---
route: /matura-maj-2022-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2022 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku
description: Matura maj 2022 z matematyki, poziom podstawowy: klucz odpowiedzi do 28 zadań zamkniętych i rozwiązania 7 zadań otwartych krok po kroku. Arkusz za 45 punktów.
type: exam_walkthrough
tags: matura 2022, rozwiązania, arkusz, matematyka, maj 2022
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-04-12T06:00:00+00:00
updated: 2026-10-04T20:45:38.232+00:00
---
# Matura maj 2022 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku
## O arkuszu Matura maj 2022

Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym odbył się 5 maja 2022 roku. Był to arkusz formuły 2015, przygotowany, tak jak rok wcześniej, według wymagań egzaminacyjnych ograniczonych w związku z pandemią COVID-19. Poniżej znajdziesz klucz odpowiedzi do wszystkich zadań zamkniętych, wybrane zadania zamknięte rozwiązane krok po kroku i pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych.

Matura z matematyki w maju 2022 roku składała się z 35 zadań: 28 zadań zamkniętych (numery 1-28, każde za 1 punkt) i 7 zadań otwartych (numery 29-35: sześć za 2 punkty i zadanie 35 za 5 punktów). Łącznie można było zdobyć 45 punktów, a na rozwiązanie było 170 minut. Do zdania matury potrzeba co najmniej 30% punktów, a 30% z 45 to 13,5, więc w praktyce 14 punktów.

Zadania zamknięte idą w arkuszu działami: potęgi, logarytmy i procenty, równania i nierówności, funkcje, ciągi, trygonometria i planimetria, geometria analityczna, stereometria, a na końcu kombinatoryka i statystyka. Zadania otwarte to nierówność kwadratowa (29), suma ciągu arytmetycznego (30), dowód nierówności (31), trygonometria (32), planimetria (33), prawdopodobieństwo (34) i funkcja kwadratowa za 5 punktów (35).

## Zadania zamknięte (1-28) - omówienie

Zadania zamknięte omawiamy w grupach, w kolejności z arkusza. W każdej grupie jedno lub dwa zadania rozwiązujemy krok po kroku, a odpowiedzi do wszystkich 28 zadań zamkniętych są w tabeli na końcu tej części.

### Potęgi, pierwiastki, logarytmy i procenty (zadania 1-5)

Zadanie 1 to kwadrat różnicy z pierwiastkami, zadanie 2 wartość wyrażenia przy warunku \(2x=3y\), zadanie 3 działania na logarytmach, zadanie 4 dwie kolejne obniżki procentowe, a zadanie 5 potęga o wykładniku wymiernym.

#### Zadanie 3 - Logarytmy (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(4\log_42+2\log_48\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika liczby logarytmowanej:

$$4\log_4 2+2\log_4 8=\log_4 2^4+\log_4 8^2=\log_4 16+\log_4 64$$

Ponieważ \(4^2=16\) i \(4^3=64\), mamy \(\log_4 16=2\) oraz \(\log_4 64=3\), więc cała liczba jest równa \(2+3=5\).

**Odpowiedź:** C. \(5\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-03)

#### Zadanie 4 - Procenty (1 pkt)

**Treść:** Cena działki po kolejnych dwóch obniżkach, za każdym razem o \(10\%\) w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie, jest równa \(78\ 732\) zł. Cena tej działki przed obiema obniżkami była, w zaokrągleniu do \(1\) zł, równa

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy cenę początkową przez \(x\). Po pierwszej obniżce o \(10\%\) cena to \(0{,}9x\), po drugiej \(0{,}9\cdot 0{,}9x=0{,}81x\). Stąd

$$0{,}81x=78\,732 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{78\,732}{0{,}81}=97\,200$$

Sprawdzenie: \(0{,}9\cdot 97\,200=87\,480\) i \(0{,}9\cdot 87\,480=78\,732\). Dwie obniżki o \(10\%\) to nie to samo co jedna obniżka o \(20\%\): przy \(0{,}8x=78\,732\) wyszłoby \(98\,415\) zł, a takiej odpowiedzi nie ma.

