--- route: /matura-maj-2019-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2019 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku description: Matura maj 2019 z matematyki (poziom podstawowy): klucz odpowiedzi do 25 zadań zamkniętych i rozwiązania krok po kroku wszystkich 9 zadań otwartych. type: exam_walkthrough tags: matura 2019, rozwiązania, arkusz, matematyka, poziom podstawowy author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2026-04-10T06:00:00+00:00 updated: 2026-10-04T20:45:38.229+00:00 --- # Matura maj 2019 matematyka - klucz odpowiedzi i rozwiązania krok po kroku ## O arkuszu Matura maj 2019 Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2019 roku była egzaminem w formule 2015. Arkusz miał 34 zadania: 25 zamkniętych (numery 1-25, każde za 1 punkt) i 9 otwartych (numery 26-34). Zadania 26-31 były warte po 2 punkty, zadania 32 i 33 po 4 punkty, a zadanie 34 - 5 punktów. Razem do zdobycia było 50 punktów, a na rozwiązanie arkusza 170 minut. Do zdania matury wystarczało 30% punktów, czyli 15. Zadania otwarte dotyczyły kolejno: równania wielomianowego (26), nierówności kwadratowej (27), dowodu nierówności (28), dowodu o kątach w okręgu (29), prawdopodobieństwa (30), trapezu prostokątnego (31), ciągu arytmetycznego (32), symetralnej odcinka w układzie współrzędnych (33) i ostrosłupa prawidłowego czworokątnego (34). Poniżej znajdziesz omówienie zadań zamkniętych z kluczem odpowiedzi do wszystkich 25, a potem pełne rozwiązania wszystkich zadań otwartych. Pod każdym rozwiązaniem jest link do zadania na Sprawnej Maturze, gdzie możesz rozwiązać je samodzielnie. ## Zadania zamknięte (1-25) - omówienie Zadania zamknięte dzielimy na grupy tematyczne. W każdej grupie rozwiązujemy krok po kroku jedno lub dwa zadania. Odpowiedzi do wszystkich 25 zadań są w tabeli na końcu tej części. ### Liczby, procenty i równania (zadania 1-6) Arkusz otwierają: logarytm (zadanie 1), liczba cyfr iloczynu potęg (2), procenty i punkty procentowe (3), równanie z ułamkami (4), układ równań z parametrem (5) i równanie wymierne (6). #### Zadanie 3 - procenty i punkty procentowe (1 pkt) **Treść:** W pewnym banku prowizja od udzielanych kredytów hipotecznych przez cały styczeń była równa \(4\%\). Na początku lutego ten bank obniżył wysokość prowizji od wszystkich kredytów o \(1\) punkt procentowy. Oznacza to, że prowizja od kredytów hipotecznych w tym banku zmniejszyła się o **Rozwiązanie:** Prowizja spadła z \(4\%\) do \(3\%\), czyli o \(1\) punkt procentowy. Pytanie dotyczy jednak tego, o ile procent zmalała sama prowizja, więc różnicę dzielimy przez starą wartość: $$\frac{4\% - 3\%}{4\%} = \frac{1}{4} = 25\%$$ Odpowiedź A (\(1\%\)) myli punkt procentowy z procentem. **Odpowiedź:** B. \(25\%\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-03) #### Zadanie 6 - równanie wymierne (1 pkt) **Treść:** Równanie \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3} = 0\) **Rozwiązanie:** Mianownik nie może być zerem, więc \(x \neq 3\). Ułamek jest równy zeru wtedy, gdy zeruje się licznik: $$(x-1)(x+2) = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 1 \ \text{lub} \ x = -2$$ Obie liczby są różne od \(3\), więc równanie ma dwa rozwiązania. Liczba \(3\) z odpowiedzi A zeruje mianownik, a nie licznik, dlatego rozwiązaniem nie jest. **Odpowiedź:** C. ma dwa różne rozwiązania: \(x = 1\), \(x = -2\). