--- route: /matura-maj-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2024 - matematyka, rozwiązania wszystkich zadań description: Pełne rozwiązania arkusza matury z matematyki, maj 2024. 35 zadań z rozwiązaniami krok po kroku. Analiza trudności, rozkład kategorii i porady. type: exam_walkthrough tags: matura 2024, maj 2024, arkusz, rozwiązania, matematyka, CKE, matura maj 2024, rozwiązania krok po kroku author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2024-05-10T10:00:00+00:00 updated: 2026-09-09T12:12:25.627+00:00 --- # Matura maj 2024 - matematyka, rozwiązania wszystkich zadań ## O arkuszu - Matura maj 2024 Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2024 to egzamin, do którego przystąpiło ponad 270 tysięcy maturzystów. Arkusz zawierał **35 zadań**: 21 zamkniętych i 14 otwartych, za łącznie **46 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **14 punktów**. Rok 2024 to trzeci rok obowiązywania nowej formuły egzaminu (od 2023) - CKE ustabilizowało już format i poziom trudności. Jeśli przygotowujesz się do matury 2027, analiza tego arkusza jest obowiązkowa - daje dokładny obraz tego, czego oczekuje CKE. Sprawdź też rozwiązania z [sesji dodatkowej z czerwca 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) i [matury majowej 2025](/matura-maj-2025-matematyka-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć ewolucję poziomu trudności. Zadania z tego arkusza dostępne w naszej bazie rozwiążesz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/exams/matura-maj-2024). ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 10 | 14 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 5 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 4 | 4 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 4 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 | | Funkcja kwadratowa | 2 | 3 | | Funkcja liniowa | 2 | 2 | | Funkcje | 2 | 2 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 2 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 | | Logarytmy | 1 | 1 | | Procenty | 1 | 1 | | Liczby rzeczywiste | 1 | 1 | | Statystyka | 1 | 1 | Arkusz z maja 2024 to absolutna dominacja **potęg i pierwiastków** - aż 10 zadań za 14 punktów! To niemal jedna trzecia całego arkusza. Na drugim miejscu znalazła się planimetria (2 zadania, ale za 5 punktów - czyli jedno trudne zadanie otwarte za 4 punkty). Przeczytaj nasze przewodniki po [potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [planimetrii](/planimetria-matura-trojkaty-czworokaty-okrag). Porównaj z [sesją dodatkową z czerwca 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz), gdzie dominowała geometria analityczna (9 zadań) - CKE lubi zmieniać proporcje między sesjami. ## Poziom trudności Arkusz majowy 2024 był oceniany jako **średnio trudny** - łatwiejszy niż matura 2023, ale trudniejszy niż sesje próbne. Zdawalność wyniosła ok. 88%. **Łatwe (ok. 14 punktów)** - wartość bezwzględna, potęgi, logarytmy, procenty, statystyka. Klasyczne zadania z szablonu - kto je znał, rozwiązywał w 1-2 minuty. To minimum do zdania. **Średnie (ok. 18 punktów)** - ciągi arytmetyczne, funkcja kwadratowa, geometria analityczna, równania. Wymagają znajomości wzorów i umiejętności ich zastosowania. Solidna powtórka z [ciągów](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) i [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania) załatwia sprawę. **Trudne (ok. 14 punktów)** - wielomian trzeciego stopnia, dowód podzielności, planimetria z okręgami, prawdopodobieństwo. Zadania, które oddzielają zdających z wynikiem 60% od tych z 80%+. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 1 - Wartość bezwzględna (1 pkt) **Treść:** Nierówność \(|x-1| \geq 3\) jest spełniona dla **Rozwiązanie:** Nierówność z wartością bezwzględną typu \(|W| \geq c\) rozbijamy na dwa przypadki: $$x - 1 \geq 3 \quad \text{lub} \quad x - 1 \leq -3$$ $$x \geq 4 \quad \text{lub} \quad x \leq -2$$ Zbiór rozwiązań: \((-\infty, -2\rangle \cup \langle 4, +\infty)\) **Odpowiedź:** \(x \leq -2\) lub \(x \geq 4\) Uwaga na znak nierówności - \(\geq\) oznacza, że końce przedziałów są domknięte (punkty \(-2\) i \(4\) należą do rozwiązania). Gdyby było \(>\) zamiast \(\geq\), końce byłyby otwarte. Wielu uczniów traci punkt na takim szczególe. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-01) --- ### Zadanie 2 - Potęgi (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\left(\frac{1}{16}\right)^8 \cdot 8^{16}\) jest równa **Rozwiązanie:** Sprowadzamy wszystko do podstawy 2: $$\left(\frac{1}{16}\right)^8 = (16^{-1})^8 = (2^4)^{-8} = 2^{-32}$$ $$8^{16} = (2^3)^{16} = 2^{48}$$ Mnożymy potęgi o tej samej podstawie (dodajemy wykładniki): $$2^{-32} \cdot 2^{48} = 2^{-32+48} = 2^{16}$$ **Odpowiedź:** \(2^{16}\) Na maturze 2024 pojawiło się aż 10 zadań z potęg - to rekord w historii nowej formuły. Wniosek: potęgi musisz opanować do perfekcji. [Ćwicz zadania z potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki)! [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-02) --- ### Zadanie 3 - Dowodzenie (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej \(n\) wyrażenie \(n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2\) daje resztę 2 przy dzieleniu przez 3. **Rozwiązanie:** **Krok 1:** Rozwijamy wyrażenie: $$n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2$$ $$= n^2 + n^2 + 2n + 1 + n^2 + 4n + 4$$ $$= 3n^2 + 6n + 5$$ **Krok 2:** Wydzielamy wielokrotność 3: $$3n^2 + 6n + 5 = 3n^2 + 6n + 3 + 2 = 3(n^2 + 2n + 1) + 2$$ **Krok 3:** Upraszczamy: $$= 3(n+1)^2 + 2$$ Ponieważ \(3(n+1)^2\) jest podzielne przez 3 (bo jest wielokrotnością 3), reszta z dzielenia całego wyrażenia przez 3 wynosi 2. \(\square\) **Kluczowa technika:** rozwinięcie i pogrupowanie wyrazów tak, żeby wydzielić wielokrotność dzielnika. Ten schemat - "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" - pojawia się na maturze co roku. Porównaj z zadaniem 5 z [matury sierpniowej 2025](/matura-sierpien-2025-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz) i zadaniem 3 z [matury próbnej CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) - te same schematy, różne liczby. **Wskazówka egzaminacyjna:** W dowodach na resztę z dzielenia cel jest jeden: zapisać wyrażenie w postaci \(\text{dzielnik} \cdot k + \text{reszta}\), gdzie \(k\) jest liczbą całkowitą. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-03) --- ### Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) **Treść:** Wartość \(\log_{\sqrt{3}} 9\) jest równa **Rozwiązanie:** Korzystamy z definicji logarytmu: \(\log_{\sqrt{3}} 9 = x\) oznacza \((\sqrt{3})^x = 9\). Zamieniamy na potęgi trójki: $$(3^{\frac{1}{2}})^x = 3^2$$ $$3^{\frac{x}{2}} = 3^2$$ Porównujemy wykładniki: $$\frac{x}{2} = 2 \implies x = 4$$ **Odpowiedź:** \(4\) **Metoda alternatywna** (zmiana podstawy): \(\log_{\sqrt{3}} 9 = \frac{\log_3 9}{\log_3 \sqrt{3}} = \frac{2}{\frac{1}{2}} = 4\). Zmiana podstawy logarytmu to potężne narzędzie - działa zawsze, gdy definicja wydaje się trudna. Przeczytaj nasz [przewodnik po logarytmach](/logarytmy-matura-wzory-wlasciwosci-zadania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-04) --- ### Zadanie 9 - Wielomian (otwarte, 3 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = 0\) **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Grupowanie wyrazów.