--- route: /matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2021 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku description: Matura maj 2021 z matematyki, poziom podstawowy: klucz odpowiedzi do 28 zadań zamkniętych i rozwiązania 7 zadań otwartych krok po kroku. Arkusz za 45 punktów. type: exam_walkthrough tags: matura 2021, rozwiązania, arkusz, matematyka, maj 2021, COVID author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-04-12T06:00:00+00:00 updated: 2026-10-04T20:45:38.231+00:00 --- # Matura maj 2021 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania zadań krok po kroku ## O arkuszu Matura maj 2021 Egzamin maturalny z matematyki na poziomie podstawowym odbył się 5 maja 2021 roku. Był to arkusz formuły 2015, przygotowany według wymagań egzaminacyjnych, które na maturę 2021 ograniczono w związku z pandemią COVID-19. Dlatego arkusz był krótszy niż w latach wcześniejszych: miał 45 punktów zamiast 50 i 7 zadań otwartych zamiast 9 (dla porównania [matura z maja 2020](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz) miała 25 zadań zamkniętych, 9 otwartych i 50 punktów). Arkusz składał się z 35 zadań: - 28 zadań zamkniętych (numery 1-28), każde za 1 punkt, - 7 zadań otwartych (numery 29-35): sześć za 2 punkty i zadanie 35 za 5 punktów. Na rozwiązanie było 170 minut. Do zdania matury potrzeba co najmniej 30% punktów, a 30% z 45 to 13,5, więc w praktyce 14 punktów. Zadania zamknięte idą w arkuszu działami: najpierw liczby, procenty i logarytmy, potem nierówności i funkcje, ciągi, trygonometria z planimetrią, a na końcu geometria analityczna, prawdopodobieństwo, kombinatoryka i statystyka. Najliczniejsza jest planimetria. Wśród zadań otwartych są nierówność kwadratowa, dowód nierówności, funkcja liniowa, równanie wymierne, trójkąty podobne, prawdopodobieństwo i zadanie z geometrii analitycznej za 5 punktów. ## Zadania zamknięte (1-28) - omówienie Zadania zamknięte omawiamy w grupach, w kolejności z arkusza. W każdej grupie jedno lub dwa zadania rozwiązujemy krok po kroku, a odpowiedzi do wszystkich 28 zadań zamkniętych są w tabeli na końcu tej części. ### Liczby rzeczywiste, procenty i logarytmy (zadania 1-5) Zadanie 1 sprawdza działania na potęgach, zadanie 2 obliczenia procentowe, zadanie 3 część wspólną dwóch przedziałów liczbowych, zadanie 4 własności [logarytmów](/topics/logarytmy), a zadanie 5 zamianę ułamka okresowego na zwykły. #### Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) **Treść:** Suma \(2\log\sqrt{10}+\log 10^3\) jest równa **Rozwiązanie:** Logarytm bez zapisanej podstawy ma podstawę \(10\). Współczynnik przed logarytmem wchodzi do wykładnika liczby logarytmowanej: $$2\log\sqrt{10}=\log\left(\sqrt{10}\right)^2=\log 10=1$$ Drugi składnik liczymy wprost: \(\log 10^3=3\). Zatem $$2\log\sqrt{10}+\log 10^3=1+3=4$$ **Odpowiedź:** C. \(4\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-04) #### Zadanie 5 - Ułamek okresowy (1 pkt) **Treść:** Różnica \(0,(3)-\frac{23}{33}\) jest równa **Rozwiązanie:** Ułamek okresowy \(0,(3)\) to \(\frac{1}{3}\), czyli \(\frac{11}{33}\). Odejmujemy ułamki o wspólnym mianowniku: $$\frac{11}{33}-\frac{23}{33}=-\frac{12}{33}=-\frac{4}{11}$$ Odpowiedź A jest pułapką: \(-\frac{4}{11}=-0,(36)\), a nie \(-0,(39)\). **Odpowiedź:** D. \(-\frac{4}{11}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-05) ### Nierówności, układy