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-06) ### Funkcja liniowa i funkcja kwadratowa (zadania 7-10) Zadanie 7 dotyczy miejsca zerowego funkcji liniowej. Zadania 8, 9 i 10 pytają o tę samą funkcję kwadratową \(f\): jej wierzchołek to \(W = (2, -4)\), a miejsca zerowe to \(0\) i \(4\). W zadaniu 9 największa wartość \(f\) w przedziale \(\langle 1, 4 \rangle\) to \(0\) (dla \(x = 4\)), a w zadaniu 10 osią symetrii wykresu jest prosta \(x = 2\). Więcej o paraboli znajdziesz w dziale [funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa). #### Zadanie 7 - miejsce zerowe funkcji liniowej (1 pkt) **Treść:** Miejscem zerowym funkcji liniowej \(f\) określonej wzorem \(f(x) = 3(x + 1) - 6\sqrt{3}\) jest liczba **Rozwiązanie:** Przyrównujemy wzór funkcji do zera i dzielimy obie strony przez \(3\): $$3(x + 1) - 6\sqrt{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x + 1 - 2\sqrt{3} = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 2\sqrt{3} - 1$$ **Odpowiedź:** C. \(2\sqrt{3} - 1\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-07) #### Zadanie 8 - zbiór wartości funkcji kwadratowej (1 pkt) **Treść:** Na rysunku przedstawiony jest fragment paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej \(f\). Wierzchołkiem tej paraboli jest punkt \(W = (2, -4)\). Liczby \(0\) i \(4\) to miejsca zerowe funkcji \(f\). Zbiorem wartości funkcji \(f\) jest przedział **Rozwiązanie:** Funkcja ma dwa miejsca zerowe, a wierzchołek ma drugą współrzędną \(-4\), czyli leży pod osią \(Ox\). Taka parabola ma ramiona skierowane w górę, więc w wierzchołku funkcja osiąga wartość najmniejszą, a największej wartości nie ma. Zbiór wartości odczytujemy z osi \(Oy\): od \(-4\) do \(+\infty\). **Odpowiedź:** C. \(\langle -4, +\infty)\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-08) ### Ciągi i trygonometria (zadania 11-13) Dwa zadania z [ciągów](/topics/ciagi): suma ośmiu wyrazów ciągu arytmetycznego (11) i iloraz ciągu geometrycznego (12). Zadanie 13 to cosinus kąta ostrego wyznaczony z sinusa. #### Zadanie 12 - iloraz ciągu geometrycznego (1 pkt) **Treść:** Dany jest ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla \(n\ge1\). Wszystkie wyrazy tego ciągu są dodatnie i spełniony jest warunek \(\frac{a_5}{a_3} = \frac{1}{9}\). Iloraz tego ciągu jest równy **Rozwiązanie:** Piąty wyraz powstaje z trzeciego przez dwukrotne pomnożenie przez iloraz: \(a_5 = a_3 \cdot q^2\). Stąd: $$\frac{a_5}{a_3} = q^2 = \frac{1}{9} \quad\Rightarrow\quad q = \frac{1}{3} \ \text{lub} \ q = -\frac{1}{3}$$ Przy ujemnym ilorazie wyrazy ciągu zmieniałyby znak na przemian, a z treści wszystkie są dodatnie. Zostaje \(q = \frac{1}{3}\). **Odpowiedź:** A. \(\frac{1}{3}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-12) #### Zadanie 13 - cosinus z sinusa (1 pkt) **Treść:** Sinus kąta ostrego \(\alpha\) jest równy \(\frac{4}{5}\). Wtedy **Rozwiązanie:** Z jedynki trygonometrycznej: $$\cos^2\alpha = 1 - \sin^2\alpha = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$ Kąt jest ostry, więc cosinus jest dodatni: \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\). Odpowiedź C (\(\frac{9}{25}\)) to kwadrat cosinusa, a nie cosinus. **Odpowiedź:** D. \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-13) ### Planimetria (zadania 14-16) Trzy zadania z [planimetrii](/topics/planimetria): kąty wpisane w okrąg opisany na trójkącie równobocznym (14), styczna do dwóch okręgów (15) i pole rombu (16). #### Zadanie 15 - styczna do dwóch okręgów (1 pkt) **Treść:** Dane są dwa okręgi: okrąg o środku w punkcie \(O\) i promieniu \(5\) oraz okrąg o środku w punkcie \(P\) i promieniu \(3\). Odcinek \(OP\) ma długość \(16\). Prosta \(AB\) jest styczna do tych okręgów w punktach \(A\) i \(B\). Ponadto prosta \(AB\) przecina odcinek \(OP\) w punkcie \(K\) (zobacz rysunek). Wtedy **Rozwiązanie:** Promień