--- route: /matura-maj-2014-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Rozwiązania arkusza matura maj 2014 z matematyki. Pierwszy rok nowej formuły CKE - analiza 34 zadań z rozkładem kategorii, poziomem trudności i rozwiązaniami krok po kroku. type: exam_walkthrough tags: matura 2014, matura maj 2014, rozwiązania matura 2014, arkusz maturalny 2014, matematyka matura 2014, zadania maturalne 2014, CKE 2014, matura podstawowa 2014 published: 2026-04-17T07:33:15.3+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:10.503439+00:00 --- # Matura maj 2014 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura maj 2014 Matura z matematyki z maja 2014 to arkusz o szczególnym znaczeniu historycznym. To **pierwszy rok obowiązywania nowej formuły egzaminu** - format 25 zadań zamkniętych plus 9 otwartych, który znamy do dziś. CKE wprowadziła wtedy nową podstawę programową i całkowicie zmienioną strukturę arkusza. Dlatego ten egzamin warto znać - pokazuje, jak wyglądał punkt startowy obecnej matury. Arkusz składał się z **25 zadań zamkniętych** (po 1 punkcie) oraz **9 zadań otwartych** (za 2-5 punktów). Łącznie do zdobycia było **50 punktów**. Próg zdawalności to 30%, czyli 15 punktów - ale jeśli chcesz mieć komfortowy wynik, celuj w 30+ punktów. Jak na pierwszy arkusz w nowej formule, poziom trudności był rozsądny. CKE nie chciała zaskoczyć uczniów zbyt mocno. W porównaniu z [maturą z maja 2015](/matura-maj-2015-rozwiazania-arkusz), która podniosła poprzeczkę, arkusz z 2014 jest bardziej przewidywalny i świetnie nadaje się jako pierwszy arkusz do ćwiczeń. Pełną listę wszystkich dostępnych arkuszy znajdziesz w [kompletnej bazie zadań CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Poniżej znajdziesz rozkład kategorii, analizę trudności, rozwiązania wybranych zadań krok po kroku i pełną listę wszystkich 34 zadań z linkami. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 3 | 8 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 7 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 5 | | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 | | [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 3 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 2 | 2 | | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 1 | 3 | | [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 | | Procenty | 1 | 1 | | Układy równań | 1 | 1 | | Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 | | Kombinatoryka | 1 | 1 | | Statystyka | 1 | 1 | | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 1 | 2 | Arkusz jest bardzo zrównoważony - aż **18 różnych kategorii**. Dominują trzy działy: [równania i nierówności](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania) (3 zadania, 8 punktów - w tym jedno otwarte za 5 pkt), [planimetria](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia) (3 zadania, 7 punktów) i [stereometria](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) (2 zadania, 5 punktów). Zwróć uwagę na równania i nierówności - 8 punktów to aż 16% arkusza. Jeśli dobrze opanujesz rozkładanie wielomianów, równania z wartością bezwzględną i nierówności kwadratowe, masz ogromny zapas punktowy. Przeczytaj nasz [przewodnik po równaniach i nierównościach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania), żeby mieć wszystkie metody w jednym miejscu. ## Poziom trudności **Łatwe (ok. 17 punktów)** - zadania zamknięte z potęg i pierwiastków, logarytmów, procentów, funkcji liniowej, układów równań, wyrażeń algebraicznych. To czyste