--- route: /matura-maj-2015-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2015 matematyka - zadania z arkusza i przykładowe rozwiązanie description: Arkusz matury z matematyki, maj 2015, z zadaniami do rozwiązania w aplikacji i przykładowym rozwiązaniem krok po kroku. Rozkład kategorii. type: exam_walkthrough tags: matura 2015, matura maj 2015, rozwiązania matura 2015, arkusz maturalny 2015, matematyka matura 2015, zadania maturalne 2015, CKE 2015, matura podstawowa 2015 published: 2026-04-17T07:33:14.68+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:18.396178+00:00 --- # Matura maj 2015 matematyka - zadania z arkusza i przykładowe rozwiązanie ## O arkuszu - Matura maj 2015 Matura z matematyki na poziomie podstawowym z maja 2015 to arkusz o szczególnym znaczeniu historycznym. Był to **pierwszy rok Formuły 2015** - CKE dopiero ustalało trudność i styl pytań. Efekt? Arkusz jest solidny, zbalansowany i świetnie nadaje się jako materiał treningowy, bo zadania testują szeroki przekrój wiedzy bez sztucznych pułapek. Arkusz w Formule 2015 (matura 2015-2022) na poziomie podstawowym był wart **50 punktów**, a czas na jego rozwiązanie to 170 minut. Próg zdawalności to 30%, czyli **15 punktów**. W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza, sumujące się dokładnie do tych 50 punktów. Jeśli chcesz porównać ten arkusz z kolejnymi latami, sprawdź [maturę z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz) - zobaczysz, jak CKE stopniowo doprecyzowywało nową formułę. Pełna lista arkuszy z lat 2010-2025 czeka w [kompletnej bazie arkuszy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Numery zadań i podział na zadania zamknięte i otwarte w tym artykule pochodzą z naszej bazy i są takie same jak na stronach zadań w aplikacji; mogą różnić się od oficjalnego arkusza CKE. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 6 | 8 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 6 | 8 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 7 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 7 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 5 | | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 3 | | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 2 | 2 | | [Wyrażenia algebraiczne](/topics/wyrazenia-algebraiczne) | 1 | 2 | | [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 | | [Procenty](/topics/procenty) | 1 | 1 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 1 | 1 | | [Układy równań](/topics/uklady-rownan) | 1 | 1 | | [Funkcje](/topics/funkcje) | 1 | 1 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 | Zdecydowanymi liderami są w naszej bazie [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) i [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - po 6 zadań za 8 punktów każda. To więcej niż w wielu kolejnych rocznikach i jasny sygnał od CKE, że oba te działy są fundamentem egzaminu. [Stereometria](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) pojawia się w klasycznym schemacie: 4 zadania za 7 punktów, w tym graniastosłup za 4 punkty - najwyżej punktowane zadanie w tej kategorii. [Ciągi](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) też ważą dużo - 3 zadania za 7 punktów, w tym zadanie 34, najwyżej punktowane zadanie całego arkusza za 5 punktów. ## Rozwiązania krok po kroku ### Zadanie 26 - Nierówność kwadratowa (otwarte, 2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(2x^2 - 4x > (x + 3)(x - 2)\) **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Rozwijamy prawą stronę:** $$(x + 3)(x - 2) = x^2 + x - 6$$ **Krok 2 - Przenosimy wszystko na lewą stronę** [nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania): $$2x^2 - 4x - (x^2 + x - 6) > 0$$ $$2x^2 - 4x - x^2 - x + 6 > 0$$ $$x^2 - 5x + 6 > 0$$ **Krok 3 - Rozkładamy na czynniki.