**Odpowiedź:** B. \(97\ 200\) zł

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-04)

### Równania, nierówności i układy równań (zadania 6-8)

Zadanie 6 to układ dwóch równań liniowych, w którym trzeba ustalić znaki rozwiązania, zadanie 7 nierówność liniowa z ułamkami, a zadanie 8 równanie w postaci iloczynowej.

#### Zadanie 7 - Nierówność liniowa (1 pkt)

**Treść:** Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \(\frac{2}{5}-\frac{x}{3}\gt \frac{x}{5}\) jest przedział

**Rozwiązanie:**

Mnożymy obie strony przez \(15\), czyli wspólny mianownik. Liczba jest dodatnia, więc znak nierówności się nie zmienia:

$$6-5x>3x \quad\Rightarrow\quad 6>8x \quad\Rightarrow\quad x0\). Stąd \(q=\frac{2}{3}\) albo \(q=-\frac{2}{3}\), ale przy ujemnym ilorazie wyrazy miałyby na przemian różne znaki. Wszystkie wyrazy są dodatnie, więc \(q=\frac{2}{3}\).

**Odpowiedź:** A. \(\frac{2}{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-15)

### Trygonometria i planimetria (zadania 16-20)

Zadanie 16 sprawdza związki między funkcjami trygonometrycznymi kątów, które dają razem \(90^\circ\). Zadania 17-20 to planimetria: kąt środkowy i wpisany (17), pole zakreskowanej figury przy rombie \(ASBP\), którego trzy wierzchołki leżą na okręgu (18), pole trójkąta równobocznego o danej wysokości (19) i pole równoległoboku (20). Więcej o tych wzorach w dziale [trygonometria](/topics/trygonometria).

#### Zadanie 16 - Trygonometria (1 pkt)

**Treść:** Liczba \(\cos 12^\circ \cdot \sin 78^\circ +\sin 12^\circ \cdot \cos 78^\circ \) jest równa

**Rozwiązanie:**

Kąty \(12^\circ\) i \(78^\circ\) dają razem \(90^\circ\), więc \(\cos 12^\circ=\sin 78^\circ\) i \(\sin 12^\circ=\cos 78^\circ\). Po podstawieniu:

$$\sin 78^\circ\cdot\sin 78^\circ+\cos 78^\circ\cdot\cos 78^\circ=\sin^2 78^\circ+\cos^2 78^\circ=1$$

Ostatnia równość to jedynka trygonometryczna.

**Odpowiedź:** D. \(1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-16)

#### Zadanie 20 - Pole równoległoboku (1 pkt)

**Treść:** Boki równoległoboku mają długości \(6\) i \(10\), a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \(120^\circ \). Pole tego równoległoboku jest równe

**Rozwiązanie:**

Pole równoległoboku o bokach \(a\), \(b\) i kącie \(\alpha\) między nimi to \(P=ab\sin\alpha\). Ze wzoru redukcyjnego \(\sin 120^\circ=\sin(180^\circ-60^\circ)=\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}\), więc

$$P=6\cdot 10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=30\sqrt{3}$$

**Odpowiedź:** A. \(30\sqrt{3}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-20)

### Geometria analityczna (zadania 21-24)

Cztery zadania z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna): prosta przechodząca przez początek układu współrzędnych (21), warunek prostopadłości prostych (22), środek odcinka (23) i przekątna kwadratu o danych sąsiednich wierzchołkach (24).

