--- route: /matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz title: Matura poprawkowa sierpień 2025 - matematyka, zadania i przykładowe rozwiązanie description: Arkusz matury poprawkowej z matematyki, sierpień 2025, z zadaniami do rozwiązania w aplikacji i przykładowym rozwiązaniem krok po kroku. Rozkład kategorii. type: exam_walkthrough tags: matura poprawkowa 2025, sierpień 2025, arkusz, rozwiązania, matematyka, CKE, matura poprawkowa author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2025-08-25T10:00:00+00:00 updated: 2025-08-25T10:00:00+00:00 --- # Matura poprawkowa sierpień 2025 - matematyka, zadania i przykładowe rozwiązanie ## O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2025 Matura poprawkowa z matematyki na poziomie podstawowym z sesji sierpniowej 2025 to szansa dla osób, które nie zdały egzaminu w maju lub czerwcu. Zgodnie z informatorem CKE arkusz w aktualnej formule (obowiązującej od matury maj 2025) liczy **50 punktów**, a przewidywana liczba zadań to od 27 do 39. Czas na rozwiązanie to 180 minut, a próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. Sesja poprawkowa tradycyjnie ma porównywalny poziom trudności do sesji majowej - CKE nie robi jej ani łatwiejszą, ani trudniejszą. Jeśli przygotowujesz się do kolejnego podejścia, ten arkusz powinien być jednym z pierwszych, które przeanalizujesz. Sprawdź też rozwiązania [matury majowej 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [sesji dodatkowej z czerwca 2025](/matura-2025-czerwiec-matematyka-rozwiazania-arkusz) - razem dają pełny obraz tego, czego CKE oczekuje. W naszej bazie znajdziesz 31 zadań z tego arkusza (16 zamkniętych i 15 otwartych), sumujące się dokładnie do 50 punktów. Numery zadań w tym artykule pochodzą z naszej bazy i są takie same jak na stronach zadań w aplikacji; mogą różnić się od numeracji w oficjalnym arkuszu CKE, zwłaszcza gdy arkusz zawiera zadania wieloczęściowe. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 8 | 10 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 8 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 5 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 5 | | [Procenty](/topics/procenty) | 2 | 5 | | [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 2 | 3 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 3 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 | | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 3 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 | | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 1 | 1 | | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 1 | Dominującą kategorią są w naszej bazie **potęgi i pierwiastki** - aż 8 zadań za 10 punktów. To potwierdzenie trendu z ostatnich lat: CKE konsekwentnie sprawdza umiejętność przekształcania wyrażeń algebraicznych. Na drugim miejscu znalazła się **geometria analityczna** (4 zadania za 8 punktów), a zaraz za nią **równania i nierówności** (3 zadania za 5 punktów). Warto zestawić ten rozkład z innymi sesjami 2025, żeby zobaczyć, jak CKE zmienia proporcje kategorii z arkusza na arkusz - trzon (potęgi, równania, geometria) pozostaje jednak stabilny. ## Rozwiązania krok po kroku ### Zadanie 5 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Wykaż, że liczba \(8^{50} - 2^{145}\) jest podzielna przez 31. **Rozwiązanie:** Zauważamy, że \(8 = 2^3\), więc: $$8^{50} = (2^3)^{50} = 2^{150}$$ Zatem: $$8^{50} - 2^{145} = 2^{150} - 2^{145}$$ Wyciągamy \(2^{145}\) przed nawias: $$2^{150} - 2^{145} = 2^{145}(2^5 - 1) = 2^{145} \cdot 31$$ Ponieważ \(2^{145} \cdot 31\) jest iloczynem liczby całkowitej i 31, wyrażenie \(8^{50} - 2^{145}\) jest podzielne przez 31. \(\square\) **Kluczowa