wszystkiego** - Zadania w rodzaju liczby trzycyfrowej z niepowtarzającymi się cyframi, bez zera i z dziewiątką występującą dokładnie raz, rozpadają się na przypadki. Policzenie wszystkich układów i odjęcie na oko tych złych prawie zawsze daje wynik za duży, bo część układów zostaje odjęta dwa razy. Bezpieczniej jest rozbić zadanie na rozłączne przypadki i dodać wyniki. ## Zadania z arkuszy CKE - [Zadanie 27 z działu Kombinatoryka](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2024-33) - [Zadanie 24 z działu Kombinatoryka](https://www.sprawnamatura.pl/task/matura-maj-2014-24) - [Zadanie 129 z działu Kombinatoryka](https://www.sprawnamatura.pl/task/cke-2015-2023-pp-129) ## Najczęściej zadawane pytania ### Jak obliczyć symbol Newtona? Symbol Newtona n nad k to iloraz n silnia przez iloczyn k silnia i (n minus k) silnia. W praktyce skraca się silnie i zostaje iloczyn k kolejnych liczb malejących od n, podzielony przez k silnia. Dla 10 nad 2 wychodzi 10 razy 9 przez 1 razy 2, czyli 45. ### Czym różnią się wariacje od kombinacji? W wariacjach kolejność wybranych elementów ma znaczenie, w kombinacjach nie ma. Wybór dwóch osób do dwuosobowej drużyny to kombinacja, a wybór kapitana i zastępcy spośród tych samych osób to wariacja. Dla tych samych n i k liczba wariacji równa się liczbie kombinacji pomnożonej przez k silnia, więc od k równego dwa wariacji jest już wyraźnie więcej. ### Ile wynosi zero silnia? Zero silnia równa się jeden. Wynika to z tego, że zbiór pusty da się ustawić w ciąg dokładnie na jeden sposób, a poza tym bez tej wartości wzór na symbol Newtona nie działałby dla wyboru zera elementów ani dla wyboru wszystkich. ### Kiedy stosuje się wariacje z powtórzeniami? Wtedy, gdy wybrany element wraca do puli i może wystąpić ponownie, a kolejność ma znaczenie. Tak liczy się kody PIN, tablice rejestracyjne i wyniki kolejnych rzutów kostką. Wzór to n do potęgi k, a liczba k może być tu większa od n, czego przy wariacjach bez powtórzeń nigdy nie ma. ### Czy kombinatoryka jest na maturze podstawowej? Tak, w każdym arkuszu poziomu podstawowego stoi zwykle jedno lub dwa zadania z tego działu, najczęściej zamknięte i najczęściej o zliczaniu liczb naturalnych o zadanych własnościach. Ten sam aparat wraca potem w zadaniach o prawdopodobieństwie, gdzie służy do policzenia mocy zbioru zdarzeń. --- Powiązane narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia/kalkulator-prawdopodobienstwa Zadania z kombinatoryki: https://www.sprawnamatura.pl/topics/kombinatoryka Kombinatoryka na maturze: https://www.sprawnamatura.pl/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje Silnia, kombinacje i permutacje: https://www.sprawnamatura.pl/jak-obliczyc-silnie-kombinacje-permutacje-wzory Zadania CKE z kombinatoryki: https://www.sprawnamatura.pl/zadania-cke-kombinatoryka-z-rozwiazaniami Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia Wszystkie narzędzia: https://www.sprawnamatura.pl/narzedzia