--- route: /najmniejsza-najwieksza-wartosc-funkcji-kwadratowej-w-przedziale title: Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale - metoda krok po kroku description: Jak znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej w przedziale. Schemat w 4 krokach, pięć zadań maturalnych krok po kroku, typowe pułapki. type: task_solution category: Funkcja kwadratowa tags: najmniejsza wartość funkcji kwadratowej, największa wartość funkcji kwadratowej, ekstrema funkcji kwadratowej, minimum maksimum funkcji kwadratowej, funkcja kwadratowa w przedziale, wartość najmniejsza w przedziale matura, wierzchołek paraboli matura, zadania funkcja kwadratowa matura, funkcja kwadratowa optymalizacja, matura matematyka 2027, funkcja kwadratowa metoda krok po kroku author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-05-21T11:10:41.034+00:00 updated: 2026-09-09T12:00:43.409+00:00 --- # Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale - metoda krok po kroku Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale to jeden z najczęstszych typów zadań na maturze podstawowej. Z naszej analizy [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan) ten typ pojawił się w ponad 70 procentach egzaminów, zwykle jako zadanie zamknięte za 1 punkt albo jako otwarte za 3-4 punkty w połączeniu z [zadaniem optymalizacyjnym](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka). To temat, na którym wielu uczniów traci pewne punkty tylko dlatego, że odruchowo wstawiają wzór na wierzchołek, nie sprawdzając, czy ten wierzchołek w ogóle leży w zadanym przedziale. W tym poście pokażę ci dokładnie, kiedy ekstremum funkcji kwadratowej w przedziale to wierzchołek paraboli, a kiedy musisz spojrzeć na końce przedziału. Rozpiszemy schemat działania na cztery proste kroki, rozwiążemy razem pięć zadań maturalnych w różnych konfiguracjach i przejdziemy przez pułapki, w które wpada większość zdających. Na końcu znajdziesz checklistę, której możesz używać w stresie maturalnym. ## Dlaczego ten typ zadania pojawia się co roku Funkcja kwadratowa to jeden z fundamentów matury podstawowej. CKE bardzo lubi sprawdzać, czy uczeń rozumie pojęcie ekstremum funkcji w przedziale, bo to wymaga połączenia kilku umiejętności: znajomości postaci funkcji kwadratowej, wyznaczania wierzchołka, analizy monotoniczności i porównania wartości na końcach przedziału. Dla CKE jest to idealny test rozumienia, a nie tylko "podstawiania do wzoru". Najczęstsze warianty tego zadania, które spotkałem w arkuszach: - "Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = x^2 - 4x + 1\) w przedziale \(\langle 0, 5 \rangle\)" - klasyk za 2 punkty - "Funkcja kwadratowa przyjmuje w przedziale \(\langle -1, 3 \rangle\) wartość najmniejszą równą... " - wariant z parametrem - "Pole prostokąta wyrażone jako funkcja \(P(x) = x(10-x)\). Wyznacz największe pole dla \(x \in (0, 10)\)" - zadanie optymalizacyjne W każdym z tych przypadków klucz jest ten sam: czy wierzchołek paraboli mieści się w naszym przedziale. ## Krótkie przypomnienie: funkcja kwadratowa i wierzchołek Zanim zaczniemy szukać ekstremum w przedziale, upewnij się, że ogarniasz podstawy. Funkcja kwadratowa to funkcja postaci \(f(x) = ax^2 + bx + c\), gdzie \(a \neq 0\). Współczynnik \(a\) decyduje o kierunku ramion paraboli: - jeśli \(a > 