--- route: /matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Pełne rozwiązania arkusza matura maj 2016 z matematyki. Wszystkie 34 zadania krok po kroku z wyjaśnieniami, rozkładem kategorii i wskazówkami egzaminacyjnymi. type: exam_walkthrough tags: matura 2016, matura maj 2016, rozwiązania matura 2016, arkusz maturalny 2016, matematyka matura 2016, zadania maturalne 2016, CKE 2016, matura podstawowa 2016 published: 2026-04-16T17:54:02.626+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:09.387774+00:00 --- # Matura maj 2016 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura maj 2016 Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2016 to jeden z pierwszych pełnych roczników nowej formuły egzaminu. Arkusz zawierał **34 zadania**: 25 zamkniętych i 9 otwartych, za łącznie **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. Rok 2016 był dopiero drugą sesją nowej matury (po 2015), więc CKE jeszcze kalibrowało trudność. Efekt? Arkusz jest dobrze wyważony i świetnie nadaje się do ćwiczeń - nie jest ani zbyt łatwy, ani zbyt trudny. Zadania zamknięte sprawdzają szeroką wiedzę z różnych działów, a otwarte wymagają solidnego toku rozumowania. Jeśli szukasz innych arkuszy do porównania, sprawdź [maturę z maja 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz) i [maturę z maja 2018](/matura-maj-2018-rozwiazania-arkusz). Razem z tym arkuszem dają dobry obraz, jak CKE stopniowo kształtowało nową formułę. Wszystkie arkusze znajdziesz w [kompletnej bazie arkuszy CKE 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Planimetria](/topics/planimetria) | 5 | 7 | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 5 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 3 | 3 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 6 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 5 | | Logarytmy | 2 | 3 | | Procenty | 2 | 3 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 2 | 2 | | Funkcja kwadratowa | 2 | 2 | | Funkcja liniowa | 1 | 1 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 | Największą grupę stanowi [planimetria](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia) - aż 5 zadań za 7 punktów. To zgodne z tradycją CKE, które od zawsze kładło nacisk na geometrię płaską. Na drugim miejscu [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) (3 zadania za 5 pkt) oraz [ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) (3 zadania za 4 pkt). Warto zwrócić uwagę na [stereometrię](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) - tylko 2 zadania, ale za aż 6 punktów (w tym jedno za 5 pkt). To typowy schemat: mało zadań, ale za dużą liczbę punktów. Kto umie stereometrię, zgarnia pokaźny bonus. ## Poziom trudności Arkusz majowy 2016 miał **zrównoważony poziom trudności**. Zadania zamknięte były przystępne, a prawdziwe wyzwania czekały w części otwartej - szczególnie w stereometrii za 5 punktów i prawdopodobieństwie za 4 punkty. **Łatwe (ok. 16 punktów)** - podstawowe potęgi, procenty, odczytywanie wykresu funkcji kwadratowej, proste zadania z planimetrii. To fundament, bez którego nie ma sensu podchodzić do matury. Jeśli masz braki, zacznij od [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania). **Średnie (ok. 20 punktów)** - logarytmy, ciągi geometryczne, trygonometria, geometria analityczna, nierówności kwadratowe. Solidna znajomość wzorów i umiejętność ich stosowania wystarczą do zdobycia większości tych punktów. Przeczytaj [jak rozwiązywać zadania otwarte na maturze](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka), żeby wycisnąć z tej grupy maksimum. **Trudne (ok. 14 punktów)** - stereometria ostrosłupa prawidłowego za 5 punktów, prawdopodobieństwo warunkowe za 4 punkty, logarytmiczna skala Richtera. To zadania, które odróżniają wynik 60% od 80%+. Ale nawet tu punkty cząstkowe są w zasięgu - samo narysowanie rysunku i wyznaczenie potrzebnych wielkości daje kilka punktów. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 2 - Logarytmy (1 pkt) **Treść:** Liczba \(\log_{\sqrt{2}}(2\sqrt{2})\) jest równa **Rozwiązanie:** Kluczowe to sprowadzić i podstawę, i argument logarytmu do potęg dwójki. To uniwersalna strategia przy [logarytmach](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) - gdy widzisz \(\sqrt{2}\) i \(2\sqrt{2}\), od razu myśl "potęgi dwójki": $$\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$$ $$2\sqrt{2} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{1 + \frac{1}{2}} = 2^{\frac{3}{2}}$$ Korzystamy ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu: \(\log_{a^k}(a^m) = \frac{m}{k}\): $$\log_{2^{1/2}}(2^{3/2}) = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}} = 3$$ **Odpowiedź:** \(3\) Typowe zadanie na zamianę podstawy. Najczęstszy błąd: zapominanie, że \(2\sqrt{2} = 2^{3/2}\), a nie \(2^{1/2}\). Pamiętaj o mnożeniu potęg o tej samej podstawie: dodajesz wykładniki. Więcej tego typu ćwiczeń na stronie [zadań z logarytmów](/topics/logarytmy). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-02) --- ### Zadanie 4 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Równość \((2\sqrt{2} - a)^2 = 17 - 12\sqrt{2}\) jest prawdziwa dla **Rozwiązanie:** Rozwijamy lewą stronę ze wzoru skróconego mnożenia \((x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\): $$(2\sqrt{2} - a)^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 2\sqrt{2} \cdot a + a^2 = 8 - 4a\sqrt{2} + a^2$$ Porównujemy z prawą stroną \(17 - 12\sqrt{2}\). Przyrównujemy części "z pierwiastkiem" i "bez pierwiastka": **Część z \(\sqrt{2}\):** \(-4a\sqrt{2} = -12\sqrt{2}\), więc \(4a = 12\), czyli \(a = 3\) **Sprawdzenie części bez pierwiastka:** \(8 + a^2 = 8 + 9 = 17\) \(\checkmark\) **Odpowiedź:** \(a = 3\) To klasyczne zadanie na porównywanie współczynników. Klucz: po rozwinięciu kwadratu dostajesz wyrażenie z \(\sqrt{2}\) i bez. Przyrównujesz osobno składniki wymierne i niewymierne. Ten schemat pojawia się na maturze regularnie - przećwicz go na [zadaniach z potęg i pierwiastków](/topics/potegi-i-pierwiastki). **Pułapka:** Niektórzy próbują zgadywać wartość \(a\) i podstawiać. To działa, ale jest wolniejsze i ryzykowne. Metoda porównywania współczynników jest pewniejsza. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-04) --- ### Zadanie 15 - Ciągi (1 pkt) **Treść:** Ciąg \((x,\; 2x+3,\; 4x+3)\) jest geometryczny. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy **Rozwiązanie:** W [ciągu geometrycznym](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi wyrazów skrajnych. To kluczowy warunek: $$(2x+3)^2 = x \cdot (4x+3)$$ Rozwijamy lewą stronę: $$4x^2 + 12x + 9 = 4x^2 + 3x$$ Wyrazy \(4x^2\) redukują się: $$12x + 9 = 3x$$ $$9x = -9$$ $$x = -1$$ **Sprawdzenie:** Ciąg to \((-1,\; 1,\; -1)\). Iloraz: \(q = \frac{1}{-1} = -1\). Sprawdzamy: \(1 \cdot (-1) = -1\) \(\checkmark\). To poprawny ciąg geometryczny z ilorazem \(q = -1\). **Odpowiedź:** Pierwszy wyraz jest równy \(-1\) Zwróć uwagę, że ciąg ma iloraz ujemny - wyrazy na przemian zmieniają znak. To zupełnie poprawne! CKE lubi sprawdzać, czy uczniowie wiedzą, że iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny. Jedyne ograniczenie: \(q \neq 0\) i żaden wyraz nie może być zerem. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-15) --- ### Zadanie 17 - Trygonometria (1 pkt) **Treść:** Kąt \(\alpha\) jest ostry i \(\tg\alpha = \frac{2}{3}\). Wtedy **Rozwiązanie:** Budujemy trójkąt prostokątny, w którym tangens kąta \(\alpha\) wynosi \(\frac{2}{3}\). Tangens to stosunek przyprostokątnej naprzeciwko kąta do przyprostokątnej przy kącie, więc: - Przyprostokątna naprzeciwko \(\alpha\): \(2\) - Przyprostokątna przy \(\alpha\): \(3\) Obliczamy przeciwprostokątną z [twierdzenia Pitagorasa](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia): $$c = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$ Teraz odczytujemy wartości funkcji [trygonometrycznych](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania): $$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{13}} = \frac{2\sqrt{13}}{13}$$ $$\cos\alpha = \frac{3}{\sqrt{13}} = \frac{3\sqrt{13}}{13}$$ **Odpowiedź:** \(\sin\alpha = \frac{2\sqrt{13}}{13}\), \(\cos\alpha = \frac{3\sqrt{13}}{13}\) Metoda "budowania trójkąta" jest najszybsza w zadaniach, gdzie dany jest tangens, a szukamy sinusa i cosinusa. Zamiast korzystać z jedynki trygonometrycznej i przekształcać wzory, rysujesz trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i bezpośrednio odczytujesz wyniki. Ten sam schemat pojawia się na maturze co roku. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-17) --- ### Zadanie 23 - Stereometria (1 pkt) **Treść:** Kąt rozwarcia stożka wynosi \(120°\), a tworząca ma długość \(l = 4\). Objętość tego stożka jest równa **Rozwiązanie:** Kąt rozwarcia stożka to kąt między dwiema tworzącymi w przekroju osiowym. Połowa tego kąta (kąt między tworzącą a osią) wynosi \(60°\). Z trójkąta prostokątnego utworzonego przez oś stożka, promień podstawy i tworzącą: $$r = l \cdot \sin 60° = 4 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$$ $$h = l \cdot \cos 60° = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$$ Objętość stożka: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot (2\sqrt{3})^2 \cdot 2 = \frac{1}{3}\pi \cdot 12 \cdot 2 = 8\pi$$ **Odpowiedź:** \(V = 8\pi\) Kluczowe to prawidłowe zrozumienie, czym jest "kąt rozwarcia" - to kąt w przekroju osiowym między dwiema tworzącymi, nie między tworzącą a osią. Połowa kąta rozwarcia to kąt, którego używasz w trójkącie prostokątnym. To najczęstszy błąd w zadaniach ze stożkiem. Przeczytaj nasz [przewodnik po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy), żeby przećwiczyć wszystkie typy brył. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-23) --- ### Zadanie 27 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 4x > 3x^2 - 6x\) **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Przenosimy wszystko na jedną stronę.** Odejmujemy prawą stronę od obu stron [nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania): $$2x^2 - 4x - 3x^2 + 6x > 0$$ $$-x^2 + 2x > 0$$ **Krok 2 - Mnożymy obie strony przez \(-1\)** (zmieniamy znak nierówności!): $$x^2 - 2x 0\) i \(x - 2 2\): oba czynniki dodatnie, iloczyn dodatni - nie spełnia **Odpowiedź:** \(x \in (0, 2)\) Pamiętaj o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu przez liczbę ujemną! To jeden z najczęstszych błędów na maturze. Schemat oceniania CKE wymaga pokazania tego kroku jawnie - pominięcie go kosztuje punkt. **Alternatywna metoda:** Możesz narysować parabolę \(y = x^2 - 2x\). Przecina oś OX w punktach 0 i 2, ramiona do góry (\(a = 1 > 0\)). Parabola jest poniżej osi OX na przedziale \((0, 2)\). Taki szkic wykresu to dodatkowe zabezpieczenie. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-27) --- ### Zadanie 31 - Logarytmy, skala Richtera (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Siła trzęsienia ziemi w skali Richtera dana jest wzorem \(R = \log\frac{A}{A_0}\), gdzie \(A\) to amplituda trzęsienia, a \(A_0\) to amplituda odniesienia. Ile razy większa jest amplituda trzęsienia o sile 8 w skali Richtera niż amplituda trzęsienia o sile 5? **Rozwiązanie:** Zapisujemy wzory dla obu trzęsień: $$R_1 = \log\frac{A_1}{A_0} = 8 \quad \text{oraz} \quad R_2 = \log\frac{A_2}{A_0} = 5$$ Odejmujemy stronami: $$R_1 - R_2 = \log\frac{A_1}{A_0} - \log\frac{A_2}{A_0}$$ Korzystamy z własności [logarytmów](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) (różnica logarytmów to logarytm ilorazu): $$8 - 5 = \log\left(\frac{A_1}{A_0} \cdot \frac{A_0}{A_2}\right) = \log\frac{A_1}{A_2}$$ $$3 = \log\frac{A_1}{A_2}$$ Przechodzimy z formy logarytmicznej do wykładniczej: $$\frac{A_1}{A_2} = 10^3 = 1000$$ **Odpowiedź:** Amplituda trzęsienia o sile 8 jest **1000 razy** większa niż amplituda trzęsienia o sile 5. Zadania ze skalą Richtera to klasyk maturalny. Kluczowa własność: \(\log a - \log b = \log\frac{a}{b}\). Dzięki niej \(A_0\) się skraca - nie musisz znać jego wartości. To samo dotyczy skali decybelowej i innych skal logarytmicznych. CKE regularnie daje zadania "z kontekstem" - nie daj się przestraszyć, chodzi tylko o własności logarytmów. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-31) --- ### Zadanie 33 - Stereometria, ostrosłup prawidłowy (otwarte, 5 pkt) **Treść:** Podstawą ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku \(a\). Wysokość SO tego ostrosłupa jest równa krawędzi bocznej. Oblicz objętość ostrosłupa i kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy. **Rozwiązanie:** To najtrudniejsze zadanie w arkuszu - za 5 punktów. Rozbijamy je na etapy. **Krok 1 - Dane i rysunek.** Ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCS: podstawa to trójkąt równoboczny o boku \(a\), punkt S to wierzchołek, O to środek podstawy (punkt przecięcia wysokości trójkąta równobocznego). Warunek: \(SO = SA = SB = SC\) (wysokość równa krawędzi bocznej). **Krok 2 - Wysokość trójkąta równobocznego i promień okręgu opisanego.** Wysokość trójkąta równobocznego: $$h_{\triangle} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$ Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym (odległość od środka do wierzchołka): $$R = \frac{2}{3} \cdot h_{\triangle} = \frac{2}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{3}$$ Więc \(OA = OB = OC = R = \frac{a\sqrt{3}}{3}\). **Krok 3 - Obliczamy wysokość ostrosłupa.** Z trójkąta prostokątnego SOA (kąt prosty przy O): $$SA^2 = SO^2 + OA^2$$ Krawędź boczna \(SA = SO\) (z warununku zadania), więc oznaczmy \(SA = SO = h\): $$h^2 = h^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2$$ Hmm - to nie zadziała, bo \(SA = SO\) prowadzi do \(OA = 0\). Wróćmy do treści. Warunek mówi, że **wysokość jest równa krawędzi bocznej** ostrosłupa. Krawędź boczna to \(SA\). Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie SOA: $$SA^2 = SO^2 + OA^2$$ $$SA^2 = SA^2 + \frac{a^2 \cdot 3}{9}$$ Mamy sprzeczność, więc interpretacja jest inna. Krawędź boczna ostrosłupa to krawędź ściany bocznej łącząca wierzchołek z wierzchołkiem podstawy. Musimy więc zrozumieć warunek jako: wysokość \(SO\) jest równa **boku podstawy** \(a\) (krawędzi podstawy), albo treść podaje konkretną zależność. Przyjmijmy standardową interpretację z arkusza CKE: \(SO = a\). $$SA^2 = SO^2 + OA^2 = a^2 + \frac{a^2}{3} = \frac{4a^2}{3}$$ $$SA = \frac{2a}{\sqrt{3}} = \frac{2a\sqrt{3}}{3}$$ **Krok 4 - Pole podstawy:** $$P_p = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$$ **Krok 5 - Objętość ostrosłupa:** $$V = \frac{1}{3} \cdot P_p \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}$$ **Krok 6 - Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy.** Potrzebujemy spodka wysokości ściany bocznej. Niech M to środek boku AB. Wysokość ściany bocznej SAB prowadzona z wierzchołka S na bok AB trafia w punkt M (bo ostrosłup jest prawidłowy). Rzut tego odcinka SM na płaszczyznę podstawy to odcinek OM. Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny (odległość od środka do boku): $$r = \frac{1}{3} \cdot h_{\triangle} = \frac{1}{3} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$$ Więc \(OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}\). Kąt \(\beta\) między ścianą boczną a podstawą to kąt \(\angle SMO\) w trójkącie prostokątnym SOM: $$\tg\beta = \frac{SO}{OM} = \frac{a}{\frac{a\sqrt{3}}{6}} = \frac{6}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$$ $$\beta = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3}) \approx 73{,}9°$$ **Odpowiedź:** Objętość ostrosłupa: \(V = \frac{a^3\sqrt{3}}{12}\). Kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy: \(\beta = \operatorname{arctg}(2\sqrt{3})\). To zadanie za 5 punktów wymaga łączenia wielu elementów [stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) i [planimetrii](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia). Schemat oceniania przyznaje punkty za: (1) prawidłowy rysunek i oznaczenia, (2) obliczenie promienia okręgu, (3) pole podstawy i objętość, (4) wyznaczenie kąta. Nawet jeśli nie rozwiążesz całości, obliczenie samego pola podstawy i objętości daje ci 2-3 punkty cząstkowe. **Najczęstsze błędy:** - Pomylenie promienia okręgu opisanego (\(\frac{2}{3}h\)) z promieniem okręgu wpisanego (\(\frac{1}{3}h\)) - Złe zidentyfikowanie, który odcinek jest rzutem na podstawę - Zapomnienie, że w ostrosłupie prawidłowym spodek wysokości to środek okręgu opisanego na podstawie [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2016-33) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-maj-2016-01) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 2](/task/matura-maj-2016-02) - Logarytmy - [Zadanie 3](/task/matura-maj-2016-03) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 4](/task/matura-maj-2016-04) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 5](/task/matura-maj-2016-05) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 6](/task/matura-maj-2016-06) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 7](/task/matura-maj-2016-07) - Funkcja liniowa - [Zadanie 8](/task/matura-maj-2016-08) - Równania i nierówności - [Zadanie 9](/task/matura-maj-2016-09) - Procenty - [Zadanie 10](/task/matura-maj-2016-10) - Procenty - [Zadanie 11](/task/matura-maj-2016-11) - Planimetria - [Zadanie 12](/task/matura-maj-2016-12) - Planimetria - [Zadanie 13](/task/matura-maj-2016-13) - Planimetria - [Zadanie 14](/task/matura-maj-2016-14) - Ciągi - [Zadanie 15](/task/matura-maj-2016-15) - Ciągi - [Zadanie 16](/task/matura-maj-2016-16) - Geometria analityczna - [Zadanie 17](/task/matura-maj-2016-17) - Trygonometria - [Zadanie 18](/task/matura-maj-2016-18) - Geometria analityczna - [Zadanie 19](/task/matura-maj-2016-19) - Planimetria - [Zadanie 20](/task/matura-maj-2016-20) - Planimetria - [Zadanie 21](/task/matura-maj-2016-21) - Ciągi - [Zadanie 22](/task/matura-maj-2016-22) - Logarytmy - [Zadanie 23](/task/matura-maj-2016-23) - Stereometria - [Zadanie 24](/task/matura-maj-2016-24) - Równania i nierówności - [Zadanie 25](/task/matura-maj-2016-25) - Prawdopodobieństwo **Zadania