---
route: /matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz
title: Matura maj 2020 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku
description: Matura maj 2020 z matematyki (poziom podstawowy): klucz odpowiedzi do 25 zadań zamkniętych i rozwiązania krok po kroku wszystkich 9 zadań otwartych.
type: exam_walkthrough
tags: matura 2020, rozwiązania, arkusz, matematyka, poziom podstawowy
author: Filip Maszota
author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota
published: 2026-04-10T06:00:00+00:00
updated: 2026-10-04T20:45:38.231+00:00
---
# Matura maj 2020 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku
## O arkuszu Matura maj 2020

To arkusz z matematyki na poziomie podstawowym z terminu głównego 2020 roku, w formule 2015. Z powodu pandemii COVID-19 egzamin odbył się wyjątkowo w czerwcu, a nie w maju. Arkusz miał 34 zadania: 25 zamkniętych (numery 1-25, każde za 1 punkt) i 9 otwartych (numery 26-34). Zadania 26-31 były warte po 2 punkty, zadania 32 i 33 po 4 punkty, a zadanie 34 - 5 punktów. Razem do zdobycia było 50 punktów, a na rozwiązanie arkusza 170 minut. Do zdania matury wystarczało 30% punktów, czyli 15.

Zadania sprawdzały następujące działy (w nawiasach numery zadań):
- liczby, potęgi, logarytmy i procenty (1-4),
- równania i nierówności (5, 6, 10, 26, 27) oraz dowód nierówności (28),
- funkcje i proste, w tym [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) (7-9, 11-13, 16),
- ciągi arytmetyczne i geometryczne (14, 15, 33),
- trygonometria (19, 31),
- geometria analityczna (18, 20, 32),
- planimetria (17, 22, 29) i stereometria (24, 25, 34),
- kombinatoryka, statystyka i rachunek prawdopodobieństwa (21, 23, 30).

Poniżej znajdziesz omówienie zadań zamkniętych z kluczem odpowiedzi do wszystkich 25, a potem pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych. Pod każdym rozwiązaniem jest link do zadania na Sprawnej Maturze, gdzie możesz rozwiązać je samodzielnie.

## Zadania zamknięte (1-25) - omówienie szczegółowe

Zadania zamknięte dawały połowę punktów arkusza: 25 z 50. Dzielimy je na grupy tematyczne i w każdej rozwiązujemy krok po kroku jedno lub dwa zadania. Odpowiedzi do wszystkich 25 zadań są w tabeli na końcu tej części.

### Zadania 1-6: liczby, potęgi, logarytmy, procenty i równania

W tej grupie są: wartość wyrażenia dla \(x = \sqrt{3} + 3\) (zadanie 1), działania na potęgach (2), logarytm z pierwiastka (3), obniżka i podwyżka ceny (4), nierówność liniowa (5) oraz suma rozwiązań równania w postaci iloczynowej (6).

#### Zadanie 1 - wartość wyrażenia z pierwiastkiem (1 pkt)

**Treść:** Wartość wyrażenia \(x^2-6x+9\) dla \(x=\sqrt{3}+3\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Wyrażenie to kwadrat różnicy: \(x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2\). Dla \(x = \sqrt{3} + 3\) mamy \(x - 3 = \sqrt{3}\), więc:

$$(x - 3)^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$$

Ten sam wynik daje bezpośrednie podstawienie: \(3 + 6\sqrt{3} + 9 - 6\sqrt{3} - 18 + 9 = 3\).

**Odpowiedź:** B. \(3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-01)

#### Zadanie 4 - powrót do ceny po obniżce (1 pkt)

**Treść:** Cenę \(x\) pewnego towaru obniżono o \(20\%\) i otrzymano cenę \(y\). Aby przywrócić cenę \(x\), nową cenę \(y\) należy podnieść o

**Rozwiązanie:**

Po obniżce \(y = 0{,}8x\). Podwyżka musi wynieść \(x - 0{,}8x = 0{,}2x\), ale procent liczymy od nowej, niższej ceny \(y\):

$$\frac{0{,}2x}{0{,}8x} = \frac{1}{4} = 25\%$$

Podwyżka o \(20\%\) (odpowiedź B) dałaby tylko \(0{,}8x \cdot 1{,}2 = 0{,}96x\).