0\), ramiona skierowane są do góry, parabola ma wierzchołek na dole (minimum globalne) - jeśli \(a 0\)) lub największa (gdy \(a 0\), parabola ma wierzchołek na dole (minimum), jeśli \(a 0\) lub maksimum dla \(a x_2\), to wierzchołek jest poza przedziałem. Funkcja jest monotoniczna na całym przedziale, więc ekstrema to po prostu wartości na końcach: \(f(x_1)\) i \(f(x_2)\). Większa z nich to maksimum, mniejsza to minimum. Krok 4: Policz konkretne wartości i porównaj. Zapisz odpowiedź. To wszystko. Cztery kroki, każdy mechaniczny. Jeśli trzymasz się tego schematu, nie ma szans, żebyś popełnił błąd. Teraz zobaczmy go w działaniu. ## Przykład 1: wierzchołek wewnątrz przedziału, ramiona w górę Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) w przedziale \(\langle 0, 5 \rangle\). Krok 1: Liczymy \(p = -\frac{b}{2a} = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3\). Wierzchołek ma pierwszą współrzędną \(p = 3\). Krok 2: \(a = 1 > 0\), więc ramiona do góry. W wierzchołku jest minimum funkcji. Krok 3: Czy \(p = 3\) należy do \(\langle 0, 5 \rangle\)? Tak, bo \(0 \leq 3 \leq 5\). Wierzchołek jest w przedziale. Krok 4: Liczymy wartości: - W wierzchołku: \(q = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4\). To minimum. - Na lewym końcu: \(f(0) = 0 - 0 + 5 = 5\). - Na prawym końcu: \(f(5) = 25 - 30 + 5 = 0\). Maksimum to większa z wartości na końcach: \(\max\{5, 0\} = 5\). Odpowiedź: najmniejsza wartość funkcji to \(-4\), największa to \(5\). Zauważ: maksimum osiągnięte zostało na lewym końcu, bo lewy koniec jest dalej od wierzchołka niż prawy. Wierzchołek \(p = 3\) jest bliżej prawego końca przedziału (\(5 - 3 = 2\)) niż lewego (\(3 - 0 = 3\)). To podpowiedź: dla \(a > 0\) większa wartość zawsze jest na tym końcu, który jest dalej od wierzchołka. ## Przykład 2: wierzchołek wewnątrz przedziału, ramiona w dół Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = -x^2 + 4x + 1\) w przedziale \(\langle 1, 4 \rangle\). Krok 1: \(p = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = -\frac{4}{-2} = 2\). Krok 2: \(a = -1 0\), ramiona do góry. W wierzchołku globalne minimum, ale... Krok 3: Czy \(p = 1\) należy do \(\langle 3, 6 \rangle\)? Nie. Bo \(1 1\)), to funkcja jest na nim rosnąca. Więc najmniejsza wartość to \(f(3)\), a największa to \(f(6)\). Krok 4: Liczymy: - \(f(3) = 9 - 6 - 3 = 0\). - \(f(6) = 36 - 12 - 3 = 21\). Odpowiedź: najmniejsza wartość to \(0\), największa to \(21\). Wierzchołka w ogóle nie używamy w ostatecznej odpowiedzi, ale obliczenie \(p = 1\) było konieczne, żeby ustalić, że wierzchołek nie należy do przedziału. To jest ten przypadek, w którym uczniowie wpadają w pułapkę: wstawiają \(q = f(1) = 1 - 2 - 3 = -4\) jako minimum, mimo że \(x = 1\) nie należy do dziedziny zadania. Funkcja na przedziale \(\langle 3, 6 \rangle\) nigdy nie osiąga wartości \(-4\), bo ten punkt jest poza dziedziną. Zawsze sprawdzaj, czy \(p\) należy do przedziału. ## Przykład 4: wierzchołek na końcu przedziału Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji \(f(x) = 2x^2 + 8x + 7\) w przedziale \(\langle -2, 1 \rangle\). Krok 1: \(p = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -2\). Krok 2: \(a = 2 > 0\), ramiona do góry. Wierzchołek to minimum. Krok 3: Czy \(p = -2\) należy do \(\langle -2, 1 \rangle\)? Tak, bo