obserwacja:** sprowadzenie obu składników do potęg tej samej podstawy i wyciągnięcie wspólnego czynnika. To schemat, który pojawia się na maturze regularnie - przeczytaj [zadania z potęg na maturze](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania), żeby przećwiczyć analogiczne dowody. Porównaj z zadaniem 3 z [matury próbnej CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), które miało identyczny schemat. **Wskazówka egzaminacyjna:** W zadaniach dowodowych na podzielność zawsze szukaj sposobu, żeby wyrażenie zapisać jako iloczyn dwóch czynników, z których jeden to dzielnik z treści. Nie musisz obliczać wartości liczbowej - wystarczy pokazać strukturę iloczynu. ## Pozostałe zadania arkusza Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie. ### Potęgi i pierwiastki (zadanie 1) Wartość bezwzględna różnicy dwóch liczb to odległość między nimi na osi liczbowej. Wskazówka: porównaj \(\sqrt{5}\) z liczbami 1 i 3, żeby wiedzieć, czy wyrażenia pod modułami są dodatnie czy ujemne, zanim zdejmiesz nawiasy. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-01 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Kluczowe to ustalić, czy wyrażenia pod wartością bezwzględną są dodatnie czy ujemne. Wiemy, że \(\sqrt{5} \approx 2{,}236\), więc: - \(\sqrt{5} - 3 0\), zatem \(|\sqrt{5}-1| = \sqrt{5} - 1\) Dodajemy: $$|\sqrt{5}-3|+|\sqrt{5}-1| = (3 - \sqrt{5}) + (\sqrt{5} - 1) = 3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} - 1 = 2$$ **Odpowiedź:** \(2\) Zwróć uwagę, że \(\sqrt{5}\) się skraca - to typowy schemat CKE. Gdy widzisz sumę dwóch wartości bezwzględnych, sprawdź, czy pierwiastki się nie uproszczą. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-01) --- ### Potęgi i pierwiastki (zadanie 2) Potęgi o wykładnikach ujemnych warto sprowadzić do wspólnej podstawy pierwszej - tu naturalnym kandydatem jest 5. Pułapka: \(25\) i \(125\) to różne potęgi piątki, więc dopasuj wykładniki, zanim zaczniesz dzielić. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-02 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Sprowadzamy do wspólnej podstawy 5. To kluczowa technika - jeśli widzisz 25 i 125 w jednym zadaniu, od razu myśl "potęgi piątki": $$25^{-2} = (5^2)^{-2} = 5^{-4}$$ $$125^{-4} = (5^3)^{-4} = 5^{-12}$$ Dzielimy potęgi o tej samej podstawie (odejmujemy wykładniki): $$\frac{5^{-4}}{5^{-12}} = 5^{-4-(-12)} = 5^{-4+12} = 5^8$$ **Odpowiedź:** \(5^8\) Klasyczne zadanie na sprowadzanie do wspólnej podstawy i działania na wykładnikach ujemnych. Najczęstszy błąd: odejmowanie wykładników w złą stronę. Pamiętaj: \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\), nie \(a^{n-m}\). Więcej tego typu ćwiczeń znajdziesz na stronie [zadań z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-02) --- ### Równania i nierówności (zadanie 8) Równanie wymierne wymaga najpierw ustalenia dziedziny, a dopiero potem sprowadzenia do wspólnego mianownika. Pułapka: po rozwiązaniu równania sprawdź, które pierwiastki należą jednocześnie do dziedziny i do wskazanego przedziału. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-08 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Dziedzinę podaje treść: \(x \ne \frac{7}{3}\) i \(x \ne 8\). Mnożymy obie strony przez \((3x - 7)(x - 8)\): $$3(x - 8) = 5x(3x - 7)$$ $$3x - 24 = 15x^2 - 35x \Rightarrow 15x^2 - 38x + 24 = 0$$ Liczymy wyróżnik i pierwiastki: $$\Delta = 38^2 - 4 \cdot 15 \cdot 24 = 1444 - 1440 = 4, \quad \sqrt{\Delta} = 2$$ $$x_1 = \frac{38 - 2}{30} = \frac{6}{5}, \qquad x_2 = \frac{38 + 2}{30} = \frac{4}{3}$$ Oba należą do dziedziny, ale zadanie pyta o przedział \(\left(\frac{5}{4}, +\infty\right)\). Ponieważ \(\frac{6}{5} \frac{5}{4}\) (bo \(4 \cdot 4 > 5 \cdot 3\)), więc zostaje drugi. **Odpowiedź:** \(x = \frac{4}{3}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-08) --- ### Funkcja kwadratowa (zadanie 16) Oś symetrii paraboli i jedno miejsce zerowe wystarczą, żeby wyznaczyć drugie miejsce zerowe z symetrii wykresu. Wskazówka: przesunięcie wykresu o stałą wartość argumentu przesuwa oś symetrii o tyle samo. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-16 [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-16) --- ### Trygonometria (zadanie 24) Z jedynki trygonometrycznej wyznaczasz sinus kąta ostrego ze znanego cosinusa, a potem liczysz tangens jako iloraz obu. Wskazówka: kąt ostry oznacza, że wszystkie funkcje trygonometryczne są dodatnie. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-24 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Korzystamy z jedynki trygonometrycznej: $$\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$ Ponieważ \(\alpha\) jest kątem ostrym, \(\sin\alpha > 0\): $$\sin\alpha = \frac{12}{13}$$ Obliczamy tangens: $$\tg\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\frac{12}{13}}{\frac{5}{13}} = \frac{12}{5}$$ **Odpowiedź:** \(\tg\alpha = \frac{12}{5}\) To klasyczny trójkąt pitagorejski \(5, 12, 13\). Warto znać najczęstsze trójki pitagorejskie (3-4-5, 5-12-13, 8-15-17) - oszczędzają czas na maturze, bo można rozpoznać wartości bez rachunków. Przeczytaj nasz [przewodnik po trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), żeby przećwiczyć zadania z jedynką trygonometryczną. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-24) --- ### Stereometria (zadanie 35) Kąt między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy prowadzi do trójkąta prostokątnego z wysokością graniastosłupa. Wskazówka: wysokość trójkąta równobocznego w podstawie przyda się do policzenia pola powierzchni. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-35 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Podstawa \(ABC\) jest trójkątem równobocznym, a jego wysokość wyraża się wzorem \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\), więc krawędź podstawy wynosi: $$\frac{a\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow a = 4$$ Ściana \(ABED\) jest prostokątem o bokach \(AB = 4\) i \(BE = H\), a kąt \(60^\circ\) leży przy wierzchołku \(A\) w trójkącie prostokątnym \(ABE\): $$\tg 60^\circ = \frac{H}{4} \Rightarrow H = 4\sqrt{3}$$ Pole podstawy liczymy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego: $$P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}$$ Stąd objętość i pole powierzchni całkowitej: $$V = P_p \cdot H = 4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} = 48$$ $$P_c = 2P_p + 3aH = 8\sqrt{3} + 3 \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3} = 56\sqrt{3}$$ **Odpowiedź:** \(V = 48\), \(P_c = 56\sqrt{3}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-35) --- ### Prawdopodobieństwo (zadanie 38) Dwukrotny rzut kostką daje 36 jednakowo prawdopodobnych wyników - warto wypisać, które z nich tworzą liczby dwucyfrowe spełniające oba warunki naraz. Wskazówka: liczba nieparzysta i podzielna przez 3 jednocześnie ma ściśle ograniczoną cyfrę jedności. Zadanie z bazy: /task/matura-sierpie-2025-38 [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2025-38) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami W naszej bazie znajdziesz 31 zadań z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać: **Zadania zamknięte:** - [Zadanie 1](/task/matura-sierpie-2025-01) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) - [Zadanie 2](/task/matura-sierpie-2025-02) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) - [Zadanie 3](/task/matura-sierpie-2025-03) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) - [Zadanie 