**Odpowiedź:** A. \(25\%\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-04)

### Zadania 7-13: funkcje, równania i proste

Zadania 7, 8 i 9 dotyczą tej samej funkcji kwadratowej \(f(x) = a(x-1)(x-3)\) o wierzchołku \(W = (2, 1)\). W zadaniu 8 jej największa wartość w przedziale \(\langle 1, 4 \rangle\) to \(1\), a w zadaniu 9 oś symetrii paraboli ma równanie \(x = 2\). Dalej są: równanie \(x(x-2) = (x-2)^2\) (10), znaki współczynników funkcji liniowej odczytane z wykresu (11), wartość funkcji \(f(x) = 4^{-x} + 1\) (12) i proste równoległe (13).

#### Zadanie 7 - współczynnik a funkcji kwadratowej (1 pkt)

**Treść:** Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=a(x-1)(x-3)\). Na rysunku przedstawiono fragment paraboli będącej wykresem tej funkcji. Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (2,1)\). Współczynnik \(a\) we wzorze funkcji \(f\) jest równy

**Rozwiązanie:**

Wierzchołek należy do wykresu, więc jego współrzędne spełniają wzór funkcji:

$$1 = a(2 - 1)(2 - 3) = a \cdot 1 \cdot (-1) = -a \quad\Rightarrow\quad a = -1$$

Ujemne \(a\) zgadza się z tym, że wierzchołek leży nad osią \(Ox\), a miejsca zerowe to \(1\) i \(3\): ramiona paraboli są skierowane w dół.

**Odpowiedź:** D. \(-1\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-07)

#### Zadanie 10 - równanie z kwadratem dwumianu (1 pkt)

**Treść:** Równanie \(x(x-2)=(x-2)^2\) w zbiorze liczb rzeczywistych

**Rozwiązanie:**

Rozpisujemy prawą stronę ze wzoru skróconego mnożenia:

$$x^2 - 2x = x^2 - 4x + 4 \quad\Rightarrow\quad 2x = 4 \quad\Rightarrow\quad x = 2$$

Sprawdzenie: dla \(x = 2\) obie strony są równe \(0\). Nie wolno tu dzielić obu stron przez \(x - 2\): to wyrażenie jest zerem właśnie dla \(x = 2\), więc po takim dzieleniu znika jedyne rozwiązanie i wychodzi sprzeczność \(x = x - 2\) (odpowiedź A).

**Odpowiedź:** B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x = 2\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-10)

### Zadania 14-16: ciągi i funkcja liniowa

Dwa zadania z [ciągów](/topics/ciagi): różnica wyrazów ciągu \(a_n = 2n^2\) (14) i suma czterech wyrazów ciągu arytmetycznego (15). Zadanie 16 dotyczy punktu na wykresie funkcji liniowej.

#### Zadanie 15 - suma wyrazów ciągu arytmetycznego (1 pkt)

**Treść:** W ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\ge1\), czwarty wyraz jest równy \(3\), a różnica tego ciągu jest równa \(5\). Suma \(a_1+a_2+a_3+a_4\) jest równa

**Rozwiązanie:**

Cofamy się od czwartego wyrazu, odejmując różnicę \(r = 5\):

$$a_3 = 3 - 5 = -2, \qquad a_2 = -2 - 5 = -7, \qquad a_1 = -7 - 5 = -12$$

$$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = -12 - 7 - 2 + 3 = -18$$

To samo daje wzór na sumę: \(S_4 = \frac{a_1 + a_4}{2} \cdot 4 = \frac{-12 + 3}{2} \cdot 4 = -18\).

**Odpowiedź:** C. \(-18\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-15)

#### Zadanie 16 - punkt na wykresie funkcji liniowej (1 pkt)

**Treść:** Punkt \(A=\left(\frac{1}{3},-1\right)\) należy do wykresu funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x)=3x+b\). Wynika stąd, że

**Rozwiązanie:**

Podstawiamy współrzędne punktu \(A\) do wzoru funkcji:

$$-1 = 3 \cdot \frac{1}{3} + b = 1 + b \quad\Rightarrow\quad b = -2$$

**Odpowiedź:** D. \(b=-2\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-16)

### Zadania 17-20: planimetria, geometria analityczna i trygonometria

Kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg (17), prosta przez dwa punkty (18), wyrażenie trygonometryczne w trójkącie prostokątnym (19) i symetria względem początku układu współrzędnych (20). Więcej zadań znajdziesz w działach [trygonometria](/topics/trygonometria) i [geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna).