poprowadzony do punktu styczności jest prostopadły do stycznej, więc trójkąty \(OAK\) i \(PBK\) są prostokątne. Kąty \(AKO\) i \(BKP\) są wierzchołkowe, czyli równe. Trójkąty mają więc równe kąty i są podobne, a stosunek odpowiednich boków jest stały: $$\frac{|OA|}{|OK|} = \frac{|PB|}{|PK|} \quad\Rightarrow\quad \frac{5}{|OK|} = \frac{3}{|PK|} \quad\Rightarrow\quad |PK| = \frac{3}{5}|OK|$$ Punkt \(K\) leży na odcinku \(OP\), więc \(|OK| + |PK| = 16\): $$|OK| + \frac{3}{5}|OK| = 16 \quad\Rightarrow\quad \frac{8}{5}|OK| = 16 \quad\Rightarrow\quad |OK| = 10$$ **Odpowiedź:** C. \(|OK| = 10\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-15) #### Zadanie 16 - pole rombu (1 pkt) **Treść:** Dany jest romb o boku długości \(4\) i kącie rozwartym \(150^\circ\). Pole tego rombu jest równe **Rozwiązanie:** Pole rombu o boku \(a\) i kącie \(\alpha\) to \(P = a^2 \sin\alpha\). Ze wzoru redukcyjnego \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\), więc: $$P = 4^2 \cdot \frac{1}{2} = 8$$ **Odpowiedź:** A. \(8\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-16) ### Proste i punkty w układzie współrzędnych (zadania 17-20) Proste równoległe (17), prosta prostopadła przechodząca przez dany punkt (18), obraz prostej w symetrii względem początku układu (19) i długość odcinka (20). #### Zadanie 17 - proste równoległe (1 pkt) **Treść:** Proste o równaniach \(y = (2m + 2)x - 2019\) oraz \(y = (3m - 3)x + 2019\) są równoległe, gdy **Rozwiązanie:** Proste równoległe mają równe współczynniki kierunkowe: $$2m + 2 = 3m - 3 \quad\Rightarrow\quad m = 5$$ Wyrazy wolne \(-2019\) i \(2019\) są różne, więc dla \(m = 5\) proste są równoległe i się nie pokrywają. **Odpowiedź:** D. \(m = 5\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-17) #### Zadanie 20 - okrąg wpisany w kwadrat (1 pkt) **Treść:** Dane są punkty o współrzędnych \(A = (-2, 5)\) oraz \(B = (4, -1)\). Średnica okręgu wpisanego w kwadrat o boku \(AB\) jest równa **Rozwiązanie:** Okrąg wpisany w kwadrat dotyka wszystkich czterech boków, więc jego średnica jest równa długości boku. Wystarczy policzyć \(|AB|\): $$|AB| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-1 - 5)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$$ **Odpowiedź:** C. \(6\sqrt{2}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-20) ### Stereometria (zadania 21-22) Dwa zadania ze [stereometrii](/topics/stereometria): przekątna prostopadłościanu i porównanie pól powierzchni kuli i stożka. #### Zadanie 21 - przekątna prostopadłościanu (1 pkt) **Treść:** Pudełko w kształcie prostopadłościanu ma wymiary \(5\) dm x \(3\) dm x \(2\) dm (zobacz rysunek). Przekątna \(KL\) tego prostopadłościanu jest - z dokładnością do \(0,01\) dm - równa **Rozwiązanie:** Przekątna podstawy, wysokość i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny. Dwa razy twierdzenie Pitagorasa daje wzór na przekątną prostopadłościanu: $$|KL|^2 = 5^2 + 3^2 + 2^2 = 25 + 9 + 4 = 38, \qquad |KL| = \sqrt{38} \approx 6{,}16$$ Sprawdzenie zaokrąglenia: \(6{,}16^2 = 37{,}9456\), a \(6{,}17^2 = 38{,}0689\), więc \(\sqrt{38}\) leży bliżej \(6{,}16\). **Odpowiedź:** B. \(6{,}16\) dm [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-21) #### Zadanie 22 - kula i stożek (1 pkt) **Treść:** Promień kuli i promień podstawy stożka są równe \(4\). Pole powierzchni kuli jest równe polu powierzchni całkowitej stożka. Długość tworzącej stożka jest równa **Rozwiązanie:** Pole powierzchni kuli to \(4\pi r^2\), a pole powierzchni całkowitej stożka to \(\pi r(r + l)\). Przyrównujemy je dla \(r = 4\) i dzielimy przez \(\pi\): $$4 \cdot 4^2 = 4(4 + l) \quad\Rightarrow\quad 64 = 16 + 4l \quad\Rightarrow\quad l = 12$$ **Odpowiedź:** D. \(12\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-22) ### Statystyka, kombinatoryka i prawdopodobieństwo (zadania 23-25) Mediana zestawu z niewiadomą (23), liczenie liczb pięciocyfrowych (24) i losowanie kuli z pudełka (25). Więcej zadań tego typu znajdziesz w dziale [prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo). #### Zadanie 23 - mediana z niewiadomą (1 pkt) **Treść:** Mediana zestawu sześciu danych liczb: \(4\), \(8\), \(21\), \(a\), \(16\), \(25\), jest równa \(14\). Zatem **Rozwiązanie:** Najpierw porządkujemy znane liczby: \(4, 8, 16, 21, 25\). Danych jest sześć, więc mediana to średnia trzeciej i czwartej liczby po uporządkowaniu. Gdyby \(a \le 8\), w środku stałyby \(8\) i \(16\), a mediana wyniosłaby \(12\). Gdyby \(a \ge 21\), w środku stałyby \(16\) i \(21\), a mediana wyniosłaby \(18{,}5\). Liczba \(a\) musi więc stać w środku obok \(16\): $$\frac{a + 16}{2} = 14 \quad\Rightarrow\quad a = 12$$ Sprawdzenie: \(4, 8, 12, 16, 21, 25\) ma medianę \(\frac{12 + 16}{2} = 14\). **Odpowiedź:** B. \(a = 12\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-23) #### Zadanie 24 - liczby pięciocyfrowe z cyfr 0, 2 i 5 (1 pkt) **Treść:** Wszystkich liczb pięciocyfrowych, w których występują wyłącznie cyfry \(0\), \(2\), \(5\), jest **Rozwiązanie:** Liczba pięciocyfrowa nie może zaczynać się od zera, więc na pierwszym miejscu stoi \(2\) albo \(5\). Na każdym z pozostałych czterech miejsc może stać dowolna z trzech cyfr. Z reguły mnożenia: $$2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 162$$ Odpowiedź D (\(243 = 3^5\)) liczy też ciągi zaczynające się od zera, które liczbami pięciocyfrowymi nie są. **Odpowiedź:** C. \(162\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-24) ### Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych | Zadanie | Odpowiedź | |---|---| | [1](/task/matura-maj-2019-01) | A. \(2\) | | [2](/task/matura-maj-2019-02) | B. \(15\) cyfr | | [3](/task/matura-maj-2019-03) | B. \(25\%\) | | [4](/task/matura-maj-2019-04) | D. \(a = \frac{20}{11}\) | | [5](/task/matura-maj-2019-05) | B. \(a = 1\) | | [6](/task/matura-maj-2019-06) | C. \(x = 1\), \(x = -2\) | | [7](/task/matura-maj-2019-07) | C. \(2\sqrt{3} - 1\) | | [8](/task/matura-maj-2019-08) | C. \(\langle -4, +\infty)\) | | [9](/task/matura-maj-2019-09) | D. \(0\) | | [10](/task/matura-maj-2019-10) | D. \(x = 2\) | | [11](/task/matura-maj-2019-11) | A. \(-168\) | | [12](/task/matura-maj-2019-12) | A. \(\frac{1}{3}\) | | [13](/task/matura-maj-2019-13) | D. \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\) | | [14](/task/matura-maj-2019-14) | A. \(\alpha = 30^\circ\) | | [15](/task/matura-maj-2019-15) | C. \(\lvert OK \rvert = 10\) | | [16](/task/matura-maj-2019-16) | A. \(8\) | | [17](/task/matura-maj-2019-17) | D. \(m = 5\) | | [18](/task/matura-maj-2019-18) | B. \(a = \frac{1}{4}\) i \(b = -\frac{1}{8}\) | | [19](/task/matura-maj-2019-19) | C. \(g(x) = -x - 4\) | | [20](/task/matura-maj-2019-20) | C. \(6\sqrt{2}\) | | [21](/task/matura-maj-2019-21) | B. \(6{,}16\) dm | | [22](/task/matura-maj-2019-22) | D. \(12\) | | [23](/task/matura-maj-2019-23) | B. \(a = 12\) | | [24](/task/matura-maj-2019-24) | C. \(162\) | | [25](/task/matura-maj-2019-25) | A. \(\frac{1}{8}\) | ## Zadania otwarte - rozwiązania szczegółowe Zadania 26-34 wymagały pełnego zapisu rozwiązania. Przy każdym podajemy liczbę punktów z arkusza. ### Zadanie 26 - równanie wielomianowe (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \((x^3 - 8)(x^2 - 4x - 5) = 0\). **Rozwiązanie:** Iloczyn jest równy zeru, gdy zeruje się któryś z czynników. Pierwszy czynnik: \(x^3 - 8 = 0\), czyli \(x^3 = 8\) i \(x = 2\). Drugi czynnik: \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Liczymy wyróżnik, uważając na znak przy \(c = -5\): $$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36, \qquad \sqrt{\Delta} = 6$$ $$x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1, \qquad x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$$ **Odpowiedź:** \(x = -1\), \(x = 2\) lub \(x = 5\). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-26) ### Zadanie 27 - nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(3x^2 - 16x + 16\gt 0\). **Rozwiązanie:** Miejsca zerowe trójmianu: $$\Delta = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 256 - 192 = 64, \qquad \sqrt{\Delta} = 8$$ $$x_1 = \frac{16 - 8}{6} = \frac{4}{3}, \qquad x_2 = \frac{16 + 8}{6} = 4$$ Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni, więc ramiona paraboli idą w górę. Wartości dodatnie trójmian przyjmuje na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi, a same miejsca zerowe odpadają, bo nierówność jest ostra. **Odpowiedź:** \(x \in \left(-\infty, \frac{4}{3}\right) \cup (4, +\infty)\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-27) ### Zadanie 28 - dowód nierówności (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(a\) i \(b\) prawdziwa jest nierówność \(3a^2 - 2ab + 3b^2 \ge 0\). **Rozwiązanie:** Z wyrażenia wydzielamy kwadrat różnicy \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\): $$3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + 2a^2 + 2b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2$$ Każdy z trzech składników jest nieujemny, bo kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, a mnożenie przez \(2\) tego nie zmienia. Suma liczb nieujemnych jest nieujemna. **Odpowiedź:** \(3a^2 - 2ab + 3b^2 = (a - b)^2 + 2a^2 + 2b^2 \ge 0\) dla dowolnych \(a\) i \(b\), co należało wykazać. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-28) ### Zadanie 29 - kąty w okręgu, dowód (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Dany jest okrąg o środku w punkcie \(S\) i promieniu \(r\). Na przedłużeniu cięciwy \(AB\) poza punkt \(B\) odłożono odcinek \(BC\) równy promieniowi danego okręgu. Przez punkty \(C\) i \(S\) poprowadzono prostą. Prosta \(CS\) przecina dany okrąg w punktach \(D\) i \(E\) (zobacz rysunek). Wykaż, że jeżeli miara kąta \(ACS\) jest równa \(\alpha\), to miara kąta \(ASD\) jest równa \(3\alpha\). **Rozwiązanie:** Krok 1. W trójkącie \(SBC\) mamy \(|SB| = r\) (promień) i \(|BC| = r\) (z treści). Trójkąt jest równoramienny, więc kąty przy podstawie \(SC\) są równe: \(\sphericalangle BSC = \sphericalangle BCS = \alpha\). Trzeci kąt to \(\sphericalangle SBC = 180^\circ - 2\alpha\). Krok 2. Punkty \(A\), \(B\), \(C\) leżą na jednej prostej, więc kąty \(ABS\) i \(SBC\) są przyległe: $$\sphericalangle ABS = 180^\circ - (180^\circ - 2\alpha) = 2\alpha$$ Krok 3. W trójkącie \(ABS\) boki \(SA\) i \(SB\) są promieniami, więc \(\sphericalangle SAB = \sphericalangle SBA = 2\alpha\), a stąd: $$\sphericalangle ASB = 180^\circ - 4\alpha$$ Krok 4. Punkty \(D\), \(S\), \(C\) leżą na jednej prostej, więc kąty \(ASD\), \(ASB\) i \(BSC\) dają razem kąt półpełny: $$\sphericalangle ASD = 180^\circ - (180^\circ - 4\alpha) - \alpha = 3\alpha$$ **Odpowiedź:** \(\sphericalangle ASD = 3\alpha\), co należało wykazać. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-29) ### Zadanie 30 - prawdopodobieństwo, losowanie ze zwracaniem (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Ze zbioru liczb \(\{1, 2, 3, 4, 5\}\) losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest liczbą nieparzystą. **Rozwiązanie:** Losujemy ze zwracaniem, więc wszystkich par jest \(|\Omega| = 5 \cdot 5 = 25\). Iloczyn dwóch liczb całkowitych jest nieparzysty tylko wtedy, gdy obie liczby są nieparzyste. Za każdym razem trzeba więc wylosować \(1\), \(3\) albo \(5\): \(|A| = 3 \cdot 3 = 9\). $$P(A) = \frac{9}{25}$$ **Odpowiedź:** \(P(A) = \frac{9}{25}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-30) ### Zadanie 31 - przekątna trapezu prostokątnego (otwarte, 2 pkt) **Treść:** W trapezie prostokątnym \(ABCD\) dłuższa podstawa \(AB\) ma długość \(8\). Przekątna \(AC\) tego trapezu ma długość \(4\) i tworzy z krótszą podstawą trapezu kąt o mierze \(30^\circ\) (zobacz rysunek). Oblicz długość przekątnej \(BD\) tego trapezu. **Rozwiązanie:** Ramię \(AD\) jest wysokością trapezu (kąty proste przy wierzchołkach \(A\) i \(D\)). Krok 1. Trójkąt \(ACD\) jest prostokątny, a kąt \(ACD\) ma \(30^\circ\). Bok \(AD\) leży naprzeciw tego kąta, więc jest połową przeciwprostokątnej \(AC\): $$|AD| = |AC| \cdot \sin 30^\circ = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ Krok 2. Trójkąt \(ABD\) jest prostokątny z kątem prostym przy \(A\), a \(BD\) to jego przeciwprostokątna: $$|BD|^2 = 8^2 + 2^2 = 68, \qquad |BD| = \sqrt{68} = 2\sqrt{17}$$ **Odpowiedź:** \(|BD| = 2\sqrt{17}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-31) ### Zadanie 32 - ciąg arytmetyczny (otwarte, 4 pkt) **Treść:** Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n\ge1\). Różnicą tego ciągu jest liczba \(r = -4\), a średnia arytmetyczna początkowych sześciu wyrazów tego ciągu: \(a_1\), \(a_2\), \(a_3\), \(a_4\), \(a_5\), \(a_6\), jest równa \(16\). Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu. Oblicz liczbę \(k\), dla której \(a_k = -78\). **Rozwiązanie:** Krok 1. Średnia sześciu wyrazów to \(16\), więc ich suma to \(6 \cdot 16 = 96\). Krok 2. Każdy wyraz zapisujemy przez \(a_1\) i \(r\): \(a_n = a_1 + (n-1)r\). Suma sześciu pierwszych wyrazów to: $$6a_1 + (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5)r = 6a_1 + 15r = 96$$ Dla \(r = -4\): $$6a_1 - 60 = 96 \quad\Rightarrow\quad 6a_1 = 156 \quad\Rightarrow\quad a_1 = 26$$ Krok 3. Szukamy \(k\), dla którego \(a_k = -78\): $$26 + (k - 1) \cdot (-4) = -78 \quad\Rightarrow\quad 30 - 4k = -78 \quad\Rightarrow\quad 4k = 108 \quad\Rightarrow\quad k = 27$$ **Odpowiedź:** \(a_1 = 26\), \(k = 27\). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-32) ### Zadanie 33 - symetralna odcinka (otwarte, 4 pkt) **Treść:** Dany jest punkt \(A = (-18, 10)\). Prosta o równaniu \(y = 3x\) jest symetralną odcinka \(AB\). Wyznacz współrzędne punktu \(B\). **Rozwiązanie:** Krok 1. Symetralna jest prostopadła do odcinka \(AB\) i przechodzi przez jego środek. Prosta \(AB\) ma więc współczynnik kierunkowy \(-\frac{1}{3}\), bo \(3 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) = -1\). Krok 2. Prosta \(AB\) przechodzi przez \(A = (-18, 10)\): $$10 = -\frac{1}{3} \cdot (-18) + b = 6 + b \quad\Rightarrow\quad b = 4, \qquad AB\colon\ y = -\frac{1}{3}x + 4$$ Krok 3. Środek \(S\) odcinka \(AB\) to punkt przecięcia prostej \(AB\) z symetralną: $$3x = -\frac{1}{3}x + 4 \quad\Rightarrow\quad 9x = -x + 12 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{6}{5}, \qquad y = 3 \cdot \frac{6}{5} = \frac{18}{5}$$ Krok 4. Ze wzoru na środek odcinka \(x_B = 2x_S - x_A\) i \(y_B = 2y_S - y_A\): $$x_B = \frac{12}{5} + 18 = \frac{102}{5}, \qquad y_B = \frac{36}{5} - 10 = -\frac{14}{5}$$ Sprawdzenie: \(-\frac{1}{3} \cdot \frac{102}{5} + 4 = -\frac{34}{5} + \frac{20}{5} = -\frac{14}{5}\), więc \(B\) leży na prostej \(AB\). **Odpowiedź:** punkt \(B = \left(\frac{102}{5}, -\frac{14}{5}\right)\), czyli \(\left(20\frac{2}{5}, -2\frac{4}{5}\right)\). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-33) ### Zadanie 34 - ostrosłup prawidłowy czworokątny (otwarte, 5 pkt) **Treść:** Długość krawędzi podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa \(6\). Pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa jest cztery razy większe od pola jego podstawy. Kąt \(\alpha\) jest kątem nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny podstawy (zobacz rysunek). Oblicz cosinus kąta \(\alpha\). **Rozwiązanie:** Krok 1. Pole podstawy to \(6^2 = 36\), więc pole całkowite to \(4 \cdot 36 = 144\), a pole czterech ścian bocznych to \(144 - 36 = 108\). Jedna ściana ma pole \(27\). Krok 2. Ściana boczna to trójkąt o podstawie \(6\), więc jego wysokość \(h\) spełnia: $$\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 27 \quad\Rightarrow\quad h = 9$$ Krok 3. Wysokość ostrosłupa \(H\), połowa krawędzi podstawy i wysokość ściany bocznej tworzą trójkąt prostokątny: $$H^2 + 3^2 = 9^2 \quad\Rightarrow\quad H^2 = 72 \quad\Rightarrow\quad H = 6\sqrt{2}$$ Krok 4. Kąt \(\alpha\) leży w trójkącie prostokątnym z wysokością \(H\), połową przekątnej podstawy \(\frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}\) i krawędzią boczną \(k\): $$k^2 = (3\sqrt{2})^2 + (6\sqrt{2})^2 = 18 + 72 = 90, \qquad k = 3\sqrt{10}$$ Krok 5. Cosinus to stosunek przyprostokątnej przy kącie do przeciwprostokątnej: $$\cos\alpha = \frac{3\sqrt{2}}{3\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ **Odpowiedź:** \(\cos\alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2019-34) ## Najczęstsze błędy w tym arkuszu ### Błąd 1: punkt procentowy zamiast procentu W zadaniu 3 prowizja spadła z \(4\%\) do \(3\%\). To spadek o \(1\) punkt procentowy, ale o \(25\%\) wartości prowizji. Odpowiedź A (\(1\%\)) to właśnie pomylenie tych dwóch pojęć. ### Błąd 2: rozwiązanie, które zeruje mianownik W zadaniu 6 liczba \(3\) zeruje mianownik ułamka \(\frac{(x-1)(x+2)}{x-3}\), więc nie należy do dziedziny równania. Zanim przyrównasz licznik do zera, zapisz założenie \(x \neq 3\) i na końcu sprawdź z nim wyniki. ### Błąd 3: mediana z nieuporządkowanych danych W zadaniu 23 liczby podano w kolejności \(4, 8, 21, a, 16, 25\). Kto weźmie dwie środkowe bez porządkowania, czyli \(21\) i \(a\), dostanie \(a = 7\) (odpowiedź A). Medianę liczy się zawsze po ustawieniu danych od najmniejszej do największej. ### Błąd 4: kwadrat cosinusa zamiast cosinusa W zadaniu 13 z jedynki trygonometrycznej wychodzi \(\cos^2\alpha = \frac{9}{25}\), a to jest jedna z odpowiedzi (C). Trzeba jeszcze wyciągnąć pierwiastek i wybrać znak: kąt ostry ma dodatni cosinus, więc \(\cos\alpha = \frac{3}{5}\). ### Błąd 5: zero na pierwszym miejscu W zadaniu 24 wynik \(3^5 = 243\) (odpowiedź D) liczy także zapisy w rodzaju \(02525\), a to nie są liczby pięciocyfrowe. Pierwszą cyfrę wybierasz tylko spośród \(2\) i \(5\). ### Błąd 6: znak w wyróżniku W zadaniu 26 przy \(x^2 - 4x - 5\) mamy \(c = -5\), więc \(\Delta = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Zgubiony minus daje \(\Delta = 16 - 20 = -4\) i fałszywy wniosek, że drugi czynnik nie ma miejsc zerowych. ### Błąd 7: zły przedział w nierówności W zadaniu 27 o wyniku decyduje znak współczynnika przy \(x^2\) i kierunek nierówności. Przy \(a = 3 > 0\) i znaku \(\gt\) rozwiązaniem są przedziały na zewnątrz miejsc zerowych, a nie przedział między nimi. W nierówności liniowej