#### Zadanie 23 - Środek odcinka (1 pkt)

**Treść:** Punkty \(K=(4,-10)\) i \(L=(b,2)\) są końcami odcinka \(KL\). Pierwsza współrzędna środka odcinka \(KL\) jest równa \((-12)\). Wynika stąd, że

**Rozwiązanie:**

Pierwsza współrzędna środka odcinka to średnia pierwszych współrzędnych końców:

$$\frac{4+b}{2}=-12 \quad\Rightarrow\quad 4+b=-24 \quad\Rightarrow\quad b=-28$$

**Odpowiedź:** A. \(b=-28\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-23)

#### Zadanie 24 - Przekątna kwadratu (1 pkt)

**Treść:** Punkty \(A=(-4,4)\) i \(B=(4,0)\) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Przekątna tego kwadratu ma długość

**Rozwiązanie:**

Punkty \(A\) i \(B\) są sąsiednimi wierzchołkami, więc odcinek \(AB\) jest bokiem kwadratu:

$$|AB|=\sqrt{(4-(-4))^2+(0-4)^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$

Przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\), więc \(d=4\sqrt{5}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{10}\).

**Odpowiedź:** A. \(4\sqrt{10}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-24)

### Stereometria (zadania 25-26)

Zadanie 25 to objętość graniastosłupa prostego o podstawie rombu, a zadanie 26 pole powierzchni ostrosłupa wyciętego z sześcianu. Wzory na objętości i pola brył zebraliśmy w dziale [stereometria](/topics/stereometria).

#### Zadanie 25 - Graniastosłup (1 pkt)

**Treść:** Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnych długości \(7\) cm i \(10\) cm. Wysokość tego graniastosłupa jest krótsza od dłuższej przekątnej rombu o \(2\) cm. Wtedy objętość graniastosłupa jest równa

**Rozwiązanie:**

Pole rombu to połowa iloczynu przekątnych: \(P_p=\frac{7\cdot 10}{2}=35\ \text{cm}^2\). Dłuższa przekątna ma \(10\) cm, więc wysokość graniastosłupa to \(H=10-2=8\) cm.

$$V=P_p\cdot H=35\cdot 8=280\ \text{cm}^3$$

Odpowiedź A to wynik bez dzielenia iloczynu przekątnych przez \(2\), a odpowiedzi C i D pojawiają się przy wzorze na objętość ostrosłupa, z czynnikiem \(\frac{1}{3}\).

**Odpowiedź:** B. \(280\ \text{cm}^3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-25)

### Kombinatoryka i statystyka (zadania 27-28)

Zadanie 27 to zliczanie liczb czterocyfrowych z regułą mnożenia, a zadanie 28 średnia arytmetyczna z niewiadomą.

#### Zadanie 27 - Kombinatoryka (1 pkt)

**Treść:** Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych nieparzystych podzielnych przez \(5\) jest

**Rozwiązanie:**

Liczba podzielna przez \(5\) kończy się cyfrą \(0\) albo \(5\), a nieparzysta nie może kończyć się zerem, więc cyfra jedności to \(5\) (jedna możliwość). Cyfra tysięcy to dowolna z cyfr \(1\)-\(9\) (dziewięć możliwości), a cyfry setek i dziesiątek to dowolne z \(0\)-\(9\) (po dziesięć możliwości). Cyfry mogą się powtarzać, więc z reguły mnożenia takich liczb jest \(9\cdot 10\cdot 10\cdot 1=900\).

**Odpowiedź:** B. \(9\cdot 10\cdot 10\cdot 1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-27)

#### Zadanie 28 - Średnia arytmetyczna (1 pkt)

**Treść:** Średnia arytmetyczna zestawu sześciu liczb: \(2x,\ 4,\ 6,\ 8,\ 11,\ 13\) jest równa \(5\). Wynika stąd, że

**Rozwiązanie:**

Suma sześciu liczb podzielona przez \(6\) daje \(5\):

$$\frac{2x+4+6+8+11+13}{6}=5 \quad\Rightarrow\quad 2x+42=30 \quad\Rightarrow\quad x=-6$$

**Odpowiedź:** C. \(x=-6\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-28)

### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

Każdą odpowiedź sprawdziliśmy z rozwiązaniem zadania. Numer zadania prowadzi do jego interaktywnej wersji.