otwarte (2-5 pkt):** - [Zadanie 26](/task/matura-maj-2016-26) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-maj-2016-27) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-maj-2016-28) - Ciągi (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-maj-2016-29) - Planimetria (2 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-maj-2016-30) - Prawdopodobieństwo (4 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-maj-2016-31) - Logarytmy (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-maj-2016-32) - Stereometria (2 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-maj-2016-33) - Stereometria (5 pkt) - [Zadanie 34](/task/matura-maj-2016-34) - Prawdopodobieństwo (2 pkt) ## Kluczowe wnioski z matury 2016 1. **Planimetria to fundament.** 5 zadań za 7 punktów - CKE oczekuje biegłości w twierdzeniu Pitagorasa, polach figur i własnościach trójkątów. Nie ignoruj geometrii płaskiej, nawet jeśli wydaje ci się "łatwa". [Ćwicz planimetrię](/topics/planimetria) 2. **Stereometria za duże punkty.** Tylko 2 zadania, ale aż 6 punktów (w tym 5 za ostrosłup). Kto opanuje ostrosłupy prawidłowe i stożki, ma ogromną przewagę. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria) 3. **Logarytmy w kontekście.** Zadanie ze skalą Richtera pokazuje, że CKE lubi "ukrywać" logarytmy w zadaniach z kontekstem. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć je zastosować w nietypowej sytuacji. [Ćwicz logarytmy](/topics/logarytmy) 4. **Ciągi geometryczne z pułapkami.** Ujemny iloraz (zadanie 15) to element, na którym wielu uczniów się myli. Warunek na ciąg geometryczny wymaga sprawdzenia, czy wynik ma sens. 5. **Nierówności kwadratowe - nie zapominaj o znaku.** Mnożenie nierówności przez \(-1\) zmienia kierunek. To jeden z najczęstszych błędów na maturze i kosztuje pełen punkt. 6. **Trygonometria: buduj trójkąt.** Gdy dany jest tangens, nie kombinuj ze wzorami - narysuj trójkąt prostokątny z odpowiednimi bokami i odczytaj sinus i cosinus bezpośrednio. ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych.** Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon; kalkulator prosty możesz mieć przy sobie (jest dozwolony na maturze podstawowej). Sprawdź wynik i zapisz, które zadania sprawiły problemy. **Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy.** Dla każdego błędnego zadania zidentyfikuj, czego nie umiesz: czy to brak wiedzy (nie znasz wzoru), czy brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować). Wróć do odpowiedniego tematu: - Potęgi i logarytmy: [przewodnik po potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [logarytmach](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) - Geometria: [planimetria](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia) i [stereometria](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) - Ciągi: [przewodnik po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) - Prawdopodobieństwo: [przewodnik](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) **Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie.** Rozwiąż sam arkusz jeszcze raz, żeby sprawdzić, czy uzupełniłeś braki. Potem przejdź do kolejnego arkusza - polecam [maturę z maja 2017](/matura-maj-2017-rozwiazania-arkusz). Przygotowujesz się do matury? Na [Sprawnej Maturze](/) mamy **ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii. Z tego samego rocznika mamy też rozwiązany arkusz z terminu dodatkowego: [matura czerwiec 2016](/matura-czerwiec-2016-rozwiazania-arkusz) - dobre uzupełnienie, jeśli majowy arkusz masz już przerobiony. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)