wierzchołek wypada dokładnie na lewym końcu przedziału. To przypadek graniczny. Krok 4: Liczymy: - W wierzchołku (czyli na lewym końcu): \(f(-2) = 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-2) + 7 = 8 - 16 + 7 = -1\). To minimum. - Na prawym końcu: \(f(1) = 2 + 8 + 7 = 17\). To maksimum. Odpowiedź: najmniejsza wartość to \(-1\), największa to \(17\). Ten przykład pokazuje, że gdy wierzchołek wypada dokładnie na końcu przedziału, funkcja jest monotoniczna na pozostałej części przedziału. Nie ma drugiego "wewnętrznego" ekstremum do porównania - tylko wierzchołek na końcu i wartość na drugim końcu. Wzór dalej działa, tylko trzeba uważnie czytać granice. ## Przykład 5: zadanie maturalne z treścią (optymalizacja) Pan Adam chce ogrodzić prostokątne boisko o obwodzie \(40\) metrów, przylegające jednym bokiem do ściany budynku. Ścianę zostawia bez ogrodzenia. Wyznacz wymiary boiska, dla którego jego pole jest największe, oraz wartość tego maksymalnego pola. Oznacz przez \(x\) długość boku prostopadłego do ściany. Wtedy dwa boki prostopadłe mają długość \(x\), a bok równoległy do ściany ma długość \(40 - 2x\) (cały obwód to suma trzech ogradzanych boków: \(2x + (40 - 2x) = 40\)... wait, sprawdzam: \(2x + 40 - 2x = 40\), zgadza się). Hmm, ale to znaczy że samo \(40\) to długość siatki, a nie obwodu. Doprecyzujmy: pan Adam ma \(40\) metrów siatki na trzy boki (bo czwarty bok to ściana). Dwa boki prostopadłe do ściany mają długość \(x\), a bok równoległy do ściany ma długość \(40 - 2x\). Pole prostokąta: \(P(x) = x \cdot (40 - 2x) = 40x - 2x^2\). To funkcja kwadratowa z \(a = -2\), \(b = 40\), \(c = 0\). Aby zadanie miało sens fizyczny, wymagamy \(x > 0\) i \(40 - 2x > 0\), czyli \(0 0\) - wierzchołek na lewo od przedziału, funkcja rosnąca, minimum to \(f(0)\). - \(0 \leq p \leq 4\), czyli \(-4 \leq m \leq 0\) - wierzchołek w przedziale, minimum to \(q = f(p)\). - \(p > 4\), czyli \(m < -4\) - wierzchołek na prawo od przedziału, funkcja malejąca, minimum to \(f(4)\). W każdym przypadku przyrównujesz wynik do \(-3\) i rozwiązujesz równanie na \(m\). Potem sprawdzasz, czy znalezione \(m\) jest w odpowiednim podprzedziale (np. dla pierwszego przypadku \(m\) musi wyjść większe od zera). To zadanie typu "case analysis" - męczące, ale algorytmiczne. Jeśli rozpiszesz przypadki, nie pomylisz się. ## Jak rozpoznać ten typ zadania na maturze Na maturze podstawowej ten typ pojawia się w trzech wariantach: 1. Zadanie zamknięte (1 punkt) - "Najmniejszą wartością funkcji \(f(x) = ...\) w przedziale \(\langle ..., ... \rangle\) jest: A) ..., B) ..., C) ..., D) ...". Wstawiasz, liczysz, zaznaczasz odpowiedź. 5 minut. 2. Zadanie krótkiej odpowiedzi (2-3 punkty) - "Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji w danym przedziale". Pełne rozpisanie schematu z policzeniem wierzchołka, sprawdzeniem przynależności i wartości na końcach. 7-10 minut. 3. Zadanie z treścią / optymalizacyjne (3-5 punktów) - jak nasz przykład z boiskiem. Najpierw modelujesz funkcję na podstawie treści, potem stosujesz schemat. 