| Zadanie | Odpowiedź |
|---------|-----------|
| [1](/task/matura-maj-2022-01) | A. \(2\) |
| [2](/task/matura-maj-2022-02) | B. \(\frac{13}{6}\) |
| [3](/task/matura-maj-2022-03) | C. \(5\) |
| [4](/task/matura-maj-2022-04) | B. \(97\ 200\) zł |
| [5](/task/matura-maj-2022-05) | A. \(3^2\cdot\sqrt[4]{3}\) |
| [6](/task/matura-maj-2022-06) | B. \(x_0>0\) i \(y_00\)), więc wartości nieujemne przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi, razem z nimi.

**Odpowiedź:** \(x\in(-\infty,-2\rangle\cup\left\langle \frac{8}{3},+\infty\right)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-29)

### Zadanie 30 - Suma ciągu arytmetycznego (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** W ciągu arytmetycznym \(a_n\), określonym dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\), \(a_1=-1\) i \(a_4=8\). Oblicz sumę stu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu.

**Rozwiązanie:**

Najpierw różnica ciągu: \(a_4=a_1+3r\), czyli \(8=-1+3r\) i \(r=3\). Setny wyraz to \(a_{100}=a_1+99r=-1+297=296\). Suma stu początkowych wyrazów:

$$S_{100}=\frac{a_1+a_{100}}{2}\cdot 100=\frac{-1+296}{2}\cdot 100=295\cdot 50=14\,750$$

**Odpowiedź:** \(S_{100}=14\,750\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-30)

### Zadanie 31 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) i każdej liczby rzeczywistej \(b\) takich, że \(b\ne a\), spełniona jest nierówność \(\frac{a^2+b^2}{2}\gt\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)

**Rozwiązanie:**

Rozwijamy prawą stronę i mnożymy obie strony przez \(4>0\):

$$\frac{a^2+b^2}{2}>\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \quad\Leftrightarrow\quad 2a^2+2b^2>a^2+2ab+b^2 \quad\Leftrightarrow\quad a^2-2ab+b^2>0 \quad\Leftrightarrow\quad (a-b)^2>0$$

Ponieważ \(a\neq b\), liczba \(a-b\) jest różna od zera, a kwadrat liczby różnej od zera jest dodatni. Wszystkie przekształcenia były równoważne, więc wyjściowa nierówność jest prawdziwa.

**Odpowiedź:** nierówność jest równoważna \((a-b)^2>0\), co zachodzi dla \(a\neq b\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-31)

### Zadanie 32 - Trygonometria (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha \) jest ostry i \(\operatorname{tg} \alpha =2\). Oblicz wartość wyrażenia \(\sin^{2} \alpha \).

**Rozwiązanie:**

Z \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=2\) mamy \(\cos\alpha=\frac{\sin\alpha}{2}\). Podstawiamy do jedynki trygonometrycznej:

$$\sin^2\alpha+\frac{\sin^2\alpha}{4}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{4}\sin^2\alpha=1 \quad\Rightarrow\quad \sin^2\alpha=\frac{4}{5}$$

Ten sam wynik daje trójkąt prostokątny o przyprostokątnych \(2\) i \(1\): przeciwprostokątna ma długość \(\sqrt{5}\), więc \(\sin\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}\) i \(\sin^2\alpha=\frac{4}{5}\).

**Odpowiedź:** \(\sin^2\alpha=\frac{4}{5}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-32)

### Zadanie 33 - Planimetria (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Dany jest trójkąt równoramienny \(ABC\), w którym \(|AC|=|BC|\). Dwusieczna kąta \(BAC\) przecina bok \(BC\) w takim punkcie \(D\), że trójkąty \(ABC\) i \(BDA\) są podobne (zobacz rysunek). Oblicz miarę kąta \(BAC\).