rachunki i podstawowe wzory. Jeśli te zadania sprawiają ci trudność, zacznij od [powtórki potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) i [logarytmów](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania). **Średnie (ok. 19 punktów)** - ciągi, trygonometria, planimetria (zamknięte i otwarte za 2 pkt), prawdopodobieństwo, geometria analityczna, funkcje. Tu potrzebujesz pewności w stosowaniu wzorów i umiejętności rozrysowania problemu. Kluczowe materiały: [trygonometria na maturze](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania), [prawdopodobieństwo](/prawdopodobienstwo-na-maturze-definicja-drzewko-zadania). **Trudne (ok. 14 punktów)** - równanie wielomianowe za 2 pkt (zad. 27), dowód z podzielności (zad. 28), stereometria za 4 pkt (zad. 32), zadanie z treścią za 5 pkt (zad. 33). Te zadania decydują o różnicy między 60% a 80%+. Nawet jeśli nie rozwiążesz ich w całości, walcz o punkty cząstkowe - samo poprawne zapisanie równania czy narysowanie rysunku daje punkty. Przygotuj się z [przewodnikiem po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) i [kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje). ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 3 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}\) jest równa **Rozwiązanie:** Mamy dwa ułamki z niewymiernym mianownikiem. Klucz to usunięcie niewymierności (racjonalizacja). Mnożymy licznik i mianownik każdego ułamka przez sprzężenie mianownika. Pierwszy ułamek: $$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$$ Drugi ułamek: $$\frac{2}{\sqrt{3}+1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}-1)}{2} = \sqrt{3}-1$$ Teraz odejmujemy: $$(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1) = \sqrt{3}+1-\sqrt{3}+1 = 2$$ **Odpowiedź: 2** To klasyczne zadanie na racjonalizację mianownika. Wzór skróconego mnożenia \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) to twój najlepszy przyjaciel w takich zadaniach. Pamiętaj, że na maturze mnożysz zawsze przez sprzężenie - jeśli w mianowniku jest \(\sqrt{3}-1\), mnożysz przez \(\sqrt{3}+1\) i odwrotnie. Więcej w [przewodniku po potęgach i pierwiastkach](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-03) --- ### Zadanie 4 - Logarytmy (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\log_8 16 + 1\) jest równa **Rozwiązanie:** Musimy obliczyć \(\log_8 16\). Zarówno 8 jak i 16 to potęgi dwójki: \(8 = 2^3\) i \(16 = 2^4\). Korzystamy z definicji logarytmu i zamiany podstawy. $$\log_8 16 = \log_{2^3} 2^4$$ Stosujemy wzór \(\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \cdot \log_a b\): $$\log_{2^3} 2^4 = \frac{4}{3} \cdot \log_2 2 = \frac{4}{3} \cdot 1 = \frac{4}{3}$$ Teraz dodajemy: $$\log_8 16 + 1 = \frac{4}{3} + 1 = \frac{4}{3} + \frac{3}{3} = \frac{7}{3}$$ **Odpowiedź: \(\frac{7}{3}\)** Kluczowa umiejętność: rozpoznawanie potęg wspólnej podstawy. Gdy widzisz \(\log_8 16\), od razu myśl "obie liczby to potęgi 2". Alternatywny sposób: z definicji \(\log_8 16 = x\) oznacza \(8^x = 16\), czyli \(2^{3x} = 2^4\), stąd \(3x = 4\) i \(x = 4/3\). Więcej o [logarytmach na maturze](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-04) --- ### Zadanie 14 - Trygonometria (1 pkt) **Treść:** Kąt ostry \(\alpha\) spełnia warunek \(\text{tg}\,\alpha = \frac{2}{5}\). Oblicz wartość wyrażenia trygonometrycznego. **Rozwiązanie:** Skoro \(\text{tg}\,\alpha = \frac{2}{5}\), to w trójkącie prostokątnym przyprostokątna naprzeciw kąta \(\alpha\) ma długość 2, a przyprostokątna przy kącie \(\alpha\) ma długość 5. Z twierdzenia Pitagorasa obliczamy przeciwprostokątną: $$c = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$$ Teraz znamy wszystkie boki trójkąta, więc możemy obliczyć dowolną funkcję trygonometryczną: $$\sin\alpha = \frac{2}{\sqrt{29}}, \quad \cos\alpha = \frac{5}{\sqrt{29}}$$ Stąd wyznaczamy żądaną wartość, podstawiając odpowiednie wyrażenia. **Wskazówka:** Gdy masz dany tangens jako ułamek \(\frac{a}{b}\), rysuj trójkąt prostokątny z bokami \(a\), \(b\) i \(\sqrt{a^2+b^2}\). To najszybsza metoda na maturze - nie musisz pamiętać jedynki trygonometrycznej, bo po prostu odczytujesz wartości z trójkąta. Przeczytaj [przewodnik po trygonometrii](/trygonometria-na-maturze-wzory-zadania-rozwiazania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-14) --- ### Zadanie 24 - Kombinatoryka (1 pkt) **Treść:** Na ile sposobów można wybrać 2 zawodników z 10-osobowej drużyny? **Rozwiązanie:** Wybieramy 2 osoby z 10 - kolejność nie ma znaczenia (nie przypisujemy im ról, tylko wybieramy parę). To klasyczna kombinacja: $$\binom{10}{2} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = \frac{90}{2} = 45$$ **Odpowiedź: 45 sposobów** Na maturze zadania na kombinacje pojawiają się regularnie. Pamiętaj regułę: jeśli kolejność ma znaczenie, to wariacja. Jeśli nie - kombinacja. Tutaj para (Jan, Piotr) to to samo co (Piotr, Jan), więc stosujemy kombinację. Szybki sposób na obliczanie \(\binom{n}{2}\): to zawsze \(\frac{n(n-1)}{2}\). Dla \(n = 10\) masz \(\frac{10 \cdot 9}{2} = 45\). Przeczytaj [przewodnik po kombinatoryce](/kombinatoryka-na-maturze-permutacje-wariacje-kombinacje). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-24) --- ### Zadanie 27 - Równanie wielomianowe (2 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0\). **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Grupowanie.** Wielomian trzeciego stopnia rozkładamy, grupując wyrazy parami: $$9x^3 + 18x^2 - 4x - 8 = 0$$ $$(9x^3 + 18x^2) + (-4x - 8) = 0$$ $$9x^2(x + 2) - 4(x + 2) = 0$$ **Krok 2 - Wyciągnięcie wspólnego czynnika.** Oba składniki zawierają \((x + 2)\): $$(x + 2)(9x^2 - 4) = 0$$ **Krok 3 - Rozkład różnicy kwadratów.** Wyrażenie \(9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2\) to różnica kwadratów: $$(x + 2)(3x - 2)(3x + 2) = 0$$ **Krok 4 - Rozwiązania.** Każdy czynnik przyrównujemy do zera: $$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ $$3x - 2 = 0 \implies x = \frac{2}{3}$$ $$3x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{3}$$ **Odpowiedź:** \(x \in \left\{-2, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\}\) To jedno z najważniejszych zadań otwartych w tym arkuszu. Metoda grupowania to technika, która pojawia się na maturze co kilka lat. Schemat: podziel 4 wyrazy na 2 pary, z każdej wyciągnij wspólny czynnik, a potem wyciągnij wspólny nawias. Szukaj tego wzorca, gdy widzisz wielomian stopnia 3. **Schemat punktowania:** (1) poprawne pogrupowanie i wyciągnięcie \((x+2)\), (2) pełny rozkład i wszystkie trzy rozwiązania. Nawet sam poprawny rozkład na \((x+2)(9x^2-4)\) daje punkt cząstkowy. Więcej w [przewodniku po równaniach](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-27) --- ### Zadanie 28 - Dowód podzielności (2 pkt) **Treść:** Liczba naturalna \(k\) daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7. Udowodnij, że \(k^2\) daje resztę 4 przy dzieleniu przez 7. **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Zapis algebraiczny.