--- route: /matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz title: Matura próbna CKE grudzień 2024 - matematyka, rozwiązania arkusza description: Pełne rozwiązania arkusza matury próbnej CKE z matematyki, grudzień 2024. 33 zadania z rozwiązaniami krok po kroku, rozkład kategorii i analiza trudności. type: exam_walkthrough tags: matura próbna 2024, grudzień 2024, CKE, arkusz, rozwiązania, matematyka, matura próbna CKE author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2024-12-20T10:00:00+00:00 updated: 2024-12-20T10:00:00+00:00 --- # Matura próbna CKE grudzień 2024 - matematyka, rozwiązania arkusza ## O arkuszu - Matura próbna CKE grudzień 2024 Matura próbna z matematyki na poziomie podstawowym przygotowana przez CKE i przeprowadzona w grudniu 2024 to jeden z kluczowych arkuszy treningowych dla maturzystów. Arkusz zawierał **33 zadania**: 20 zamkniętych i 13 otwartych, za łącznie **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. Arkusz grudniowy jest szczególnie ważny, bo to oficjalny materiał CKE - nie próbówka wydawnictwa, ale arkusz przygotowany przez tych samych ludzi, którzy piszą właściwy egzamin. Jeśli szukasz też rozwiązań z kolejnych sesji, sprawdź [maturę majową 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [sesję dodatkową z czerwca 2025](/matura-2025-czerwiec-matematyka-rozwiazania-arkusz). Zadania z tego arkusza dostępne w naszej bazie rozwiążesz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-probna-cke-grudzien-2024). ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 6 | 7 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 8 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 7 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 6 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 1 | 4 | | Funkcje | 2 | 3 | | Logarytmy | 2 | 2 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 | | Procenty | 1 | 1 | | Układy równań | 1 | 1 | | Funkcja liniowa | 1 | 1 | | Funkcja kwadratowa | 1 | 1 | | Liczby rzeczywiste | 1 | 1 | Ciekawy rozkład - **stereometria** ma aż 4 zadania za 8 punktów, co jest nietypowo dużo. To sugeruje, że CKE chciało mocniej przetestować bryły przestrzenne. Na drugim miejscu potęgi i pierwiastki (6 zadań) oraz geometria analityczna (4 zadania za 7 punktów). Przeczytaj nasze przewodniki po [stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) i [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory), żeby być przygotowanym na podobny rozkład. ## Poziom trudności Arkusz grudniowy 2024 był **umiarkowanie trudny** - porównywalny z [maturą majową 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), ale z mocniejszym akcentem na stereometrię. Kto przygotowywał się głównie z potęg i równań, mógł mieć problem z aż 4 zadaniami przestrzennymi. **Łatwe (ok. 14 punktów)** - wartość bezwzględna, potęgi, procenty, funkcja liniowa, odczytywanie z wykresu. Absolutna baza, bez której nie ma sensu podchodzić do egzaminu. **Średnie (ok. 21 punktów)** - równania wymierne, nierówności kwadratowe, ciągi, logarytmy, trygonometria, geometria analityczna. Tu walczysz o wynik 50-70%. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania wystarczą. **Trudne (ok. 15 punktów)** - stereometria (stożek, prostopadłościan), planimetria (trapez), dowody z podzielnością. Ambitne zadania za 4-5 punktów wymagające przestrzennej wyobraźni i systematycznego podejścia. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt) **Treść:** Równanie \(|x+4| = 7\) ma dwa rozwiązania \(x_1\) i \(x_2\). Suma \(x_1 + x_2\) jest równa **Rozwiązanie:** Rozwiązujemy dwa przypadki: $$x + 4 = 7 \implies x_1 = 3$$ $$x + 4 = -7 \implies x_2 = -11$$ Suma: $$x_1 + x_2 = 3 + (-11) = -8$$ **Odpowiedź:** \(-8\) **Szybki trick:** W równaniu \(|x + a| = b\) suma rozwiązań to zawsze \(-2a\). Tutaj \(-2 \cdot 4 = -8\). Wynika to z tego, że rozwiązania są symetryczne względem punktu \(x = -a\). Na maturze ten trick oszczędza czas - wystarczy pomnożyć liczbę przy \(x\) przez \(-2\), bez rozwiązywania dwóch równań. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-01) --- ### Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\left(\sqrt[5]{5} \cdot \frac{1}{5}\right)^{-5}\) jest równa **Rozwiązanie:** Zamieniamy na potęgi o podstawie 5: $$\sqrt[5]{5} = 5^{\frac{1}{5}}, \quad \frac{1}{5} = 5^{-1}$$ Mnożymy (dodajemy wykładniki): $$5^{\frac{1}{5}} \cdot 5^{-1} = 5^{\frac{1}{5}-1} = 5^{\frac{1}{5} - \frac{5}{5}} = 5^{-\frac{4}{5}}$$ Podnosimy do potęgi \(-5\) (mnożymy wykładniki): $$\left(5^{-\frac{4}{5}}\right)^{-5} = 5^{-\frac{4}{5} \cdot (-5)} = 5^{\frac{20}{5}} = 5^4 = 625$$ **Odpowiedź:** \(5^4 = 625\) Potęgi wymierne i ujemne to ulubiony temat CKE. Klucz do sukcesu: zamień wszystko na potęgi o tej samej podstawie, a potem stosuj reguły \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\) i \((a^m)^n = a^{mn}\). Więcej ćwiczeń na stronie [zadań z potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-02) --- ### Zadanie 3 - Dowodzenie podzielności (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Wykaż, że liczba \(2^{100} + 4^{49} + 16^{24}\) jest podzielna przez 21. **Rozwiązanie:** **Krok 1:** Sprowadzamy wszystko do potęg dwójki: $$4^{49} = (2^2)^{49} = 2^{98}$$ $$16^{24} = (2^4)^{24} = 2^{96}$$ **Krok 2:** Zapisujemy sumę: $$2^{100} + 2^{98} + 2^{96}$$ **Krok 3:** Wyciągamy \(2^{96}\) (najmniejszą potęgę) przed nawias: $$2^{96}(2^4 + 2^2 + 1) = 2^{96}(16 + 4 + 1) = 2^{96} \cdot 21$$ Ponieważ \(2^{96}\) jest liczbą całkowitą, wyrażenie \(2^{96} \cdot 21\) jest podzielne przez 21. \(\square\) **Kluczowa obserwacja:** sprowadzenie do wspólnej podstawy i wyciągnięcie najmniejszej potęgi. To dokładnie ten sam schemat co w zadaniu 5 z [matury sierpniowej 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz). CKE powtarza te schematy co roku - wystarczy je rozpoznać. **Wskazówka:** Gdy widzisz sumę potęg i podzielność, zawsze spróbuj: (1) sprowadzić do wspólnej podstawy, (2) wyciągnąć wspólny czynnik, (3) sprawdzić, czy wyrażenie w nawiasie daje się uprościć do dzielnika. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03) --- ### Zadanie 8 - Równanie wymierne (otwarte, 3 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(\frac{x+3}{x-1} = \frac{x}{2x-2}\) **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Faktoryzacja.** Zauważamy, że \(2x - 2 = 2(x-1)\). To kluczowa obserwacja, która upraszcza rachunki. **Krok 2 - Dziedzina:** \(x - 1 \neq 0\), czyli \(x \neq 1\). **Krok 3 - Mnożenie obu stron** przez \(2(x-1)\): $$2(x+3) = x$$ $$2x + 6 = x$$ $$x = -6$$ **Krok 4 - Sprawdzenie z dziedziną:** \(-6 \neq 1\) - OK. **Krok 5 - Sprawdzenie arytmetyczne:** \(\frac{-6+3}{-6-1} = \frac{-3}{-7} = \frac{3}{7}\) oraz \(\frac{-6}{2(-6)-2} = \frac{-6}{-14} = \frac{3}{7}\) \(\checkmark\) **Odpowiedź:** \(x = -6\) Kluczowe było zauważenie, że \(2x - 2 = 2(x - 1)\) - to upraszcza rachunki z równania kwadratowego do liniowego. Szukaj takich faktoryzacji w równaniach wymiernych - oszczędzają masę czasu. Na schemacie oceniania CKE punkt za dziedzinę i punkt za sprawdzenie to łącznie 2 z 3 punktów - nawet jeśli pomylisz się w rachunkach, te kroki dają punkty cząstkowe. Więcej ćwiczeń na stronie [zadań z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-08) --- ### Zadanie 9 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(x(x-6) \leq 7\) **Rozwiązanie:** Rozwijamy lewą stronę i przenosimy: $$x^2 - 6x \leq 7$$ $$x^2 - 6x - 7 \leq 0$$ Szukamy miejsc zerowych trójmianu: $$\Delta = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$$ $$\sqrt{\Delta} = 8$$ $$x_1 = \frac{6 - 8}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{6 + 8}{2} = 7$$ Rozkład na czynniki: \((x+1)(x-7) \leq 0\) Parabola \(y = (x+1)(x-7)\) jest skierowana ramionami do góry (\(a = 1 > 0\)), więc jest niedodatnia między pierwiastkami: $$x \in \langle -1, 7 \rangle$$ **Odpowiedź:** \(x \in \langle -1, 7 \rangle\) Standardowa nierówność kwadratowa - schemat: (1) przenieś wszystko na jedną stronę, (2) oblicz deltę i pierwiastki, (3) odczytaj rozwiązanie z wykresu paraboli. Pamiętaj: nierówność \(\leq 0\) to "parabola pod osią OX", a \(\geq 0\) to "parabola nad osią OX". Więcej o [równaniach i nierównościach na maturze](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-09) --- ### Zadanie 24 - Trapez prostokątny (otwarte, 4 pkt) **Treść:** W trapezie prostokątnym ABCD kąt przy wierzchołku D wynosi 60 stopni. Krótsza podstawa CD ma długość 4, a ramię BC prostopadłe do podstaw ma długość 6. Oblicz pole trapezu. **Rozwiązanie:** Rysujemy trapez prostokątny ABCD. Kąt prosty