**Rozwiązanie:**

Oznaczmy \(|\sphericalangle BAC|=\alpha\). Trójkąt \(ABC\) jest równoramienny o podstawie \(AB\), więc \(|\sphericalangle ABC|=\alpha\), a \(|\sphericalangle ACB|=180^\circ-2\alpha\). Dwusieczna dzieli kąt \(BAC\) na połowy, więc \(|\sphericalangle BAD|=\frac{\alpha}{2}\).

W trójkącie \(BDA\) kąt przy wierzchołku \(B\) to ten sam kąt \(ABC\), równy \(\alpha\). Trójkąt podobny do równoramiennego \(ABC\) też ma dwa kąty równe \(\alpha\) i jeden równy \(180^\circ-2\alpha\). Kąt \(BAD\) równy \(\frac{\alpha}{2}\) jest mniejszy od \(\alpha\), więc to on odpowiada kątowi \(ACB\), a kąt \(BDA\) jest równy \(\alpha\). Z sumy kątów trójkąta \(BDA\):

$$\frac{\alpha}{2}+\alpha+\alpha=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{2}\alpha=180^\circ \quad\Rightarrow\quad \alpha=72^\circ$$

Sprawdzenie: trójkąt \(ABC\) ma kąty \(72^\circ, 72^\circ, 36^\circ\), a trójkąt \(BDA\) kąty \(36^\circ, 72^\circ, 72^\circ\), więc rzeczywiście są podobne.

**Odpowiedź:** \(|\sphericalangle BAC|=72^\circ\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-33)

### Zadanie 34 - Prawdopodobieństwo (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Ze zbioru dziewięcioelementowego \(M=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\) losujemy kolejno ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu dwóch liczb ze zbioru \(M\), których iloczyn jest równy \(24\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\).

**Rozwiązanie:**

Losujemy kolejno ze zwracaniem, więc wynikiem jest para uporządkowana i \(|\Omega|=9\cdot 9=81\). Iloczyn \(24\) z czynników od \(1\) do \(9\) dają tylko \(3\cdot 8\) i \(4\cdot 6\) (bo \(2\cdot 12\) i \(1\cdot 24\) wychodzą poza zbiór). Każdą parę liczymy w obu kolejnościach:

$$A=\{(3,8),(8,3),(4,6),(6,4)\},\qquad |A|=4$$

$$P(A)=\frac{4}{81}$$

Więcej przykładów w dziale [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo).

**Odpowiedź:** \(P(A)=\frac{4}{81}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-34)

### Zadanie 35 - Funkcja kwadratowa (otwarte, 5 pkt)

**Treść:** Wykres funkcji kwadratowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=ax^2+bx+c\) ma z prostą o równaniu \(y=6\) dokładnie jeden punkt wspólny. Punkty \(A=(-5,0)\) i \(B=(3,0)\) należą do wykresu funkcji \(f\). Oblicz wartości współczynników \(a\), \(b\) oraz \(c\).

**Rozwiązanie:**

Punkty \(A\) i \(B\) leżą na osi \(Ox\), więc \(x=-5\) i \(x=3\) to miejsca zerowe funkcji. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między nimi:

$$p=\frac{-5+3}{2}=-1$$

Prosta pozioma przecina parabolę w dwóch punktach, w jednym albo w żadnym. Dokładnie jeden punkt wspólny oznacza, że prosta \(y=6\) przechodzi przez wierzchołek, więc \(q=6\) i \(W=(-1,6)\). Postać kanoniczna to \(f(x)=a(x+1)^2+6\). Podstawiamy punkt \(B=(3,0)\):

$$0=a\cdot 4^2+6 \quad\Rightarrow\quad 16a=-6 \quad\Rightarrow\quad a=-\frac{3}{8}$$

Przekształcamy do postaci ogólnej:

$$f(x)=-\frac{3}{8}(x^2+2x+1)+6=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}+\frac{48}{8}=-\frac{3}{8}x^2-\frac{3}{4}x+\frac{45}{8}$$

Sprawdzenie dla \(A=(-5,0)\): \(-\frac{75}{8}+\frac{30}{8}+\frac{45}{8}=0\).