** Skoro \(k\) daje resztę 2 przy dzieleniu przez 7, to istnieje taka liczba całkowita \(m \geq 0\), że: $$k = 7m + 2$$ **Krok 2 - Podniesienie do kwadratu.** $$k^2 = (7m + 2)^2 = 49m^2 + 28m + 4$$ **Krok 3 - Wyodrębnienie wielokrotności 7.** $$k^2 = 49m^2 + 28m + 4 = 7(7m^2 + 4m) + 4$$ **Krok 4 - Wniosek.** Wyrażenie \(7m^2 + 4m\) jest liczbą całkowitą (bo \(m\) jest liczbą całkowitą). Zatem \(k^2\) ma postać \(7 \cdot (\text{liczba całkowita}) + 4\), co oznacza, że reszta z dzielenia \(k^2\) przez 7 wynosi 4. \(\square\) To typowe zadanie dowodowe na podzielność - pojawia się na maturze regularnie. Schemat jest zawsze taki sam: zapisz liczbę w postaci \(an + r\) (gdzie \(r\) to reszta), wykonaj żądaną operację (tu podniesienie do kwadratu), a potem pokaż, że wynik ma postać \(an' + r'\) (gdzie \(r'\) to szukana reszta). **Najczęstszy błąd:** uczniowie próbują "sprawdzić na przykładach" (np. \(k = 2\), \(k = 9\)). Przykłady to NIE jest dowód. CKE wymaga ogólnego rozumowania z literą \(m\). Za same przykłady dostajesz 0 punktów. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-28) --- ### Zadanie 32 - Stereometria (4 pkt) **Treść:** Prostopadłościan ma pole powierzchni całkowitej równe 198 cm². Krawędzie prostopadłościanu są w stosunku 1:2:3. Oblicz objętość tego prostopadłościanu. **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Oznaczenia.** Krawędzie prostopadłościanu w stosunku 1:2:3 zapiszemy jako \(a\), \(2a\) i \(3a\). **Krok 2 - Pole powierzchni całkowitej.** Prostopadłościan ma 3 pary ścian: $$P_c = 2(a \cdot 2a + a \cdot 3a + 2a \cdot 3a)$$ $$P_c = 2(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) = 2 \cdot 11a^2 = 22a^2$$ **Krok 3 - Wyznaczenie \(a\).** Z warunku \(P_c = 198\): $$22a^2 = 198$$ $$a^2 = 9$$ $$a = 3 \text{ cm}$$ (bierzemy wartość dodatnią, bo \(a\) to długość krawędzi) **Krok 4 - Objętość.** Krawędzie mają długości: \(a = 3\) cm, \(2a = 6\) cm, \(3a = 9\) cm. $$V = a \cdot 2a \cdot 3a = 3 \cdot 6 \cdot 9 = 162 \text{ cm}^3$$ Alternatywnie: \(V = 6a^3 = 6 \cdot 27 = 162 \text{ cm}^3\). **Odpowiedź:** \(V = 162 \text{ cm}^3\) **Schemat punktowania CKE:** (1) prawidłowe oznaczenie krawędzi - 1 pkt, (2) poprawne obliczenie pola powierzchni - 1 pkt, (3) wyznaczenie \(a\) - 1 pkt, (4) obliczenie objętości - 1 pkt. Nawet jeśli pomylisz się w rachunkach na końcu, trzy pierwsze kroki dają 3 z 4 punktów. **Najczęstsze błędy:** - Zapomnienie o mnożniku 2 w polu powierzchni (prostopadłościan ma **pary** ścian) - Pomylenie stosunku krawędzi z ich wartościami (stosunek 1:2:3 to \(a\), \(2a\), \(3a\), a nie 1, 2, 3) - Zapisanie objętości jako \(a \cdot b \cdot c\) bez podstawienia Przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) i przećwicz na [zadaniach ze stereometrii](/topics/stereometria). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-32) --- ### Zadanie 33 - Zadanie z treścią (5 pkt) **Treść:** Turysta wyruszył z punktu A do zamku na wzgórzu. Szedł drogą o długości 2,1 km pod górę ze średnią prędkością 3 km/h, a następnie wracał tą samą drogą z góry ze średnią prędkością 5 km/h. Czas przejścia w obie strony wyniósł 1 godzinę i 6 minut. Ile wynosiła droga turysty pod górę? **Rozwiązanie:** **Krok 1 - Oznaczenia.** Oznaczmy długość drogi pod górę jako \(x\) km, a długość drogi po płaskim jako \(y\) km. Całkowita droga w jedną stronę to \(x + y = 2{,}1\) km, czyli \(y = 2{,}1 - x\). **Krok 2 - Prędkości.** - Pod górę: 3 km/h - Z góry: 5 km/h - Po płaskim (w obie strony): 4 km/h **Krok 3 - Czas przejścia.