równań i funkcje (zadania 6-12) Zadanie 6 to nierówność liniowa, w której przy dzieleniu przez liczbę ujemną trzeba odwrócić znak. Zadanie 7 sprawdza własności funkcji \(g(x)=f(x)-2\) na podstawie wykresu \(f\), zadanie 8 geometryczną interpretację układu równań, zadanie 9 warunek równoległości prostych, zadanie 10 obliczanie wartości funkcji wymiernej, zadanie 11 punkt na wykresie funkcji wykładniczej, a zadanie 12 monotoniczność [funkcji kwadratowej](/topics/funkcja-kwadratowa) zapisanej w postaci iloczynowej. #### Zadanie 9 - Proste równoległe (1 pkt) **Treść:** Proste o równaniach \(y=3x-5\) oraz \(y=\frac{m-3}{2}x+\frac{9}{2}\) są równoległe, gdy **Rozwiązanie:** Proste \(y=ax+b\) są równoległe, gdy mają ten sam współczynnik kierunkowy \(a\). Pierwsza prosta ma \(a=3\), więc $$\frac{m-3}{2}=3 \quad\Rightarrow\quad m-3=6 \quad\Rightarrow\quad m=9$$ Wyrazy wolne są różne (\(-5\) i \(\frac{9}{2}\)), więc proste nie pokrywają się. **Odpowiedź:** D. \(m=9\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-09) #### Zadanie 12 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) **Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \(f(x) = -2(x + 1)(x - 3)\) jest malejąca w przedziale **Rozwiązanie:** Z postaci iloczynowej odczytujemy miejsca zerowe: \(x=-1\) oraz \(x=3\). Współczynnik przy \(x^2\) to \(-2\), więc ramiona paraboli są skierowane w dół. Pierwsza współrzędna wierzchołka leży w połowie między miejscami zerowymi: $$p=\frac{-1+3}{2}=1$$ Parabola z ramionami w dół rośnie do wierzchołka i maleje za nim, więc funkcja jest malejąca w przedziale \(\langle 1,+\infty)\). **Odpowiedź:** A. \(\langle 1,+\infty)\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-12) ### Ciągi (zadania 13-15) Trzy zadania z [ciągów](/topics/ciagi): ciąg geometryczny z niewiadomą w środkowym wyrazie (13), liczba niedodatnich wyrazów ciągu danego wzorem (14) i własność wyrazów ciągu arytmetycznego (15). #### Zadanie 14 - Ciąg określony wzorem (1 pkt) **Treść:** Ciąg \((b_n)\) jest określony wzorem \(b_n=3n^2-25n\) dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Liczba niedodatnich wyrazów ciągu \((b_n)\) jest równa **Rozwiązanie:** Wyraz jest niedodatni, gdy \(b_n\le 0\): $$3n^2-25n\le 0 \quad\Leftrightarrow\quad n(3n-25)\le 0$$ Dla \(n\ge 1\) czynnik \(n\) jest dodatni, więc musi zachodzić \(3n-25\le 0\), czyli \(n\le\frac{25}{3}=8\frac{1}{3}\). Warunek spełniają \(n=1,2,\ldots,8\), czyli osiem wyrazów. Sprawdzenie: \(b_8=192-200=-8\), a \(b_9=243-225=18\). **Odpowiedź:** D. \(8\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-14) #### Zadanie 15 - Ciąg arytmetyczny (1 pkt) **Treść:** Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Trzeci i piąty wyraz ciągu spełniają warunek \(a_3+a_5=58\). Wtedy czwarty wyraz tego ciągu jest równy **Rozwiązanie:** Zapisujemy oba wyrazy przez \(a_1\) i różnicę \(r\): $$a_3+a_5=(a_1+2r)+(a_1+4r)=2a_1+6r=58$$ Po podzieleniu przez \(2\) dostajemy \(a_1+3r=29\), a to jest właśnie \(a_4\). Ten sam wynik daje własność ciągu arytmetycznego: wyraz środkowy jest średnią sąsiednich, \(a_4=\frac{a_3+a_5}{2}=29\). **Odpowiedź:** B. \(29\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-15) ### Trygonometria i planimetria (zadania 16-24) To najliczniejsza grupa w arkuszu. Zadanie 