** Dzielimy 4 wyrazy na 2 pary: $$x^3 - 2x^2 - 3x + 6 = (x^3 - 2x^2) + (-3x + 6)$$ **Krok 2 - Wyciąganie wspólnego czynnika z każdej pary:** $$= x^2(x - 2) - 3(x - 2)$$ **Krok 3 - Wyciągamy wspólny nawias \((x-2)\):** $$= (x - 2)(x^2 - 3)$$ **Krok 4 - Rozkładamy \(x^2 - 3\) (różnica kwadratów z \(\sqrt{3}\)):** $$= (x - 2)(x - \sqrt{3})(x + \sqrt{3})$$ Rozwiązania: \(x = 2\), \(x = \sqrt{3}\), \(x = -\sqrt{3}\) **Odpowiedź:** \(x \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, 2\}\) **Grupowanie** to kluczowa technika dla wielomianów trzeciego stopnia na maturze. Schemat: (1) podziel 4 wyrazy na 2 pary, (2) z każdej pary wyciągnij wspólny czynnik, (3) powinieneś dostać wspólny nawias. Jeśli grupowanie nie działa od razu, spróbuj innego podziału na pary. **Metoda alternatywna:** Zgadnij pierwiastek (np. \(x = 2\), bo \(8 - 8 - 6 + 6 = 0\)), a potem podziel wielomian przez \((x - 2)\) schematem Hornera, żeby dostać wielomian kwadratowy. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-09) --- ### Zadanie 10 - Procenty (1 pkt) **Treść:** Lokata bankowa z rocznym oprocentowaniem 4% po roku dała zysk 320 zł. Kwota wpłacona na lokatę wynosiła **Rozwiązanie:** Oznaczmy wpłaconą kwotę jako \(K\). Zysk to 4% kwoty: $$0{,}04 \cdot K = 320$$ $$K = \frac{320}{0{,}04} = \frac{320}{\frac{4}{100}} = 320 \cdot \frac{100}{4} = 320 \cdot 25 = 8000 \text{ zł}$$ **Odpowiedź:** \(8000\) zł Proste zadanie na procenty - odwracamy obliczanie procentu z liczby. Takie zadania to "darmowe" punkty na maturze. Trick: dzielenie przez 0,04 to to samo co mnożenie przez 25. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-10) --- ### Zadanie 36 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt) **Treść:** W worku jest 5 kul białych i 3 kule czarne. Losujemy kolejno 2 kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy kule różnych kolorów. **Rozwiązanie:** Możemy wylosować kule różnych kolorów na dwa sposoby: **Sposób 1: najpierw biała, potem czarna** Prawdopodobieństwo biała w pierwszym losowaniu: \(\frac{5}{8}\). Po wyjęciu białej zostaje 4 białe i 3 czarne (7 kul). Prawdopodobieństwo czarna w drugim: \(\frac{3}{7}\). $$P_1 = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{7} = \frac{15}{56}$$ **Sposób 2: najpierw czarna, potem biała** $$P_2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{7} = \frac{15}{56}$$ Zdarzenia są rozłączne (nie mogą zajść jednocześnie), więc dodajemy: $$P = P_1 + P_2 = \frac{15}{56} + \frac{15}{56} = \frac{30}{56} = \frac{15}{28}$$ **Odpowiedź:** \(P = \frac{15}{28}\) **Metoda alternatywna** (zdarzenie przeciwne): \(P(\text{różne}) = 1 - P(\text{takie same})\). Prawdopodobieństwo, że obie białe: \(\frac{\binom{5}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{10}{28}\). Prawdopodobieństwo, że obie czarne: \(\frac{\binom{3}{2}}{\binom{8}{2}} = \frac{3}{28}\). Zatem \(P = 1 - \frac{10}{28} - \frac{3}{28} = 1 - \frac{13}{28} = \frac{15}{28}\). Oba podejścia dają ten sam wynik - wybierz to, które jest dla Ciebie wygodniejsze. Więcej ćwiczeń z [prawdopodobieństwa](/topics/prawdopodobienstwo) i przeczytaj [przewodnik po prawdopodobieństwie i kombinatoryce](/prawdopodobienstwo-kombinatoryka-matura-zadania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2024-36) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Poniżej znajdziesz 29 z 31 zadań, jakie mamy z tego arkusza w naszej bazie, każde z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-maj-2024-01) - Wartość bezwzględna - [Zadanie 2](/task/matura-maj-2024-02) - Potęgi - [Zadanie 4](/task/matura-maj-2024-04) - Logarytmy - [Zadanie 5](/task/matura-maj-2024-05) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 6](/task/matura-maj-2024-06) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 