#### Zadanie 18 - prosta przez dwa punkty (1 pkt)

**Treść:** Prosta przechodząca przez punkty \(A=(3,-2)\) i \(B=(-1,6)\) jest określona równaniem

**Rozwiązanie:**

Współczynnik kierunkowy to iloraz przyrostów:

$$a = \frac{6 - (-2)}{-1 - 3} = \frac{8}{-4} = -2$$

Wyraz wolny z punktu \(A\): \(-2 = -2 \cdot 3 + b\), więc \(b = 4\). Sprawdzenie punktem \(B\): \(-2 \cdot (-1) + 4 = 6\).

**Odpowiedź:** A. \(y=-2x+4\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-18)

#### Zadanie 20 - symetria względem początku układu (1 pkt)

**Treść:** Punkt \(B\) jest obrazem punktu \(A=(-3,5)\) w symetrii względem początku układu współrzędnych. Długość odcinka \(AB\) jest równa

**Rozwiązanie:**

W symetrii względem początku układu obie współrzędne zmieniają znak, więc \(B = (3, -5)\). Ze wzoru na długość odcinka:

$$|AB| = \sqrt{(3 - (-3))^2 + (-5 - 5)^2} = \sqrt{36 + 100} = \sqrt{136} = 2\sqrt{34}$$

**Odpowiedź:** A. \(2\sqrt{34}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-20)

### Zadania 21-23: kombinatoryka, planimetria i statystyka

Liczby dwucyfrowe o niepowtarzających się cyfrach (21), pole czworokąta wyciętego z prostokąta (22, dział [planimetria](/topics/planimetria)) i mediana dwóch zestawów danych (23).

#### Zadanie 21 - liczby dwucyfrowe bez powtórzeń (1 pkt)

**Treść:** Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych utworzonych z cyfr: \(1, 3, 5, 7, 9\), w których cyfry się nie powtarzają?

**Rozwiązanie:**

Cyfrę dziesiątek wybieramy na \(5\) sposobów. Cyfrę jedności na \(4\) sposoby, bo nie może powtórzyć cyfry dziesiątek. Zera wśród cyfr nie ma, więc każdy wybór daje liczbę dwucyfrową. Z reguły mnożenia:

$$5 \cdot 4 = 20$$

**Odpowiedź:** C. \(20\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-21)

#### Zadanie 23 - mediana dwóch zestawów danych (1 pkt)

**Treść:** Cztery liczby: \(2, 3, a, 8\), tworzące zestaw danych, są uporządkowane rosnąco. Mediana tego zestawu czterech danych jest równa medianie zestawu pięciu danych: \(5, 3, 6, 8, 2\). Zatem

**Rozwiązanie:**

Porządkujemy drugi zestaw: \(2, 3, 5, 6, 8\). Danych jest pięć, więc medianą jest środkowa liczba, czyli \(5\).

Pierwszy zestaw jest już uporządkowany i ma cztery liczby, więc jego mediana to średnia dwóch środkowych:

$$\frac{3 + a}{2} = 5 \quad\Rightarrow\quad a = 7$$

Liczba \(7\) leży między \(3\) a \(8\), więc zestaw \(2, 3, 7, 8\) rzeczywiście jest uporządkowany rosnąco.

**Odpowiedź:** A. \(a=7\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-23)

### Zadania 24-25: stereometria

Sześcian o danej przekątnej (24) i bryła złożona z dwóch stożków o wspólnej podstawie (25).

#### Zadanie 24 - pole powierzchni sześcianu (1 pkt)

**Treść:** Przekątna sześcianu ma długość \(4\sqrt{3}\). Pole powierzchni tego sześcianu jest równe

**Rozwiązanie:**

Przekątna sześcianu o krawędzi \(a\) ma długość \(a\sqrt{3}\), więc \(a = 4\). Powierzchnię tworzy sześć kwadratów:

$$P = 6a^2 = 6 \cdot 16 = 96$$

**Odpowiedź:** A. \(96\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-24)

#### Zadanie 25 - dwa stożki o wspólnej podstawie (1 pkt)

**Treść:** Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami w taki sposób jak na rysunku. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\). Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12 \text{cm}^3\). Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa

**Rozwiązanie:**

Objętość stożka to \(V = \frac{1}{3}P_p \cdot H\). Oba stożki mają tę samą podstawę, więc ich objętości są w tym samym stosunku co wysokości, czyli \(3 : 2\). Wyższy stożek ma objętość:

$$V_d = \frac{3}{2} \cdot 12 = 18 \ \text{cm}^3$$

Cała bryła: \(12 + 18 = 30 \ \text{cm}^3\).