4](/task/matura-sierpie-2025-04) - Logarytmy (1 pkt) - [Zadanie 6](/task/matura-sierpie-2025-06) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) - [Zadanie 7](/task/matura-sierpie-2025-07) - Równania i nierówności (1 pkt) - [Zadanie 10](/task/matura-sierpie-2025-10) - Równania i nierówności (1 pkt) - [Zadanie 15](/task/matura-sierpie-2025-15) - Funkcja liniowa (1 pkt) - [Zadanie 20](/task/matura-sierpie-2025-20) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) - [Zadanie 21](/task/matura-sierpie-2025-21) - Ciągi (1 pkt) - [Zadanie 22](/task/matura-sierpie-2025-22) - Ciągi (1 pkt) - [Zadanie 23](/task/matura-sierpie-2025-23) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) - [Zadanie 24](/task/matura-sierpie-2025-24) - Trygonometria (1 pkt) - [Zadanie 25](/task/matura-sierpie-2025-25) - Trygonometria (1 pkt) - [Zadanie 36](/task/matura-sierpie-2025-36) - Stereometria (1 pkt) - [Zadanie 37](/task/matura-sierpie-2025-37) - Liczby rzeczywiste (1 pkt) **Zadania otwarte:** - [Zadanie 5](/task/matura-sierpie-2025-05) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt) - [Zadanie 8](/task/matura-sierpie-2025-08) - Równania i nierówności (3 pkt) - [Zadanie 9](/task/matura-sierpie-2025-09) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt) - [Zadanie 11](/task/matura-sierpie-2025-11) - Logarytmy (2 pkt) - [Zadanie 12](/task/matura-sierpie-2025-12) - Geometria analityczna (4 pkt) - [Zadanie 16](/task/matura-sierpie-2025-16) - Funkcja kwadratowa (3 pkt) - [Zadanie 26](/task/matura-sierpie-2025-26) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-sierpie-2025-29) - Planimetria (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-sierpie-2025-32) - Planimetria (1 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-sierpie-2025-33) - Geometria analityczna (1 pkt) - [Zadanie 34](/task/matura-sierpie-2025-34) - Geometria analityczna (1 pkt) - [Zadanie 35](/task/matura-sierpie-2025-35) - Stereometria (4 pkt) - [Zadanie 38](/task/matura-sierpie-2025-38) - Prawdopodobieństwo (2 pkt) - [Zadanie 39](/task/matura-sierpie-2025-39) - Procenty (3 pkt) - [Zadanie 40](/task/matura-sierpie-2025-40) - Procenty (2 pkt) ## Co warto powtórzyć po tym arkuszu Na podstawie analizy zadań tego arkusza w naszej bazie, oto priorytety do powtórki: 1. **Potęgi i pierwiastki** - sprowadzanie do wspólnej podstawy, wyciąganie przed nawias, upraszczanie. To 10 punktów, czyli 20% arkusza. Bez biegłości w potęgach nie zdasz matury. [Ćwicz potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki) 2. **Równania wymierne** - zawsze pamiętaj o dziedzinie, szukaj faktoryzacji mianowników. [Ćwicz równania](/topics/rownania-i-nierownosci) 3. **Stereometria** - wzory na objętość i pole graniastosłupa prawidłowego, stożka, ostrosłupa. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria) 4. **Funkcja kwadratowa z wieloma podpunktami** - schemat: postać kanoniczna, oś symetrii, przesunięcie wykresu 5. **Dowody podzielności** - wyciąganie wspólnego czynnika, sprowadzanie do potęg o tej samej podstawie ## Strategia na maturę poprawkową Jeśli podchodzisz do matury poprawkowej, masz przewagę: znasz arkusze z maja i czerwca. Skup się na: - **Zadaniach zamkniętych** - w naszej bazie to 16 punktów za stosunkowo proste rachunki. Celuj w bezbłędność - **Łatwych zadaniach otwartych** (za 1-2 pkt) - dowody podzielności, proste równania, prawdopodobieństwo - **Punktach cząstkowych** w trudnych zadaniach - nawet napisanie samej dziedziny lub narysowanie rysunku daje punkt Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii. Jeśli chcesz dostęp do pełnych rozwiązań wszystkich zadań, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)