jest przy B i C (ramię BC prostopadłe do podstaw). Kąt \(\angle ADC = 60°\). **Krok 1:** Wysokość trapezu to długość ramienia prostopadłego: \(h = BC = 6\). **Krok 2:** Opuszczamy wysokość z D na AB - oznaczmy stopę jako E. Odcinek DE ma długość \(h = 6\), a AE to różnica długości podstaw. **Krok 3:** W trójkącie prostokątnym AED kąt \(\angle ADE = 60°\). Kąt ten jest przy D, więc: $$\tg 60° = \frac{AE}{DE}$$ $$\sqrt{3} = \frac{AE}{6}$$ $$AE = 6\sqrt{3}$$ **Krok 4:** Dłuższa podstawa AB: $$AB = CD + AE = 4 + 6\sqrt{3}$$ **Krok 5:** Pole trapezu: $$P = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} = \frac{(4 + 6\sqrt{3} + 4) \cdot 6}{2} = \frac{(8 + 6\sqrt{3}) \cdot 6}{2}$$ $$= 3(8 + 6\sqrt{3}) = 24 + 18\sqrt{3}$$ **Odpowiedź:** \(P = 24 + 18\sqrt{3}\) To zadanie za 4 punkty łączy planimetrię z trygonometrią. Na schemacie oceniania: punkt za rysunek/oznaczenia, punkt za obliczenie AE, punkt za dłuższą podstawę, punkt za pole. Nawet jeśli nie dokończysz obliczeń, prawidłowy rysunek i \(AE = 6\sqrt{3}\) to już 2 punkty. Przeczytaj [przewodnik po planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag) i [trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24) --- ### Zadanie 31 - Stożek (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 8. Oblicz objętość stożka. **Rozwiązanie:** Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa to średnica stożka, a boki to tworzące. Skoro ten trójkąt jest równoboczny o boku 8: - Tworząca stożka: \(l = 8\) (bok trójkąta) - Średnica podstawy: \(d = 8\) (podstawa trójkąta), więc promień \(r = 4\) Wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym (promień, wysokość, tworząca): $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{64 - 16} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$$ Objętość stożka: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 16 \cdot 4\sqrt{3} = \frac{64\sqrt{3}\pi}{3}$$ **Odpowiedź:** \(V = \frac{64\sqrt{3}\pi}{3}\) Kluczem jest zrozumienie, co oznacza "przekrój osiowy" - to przekrój bryły płaszczyzną przechodzącą przez oś symetrii. Dla stożka daje trójkąt, dla walca prostokąt, dla kuli koło. To pojęcie pojawia się na maturze co roku. Więcej ćwiczeń w [przewodniku po stereometrii](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-31) --- ### Zadanie 35 - Prostopadłościan (otwarte, 4 pkt) **Treść:** Prostopadłościan ma wymiary \(a\), \(2a\) i \(3a\). Przekątna prostopadłościanu ma długość \(14\sqrt{2}\). Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość. **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Przekątna prostopadłościanu.** Wzór na przekątną prostopadłościanu o wymiarach \(p\), \(q\), \(r\): $$d = \sqrt{p^2 + q^2 + r^2}$$ Podstawiamy: $$d = \sqrt{a^2 + (2a)^2 + (3a)^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2 + 9a^2} = \sqrt{14a^2} = a\sqrt{14}$$ **Krok 2 - Wyznaczenie a.** Z warunku \(d = 14\sqrt{2}\): $$a\sqrt{14} = 14\sqrt{2}$$ $$a = \frac{14\sqrt{2}}{\sqrt{14}} = \frac{14\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{14} = \sqrt{2} \cdot \sqrt{14} = \sqrt{28} = 2\sqrt{7}$$ Wymiary prostopadłościanu: \(2\sqrt{7}\), \(4\sqrt{7}\), \(6\sqrt{7}\). **Krok 3 - Objętość:** $$V = a \cdot 2a \cdot 3a = 6a^3 = 6 \cdot (2\sqrt{7})^3 = 6 \cdot 8 \cdot 7\sqrt{7} = 336\sqrt{7}$$ **Krok 4 - Pole powierzchni całkowitej:** $$P_c = 2(a \cdot 2a + a \cdot 3a + 2a \cdot 3a) = 2(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) = 2 \cdot 11a^2 = 22a^2$$ $$P_c = 22 \cdot (2\sqrt{7})^2 = 22 \cdot 4 \cdot 7 = 22 \cdot 28 = 616$$ **Odpowiedź:** \(V = 336\sqrt{7}\), \(P_c = 616\) To najtrudniejsze zadanie w arkuszu - wymaga obliczenia wymiarów z przekątnej, a potem systematycznego podstawienia. Schemat oceniania: punkt za wzór na przekątną, punkt za wyznaczenie \(a\), punkt za objętość, punkt za pole. Nawet jeśli wiesz tylko wzór na przekątną, to już punkt. Przeczytaj [przewodnik po stereometrii na maturze](/stereometria-matura-wzory-objetosc-pole-powierzchni) - prostopadłościan to najpopularniejsza bryła na egzaminie. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-35) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Poniżej znajdziesz 28 z 30 zadań, jakie mamy z tego arkusza w naszej bazie, każde z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-01) - Wartość bezwzględna - [Zadanie 2](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-02) - Potęgi - [Zadanie 4](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-04) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 5](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-05) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 6](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-06) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 7](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-07) - Procenty - [Zadanie 10](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-10) - Funkcja liniowa - [Zadanie 11](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-11) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 16](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-16) - Funkcje - [Zadanie 17](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-17) - Trygonometria - [Zadanie 18](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-18) - Geometria analityczna - [Zadanie 19](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-19) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 23](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-23) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 25](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-25) - Trygonometria - [Zadanie 26](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-26) - Układy równań **Zadania otwarte (2-5 pkt):** - [Zadanie 3](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-03) - Podzielność (2 pkt) - [Zadanie 8](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-08) - Równanie wymierne (3 pkt) - [Zadanie 9](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-09) - Nierówność kwadratowa (2 pkt) - [Zadanie 24](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-24) - Planimetria (4 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-27) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-28) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-29) - Ciągi (2 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-30) - Logarytmy (2 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-31) - Stereometria (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-32) - Prawdopodobieństwo (2 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-33) - Stereometria (2 pkt) - [Zadanie 34](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-34) - Funkcje (2 pkt) - [Zadanie 35](/task/matura-pr-bna-cke-grudzie-2024-35) - Stereometria (4 pkt) ## Co warto powtórzyć po tym arkuszu Na podstawie analizy arkusza grudniowego 2024, oto lista priorytetów: 1. **Stereometria** - aż 4 zadania za 8 punktów. Musisz znać: stożek (przekrój osiowy, objętość), prostopadłościan (przekątna, pole, objętość), walec, ostrosłup. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria) 2. **Potęgi** - zamiana na wspólną podstawę, potęgi wymierne i ujemne. [Ćwicz potęgi](/topics/potegi-i-pierwiastki) 3. **Równania wymierne** - faktoryzacja mianowników, dziedzina, sprawdzenie. [Ćwicz równania](/topics/rownania-i-nierownosci) 4. **Nierówności kwadratowe** - schemat: przenieś, oblicz deltę, odczytaj z paraboli 5. **Planimetria z trygonometrią** - wartości funkcji trygonometrycznych kątów szczególnych (30, 45, 60 stopni) ## Porównanie z innymi arkuszami CKE Ten arkusz wpisuje się w trend CKE z lat 2024-2025: | Arkusz | Dominująca kategoria | Najtrudniejsze zadanie | |--------|---------------------|----------------------| | Grudzień 2024 (ten) | Stereometria (8 pkt) | Prostopadłościan (4 pkt) | | [Maj 2024](/matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) | Potęgi (14 pkt) | Wielomian (3 pkt) | | [Czerwiec 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) | Geometria analityczna (13 pkt) | Ciągi (2 pkt) | | [Sierpień 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) | Potęgi (10 pkt) | Graniastosłup (4 pkt) | Wniosek: musisz być przygotowany na **każdy** scenariusz. CKE rotuje dominujące kategorie. Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE** z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na [losowe zadanie](/solve), żeby przetestować swoją wiedzę, albo sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) po pełne rozwiązania. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)