**Odpowiedź:** B. \(30 \ \text{cm}^3\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-25)

### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych

| Zadanie | Odpowiedź |
|---|---|
| [1](/task/matura-maj-2020-01) | B. \(3\) |
| [2](/task/matura-maj-2020-02) | C. \(2^{30}\cdot 3^{20}\) |
| [3](/task/matura-maj-2020-03) | D. \(\frac{3}{2}\) |
| [4](/task/matura-maj-2020-04) | A. \(25\%\) |
| [5](/task/matura-maj-2020-05) | A. \(\left(-\frac{5}{3};+\infty\right)\) |
| [6](/task/matura-maj-2020-06) | B. \(1\) |
| [7](/task/matura-maj-2020-07) | D. \(-1\) |
| [8](/task/matura-maj-2020-08) | C. \(1\) |
| [9](/task/matura-maj-2020-09) | B. \(x=2\) |
| [10](/task/matura-maj-2020-10) | B. ma dokładnie jedno rozwiązanie: \(x = 2\) |
| [11](/task/matura-maj-2020-11) | D. \(a\cdot b\lt0\) |
| [12](/task/matura-maj-2020-12) | B. \(\frac{3}{2}\) |
| [13](/task/matura-maj-2020-13) | C. \(m=\frac{11}{4}\) |
| [14](/task/matura-maj-2020-14) | D. \(18\) |
| [15](/task/matura-maj-2020-15) | C. \(-18\) |
| [16](/task/matura-maj-2020-16) | D. \(b=-2\) |
| [17](/task/matura-maj-2020-17) | D. \(31^\circ\) |
| [18](/task/matura-maj-2020-18) | A. \(y=-2x+4\) |
| [19](/task/matura-maj-2020-19) | B. \(\cos \alpha\) |
| [20](/task/matura-maj-2020-20) | A. \(2\sqrt{34}\) |
| [21](/task/matura-maj-2020-21) | C. \(20\) |
| [22](/task/matura-maj-2020-22) | C. \(54\) |
| [23](/task/matura-maj-2020-23) | A. \(a=7\) |
| [24](/task/matura-maj-2020-24) | A. \(96\) |
| [25](/task/matura-maj-2020-25) | B. \(30 \ \text{cm}^3\) |

## Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe

Zadania otwarte dawały drugą połowę punktów arkusza: sześć zadań za 2 punkty, dwa za 4 punkty i jedno za 5. Każde wymagało pełnego zapisu rozwiązania.

### Zadanie 26 - nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż nierówność \(2(x-1)(x+3)\gt x-1\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Przenosimy wszystko na lewą stronę i porządkujemy:

$$2x^2 + 4x - 6 - x + 1 \gt 0 \quad\Rightarrow\quad 2x^2 + 3x - 5 \gt 0$$

Krok 2. Miejsca zerowe:

$$\Delta = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 9 + 40 = 49, \qquad \sqrt{\Delta} = 7$$

$$x_1 = \frac{-3 - 7}{4} = -\frac{5}{2}, \qquad x_2 = \frac{-3 + 7}{4} = 1$$

Szybciej: \(2(x-1)(x+3) - (x-1) = (x-1)(2x+5)\), co daje od razu te same miejsca zerowe. Nie wolno natomiast dzielić obu stron przez \(x - 1\), bo znak tego wyrażenia zależy od \(x\).

Krok 3. Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, ramiona paraboli idą w górę, więc wartości dodatnie są na zewnątrz miejsc zerowych.

**Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, -\frac{5}{2}\right) \cup (1, +\infty)\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-26)

### Zadanie 27 - równanie w postaci iloczynowej (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rozwiąż równanie \((x^2-1)(x^2-2x)=0\).

**Rozwiązanie:**

Iloczyn jest zerem, gdy zeruje się któryś z czynników.

Pierwszy czynnik: \(x^2 - 1 = 0\), więc \(x^2 = 1\), czyli \(x = 1\) lub \(x = -1\).

Drugi czynnik: \(x^2 - 2x = x(x - 2) = 0\), więc \(x = 0\) lub \(x = 2\).