16 to przekształcenie wyrażenia trygonometrycznego, a zadanie 18 pole trójkąta prostokątnego obliczane z tangensa kąta. Pozostałe zadania to [planimetria](/topics/planimetria): kąt między styczną a cięciwą okręgu (17), obwód trójkąta równobocznego o danym polu (19), twierdzenie Pitagorasa w trójkącie podzielonym wysokością (20), kąty w okręgu (21), kąty w równoległoboku (22), liczba przekątnych wielokąta (23) i pola kół (24). #### Zadanie 16 - Trygonometria (1 pkt) **Treść:** Dla każdego kąta ostrego \(\alpha \) iloczyn \(\frac{\cos \alpha }{1-\sin^{2} \alpha }\cdot \frac{1-\cos^{2} \alpha }{\sin \alpha }\) jest równy **Rozwiązanie:** Z jedynki trygonometrycznej \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\) wynika, że \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\) oraz \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\). Podstawiamy: $$\frac{\cos\alpha}{\cos^2\alpha}\cdot\frac{\sin^2\alpha}{\sin\alpha}=\frac{1}{\cos\alpha}\cdot\sin\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha$$ **Odpowiedź:** B. \(\operatorname{tg}\alpha\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-16) #### Zadanie 23 - Przekątne wielokąta (1 pkt) **Treść:** W każdym \(n\)-kącie wypukłym (\(n\ge 3\)) liczba przekątnych jest równa \(\frac{n(n-3)}{2}\). Wielokątem wypukłym, w którym liczba przekątnych jest o \(25\) większa od liczby boków, jest **Rozwiązanie:** Wielokąt o \(n\) bokach ma \(\frac{n(n-3)}{2}\) przekątnych. Szukamy \(n\), dla którego przekątnych jest o \(25\) więcej niż boków: $$\frac{n(n-3)}{2}=n+25 \quad\Rightarrow\quad n^2-3n=2n+50 \quad\Rightarrow\quad n^2-5n-50=0$$ \(\Delta=25+200=225\), \(\sqrt{\Delta}=15\), więc \(n=\frac{5+15}{2}=10\) albo \(n=\frac{5-15}{2}=-5\). Liczba boków jest dodatnia, zostaje \(n=10\). Sprawdzenie: dziesięciokąt ma \(\frac{10\cdot 7}{2}=35\) przekątnych, a \(35=10+25\). **Odpowiedź:** B. dziesięciokąt [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-23) ### Geometria analityczna, prawdopodobieństwo, kombinatoryka i statystyka (zadania 25-28) Zadanie 25 to pole kwadratu, gdy znamy wierzchołek i punkt przecięcia przekątnych. Zadanie 26 to prawdopodobieństwo wylosowania końców przekątnej sześcianu, zadanie 27 zliczanie liczb trzycyfrowych z cyframi z danego zbioru, a zadanie 28 [mediana](/jak-obliczyc-mediane-tabela-liczebnosci-mediana-z-niewiadoma-matura) z niewiadomą. #### Zadanie 26 - Prawdopodobieństwo (1 pkt) **Treść:** Z wierzchołków sześcianu \(ABCDEFGH\) losujemy jednocześnie dwa różne wierzchołki. Prawdopodobieństwo tego, że wierzchołki te będą końcami przekątnej sześcianu \(ABCDEFGH\), jest równe **Rozwiązanie:** Losujemy jednocześnie dwa z ośmiu wierzchołków, więc kolejność się nie liczy: $$|\Omega|=\binom{8}{2}=\frac{8\cdot 7}{2}=28$$ Przekątna sześcianu łączy wierzchołki położone symetrycznie względem środka bryły. Sześcian ma 4 takie przekątne (przekątnych ścian nie liczymy), więc \(|A|=4\) i $$P(A)=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}$$ **Odpowiedź:** A. \(\frac{1}{7}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-26) #### Zadanie 28 - Mediana (1 pkt) **Treść:** Sześciowyrazowy ciąg liczbowy \((1,\ 2,\ 2x,\ x+2,\ 5,\ 6)\) jest niemalejący. Mediana wyrazów tego ciągu jest równa \(4\). Wynika stąd, że **Rozwiązanie:** Ciąg jest już uporządkowany niemalejąco