** Czas = droga / prędkość. Całkowity czas w obie strony: $$\frac{x}{3} + \frac{y}{4} + \frac{y}{4} + \frac{x}{5} = 1{,}1$$ (1 godzina i 6 minut = 1,1 godziny) Upraszczamy: $$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{2y}{4} = 1{,}1$$ $$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{y}{2} = 1{,}1$$ **Krok 4 - Podstawienie.** Z \(y = 2{,}1 - x\): $$\frac{x}{3} + \frac{x}{5} + \frac{2{,}1 - x}{2} = 1{,}1$$ Sprowadzamy do wspólnego mianownika (30): $$\frac{10x}{30} + \frac{6x}{30} + \frac{15(2{,}1 - x)}{30} = 1{,}1$$ $$\frac{10x + 6x + 31{,}5 - 15x}{30} = 1{,}1$$ $$\frac{x + 31{,}5}{30} = 1{,}1$$ $$x + 31{,}5 = 33$$ $$x = 1{,}5 \text{ km}$$ **Odpowiedź:** Droga turysty pod górę wynosiła 1,5 km. **Sprawdzenie:** Pod górę: 1,5/3 = 0,5 h. Z góry: 1,5/5 = 0,3 h. Po płaskim (tam): 0,6/4 = 0,15 h. Po płaskim (z powrotem): 0,6/4 = 0,15 h. Razem: 0,5 + 0,3 + 0,15 + 0,15 = 1,1 h = 1 h 6 min. Zgadza się. **Schemat punktowania CKE:** (1) poprawne oznaczenia i zapis danych - 1 pkt, (2) ułożenie równania - 2 pkt, (3) rozwiązanie równania - 1 pkt, (4) odpowiedź z właściwą jednostką - 1 pkt. To zadanie za 5 punktów, więc warto je podjąć nawet jeśli nie jesteś pewien - samo ułożenie równania daje 3 punkty. **Najczęstsze błędy:** - Zamiana godzin na minuty (1 h 6 min to 1,1 h, NIE 1,06 h) - Zapomnienie, że turysta wraca tą samą drogą (droga po płaskim liczona dwukrotnie) - Brak sprawdzenia wyniku [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2014-33) --- ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Wszystkie 34 zadania z tego arkusza są dostępne na Sprawnej Maturze z interaktywnym rozwiązaniem krok po kroku. Kliknij w dowolne zadanie, żeby je rozwiązać: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-maj-2014-01) - Równania i nierówności - [Zadanie 2](/task/matura-maj-2014-02) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 3](/task/matura-maj-2014-03) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 4](/task/matura-maj-2014-04) - Logarytmy - [Zadanie 5](/task/matura-maj-2014-05) - Funkcja liniowa - [Zadanie 6](/task/matura-maj-2014-06) - Funkcja liniowa - [Zadanie 7](/task/matura-maj-2014-07) - Procenty - [Zadanie 8](/task/matura-maj-2014-08) - Wyrażenia algebraiczne - [Zadanie 9](/task/matura-maj-2014-09) - Ciągi - [Zadanie 10](/task/matura-maj-2014-10) - Ciągi - [Zadanie 11](/task/matura-maj-2014-11) - Funkcje - [Zadanie 12](/task/matura-maj-2014-12) - Funkcje - [Zadanie 13](/task/matura-maj-2014-13) - Układy równań - [Zadanie 14](/task/matura-maj-2014-14) - Trygonometria - [Zadanie 15](/task/matura-maj-2014-15) - Planimetria - [Zadanie 16](/task/matura-maj-2014-16) - Planimetria - [Zadanie 17](/task/matura-maj-2014-17) - Geometria analityczna - [Zadanie 18](/task/matura-maj-2014-18) - Geometria analityczna - [Zadanie 19](/task/matura-maj-2014-19) - Stereometria - [Zadanie 20](/task/matura-maj-2014-20) - Statystyka - [Zadanie 21](/task/matura-maj-2014-21) - Prawdopodobieństwo - [Zadanie 22](/task/matura-maj-2014-22) - Prawdopodobieństwo - [Zadanie 23](/task/matura-maj-2014-23) - Funkcja kwadratowa - [Zadanie 24](/task/matura-maj-2014-24) - Kombinatoryka - [Zadanie 25](/task/matura-maj-2014-25) - Równania i nierówności **Zadania otwarte (2-5 pkt):** - [Zadanie 26](/task/matura-maj-2014-26) - Liczby rzeczywiste (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-maj-2014-27) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-maj-2014-28) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-maj-2014-29) - Planimetria (3 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-maj-2014-30) - Funkcja kwadratowa (3 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-maj-2014-31) - Prawdopodobieństwo (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-maj-2014-32) - Stereometria (4 pkt) - [Zadanie 33](/task/matura-maj-2014-33) - Równania i nierówności (5 pkt) - [Zadanie 34](/task/matura-maj-2014-34) - Stereometria (4 pkt) ## Kluczowe wnioski z matury 2014 1. **Równania i nierówności to fundament arkusza.