pułapka jest inna: dzielenie obu stron przez liczbę ujemną [wymaga odwrócenia znaku](/nierownosc-liniowa-jak-rozwiazac-najmniejsza-liczba-calkowita-matura#kiedy-zmienic-znak-nierownosci), na przykład z \(-2x -3\). ## Jak przygotować się na podobny arkusz ### 1. Systematyczne powtórzenie materiału Przygotowanie do matury wymaga systematycznego przerobienia każdego działu. Rekomendujemy: - Codziennie rozwiązywać 5-10 zadań z danego tematu - Robić notatki z popełnionych błędów - Sprawdzać rozwiązania krok po kroku Nasze narzędzie [losowe zadania](/random) pozwala na codzienne ćwiczenie z różnych działów. ### 2. Praktyka z arkuszami poprzednich lat Rozwiązanie kompletnych arkuszy maturalnych to najlepszy trening, bo uczy rozkładać siły na cały egzamin. Poza arkuszem z maja 2019 warto przerobić arkusze z innych lat: - [Matura maj 2020 - rozwiązania arkusza](/matura-maj-2020-rozwiazania-arkusz) - [Matura maj 2021 - rozwiązania arkusza](/matura-maj-2021-rozwiazania-arkusz) ### 3. Nauka od najczęstszych błędów Po rozwiązaniu każdego arkusza przeanalizuj błędy. Czy wynikają z: - Braku wiedzy teoretycznej? - Błędu rachunkowego? - Pominięcia warunku z treści zadania (jak dodatnie wyrazy ciągu w zadaniu 12 czy kąt ostry w zadaniu 13)? ### 4. Głębokie zrozumienie kluczowych działów W tym arkuszu kilka działów wracało w więcej niż jednym zadaniu: - [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) - zadania 8, 9, 10 i nierówność w zadaniu 27 - [Ciągi](/topics/ciagi) - zadania 11, 12 i 32 - [Planimetria](/topics/planimetria) - zadania 14, 15, 16, 29 i 31 - [Stereometria](/topics/stereometria) - zadania 21, 22 i 34 ### 5. Podzielenie czasu na zadania zamknięte i otwarte Arkusz z 2019 roku był przewidziany na 170 minut. Przy ćwiczeniu możesz przyjąć: - około 60-70 minut na 25 zadań zamkniętych, - około 100-110 minut na 9 zadań otwartych, które wymagają pełnego zapisu. Obecna matura podstawowa trwa 180 minut i ma inny układ zadań, więc traktuj ten podział jako punkt wyjścia. Nie spędzaj zbyt dużo czasu na jednym zadaniu: przejdź do następnego i wróć później. ### 6. Podnoszenie szybkości bez straty dokładności W ostatnich 2-3 tygodniach przed maturą rozwiązuj arkusze na czas. Ustaw limit równy czasowi prawdziwego egzaminu i trzymaj się go. ### 7. Psychika i pewność siebie Matura sprawdza nie tylko umiejętności, ale też radzenie sobie ze stresem. Punkty najłatwiej stracić, gdy: - w pośpiechu źle przeczytasz polecenie, - nie masz planu na kolejność zadań, - jeden błąd wytrąci cię z rytmu. Regularna praktyka buduje pewność siebie. Im więcej arkuszy rozwiążesz, tym mniej zaskoczy cię prawdziwa matura. ## Podsumowanie Arkusz z maja 2019 sprawdzał materiał z całej podstawy: od logarytmów i procentów, przez funkcje i ciągi, po planimetrię, stereometrię, statystykę i prawdopodobieństwo. Najwięcej punktów dawały trzy ostatnie zadania otwarte: ciąg arytmetyczny, symetralna odcinka i ostrosłup, razem 13 z 50. Kluczem do sukcesu na maturze jest: 1. **Zrozumienie** - nie tylko zapamiętywanie wzorów 2. **Praktyka** - rozwiązywanie dużej liczby zadań 3. **Analiza błędów** - nauka na własnych pomyłkach 4. **Systematyczność** - regularne przygotowania zamiast nauki na ostatnią chwilę Każde zadanie z tego arkusza możesz rozwiązać na Sprawnej Maturze, korzystając z linków przy rozwiązaniach i w kluczu odpowiedzi. Z tego samego rocznika mamy też rozwiązany arkusz z terminu dodatkowego: [matura czerwiec 2019](/matura-czerwiec-2019-rozwiazania-arkusz). Warto go przerobić zaraz po majowym - ten sam zakres, inne zadania. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)