15-20 minut. Niezależnie od wariantu - schemat jest ten sam. Cztery kroki. Rozumiesz cztery kroki, masz pewne punkty. ## Powiązane techniki, które warto opanować Ekstremum w przedziale to fragment większej układanki na maturze. Warto opanować też: - [Postać kanoniczna i iloczynowa funkcji kwadratowej](/jak-przeksztalcic-funkcje-kwadratowa-postac-kanoniczna-iloczynowa) - jeśli funkcja jest w postaci kanonicznej, wierzchołka nie musisz liczyć. - [Miejsca zerowe funkcji](/miejsca-zerowe-funkcji-matura-jak-znajdowac) - przydatne, gdy zadanie pyta o znaki funkcji w przedziale. - [Jak narysować wykres funkcji kwadratowej](/jak-narysowac-wykres-funkcji-kwadratowej) - rysunek pomaga zwizualizować, gdzie leży wierzchołek względem przedziału. - [Odczytywanie własności funkcji z wykresu](/odczytywanie-wlasnosci-funkcji-z-wykresu-matura) - czasem zadanie nie podaje wzoru, tylko wykres, i pyta o ekstremum w przedziale. - [Zadania optymalizacyjne](/zadania-optymalizacyjne-matura-matematyka) - praktyczne zastosowanie ekstremum w przedziale. - [Funkcja kwadratowa - kompletny przewodnik](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) - pełne omówienie wszystkich własności funkcji kwadratowej w jednym miejscu. Cała kategoria zadań z funkcji kwadratowej jest też dostępna w [topics/funkcja-kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa), gdzie znajdziesz arkusze i zadania CKE z rozwiązaniami. ## Checklista: co musisz umieć Przed maturą sprawdź, czy potrafisz każdy z tych punktów. Jeśli na któryś odpowiadasz "nie wiem", wróć do odpowiedniej sekcji posta. - Policzyć \(p = -\frac{b}{2a}\) - pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli - Określić znak współczynnika \(a\) i powiedzieć, czy w wierzchołku jest minimum czy maksimum - Sprawdzić, czy \(p\) należy do zadanego przedziału (znak nierówności w obie strony) - Policzyć \(q = f(p)\), gdy wierzchołek jest w przedziale - Policzyć \(f(x_1)\) i \(f(x_2)\) na końcach przedziału - Porównać wartości i odpowiedzieć poprawnie: najmniejsza i największa - Rozpoznać sytuację, w której funkcja jest monotoniczna na całym przedziale (wierzchołek poza przedziałem) - Zinterpretować wynik w kontekście zadania z treścią (np. wymiary boiska, koszt minimalny) - Obsłużyć przedział otwarty (uwaga na sformułowanie odpowiedzi) - Sprawdzić odpowiedź na poziomie zdrowego rozsądku (czy minimum jest mniejsze od maksimum, czy wartości są realne) Jeśli wszystko odhaczone, masz to zadanie w kieszeni. Na maturze 2027 (i każdej kolejnej) wystarczy zachować spokój i przejść przez cztery kroki schematu. ## Podsumowanie Najmniejsza i największa wartość funkcji kwadratowej w przedziale to zadanie, na którym możesz odzyskać 2-4 pewne punkty, jeśli opanujesz prosty schemat: policz wierzchołek, sprawdź czy jest w przedziale, policz wartości na końcach, porównaj. Nie potrzebujesz żadnej magicznej wiedzy ani triku - wystarczy systematyczne podejście i dokładność. Jeśli przerobisz pięć przykładów z tego posta i powtórzysz schemat na podobnych zadaniach z [arkuszy maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), zwłaszcza z [matury maj 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz), [matury maj 2022](/matura-maj-2022-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), to zadanie z ekstremum funkcji kwadratowej przestanie być dla ciebie wyzwaniem. Czas: 5-10 minut na rozwiązanie. Punkty: pewne. Wkład w wynik: spory. To jedno z najlepiej "płacących" zadań na maturze - opłaca się je opanować na blachę. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)