** Szukamy dwóch liczb, których suma wynosi \(-5\), a iloczyn \(6\). To \(-2\) i \(-3\): $$(x - 2)(x - 3) > 0$$ **Krok 4 - Rozwiązujemy nierówność iloczynową.** Miejsca zerowe: \(x = 2\) i \(x = 3\). Parabola \(y = x^2 - 5x + 6\) ma ramiona skierowane do góry (\(a = 1 > 0\)), więc jest dodatnia na zewnątrz pierwiastków: $$x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)$$ **Odpowiedź:** \(x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty)\) Schemat oceniania CKE wymaga jasnego pokazania każdego kroku: rozwinięcia prawej strony, przeniesienia na jedną stronę, rozkładu na czynniki i prawidłowego odczytania rozwiązania. Pominięcie któregokolwiek etapu kosztuje punkt. Narysowanie szkicu paraboli to dodatkowe zabezpieczenie - egzaminator od razu widzi, że rozumiesz, co robisz. ## Pozostałe zadania arkusza Poniższe zadania z tego arkusza możesz rozwiązać interaktywnie - kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i sprawdzić swoje rozwiązanie. ### Logarytmy (zadanie 2) Tylko dwie z trzech wielkości w tym zadaniu są logarytmami - trzecia to zwykła liczba wymierna. Wskazówka: zapisz podstawy obu logarytmów jako potęgi o wykładniku ujemnym (\(\frac{1}{4}=4^{-1}\), \(\frac{1}{3}=3^{-1}\)), żeby policzyć je wprost z definicji. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-02 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Zaczynamy od obliczenia każdej liczby osobno. Kluczowe to sprowadzenie [logarytmów](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) do potęg o wspólnej podstawie. Liczba \(a\) jest już podana: \(a = -\frac{1}{27}\). Obliczamy \(b = \log_{\frac{1}{4}}64\). Szukamy, do jakiej potęgi podnieść \(\frac{1}{4}\), żeby dostać \(64\): $$\left(\frac{1}{4}\right)^b = 64$$ $$4^{-b} = 4^3$$ bo \(64 = 4^3\). Stąd \(-b = 3\), czyli \(b = -3\). Obliczamy \(c = \log_{\frac{1}{3}}27\). Analogicznie: $$\left(\frac{1}{3}\right)^c = 27$$ $$3^{-c} = 3^3$$ bo \(27 = 3^3\). Stąd \(-c = 3\), czyli \(c = -3\). Teraz mnożymy: $$a \cdot b \cdot c = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot (-3) \cdot (-3) = \left(-\frac{1}{27}\right) \cdot 9 = -\frac{9}{27} = -\frac{1}{3}$$ **Odpowiedź:** \(a \cdot b \cdot c = -\frac{1}{3}\) Zwróć uwagę na znaki! Trzy liczby ujemne dają iloczyn ujemny (minus razy minus to plus, ale plus razy minus to znowu minus). Najczęstszy błąd: pomylenie znaku logarytmu, gdy podstawa jest ułamkiem. Pamiętaj - logarytm z liczby większej niż 1 przy podstawie mniejszej niż 1 jest zawsze ujemny. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-02) --- ### Potęgi i pierwiastki (zadanie 4) Aby wyznaczyć niewiadomą, obie strony równania mnożymy przez sam mianownik z lewej strony - po prawej stronie powstaje wtedy różnica kwadratów. Wskazówka: skorzystaj ze wzoru skróconego mnożenia \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\) zamiast mnożyć nawiasy wprost. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-04 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Mnożymy na krzyż (iloczyn skrajnych równa się iloczynowi środkowych): $$5m = (5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5})$$ Po prawej stronie rozpoznajemy wzór skróconego mnożenia \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\): $$(5 - \sqrt{5})(5 + \sqrt{5}) = 25 - (\sqrt{5})^2 = 25 - 5 = 20$$ Stąd: $$5m = 20$$ $$m = 4$$ **Odpowiedź:** \(m = 4\) Piękne zadanie na wzór skróconego mnożenia - różnicę kwadratów. Klucz to zauważenie, że \(5 - \sqrt{5}\) i \(5 + \sqrt{5}\) to wyrażenia sprzężone. Ich iloczyn zawsze daje "czyste" wyrażenie wymierne, bez pierwiastków. To ten sam schemat, którego używasz przy usuwaniu niewymierności z mianownika. Więcej ćwiczeń na stronie [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-04) --- ### Ciągi (zadanie 13) Zależność między czwartym a pierwszym wyrazem ciągu geometrycznego prowadzi wprost do równania trzeciego stopnia na iloraz \(q\). Wskazówka: skorzystaj ze wzoru \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\), żeby zapisać czwarty wyraz przez pierwszy i iloraz, a potem uprość otrzymane równanie. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-13 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Korzystamy ze wzoru na \(n\)-ty wyraz [ciągu geometrycznego](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania): \(a_n = a_1 \cdot q^{n-1}\). Zapisujemy warunek z treści: $$a_4 = 3a_1$$ $$a_1 \cdot q^3 = 3a_1$$ Ponieważ \(a_1 \neq 0\) (ciąg geometryczny), dzielimy obie strony przez \(a_1\): $$q^3 = 3$$ $$q = \sqrt[3]{3}$$ **Sprawdzenie:** \(\sqrt[3]{3} \approx 1{,}44 > 1\), więc ciąg jest rosnący (dla \(a_1 > 0\)) \(\checkmark\) **Odpowiedź:** \(q = \sqrt[3]{3}\) Zadanie proste, jeśli znasz wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego. Kluczowe to pamiętać, że \(a_4 = a_1 \cdot q^3\) (potęga to \(n - 1 = 4 - 1 = 3\), nie \(4\)). Warunek "ciąg rosnący" gwarantuje, że \(q > 1\), więc nie musimy rozpatrywać ujemnych pierwiastków sześciennych. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-13) --- ### Stereometria (zadanie 22) Przekrój osiowy stożka będący trójkątem równobocznym od razu daje promień podstawy i wysokość stożka. Wskazówka: wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) to \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) - to również wysokość stożka. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-22 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Przekrój osiowy stożka to trójkąt, którego podstawa to średnica podstawy, a boki to tworzące stożka. Skoro ten trójkąt jest równoboczny o boku 6, to: - Średnica podstawy = 6, więc promień \(r = 3\) - Tworząca stożka \(l = 6\) (boki trójkąta równobocznego) Obliczamy wysokość stożka z [twierdzenia Pitagorasa](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia) (trójkąt prostokątny: \(h\), \(r\), \(l\)): $$h = \sqrt{l^2 - r^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$$ Objętość stożka: $$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \cdot 9 \cdot 3\sqrt{3} = 9\pi\sqrt{3}$$ **Odpowiedź:** \(V = 9\pi\sqrt{3}\) Najczęstszy błąd: pomylenie boku trójkąta ze średnicą lub promieniem. Przekrój osiowy stożka to zawsze trójkąt, którego podstawa to **średnica** (nie promień!). Dlatego bok 6 oznacza promień 3. Przeczytaj nasz [przewodnik po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy), żeby przećwiczyć wszystkie typy brył na maturze. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-22) --- ### Równania i nierówności (zadanie 27) Dowody nierówności dla dowolnych liczb rzeczywistych najczęściej sprowadzają się do zapisania wyrażenia jako sumy kwadratów. Wskazówka: spróbuj wydzielić pełny kwadrat z wyrazów zawierających \(x\). Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-27 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Wyrazy z \(x\) dopełniamy do pełnego kwadratu: \((2x - 2y)^2 = 4x^2 - 8xy + 4y^2\), więc z \(5y^2\) zużywamy \(4y^2\), a zostaje \(y^2\): $$4x^2 - 8xy + 5y^2 = (2x - 2y)^2 + y^2$$ Kwadrat liczby rzeczywistej nie jest ujemny i suma liczb nieujemnych też nie jest, więc dla każdych rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawa strona jest nieujemna: $$4x^2 - 8xy + 5y^2 \ge 0 \quad \square$$ [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-27) --- ### Stereometria (zadanie 32) Przekątna graniastosłupa, przekątna podstawy i wysokość tworzą trójkąt prostokątny, a podany cosinus kąta nachylenia wiąże w nim przekątną podstawy z przekątną bryły. Wskazówka: z jedynki trygonometrycznej wyznacz sinus tego samego kąta - to on łączy daną wysokość z przekątną bryły, a przekątna kwadratu o boku \(a\) ma długość \(a\sqrt{2}\). Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-32 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Niech \(a\) to krawędź podstawy, \(d\) przekątna bryły, \(\alpha\) kąt jej nachylenia do podstawy. Wysokość, przekątna podstawy i przekątna bryły tworzą trójkąt prostokątny, w którym \(\alpha\) leży przy przekątnej podstawy. Z jedynki trygonometrycznej dla kąta ostrego: $$\sin\alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$$ Sinus wiąże daną wysokość z przekątną bryły, a cosinus tę przekątną z przekątną podstawy: $$d = 16 : \frac{4}{5} = 20, \qquad a\sqrt{2} = d\cos\alpha = 20 \cdot \frac{3}{5} = 12$$ Stąd \(a = 6\sqrt{2}\), a pole podstawy to \(a^2 = 72\). Pole boczne to obwód podstawy razy wysokość: $$P_c = 2 \cdot 72 + 4 \cdot 6\sqrt{2} \cdot 16 = 144 + 384\sqrt{2}$$ **Odpowiedź:** \(P_c = 144 + 384\sqrt{2}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-32) --- ### Ciągi (zadanie 34) To najwyżej punktowane zadanie arkusza - łączy wzór na sumę ciągu arytmetycznego z warunkiem geometrycznym na wybrane wyrazy. Wskazówka: zacznij od wzoru na sumę n początkowych wyrazów, żeby wyznaczyć pierwszy wyraz i różnicę ciągu. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2015-34 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Niech \(a_1\) to pierwszy wyraz, a \(r\) różnica ciągu. Ze wzoru na sumę: $$S_{11} = \frac{2a_1 + 10r}{2} \cdot 11 = 187 \Rightarrow a_1 + 5r = 17$$ Ze średniej arytmetycznej trzech wskazanych wyrazów: $$\frac{a_1 + a_3 + a_9}{3} = 12 \Rightarrow 3a_1 + 10r = 36$$ Podstawiamy \(a_1 = 17 - 5r\) i dostajemy \(51 - 5r = 36\), więc \(r = 3\), \(a_1 = 2\) oraz \(a_3 = a_1 + 2r = 8\). W ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego równa się iloczynowi skrajnych: $$a_3^2 = a_1 \cdot a_k \Rightarrow 64 = 2a_k \Rightarrow a_k = 32$$ $$a_k = a_1 + (k - 1)r = 2 + 3(k - 1) = 32 \Rightarrow k = 11$$ **Odpowiedź:** \(k = 11\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2015-34) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami W naszej bazie znajdziesz 34 zadania z tego arkusza z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać: **Zadania zamknięte:** - [Zadanie 2](/task/matura-maj-2015-02) - Logarytmy (1 pkt) - [Zadanie 3](/task/matura-maj-2015-03) - Procenty (1 pkt) - [Zadanie 4](/task/matura-maj-2015-04) - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) - [Zadanie 5](/task/matura-maj-2015-05) - Układy równań (1 pkt) - [Zadanie 6](/task/matura-maj-2015-06) - Równania i nierówności (1 pkt) - [Zadanie 7](/task/matura-maj-2015-07) - Równania i nierówności (1 pkt) - [Zadanie 8](/task/matura-maj-2015-08) - Funkcje (1 pkt) - [Zadanie 9](/task/matura-maj-2015-09) - Funkcja liniowa (1 pkt) - [Zadanie 10](/task/matura-maj-2015-10) - Funkcja liniowa (1 pkt) - [Zadanie 11](/task/matura-maj-2015-11) - Funkcja kwadratowa (1 pkt) - [Zadanie 12](/task/matura-maj-2015-12) - Równania i nierówności (1 pkt) - [Zadanie 13](/task/matura-maj-2015-13) - Ciągi (1 pkt) - [Zadanie 14](/task/matura-maj-2015-14) - Geometria analityczna (1 pkt) - [Zadanie 15](/task/matura-maj-2015-15) - Trygonometria (1 pkt) - [Zadanie 16](/task/matura-maj-2015-16) - Planimetria (1 pkt) - [Zadanie 17](/task/matura-maj-2015-17) - Planimetria (1 pkt) - [Zadanie 18](/task/matura-maj-2015-18) - Geometria analityczna (1 pkt) - [Zadanie 19](/task/matura-maj-2015-19) - Geometria analityczna (1 pkt) - [Zadanie 20](/task/matura-maj-2015-20) - Geometria analityczna (1 pkt) - [Zadanie 21](/task/matura-maj-2015-21) - Stereometria (1 pkt) - [Zadanie 22](/task/matura-maj-2015-22) - Stereometria (1 pkt) - [Zadanie 23](/task/matura-maj-2015-23) - Stereometria (1 pkt) - [Zadanie 24](/task/matura-maj-2015-24) - Ciągi (1 pkt) - [Zadanie 25](/task/matura-maj-2015-25) - Prawdopodobieństwo (1 pkt) **Zadania otwarte:** - [Zadanie 1](/task/matura-maj-2015-01) - Równania i nierówności (1 pkt) - [Zadanie 