7](/task/matura-maj-2024-07) - Funkcja liniowa - [Zadanie 8](/task/matura-maj-2024-08) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 10](/task/matura-maj-2024-10) - Procenty - [Zadanie 11](/task/matura-maj-2024-11) - Funkcja liniowa - [Zadanie 12](/task/matura-maj-2024-12) - Statystyka - [Zadanie 13](/task/matura-maj-2024-13) - Funkcje - [Zadanie 19](/task/matura-maj-2024-19) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 20](/task/matura-maj-2024-20) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 21](/task/matura-maj-2024-21) - Funkcje - [Zadanie 22](/task/matura-maj-2024-22) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 23](/task/matura-maj-2024-23) - Ciągi - [Zadanie 24](/task/matura-maj-2024-24) - Potęgi i pierwiastki **Zadania otwarte (2-5 pkt):** - [Zadanie 3](/task/matura-maj-2024-03) - Dowodzenie (2 pkt) - [Zadanie 9](/task/matura-maj-2024-09) - Wielomian (3 pkt) - [Zadanie 25](/task/matura-maj-2024-25) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 26](/task/matura-maj-2024-26) - Ciągi (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-maj-2024-27) - Potęgi i pierwiastki (2 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-maj-2024-28) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-maj-2024-32) - Planimetria (2 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-maj-2024-33) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 34](/task/matura-maj-2024-34) - Stereometria (2 pkt) - [Zadanie 35](/task/matura-maj-2024-35) - Planimetria (4 pkt) - [Zadanie 36](/task/matura-maj-2024-36) - Prawdopodobieństwo (2 pkt) - [Zadanie 37](/task/matura-maj-2024-37) - Stereometria (2 pkt) ## Kluczowe wnioski z matury 2024 Analiza tego arkusza daje jasne wskazówki na przyszłość: 1. **Potęgi to absolutny fundament** - 10 zadań za 14 punktów. Bez biegłości w potęgach nie zdasz matury. Punkt wyjścia: [zadania z potęg](/topics/potegi-i-pierwiastki). Musisz umieć: sprowadzać do wspólnej podstawy, działać na wykładnikach ujemnych i wymiernych, upraszczać wyrażenia z pierwiastkami 2. **Dowody to gwarantowane 2 punkty** - schemat "rozwiń, pogrupuj, wyciągnij czynnik" działa co roku. Przećwicz go na 5-6 przykładach i będziesz gotowy 3. **Wielomiany wróciły** - zadanie za 3 punkty na grupowanie wyrazów. Warto znać schemat Hornera i metodę zgadywania pierwiastka wymiernego 4. **Planimetria za dużo punktów** - jedno zadanie za 4 punkty potrafi zdecydować o wyniku. [Ćwicz planimetrię](/topics/planimetria) 5. **Prawdopodobieństwo** - regularnie pojawia się jako zadanie otwarte za 2 punkty. Dwa podejścia (bezpośrednie i przez zdarzenie przeciwne) musisz znać oba ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki Oto konkretny plan: 1. **Rozwiąż cały arkusz na czas** (180 minut) - symulacja egzaminu 2. **Sprawdź odpowiedzi** i policz punkty 3. **Przeanalizuj błędy** - zapisz, w jakich kategoriach tracisz punkty 4. **Powtórz słabe kategorie** - skorzystaj z naszych [przewodników tematycznych](/) 5. **Rozwiąż analogiczny arkusz** - np. [sesję dodatkową z czerwca 2024](/matura-czerwiec-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) albo [maturę próbną CKE grudzień 2024](/matura-probna-cke-grudzien-2024-matematyka-rozwiazania-arkusz) Przygotowujesz się do matury? Rozwiąż cały arkusz interaktywnie na [Sprawnej Maturze](/) - mamy **ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE** z rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na [losowe zadanie](/solve), żeby przetestować swoją gotowość, albo sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) po pełne rozwiązania wszystkich zadań. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)