i ma sześć wyrazów, więc mediana to średnia arytmetyczna trzeciego i czwartego wyrazu: $$\frac{2x+(x+2)}{2}=4 \quad\Rightarrow\quad 3x+2=8 \quad\Rightarrow\quad x=2$$ Sprawdzenie: dla \(x=2\) ciąg to \((1, 2, 4, 4, 5, 6)\), jest niemalejący, a jego mediana to \(\frac{4+4}{2}=4\). Więcej o średniej i medianie znajdziesz w dziale [statystyka](/topics/statystyka). **Odpowiedź:** C. \(x=2\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-28) ### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych Każdą odpowiedź sprawdziliśmy z rozwiązaniem zadania. Numer zadania prowadzi do jego interaktywnej wersji. | Zadanie | Odpowiedź | |---------|-----------| | [1](/task/matura-maj-2021-01) | B. \(10^{16}\) | | [2](/task/matura-maj-2021-02) | B. \(52\) | | [3](/task/matura-maj-2021-03) | A. \(6\) | | [4](/task/matura-maj-2021-04) | C. \(4\) | | [5](/task/matura-maj-2021-05) | D. \(-\frac{4}{11}\) | | [6](/task/matura-maj-2021-06) | B. \((-\infty, 0\rangle\) | | [7](/task/matura-maj-2021-07) | A. Liczba \(f(2)+g(2)\) jest równa \(-2\). | | [8](/task/matura-maj-2021-08) | A. układ \(y=x+1\) i \(y=-2x+4\) | | [9](/task/matura-maj-2021-09) | D. \(m=9\) | | [10](/task/matura-maj-2021-10) | B. \(-1\) | | [11](/task/matura-maj-2021-11) | C. \((0,-1)\) | | [12](/task/matura-maj-2021-12) | A. \(\langle 1,+\infty)\) | | [13](/task/matura-maj-2021-13) | D. \(x=\frac{5}{3}\) | | [14](/task/matura-maj-2021-14) | D. \(8\) | | [15](/task/matura-maj-2021-15) | B. \(29\) | | [16](/task/matura-maj-2021-16) | B. \(\operatorname{tg}\alpha\) | | [17](/task/matura-maj-2021-17) | C. \(40^\circ\) | | [18](/task/matura-maj-2021-18) | D. \(\frac{64}{5}\) | | [19](/task/matura-maj-2021-19) | A. \(4\) | | [20](/task/matura-maj-2021-20) | A. \(\sqrt{34}\) | | [21](/task/matura-maj-2021-21) | D. \(40^\circ\) | | [22](/task/matura-maj-2021-22) | B. \(70^\circ\) | | [23](/task/matura-maj-2021-23) | B. dziesięciokąt | | [24](/task/matura-maj-2021-24) | C. \(\sqrt{5}\) | | [25](/task/matura-maj-2021-25) | B. \(136\) | | [26](/task/matura-maj-2021-26) | A. \(\frac{1}{7}\) | | [27](/task/matura-maj-2021-27) | B. \(60\) | | [28](/task/matura-maj-2021-28) | C. \(x=2\) | ## Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe Zadania 29-34 były warte po 2 punkty, zadanie 35 5 punktów, razem 17 z 45 punktów arkusza. W zadaniach otwartych egzaminator ocenia tok rozumowania, dlatego w rozwiązaniach zapisujemy każdy krok. ### Zadanie 29 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(x^2-5x\le 14\) **Rozwiązanie:** Przenosimy wszystko na lewą stronę: \(x^2-5x-14\le 0\). $$\Delta=(-5)^2-4\cdot 1\cdot(-14)=25+56=81,\qquad \sqrt{\Delta}=9$$ $$x_1=\frac{5-9}{2}=-2,\qquad x_2=\frac{5+9}{2}=7$$ Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc parabola ma ramiona skierowane w górę i przyjmuje wartości niedodatnie między miejscami zerowymi, razem z nimi. **Odpowiedź:** \(x\in\langle -2, 7\rangle\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2021-29) ### Zadanie 30 - Dowód nierówności (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \(a, b\) i \(c\) takich, że \(a\lt b\), spełniona jest nierówność \(\frac{a}{b}\lt \frac{a+c}{b+c}\) **Rozwiązanie:** Liczby \(b\) i \(b+c\) są dodatnie, więc mnożymy obie strony nierówności przez \(b(b+c)>0\) i znak się nie zmienia: $$a(b+c)0\) i \(a-b0\) i \(a