**Odpowiedź:** \(x = -1\), \(x = 0\), \(x = 1\) lub \(x = 2\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-27)

### Zadanie 28 - dowód nierówności (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Wykaż, że dla każdych dwóch różnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(a(a-2b)+2b^2\gt 0\).

**Rozwiązanie:**

Rozpisujemy lewą stronę i dzielimy \(2b^2\) na \(b^2 + b^2\):

$$a(a - 2b) + 2b^2 = a^2 - 2ab + b^2 + b^2 = (a - b)^2 + b^2$$

Liczby \(a\) i \(b\) są różne, więc \(a - b \neq 0\) i \((a - b)^2 > 0\). Do tego \(b^2 \ge 0\). Suma liczby dodatniej i nieujemnej jest dodatnia. Bez założenia \(a \neq b\) dostalibyśmy tylko nierówność nieostrą, bo dla \(a = b = 0\) wyrażenie jest równe \(0\).

**Odpowiedź:** \(a(a - 2b) + 2b^2 = (a - b)^2 + b^2 > 0\) dla \(a \neq b\), co należało wykazać.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-28)

### Zadanie 29 - trójkąt równoboczny, dowód (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny. Punkt \(E\) leży na wysokości \(CD\) tego trójkąta oraz \(|CE|=\frac{3}{4}|CD|\). Punkt \(F\) leży na boku \(BC\) i odcinek \(EF\) jest prostopadły do \(BC\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(|CF|=\frac{9}{16}|CB|\)

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Niech \(a\) będzie długością boku trójkąta. Wysokość trójkąta równobocznego to \(|CD| = \frac{a\sqrt{3}}{2}\), więc:

$$|CE| = \frac{3}{4} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{3a\sqrt{3}}{8}$$

Krok 2. Trójkąty \(CEF\) i \(CBD\) są prostokątne (kąty proste przy \(F\) i \(D\)) i mają wspólny kąt przy wierzchołku \(C\). Mają więc równe kąty, czyli są podobne.

Krok 3. Z podobieństwa:

$$\frac{|CF|}{|CD|} = \frac{|CE|}{|CB|} \quad\Rightarrow\quad |CF| = \frac{|CE| \cdot |CD|}{|CB|} = \frac{\frac{3a\sqrt{3}}{8} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{9a}{16}$$

Bok \(CB\) ma długość \(a\), więc \(|CF| = \frac{9}{16}|CB|\).

**Odpowiedź:** \(|CF| = \frac{9}{16}|CB|\), co należało wykazać.

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-29)

### Zadanie 30 - prawdopodobieństwo, dwa rzuty kostką (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego oczka do sześciu oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że co najmniej jeden raz wypadnie ścianka z pięcioma oczkami.

**Rozwiązanie:**

Wszystkich wyników dwóch rzutów jest \(|\Omega| = 6 \cdot 6 = 36\).

Zdarzenie \(A\) to pary z piątką w pierwszym rzucie (\(6\) par) albo w drugim (\(6\) par). Para \((5, 5)\) jest w obu grupach, więc liczymy ją raz: \(|A| = 6 + 6 - 1 = 11\). To samo daje zdarzenie przeciwne: bez żadnej piątki jest \(5 \cdot 5 = 25\) par, a \(36 - 25 = 11\).

$$P(A) = \frac{11}{36}$$

**Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{11}{36}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-30)

### Zadanie 31 - tangens kąta ostrego (otwarte, 2 pkt)

**Treść:** Kąt \(\alpha\) jest ostry i spełnia warunek \(\frac{2\sin \alpha +3\cos \alpha }{\cos \alpha }=4\). Oblicz tangens kąta \(\alpha \).

**Rozwiązanie:**

Kąt jest ostry, więc \(\cos\alpha \neq 0\) i możemy pomnożyć obie strony przez \(\cos\alpha\):

$$2\sin\alpha + 3\cos\alpha = 4\cos\alpha \quad\Rightarrow\quad 2\sin\alpha = \cos\alpha$$

Dzielimy przez \(\cos\alpha\) i korzystamy z \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\):

$$2\operatorname{tg}\alpha = 1 \quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}$$

**Odpowiedź:** \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{1}{2}\)

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-31)

### Zadanie 32 - kwadrat w układzie współrzędnych (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Dany jest kwadrat \(ABCD\), w którym \(A=\left(5,-\frac{5}{3}\right)\). Przekątna \(BD\) tego kwadratu jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{4}{3}x\). Oblicz współrzędne punktu przecięcia przekątnych \(AC\) i \(BD\) oraz pole kwadratu \(ABCD\).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Przekątne kwadratu są prostopadłe, więc prosta \(AC\) ma współczynnik kierunkowy \(-\frac{3}{4}\), bo \(\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -1\).