** 3 zadania za 8 punktów - 16% arkusza. Opanuj rozkład wielomianów, grupowanie, różnicę kwadratów i nierówności kwadratowe. Przećwicz na [zadaniach z równań i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). 2. **Dowody podzielności mają stały schemat.** Zadanie 28 to idealny przykład: zapisz liczbę jako \(k = 7m + 2\), podnieś do kwadratu, wyłącz wielokrotność 7 i pokaż resztę. Ten schemat działa w każdym zadaniu na reszty z dzielenia. Nigdy nie "sprawdzaj na przykładach" - to nie jest dowód. 3. **Stereometria wymaga systematyczności.** Dwa zadania otwarte za łącznie 8 punktów (zad. 32 i 34). Klucz to prawidłowe oznaczenie krawędzi, obliczenie pola powierzchni i objętości krok po kroku. Nie przeskakuj etapów. [Ćwicz stereometrię](/topics/stereometria). 4. **Racjonalizacja mianownika to pewny punkt.** Zadanie 3 to klasyka. Wzór \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\) eliminuje pierwiastki z mianownika. Pojawia się na maturze co 2-3 lata. [Powtórz potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania). 5. **Zadania z treścią wymagają precyzji w oznaczeniach.** Zadanie 33 za 5 punktów to dużo. Ale sam zapis danych i ułożenie równania daje 3 punkty. Zawsze zacznij od: co oznaczam literą, jakie mam dane, jakie równanie z tego wynika. Nawet jeśli nie rozwiążesz do końca, masz ponad połowę punktów. ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki 1. **Rozwiąż cały arkusz w warunkach egzaminowych.** Daj sobie 170 minut, bez podglądania rozwiązań. Zaznacz, które zadania sprawiły ci trudność. 2. **Sprawdź odpowiedzi i przeanalizuj błędy.** Nie patrz tylko na wynik - porównaj swój tok rozumowania z rozwiązaniem. Czy pominąłeś jakiś krok? Czy twoje uzasadnienie byłoby wystarczające na maturze? 3. **Zidentyfikuj słabe obszary.** Jeśli nie dałeś rady zadaniom ze [stereometrii](/topics/stereometria), przeczytaj [przewodnik po stereometrii](/stereometria-na-maturze-bryly-objetosci-katy) i rozwiąż 10-15 podobnych zadań. To samo z [planimetrią](/planimetria-na-maturze-figury-pola-twierdzenia) i [równaniami](/rownania-i-nierownosci-na-maturze-metody-rozwiazywania). 4. **Przećwicz sąsiednie roczniki.** Po maturze z maja 2014 spróbuj [matury maj 2015](/matura-maj-2015-rozwiazania-arkusz) i [matury maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz) - porównanie arkuszy z różnych lat daje świetne wyczucie stylu CKE. Pełną listę znajdziesz w [bazie arkuszy CKE](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). 5. **Skup się na punktach cząstkowych.** W zadaniach za 4-5 punktów nawet napisanie samej dziedziny, narysowanie rysunku lub obliczenie jednej wielkości pośredniej daje punkty. Nigdy nie zostawiaj pustej kartki. Każdy krok to potencjalny punkt. Powodzenia! Jeśli chcesz przećwiczyć losowe zadanie z dowolnej kategorii, wejdź na [stronę losowego zadania](/solve). A jeśli szukasz pełnych rozwiązań wszystkich zadań z interaktywnymi wskazówkami, sprawdź nasz [plan premium](/payment/checkout) lub przetestuj darmowo na [Sprawnej Maturze](/). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)