26](/task/matura-maj-2015-26) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-maj-2015-27) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-maj-2015-28) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-maj-2015-29) - Funkcja kwadratowa (2 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-maj-2015-30) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-maj-2015-31) - Wyrażenia algebraiczne (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-maj-2015-32) - Stereometria (4 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-maj-2015-33) - Prawdopodobieństwo (4 pkt) - [Zadanie 34](/task/matura-maj-2015-34) - Ciągi (5 pkt) ## Kluczowe wnioski z matury maj 2015 1. **Równania i nierówności i geometria analityczna rządzą równo.** Po 6 zadań za 8 punktów każda - to więcej niż w większości roczników. CKE od samego początku nowej formuły jasno komunikowało: algebra i geometria analityczna to fundament. Ćwicz [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) do skutku. 2. **Geometria analityczna mocno reprezentowana.** 6 zadań za 8 punktów to dużo. Proste, odcinki, współrzędne - te tematy CKE traktuje poważnie od 2015 roku. [Ćwicz geometrię analityczną](/topics/geometria-analityczna) 3. **Stereometria za duże punkty.** 4 zadania za 7 punktów (w tym graniastosłup za 4 pkt). Kto opanuje bryły, ma ogromną przewagę nad resztą zdających. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria) 4. **Ciągi - mało zadań, dużo punktów.** 3 zadania za łącznie 7 punktów, w tym najwyżej punktowane zadanie arkusza za 5 pkt. Ciągi arytmetyczne i geometryczne to obowiązkowy temat. [Ćwicz ciągi](/topics/ciagi) 5. **Wzory skróconego mnożenia wszędzie.** Pojawiają się w zadaniu z potęgami (zad. 4) i w dowodzie nierówności (zad. 27). To nie przypadek - wzory skróconego mnożenia to fundament, który pozwala rozwiązywać zadania szybciej i pewniej. ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Tydzień 1 - Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminacyjnych.** Daj sobie 170 minut, wyłącz telefon - kalkulator prosty możesz zostawić przy sobie, tak jak na prawdziwym egzaminie. Nie zaglądaj do rozwiązań. Zapisz swoje odpowiedzi i porównaj z kluczem. Zanotuj każde zadanie, przy którym się wahałeś lub nie wiedziałeś, jak zacząć. **Tydzień 2 - Przeanalizuj błędy systematycznie.** Dla każdego błędnego zadania określ przyczynę: brak wiedzy (nie znasz wzoru), brak umiejętności (znasz wzór, ale nie umiesz go zastosować) czy błąd rachunkowy (wiesz co robić, ale się pomyliłeś). Wróć do odpowiedniego tematu: - Algebra: [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) i [logarytmy](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) - Geometria: [planimetria](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia), [stereometria](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) i [geometria analityczna](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory) - Ciągi: [przewodnik po ciągach](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania) - Prawdopodobieństwo: [przewodnik](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania) - Potęgi: [przewodnik po potęgach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) **Tydzień 3 - Rozwiąż ponownie i porównaj.** Rozwiąż ten sam arkusz jeszcze raz - tym razem powinno pójść szybciej i pewniej. Gdy wynik przekroczy 80%, przejdź do [matury z maja 2016](/matura-maj-2016-rozwiazania-arkusz). Możesz też potrenować na [symulatorze matury](/symulator-matury-z-matematyki-online-arkusze-cke), który losowo składa arkusze z prawdziwych zadań CKE. Przygotowujesz się do matury? Na [Sprawnej Maturze](/) mamy **ponad 2300 zadań z prawdziwych arkuszy CKE** z rozwiązaniami krok po kroku. Możesz też spróbować [losowego zadania](/solve), żeby sprawdzić swoją wiedzę z różnych kategorii. Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)