**Odpowiedź:** \(a=-\frac{3}{8}\), \(b=-\frac{3}{4}\), \(c=\frac{45}{8}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2022-35)

## Najczęstsze błędy w tym arkuszu

Poniżej miejsca w zadaniach tego arkusza, w których łatwo o pomyłkę.

W zadaniach algebraicznych łatwo zapomnieć o zmianie znaku przy przeniesieniu wyrazu na drugą stronę. W zadaniu 29 po przeniesieniu \(7\) wyraz wolny to \(-16\), a nie \(-2\). Przy wzorze na pierwiastki \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\) trzeba uważać na znak \(b\): tu \(b=-2\), więc \(-b=2\).

W funkcji kwadratowej pomaga pamiętanie, że współczynnik \(a\) jest taki sam w postaci ogólnej, kanonicznej i iloczynowej (zadanie 12), a pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi (zadanie 35). W zadaniu 10 trzeba pamiętać, że wykres \(y=f(x+2)\) to wykres \(f\) przesunięty o \(2\) w lewo, nie w prawo.

W ciągach łatwo pomylić wzory dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego. W zadaniu 15 trzeba też odrzucić ujemny iloraz, bo wszystkie wyrazy ciągu są dodatnie.

W stereometrii warto rozpisać długości krawędzi bryły, zanim zacznie się liczyć pola. W zadaniu 26 krawędzie \(BE\), \(BG\) i \(EG\) ostrosłupa są przekątnymi ścian sześcianu, więc mają długość \(a\sqrt{2}\), a nie \(a\).

W prawdopodobieństwie trzeba ustalić, czy kolejność ma znaczenie. W zadaniu 34 losujemy kolejno ze zwracaniem, więc \((3,8)\) i \((8,3)\) to dwa różne zdarzenia elementarne, a \(|\Omega|=81\). Wynik końcowy warto skrócić.

## Jak przygotować się na podobny arkusz

Efektywne przygotowanie do matury z matematyki wymaga systematycznego podejścia. Zacznij od podstaw: zanim przystąpisz do trudniejszych zadań, upewnij się, że rozumiesz wszystkie podstawowe pojęcia. Jeśli nie czujesz się pewnie z [funkcją kwadratową](/topics/funkcja-kwadratowa), poświęć temu tematowi dodatkowy czas, bo w tym arkuszu dotyczyły jej zadania 12 i 35, a nierówności kwadratowej zadanie 29.

Rozwiązywanie starych arkuszy to ważna część przygotowań. [Matura z maja 2021](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz) ma ten sam układ: 28 zadań zamkniętych, 7 otwartych i 45 punktów. Przejrzyj też [arkusz z maja 2020](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz), który ma jeszcze pełne 50 punktów, lub [arkusz z maja 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz) w nowej formule. Porównanie kilku edycji egzaminu pokazuje, które typy zadań się powtarzają.

Ćwiczenie na czas jest równie ważne jak znajomość materiału. Ten arkusz rozwiąż w 170 minut, tyle trwał egzamin. Zaczynaj od zadań zamkniętych (zwykle szybszych), zaznaczaj trudne zadania i wracaj do nich później, a przede wszystkim czytaj uważnie treść każdego zadania.

Jeśli [ciągi](/topics/ciagi) sprawiają Ci problemy, poświęć im szczególną uwagę. Gdy [stereometria](/topics/stereometria) jest trudna, rysuj bryły i rozpisuj długości krawędzi. Rozwiąż kilkadziesiąt zadań z obszarów, które idą Ci najsłabiej.

Skorzystaj z funkcji [losowego zadania](/random), aby rozwiązywać zadania z różnych obszarów, a nie tylko z jednego działu.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)