--- route: /matura-sierpien-2023-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz title: Matura poprawkowa sierpień 2023 - matematyka, rozwiązania arkusza description: Pełne rozwiązania arkusza matury poprawkowej z matematyki, sierpień 2023. 36 zadań z rozwiązaniami krok po kroku. Ciągi, planimetria, geometria analityczna. type: exam_walkthrough tags: matura poprawkowa 2023, sierpień 2023, arkusz maturalny, rozwiązania, matematyka, CKE, ciągi, planimetria author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2023-08-25T10:00:00+00:00 updated: 2023-08-25T10:00:00+00:00 --- # Matura poprawkowa sierpień 2023 - matematyka, rozwiązania arkusza ## O arkuszu - Matura poprawkowa sierpień 2023 Matura poprawkowa z matematyki z sierpnia 2023 to arkusz dla maturzystów, którzy nie zdali egzaminu w sesji majowej lub czerwcowej tego samego roku. Arkusz zawierał **36 zadań**: 24 zamknięte i 12 otwartych, za łącznie **46 punktów**. Próg zdawalności to **14 punktów** (30%). Ten arkusz wyróżnia się silnym naciskiem na **ciągi** (4 zadania za 8 punktów) i **planimetrię** (5 zadań za 6 punktów). Ciągi to dział, który wielu maturzystów zaniedbuje, a jak widać - CKE potrafi z niego wycisnąć aż 8 punktów. Jeśli przygotowujesz się do matury, koniecznie poświęć czas na [ciągi arytmetyczne i geometryczne](/topics/ciagi). Porównaj ten arkusz z [maturą poprawkową z sierpnia 2024](/matura-sierpien-2024-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) - zobaczysz, jak zmienił się rozkład kategorii między latami. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Ciągi](/topics/ciagi) | 4 | 8 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 6 | 6 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 5 | 6 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 5 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 4 | 4 | | [Funkcje](/topics/funkcje) | 4 | 4 | | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 2 | 3 | | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 | | [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 | | Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 | | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 1 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 1 | 1 | | Statystyka | 1 | 1 | Interesujący jest tu rozkład - aż 14 różnych kategorii. Arkusz testuje szeroką wiedzę, zamiast koncentrować się na 2-3 działach jak matura z sierpnia 2024. To ważna lekcja: musisz znać podstawy ze wszystkich działów, bo na maturze poprawkowej CKE może zapytać o dosłownie wszystko. ## Analiza trudności ### Łatwe punkty (zadania 1-10, ok. 12 pkt) Standardowy początek: potęgi, liczby rzeczywiste, proste zadania z funkcji. Te punkty trzeba zdobyć bezwarunkowo. ### Średnie zadania (zadania 11-24, ok. 20 pkt) Ciągi arytmetyczne i geometryczne, planimetria (twierdzenie Pitagorasa, pola figur), geometria analityczna. Tu kluczowe jest solidne opanowanie wzorów z tablic maturalnych. ### Trudne zadania (zadania 25-36, ok. 13 pkt) Zadania otwarte wieloetapowe: dowodzenie, planimetria z trygonometrią, prawdopodobieństwo warunkowe. Te punkty zapewniają wynik powyżej 70%. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\frac{3^{10} + 3^{10} + 3^{10}}{3^{11}}\) jest równa A. \(1\) B. \(3\) C. \(\frac{1}{3}\) D. \(\frac{10}{11}\) **Rozwiązanie:** W liczniku mamy trzy jednakowe składniki: $$\frac{3^{10} + 3^{10} + 3^{10}}{3^{11}} = \frac{3 \cdot 3^{10}}{3^{11}} = \frac{3^{11}}{3^{11}} = 1$$ To klasyczny trick CKE - trzy jednakowe potęgi w liczniku dają mnożenie przez 3. Bardzo ważne, żeby nie próbować dodawać wykładników (częsty błąd: \(3^{10} + 3^{10} \neq 3^{20}\)). **Odpowiedź: A** [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-01) --- ### Zadanie 5 - Geometria analityczna (1 pkt) **Treść:** Punkt \(A = (3, -2)\) należy do okręgu o środku \(S = (1, 1)\). Oblicz promień tego okręgu. **Rozwiązanie:** Promień to odległość punktu \(A\) od środka \(S\): $$r = \sqrt{(3-1)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$ Wzór na odległość dwóch punktów to absolutna podstawa geometrii analitycznej. Jeśli jeszcze go nie znasz na pamięć, musisz to zmienić - pojawia się praktycznie na każdym arkuszu. Ćwicz w dziale [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna). **Odpowiedź: C** [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-05) --- ### Zadanie 10 - Ciągi (1 pkt) **Treść:** Trzeci wyraz ciągu arytmetycznego jest równy 7, a różnica ciągu wynosi \(d = -3\). Oblicz piąty wyraz tego ciągu. **Rozwiązanie:** W ciągu arytmetycznym każdy kolejny wyraz różni się od poprzedniego o \(d\): $$a_5 = a_3 + 2d = 7 + 2 \cdot (-3) = 7 - 6 = 1$$ Można też skorzystać ze wzoru ogólnego. Najpierw \(a_1\): $$a_3 = a_1 + 2d \implies 7 = a_1 + 2(-3) \implies a_1 = 13$$ $$a_5 = a_1 + 4d = 13 + 4(-3) = 13 - 12 = 1$$ Oba podejścia dają ten sam wynik. Pierwsze jest szybsze i bardziej eleganckie - na maturze czas jest cenny. **Odpowiedź: B** [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-10) --- ### Zadanie 16 - Planimetria (1 pkt) **Treść:** W trójkącie równoramiennym ramię ma długość 10, a podstawa ma długość 12. Oblicz pole tego trójkąta. **Rozwiązanie:** Wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Połowa podstawy wynosi 6, a ramię to przeciwprostokątna o długości 10. Z twierdzenia Pitagorasa: $$h^2 + 6^2 = 10^2$$ $$h^2 = 100 - 36 = 64$$ $$h = 8$$ Pole trójkąta: $$P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$$ Trójkąt o bokach 6-8-10 to trójkąt pitagorejski (pomnożona trójka 3-4-5). CKE uwielbia tę trójkę - warto ją zapamiętać, żeby szybko rozpoznawać takie zadania. **Odpowiedź: A** --- ### Zadanie 25 - Ciągi (2 pkt) **Treść:** Suma trzech kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego wynosi 21, a ich iloczyn jest równy 280. Wyznacz te wyrazy. **Rozwiązanie:** Oznaczmy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego jako \(a-d\), \(a\), \(a+d\). Wtedy: Suma: \((a-d) + a + (a+d) = 3a = 21\), więc \(a = 7\). Iloczyn: \((7-d) \cdot 7 \cdot (7+d) = 280\) $$7(49 - d^2) = 280$$ $$49 - d^2 = 40$$ $$d^2 = 9$$ $$d = 3 \quad \text{lub} \quad d = -3$$ Dla \(d = 3\): wyrazy to \(4, 7, 10\). Dla \(d = -3\): wyrazy to \(10, 7, 4\). Oznaczenie trzech kolejnych wyrazów jako \(a-d, a, a+d\) to standardowy trick, który eliminuje jedną niewiadomą. Zapamiętaj go - CKE regularnie daje zadania tego typu. Więcej ćwiczeń z ciągów znajdziesz w dziale [ciągi](/topics/ciagi). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-25) --- ### Zadanie 30 - Równania i nierówności (2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(\frac{x+1}{x-2} \geq 0\). **Rozwiązanie:** Wyznaczamy miejsca zerowe licznika i mianownika: - Licznik: \(x + 1 = 0 \implies x = -1\) - Mianownik: \(x - 2 = 0 \implies x = 2\) (wartość wykluczona z dziedziny) Tworzymy tabelę znaków: | Przedział | \(x+1\) | \(x-2\) | \(\frac{x+1}{x-2}\) | |-----------|---------|---------|-------------------| | \(x 2\) | \(+\) | \(+\) | \(+\) | Nierówność \(\geq 0\) jest spełniona dla \(x \in (-\infty, -1] \cup (2, +\infty)\). Uwaga: \(x = -1\) jest w rozwiązaniu (bo nierówność jest nieostra), ale \(x = 2\) nie (bo mianownik byłby zerowy). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-30) --- ### Zadanie 36 - Planimetria (4 pkt) **Treść:** W trapezie równoramiennym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB = 16\), krótsza podstawa \(CD = 10\), a ramię \(BC = 5\). Oblicz pole trapezu i długość przekątnej \(AC\). **Rozwiązanie:** **Krok 1:** Obliczamy wysokość trapezu. Opuszczamy wysokości z wierzchołków \(C\) i \(D\) na podstawę \(AB\). Odcinki "wystające" poza krótszą podstawę mają łączną długość \(16 - 10 = 6\), a ponieważ trapez jest równoramienny, każdy z nich ma długość \(3\). Z twierdzenia Pitagorasa: $$h^2 + 3^2 = 5^2$$ $$h^2 = 25 - 9 = 16$$ $$h = 4$$ **Krok 2:** Pole trapezu: $$P = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(16 + 10) \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52$$ **Krok 3:** Przekątna \(AC\). Wprowadzamy układ współrzędnych: \(A = (0, 0)\), \(B = (16, 0)\). Wtedy \(D = (3, 4)\) i \(C = (13, 4)\). $$AC = \sqrt{13^2 + 4^2} = \sqrt{169 + 16} = \sqrt{185}$$ To typowe zadanie za 4 punkty z planimetrii. Wymaga kilku kroków i umiejętności łączenia wzorów. Przygotuj się rozwiązując więcej zadań z [planimetrii](/topics/planimetria). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-sierpie-2023-36) ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Poniżej znajdziesz 31 z 33 zadań, jakie mamy z tego arkusza w naszej bazie, każde z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-sierpie-2023-01) - Potęgi: sumowanie potęg - [Zadanie 2](/task/matura-sierpie-2023-02) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 3](/task/matura-sierpie-2023-03) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 4](/task/matura-sierpie-2023-04) - Potęgi - [Zadanie 5](/task/matura-sierpie-2023-05) - Geometria analityczna: okrąg - [Zadanie 6](/task/matura-sierpie-2023-06) - Funkcje - [Zadanie 7](/task/matura-sierpie-2023-07) - Geometria analityczna - [Zadanie 8](/task/matura-sierpie-2023-08) - Funkcja liniowa - [Zadanie 9](/task/matura-sierpie-2023-09) - Planimetria - [Zadanie 10](/task/matura-sierpie-2023-10) - Ciągi: wyraz ciągu arytmetycznego - [Zadanie 11](/task/matura-sierpie-2023-11) - Funkcje - [Zadanie 12](/task/matura-sierpie-2023-12) - Równania i nierówności - [Zadanie 13](/task/matura-sierpie-2023-13) - Ciągi - [Zadanie 18](/task/matura-sierpie-2023-18) - Wyrażenia algebraiczne - [Zadanie 19](/task/matura-sierpie-2023-19) - Prawdopodobieństwo - [Zadanie 20](/task/matura-sierpie-2023-20) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 21](/task/matura-sierpie-2023-21) - Geometria analityczna - [Zadanie 22](/task/matura-sierpie-2023-22) - Funkcje - [Zadanie 23](/task/matura-sierpie-2023-23) - Potęgi - [Zadanie 24](/task/matura-sierpie-2023-24) - Planimetria **Zadania otwarte (2-4 pkt):** - [Zadanie 25](/task/matura-sierpie-2023-25) - Ciągi: trzy kolejne wyrazy (2 pkt) - [Zadanie 26](/task/matura-sierpie-2023-26) - Liczby rzeczywiste (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-sierpie-2023-27) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-sierpie-2023-28) - Funkcja liniowa (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-sierpie-2023-29) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-sierpie-2023-30) - Równania i nierówności: nierówność wymierna (2 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-sierpie-2023-31) - Ciągi (2 pkt) - [Zadanie 35](/task/matura-sierpie-2023-35) - Statystyka (2 pkt) - [Zadanie 36](/task/matura-sierpie-2023-36) - Planimetria: trapez (4 pkt) - [Zadanie 37](/task/matura-sierpie-2023-37) - Geometria analityczna (4 pkt) - [Zadanie 38](/task/matura-sierpie-2023-38) - Funkcje (4 pkt) Cały arkusz: [Matura sierpień 2023 - wszystkie zadania](/exams/matura-sierpien-2023) ## Wnioski i wskazówki 1. **Ciągi za 8 punktów** - to bardzo dużo. Opanuj wzory na wyraz ogólny i sumę ciągu arytmetycznego i geometrycznego. Wszystkie są w tablicach, ale musisz umieć je stosować. Ćwicz: [zadania z ciągów](/topics/ciagi). 2. **Planimetria to 5 zadań** - twierdzenie Pitagorasa, pole trójkąta, pole trapezu, kąty w trójkącie. Większość wymaga rysunku i rozbicia na mniejsze figury. 3. **14 kategorii** - arkusz testował szeroką wiedzę. Nie możesz pozwolić sobie na luki w żadnym dziale. 4. **Trójki pitagorejskie** - zapamiętaj: (3,4,5), (5,12,13), (8,15,17). CKE często ukrywa je w zadaniach z planimetrii. Sprawdź też [maturę z czerwcowej sesji dodatkowej 2023](/matura-czerwiec-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [maturę z maja 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby przećwiczyć cały rocznik. ## Zacznij ćwiczyć Na [Sprawnej Maturze](/) znajdziesz ponad 2300 zadań maturalnych z pełnymi rozwiązaniami. Wejdź na [stronę z losowym zadaniem](/solve) i rozwiąż choćby jedno zadanie dziennie - regularna praktyka to klucz do zdania matury! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)