--- route: /matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Pełne rozwiązania arkusza matura maj 2012 z matematyki. Wszystkie 34 zadania krok po kroku z wyjaśnieniami, rozkładem kategorii i wskazówkami egzaminacyjnymi. type: exam_walkthrough tags: matura 2012, matura maj 2012, rozwiązania matura 2012, arkusz maturalny 2012, matematyka matura 2012, zadania maturalne 2012, CKE 2012, matura podstawowa 2012 published: 2026-04-19T07:03:57.553+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:29.619676+00:00 --- # Matura maj 2012 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura maj 2012 Matura z matematyki z maja 2012 roku to trzeci egzamin prowadzony według nowej formuły. Arkusz zawierał 34 zadania za łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli 15 punktów, a średnia krajowa wyniosła około 51%, co wskazuje na umiarkowany poziom trudności. Ten arkusz wyróżniał się silnym naciskiem na algebrę, szczególnie [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) (11 punktów), co wymagało od zdających solidnej znajomości przekształceń algebraicznych. Równocześnie pojawił się szeroki wachlarz zadań z [planimetrii](/topics/planimetria) (8 punktów) oraz [geometrii analitycznej](/topics/geometria-analityczna) (5 punktów), co czyniło ten egzamin dobrze zbalansowanym testem umiejętności. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|--------------|--------| | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 5 | 11 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 7 | 8 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 5 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 4 | 5 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 2 | 2 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 2 | | Wyrażenia algebraiczne | 1 | 2 | | Prawdopodobieństwo | 1 | 2 | | Procenty, Logarytmy, F. kwadratowa, F. liniowa, Funkcje, Kombinatoryka, Statystyka | 7 | 7 | Największą wagę miały równania i nierówności (11 pkt), co było charakterystyczne dla arkuszy z tego okresu. Geometria (planimetria + stereometria) dawała łącznie 14 punktów - opanowanie tych działów było kluczowe. ## Poziom trudności **Zadania łatwe (1 punkt, ok. 15 punktów):** Typowe zadania sprawdzające podstawy - działania na potęgach, proste równania, odczyt danych z wykresu, podstawowe własności figur płaskich. **Zadania średnie (2-3 punkty, ok. 20 punktów):** Równania z pierwiastkami, przekształcenia wykresów, obliczenia w stereometrii, zadania z ciągów arytmetycznych i geometrycznych. **Zadania trudne (4-5 punktów, ok. 15 punktów):** Skomplikowane równania, złożone problemy geometryczne, zadania z ciągów z warunkami brzegowymi. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 15 - Równania i nierówności (2 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(\sqrt{2x + 3} = x\). **Rozwiązanie:** Warunek istnienia: \(2x + 3 \geq 0\), czyli \(x \geq -\frac{3}{2}\). Prawa strona musi być nieujemna: \(x \geq 0\). Podnosimy do kwadratu: $$2x + 3 = x^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 2x - 3 = 0$$ $$\Delta = 4 + 12 = 16 \quad \Rightarrow \quad x_1 = \frac{2 - 4}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{2 + 4}{2} = 3$$ Sprawdzamy dziedzinę \(x \geq 0\): odrzucamy \(x_1 = -1\), zostaje \(x_2 = 3\). Weryfikacja: \(\sqrt{2 \cdot 3 + 3} = \sqrt{9} = 3\). Zgadza się! **Odpowiedź:** \(x = 3\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-15) --- ### Zadanie 21 - Planimetria (2 pkt) **Treść:** W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 5 cm i 12 cm. Oblicz długość wysokości opuszczonej na przeciwprostokątną. **Rozwiązanie:** Przeciwprostokątna z twierdzenia Pitagorasa: \(c = \sqrt{25 + 144} = 13\) cm. Pole trójkąta na dwa sposoby: $$P = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ cm}^2 \quad \text{i} \quad P = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h$$ Stąd: \(h = \frac{60}{13}\) cm. **Odpowiedź:** \(\frac{60}{13}\) cm (ok. 4,62 cm) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-21) --- ### Zadanie 26 - Ciągi (5 pkt) **Treść:** Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\), w którym \(a_1 = 7\) oraz \(a_5 = 23\). Oblicz sumę dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. **Rozwiązanie:** Wyznaczamy różnicę ciągu: $$a_5 = a_1 + 4r \quad \Rightarrow \quad 23 = 7 + 4r \quad \Rightarrow \quad r = 4$$ Obliczamy \(a_{10}\): $$a_{10} = 7 + 9 \cdot 4 = 43$$ Suma pierwszych 10 wyrazów: $$S_{10} = \frac{10(a_1 + a_{10})}{2} = \frac{10(7 + 43)}{2} = \frac{500}{2} = 250$$ **Odpowiedź:** 250 [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-26) --- ### Zadanie 29 - Stereometria (3 pkt) **Treść:** Podstawą graniastosłupa prostego jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 3 cm i 4 cm. Wysokość graniastosłupa wynosi 10 cm. Oblicz objętość. **Rozwiązanie:** $$P_p = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6 \text{ cm}^2$$ $$V = P_p \cdot H = 6 \cdot 10 = 60 \text{ cm}^3$$ **Odpowiedź:** 60 cm³ [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-29) --- ### Zadanie 34 - Równania i nierówności (4 pkt) **Treść:** Rozwiąż układ równań: $$\begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x + y = 7 \end{cases}$$ **Rozwiązanie:** Z drugiego równania: \(y = 7 - x\). Podstawiamy do pierwszego: $$x^2 + (7 - x)^2 = 25 \quad \Rightarrow \quad 2x^2 - 14x + 49 = 25$$ $$2x^2 - 14x + 24 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 7x + 12 = 0$$ $$(x - 3)(x - 4) = 0$$ Dla \(x = 3\): \(y = 4\). Dla \(x = 4\): \(y = 3\). Sprawdzenie: \(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25\). Zgadza się! **Odpowiedź:** \((x, y) = (3, 4)\) lub \((x, y) = (4, 3)\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2012-34) --- ## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu **Duża waga algebry:** [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) to aż 11 punktów. Musisz pewnie operować wzorami skróconego mnożenia, rozkładem na czynniki, warunkami istnienia rozwiązań. Typowe pułapki: nieuwzględnienie dziedziny, podnoszenie do kwadratu bez sprawdzenia. **Planimetria wymaga znajomości twierdzeń:** W zadaniach z [planimetrii](/topics/planimetria) pojawiają się: twierdzenie Pitagorasa, cechy podobieństwa trójkątów, wzory na pola i obwody. Nie wystarczy znać wzory - musisz umieć wyciągnąć informacje z rysunku. **Ciągi - wzory ogólne i sumy:** W zadaniach z [ciągów](/topics/ciagi) najczęściej obliczasz różnicę lub iloraz z danych wyrazów, a potem korzystasz ze wzorów na n-ty wyraz i sumę. **Stereometria to głównie objętości:** Zadania z [stereometrii](/topics/stereometria) koncentrują się na graniastosłupach i ostrosłupach. Kluczowe wzory: \(V = P_p \cdot H\) i \(V = \frac{1}{3} P_p \cdot H\). ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Opanuj równania i planimetrię.** To razem prawie 40% arkusza. Przećwicz typowe metody: rozkład na czynniki, podstawianie, twierdzenie Pitagorasa, podobieństwo trójkątów. **Rozwiązuj systematycznie wszystkie 34 zadania.** Nie poprzestawaj na przeglądaniu - weź kartkę i rozwiąż każde od zera. Porównaj z [maturą maj 2010](/matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz) i [maj 2011](/matura-maj-2011-rozwiazania-arkusz), żeby zobaczyć ewolucję formuły. Jeśli opanujesz ten arkusz, dobrze sobie poradzisz też z [czerwcem 2012](/matura-czerwiec-2012-rozwiazania-arkusz) i [maturą maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz). Jeśli [potęgi i pierwiastki](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) lub [logarytmy](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania) to Twoja słabość, poświęć im dodatkowy czas. Wszystkie zadania znajdziesz w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)