Krok 2. Prosta \(AC\) przechodzi przez \(A\):

$$-\frac{5}{3} = -\frac{3}{4} \cdot 5 + b \quad\Rightarrow\quad b = -\frac{20}{12} + \frac{45}{12} = \frac{25}{12}, \qquad AC\colon\ y = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12}$$

Krok 3. Punkt przecięcia przekątnych:

$$\frac{4}{3}x = -\frac{3}{4}x + \frac{25}{12} \quad \Big/ \cdot 12 \quad\Rightarrow\quad 16x = -9x + 25 \quad\Rightarrow\quad x = 1, \qquad y = \frac{4}{3}$$

Krok 4. Przekątne kwadratu dzielą się na połowy, więc \(|AC| = 2|AS|\):

$$|AS| = \sqrt{(1 - 5)^2 + \left(\frac{4}{3} + \frac{5}{3}\right)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5, \qquad |AC| = 10$$

Krok 5. Pole kwadratu z przekątnej: \(P = \frac{1}{2}|AC|^2 = \frac{1}{2} \cdot 100 = 50\).

**Odpowiedź:** punkt przecięcia przekątnych \(S = \left(1, \frac{4}{3}\right)\), pole kwadratu \(50\).

[Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2020-32)

### Zadanie 33 - iloraz ciągu geometrycznego (otwarte, 4 pkt)

**Treść:** Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \((a_n)\), określonego dla \(n\ge1\), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \(6a_1-5a_2+a_3=0\). Oblicz iloraz \(q\) tego ciągu należący do przedziału \(\langle 2\sqrt{2}, 3\sqrt{2} \rangle \).

**Rozwiązanie:**

Krok 1. Zapisujemy wyrazy przez \(a_1\) i \(q\): \(a_2 = a_1 q\), \(a_3 = a_1 q^2\). Wtedy:

$$6a_1 - 5a_1 q + a_1 q^2 = 0 \quad\Rightarrow\quad a_1(q^2 - 5q + 6) = 0$$

Krok 2. Wyrazy są dodatnie, więc \(a_1 \neq 0\) i zostaje równanie kwadratowe:

$$q^2 - 5q + 6 = 0, \qquad \Delta = 25 - 24 = 1, \qquad q = 2 \ \text{lub} \ q = 3$$

Krok 3. Sprawdzamy przedział, porównując kwadraty liczb dodatnich: \((2\sqrt{2})^2 = 8\) i \((3\sqrt{2})^2 = 18\). Liczba \(2\) ma kwadrat \(4  0\). W zadaniu 29 trzeba wskazać, dlaczego trójkąty są podobne, zanim ułożysz proporcję.

### Błąd 6: rachunki na ułamkach

W zadaniu 32 współrzędna \(-\frac{5}{3}\) i współczynnik \(-\frac{3}{4}\) prowadzą do równania z ułamkami. Najpewniej sprowadzić je do wspólnego mianownika \(12\) albo pomnożyć całe równanie przez \(12\), zamiast liczyć na przybliżeniach dziesiętnych.

### Błąd 7: pomylone funkcje trygonometryczne

W zadaniu 19 cosinus jednego kąta ostrego trójkąta prostokątnego to sinus drugiego: \(\sin\beta = \cos\alpha\), więc \(2\cos\alpha - \sin\beta = \cos\alpha\). W zadaniu 31 kluczowe jest zauważenie, że \(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \operatorname{tg}\alpha\).

### Błąd 8: podwójnie policzone zdarzenie

W zadaniu 30 para \((5, 5)\) ma piątkę w obu rzutach. Kto doda \(6\) par z piątką w pierwszym rzucie i \(6\) z piątką w drugim, policzy ją dwa razy i dostanie \(\frac{12}{36}\) zamiast \(\frac{11}{36}\). Zdarzenie przeciwne (\(36 - 25\)) chroni przed tym błędem.

## Jak przygotować się na podobny arkusz

Poniżej działy, które sprawdzał arkusz z 2020 roku, z numerami zadań do powtórki.

