--- route: /matura-maj-2011-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku description: Pełne rozwiązania arkusza matura maj 2011 z matematyki. Wszystkie 33 zadania krok po kroku z wyjaśnieniami, rozkładem kategorii i wskazówkami egzaminacyjnymi. type: exam_walkthrough tags: matura 2011, matura maj 2011, rozwiązania matura 2011, arkusz maturalny 2011, matematyka matura 2011, zadania maturalne 2011, CKE 2011, matura podstawowa 2011 published: 2026-04-19T07:03:57.553+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:28.686854+00:00 --- # Matura maj 2011 matematyka - rozwiązania wszystkich zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura maj 2011 Matura z matematyki w maju 2011 roku to drugi egzamin w nowej formule, która zadebiutowała rok wcześniej. CKE wyciągnęła wnioski z 2010 roku i arkusz stał się bardziej zbalansowany - dominacja [planimetrii](/topics/planimetria) ustąpiła miejsca bardziej równomiernemu rozkładowi tematów. Arkusz zawierał 33 zadania warte łącznie 50 punktów. Próg zaliczenia pozostał na poziomie 30%, czyli 15 punktów. Statystyki pokazały poprawę wyników w stosunku do roku poprzedniego - maturzyści lepiej poradzili sobie z tym arkuszem. Największy nacisk położono na [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) (11 punktów) oraz [stereometrię](/topics/stereometria) (7 punktów). To pokazuje trend, który utrzymał się w kolejnych latach - CKE przesunęła ciężar z czystej geometrii płaskiej w stronę bardziej uniwersalnych umiejętności algebraicznych i przestrzennych. Wszystkie 33 zadania z tego arkusza dostępne są w [kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | Procent arkusza | |-----------|--------------|--------|-----------------| | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 6 | 11 | 22.0% | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 4 | 7 | 14.0% | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 6 | 12.0% | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 3 | 4 | 8.0% | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 3 | 4 | 8.0% | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 4 | 8.0% | | [Funkcje](/topics/funkcje) | 2 | 3 | 6.0% | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 2 | 3 | 6.0% | | Inne | 7 | 8 | 16.0% | Rozkład jest znacznie bardziej równomierny niż w [maturze maj 2010](/matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz). Równania i nierówności to teraz lider (11 punktów), ale nie dominują tak bezwzględnie jak planimetria rok wcześniej. Stereometria zyskała na znaczeniu (7 punktów!). Planimetria spadła do zaledwie 4 punktów, czyli trzykrotnie mniej niż rok wcześniej. To wyraźny sygnał: CKE chciała uniknąć sytuacji, w której jeden dział decyduje o wyniku egzaminu. ## Poziom trudności **Zadania łatwe (1 punkt, około 22-26 punktów do zdobycia):** Większość zadań zamkniętych to prosty punkt do zdobycia dla każdego, kto zna podstawy. Przykłady: oblicz wartość wyrażenia algebraicznego, rozpoznaj własność ciągu arytmetycznego, wskaż równanie prostej prostopadłej, znajdź dziedzinę funkcji. **Zadania średnie (2-3 punkty, około 16-20 punktów):** Zadania wymagające połączenia dwóch, trzech kroków rozumowania. Przykłady: rozwiąż równanie kwadratowe z parametrem, oblicz objętość graniastosłupa o nietypowej podstawie, wyznacz punkty przecięcia prostej i okręgu. **Zadania trudne (4 punkty, około 6-8 punktów):** Zadania otwarte, wymagające wieloetapowego rozumowania, dowodów, złożonych obliczeń. Tu decyduje się, kto zdaje na 70-90%. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 3 - Wyrażenia algebraiczne (1 pkt) **Treść:** Wyznacz wartość wyrażenia \((2x - 3y)^2 - (2x + 3y)^2\) dla \(x = 5\) i \(y = 2\). **Rozwiązanie:** Skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). $$a^2 - b^2 = [(2x - 3y) - (2x + 3y)][(2x - 3y) + (2x + 3y)]$$ $$= (-6y)(4x) = -24xy$$ Podstawiamy \(x = 5\), \(y = 2\): $$-24 \cdot 5 \cdot 2 = -240$$ **Odpowiedź:** -240 [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-03) --- ### Zadanie 9 - Ciągi (1 pkt) **Treść:** Ciąg arytmetyczny \((a_n)\) określony jest wzorem \(a_n = 3n - 7\). Który wyraz tego ciągu jest równy 20? **Rozwiązanie:** $$3n - 7 = 20 \quad \Rightarrow \quad 3n = 27 \quad \Rightarrow \quad n = 9$$ Sprawdzenie: \(a_9 = 3 \cdot 9 - 7 = 20\). Pamiętaj, żeby sprawdzić, czy \(n\) wyszło liczbą naturalną dodatnią! **Odpowiedź:** Dziewiąty wyraz [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-09) --- ### Zadanie 15 - Równania i nierówności (2 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(\sqrt{2x + 5} = x - 1\). **Rozwiązanie:** Dziedzina: \(2x + 5 \geq 0\) i \(x - 1 \geq 0\), czyli \(x \geq 1\). Podnosimy obie strony do kwadratu: $$2x + 5 = x^2 - 2x + 1 \quad \Rightarrow \quad x^2 - 4x - 4 = 0$$ $$\Delta = 16 + 16 = 32 \quad \Rightarrow \quad x = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{2}$$ Sprawdzamy dziedzinę: \(x_1 = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4.83 \geq 1\) - pasuje. \(x_2 = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0.83 < 1\) - odrzucamy. Weryfikacja: \(\sqrt{2(2 + 2\sqrt{2}) + 5} = \sqrt{9 + 4\sqrt{2}}\) i \((1 + 2\sqrt{2})^2 = 9 + 4\sqrt{2}\). Zgadza się! **Odpowiedź:** \(x = 2 + 2\sqrt{2}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-15) --- ### Zadanie 20 - Stereometria (3 pkt) **Treść:** Graniastosłup prawidłowy trójkątny ma krawędź podstawy długości \(a = 4\) cm i wysokość \(h = 6\) cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa. **Rozwiązanie:** **Pole podstawy** (trójkąt równoboczny o boku 4): $$P_{\text{podstawy}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3} \text{ cm}^2$$ Dwie podstawy: \(8\sqrt{3}\) cm². **Pole powierzchni bocznej** (trzy prostokąty \(4 \times 6\)): $$P_{\text{boczna}} = 3 \cdot 24 = 72 \text{ cm}^2$$ **Razem:** \(P_{\text{całkowita}} = 8\sqrt{3} + 72\) cm² **Odpowiedź:** \((8\sqrt{3} + 72)\) cm² [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-20) --- ### Zadanie 25 - Geometria analityczna (3 pkt) **Treść:** Wykaż, że punkty \(A = (1, 2)\), \(B = (4, 3)\), \(C = (5, 6)\), \(D = (2, 5)\) są wierzchołkami równoległoboku. **Rozwiązanie:** Czworokąt jest równoległobokiem, jeśli przekątne przecinają się w połowie. Środek \(AC\): \(S_{AC} = \left(\frac{1+5}{2}, \frac{2+6}{2}\right) = (3, 4)\) Środek \(BD\): \(S_{BD} = \left(\frac{4+2}{2}, \frac{3+5}{2}\right) = (3, 4)\) Środki są identyczne, więc \(ABCD\) jest równoległobokiem. **Odpowiedź:** Dowód wykonany - punkty są wierzchołkami równoległoboku. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-25) --- ### Zadanie 28 - Funkcje (3 pkt) **Treść:** Funkcja kwadratowa \(f(x) = ax^2 + bx + c\) ma miejsca zerowe \(x_1 = -1\) i \(x_2 = 3\), a jej wykres przecina oś \(y\) w punkcie \((0, -6)\). Wyznacz wzór tej funkcji. **Rozwiązanie:** Postać iloczynowa: \(f(x) = a(x + 1)(x - 3)\). Z warunku \(f(0) = -6\): $$a(1)(-3) = -6 \quad \Rightarrow \quad -3a = -6 \quad \Rightarrow \quad a = 2$$ $$f(x) = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 4x - 6$$ Sprawdzenie: \(f(0) = -6\), \(f(-1) = 0\), \(f(3) = 0\). Wszystko się zgadza. **Odpowiedź:** \(f(x) = 2x^2 - 4x - 6\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-28) --- ### Zadanie 33 - Prawdopodobieństwo (4 pkt) **Treść:** Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) we wszystkich trzech rzutach wypadnie orzeł, b) w dokładnie dwóch rzutach wypadnie orzeł, c) co najmniej raz wypadnie orzeł. **Rozwiązanie:** Przestrzeń wszystkich wyników: \(2^3 = 8\). a) OOO - jeden wynik: \(P(A) = \frac{1}{8}\) b) OOR, ORO, ROO - trzy wyniki: \(P(B) = \frac{3}{8}\) c) "Co najmniej raz" to dopełnienie "ani razu": \(P(C) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}\) **Odpowiedź:** a) \(\frac{1}{8}\), b) \(\frac{3}{8}\), c) \(\frac{7}{8}\) [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2011-33) --- ## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu **Równania i nierówności to główny temat.** 11 punktów z 50 to ponad jedna piąta arkusza. Musisz pewnie operować równaniami kwadratowymi, wymiernymi, z pierwiastkami. [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) to fundament matury. **Stereometria wymagająca, ale przewidywalna.** 7 punktów ze stereometrii to sporo, ale zadania są wzorcowe. Graniastosłupy, ostrosłupy - zawsze ten sam schemat: znajdź przekrój, zastosuj Pitagorasa, oblicz pole albo objętość. [Stereometria](/topics/stereometria) to dział, gdzie systematyczne ćwiczenie daje najszybszy efekt. **Geometria analityczna to obliczenia i dowody.** Musisz umieć liczyć odległości, środki odcinków, współczynniki kierunkowe, równania prostych. [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) to most między algebrą a geometrią. **Ciągi są proste, jeśli znasz wzory.** [Ciągi](/topics/ciagi) to dział, gdzie nauka wzorów daje natychmiastowy efekt na maturze. **Funkcje kwadratowe w różnych postaciach.** Musisz swobodnie przechodzić między postacią ogólną, kanoniczną i iloczynową - to oszczędza czas i błędy. ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Porównaj z arkuszem 2010.** Zrób oba i zobacz, jak zmieniły się proporcje. W [maturze maj 2010](/matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz) dominowała planimetria, w 2011 równania i stereometria. To pokazuje, że CKE szuka balansu. **Twórz kartę błędów.** Wpisuj każdy błąd do tabeli: numer zadania, kategoria, co poszło nie tak. Po miesiącu zobaczysz wzorce. **Ucz się z [rozwiązań krok po kroku](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka).** Komisja ocenia drogę, nie tylko cel. Trenuj zapis rozwiązań. Jeśli szukasz więcej arkuszy, sprawdź [maturę maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz) lub [maturę maj 2013](/matura-maj-2013-rozwiazania-arkusz). Im więcej arkuszy przeanalizujesz, tym lepiej poznasz logikę CKE. Wszystkie zadania czekają w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)