### Systematyczne ćwiczenie funkcji kwadratowej

[Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) wróciła w tym arkuszu w zadaniach 7-9 i w nierówności z zadania 26. Powinieneś umieć:
- przechodzić między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową,
- wyznaczać wierzchołek paraboli i oś symetrii,
- znajdować największą i najmniejszą wartość w przedziale,
- rozwiązywać nierówności kwadratowe.

Ćwicz zadania z tego zakresu regularnie, najlepiej codziennie.

### Pogłębianie wiedzy o ciągach

[Ciągi](/topics/ciagi) arytmetyczne i geometryczne pojawiły się w zadaniach 14, 15 i 33:
- znaj i stosuj wzory na \(n\)-ty wyraz,
- umiej obliczać sumy początkowych wyrazów,
- zapisuj kolejne wyrazy przez \(a_1\) i \(r\) albo \(a_1\) i \(q\), jak w zadaniu 33.

### Opanowanie trygonometrii

[Trygonometria](/topics/trygonometria) była w zadaniach 19 i 31:
- zapamiętaj wartości sinusa, cosinusa i tangensa dla kątów \(30^\circ\), \(45^\circ\) i \(60^\circ\),
- znaj definicje funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym,
- stosuj tożsamości \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\) i \(\operatorname{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\).

### Rysowanie i analiza geometrii analitycznej

Układ współrzędnych ułatwia rozwiązywanie wielu zadań z [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna). W tym arkuszu były to zadania 18, 20 i 32:
- obliczanie długości odcinka,
- równanie prostej przez dwa punkty,
- proste prostopadłe i punkt przecięcia dwóch prostych.

### Nie zapominaj o planimetrii

Geometria płaska ([planimetria](/topics/planimetria)) to zadania 17, 22 i 29:
- kąt środkowy i kąt wpisany w okrąg,
- pola wielokątów,
- podobieństwo trójkątów, twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie Talesa.

### Rozwiązywanie zadań maturalnych z lat poprzednich

Najlepszy sposób na przygotowanie to rozwiązywanie całych arkuszy z poprzednich lat. Po arkuszu z 2020 roku sprawdź również [matura maj 2021 rozwiązania](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz) i [matura maj 2022 rozwiązania](/matura-maj-2022-rozwiazania-arkusz).

Dla bardziej systematycznego ćwiczenia korzystaj z [losowego zadania maturalnego](/random) dostępnego na sprawnamatura.pl - każde losowanie przygotowuje Cię na niespodziewane zadania.

### Zalecane podejście do nauki

1. **Systematyczność** - ucz się 30-45 minut dziennie, a nie w ostatniej chwili
2. **Zróżnicowanie** - zmieniaj rodzaje zadań, żeby ćwiczyć rozpoznawanie, którą metodę wybrać
3. **Analiza błędów** - po każdym teście sprawdź, gdzie robiłeś błędy
4. **Wyjaśnianie koncepcji** - tłumaczenie komuś innemu dobrze utrwala wiedzę
5. **Czasomierz** - ćwicz rozwiązywanie zadań pod presją czasu; ten arkusz trwał 170 minut, a obecna matura podstawowa trwa 180 minut

## Podsumowanie

Arkusz z 2020 roku sprawdzał materiał z całej podstawy: od potęg, logarytmów i procentów, przez funkcje, równania i ciągi, po geometrię płaską, analityczną i przestrzenną oraz prawdopodobieństwo. Najwięcej punktów dawały trzy ostatnie zadania otwarte: kwadrat w układzie współrzędnych, ciąg geometryczny i ostrosłup, razem 13 z 50.

Kluczem do sukcesu było:
- systematyczne ćwiczenie podstawowych pojęć,
- rozumienie, a nie tylko zapamiętywanie procedur,
- praktykowanie rozwiązywania zadań otwartych z pełnym uzasadnieniem,
- regularny kontakt z zadaniami z poprzednich lat.

Jeśli przygotowujesz się do matury w 2027 roku, pamiętaj, że ten arkusz jest w formule 2015, a Ty zdajesz w formule 2023: inny jest czas, układ i część typów zadań. Same umiejętności z tego arkusza, takie jak równania, funkcje, ciągi i geometria, nadal się przydają.

Matematyka to kwestia praktyki. Im więcej zadań rozwiążesz, tym pewniej poczujesz się na egzaminie.

Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)