--- route: /matura-maj-2010-rozwiazania-arkusz title: Matura maj 2010 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku description: Arkusz matura maj 2010 z matematyki: rozkład kategorii i punktów, poziom trudności oraz rozwiązania wybranych zadań krok po kroku. type: exam_walkthrough tags: matura 2010, matura maj 2010, rozwiązania matura 2010, arkusz maturalny 2010, matematyka matura 2010, zadania maturalne 2010, CKE 2010, matura podstawowa 2010 published: 2026-04-19T07:03:57.552+00:00 updated: 2026-08-30T12:55:18.748669+00:00 --- # Matura maj 2010 matematyka - rozwiązania zadań krok po kroku ## O arkuszu - Matura maj 2010 Matura z matematyki w maju 2010 roku przeszła do historii jako pierwszy egzamin w nowej formule. To był przełomowy moment - koniec ze starym systemem, początek ery nowych standardów. Arkusz zawierał 34 zadania, w naszej bazie warte łącznie 49 punktów. Próg zaliczenia wynosił 30%, czyli zaledwie 15 punktów, ale statystyki pokazały, że wielu maturzystów miało problem z tym arkuszem. Główny powód? Absolutna dominacja [planimetrii](/topics/planimetria) - aż 9 zadań z tego działu, co stanowiło prawie 30% punktów do zdobycia. W późniejszych latach CKE bardziej zbalansowała arkusze, ale w 2010 roku wiedza o trójkątach, wielokątach i okręgach była absolutnie kluczowa. Jeśli analizujesz stare arkusze w ramach przygotowań, ten egzamin pokaże Ci, jak ważne jest opanowanie wszystkich działów - żaden temat nie jest "mało ważny". Wszystkie zadania z tego arkusza znajdziesz w naszej [kompletnej bazie zadań maturalnych 2010-2025](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan), gdzie możesz ćwiczyć je w trybie interaktywnym. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | Procent arkusza | |-----------|--------------|--------|-----------------| | [Planimetria](/topics/planimetria) | 9 | 14 | 28.6% | | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 6 | 8 | 16.3% | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 3 | 6 | 12.2% | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 4 | 8.2% | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 3 | 3 | 6.1% | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 2 | 3 | 6.1% | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 2 | 2 | 4.1% | | Inne | 8 | 9 | 18.4% | Jak widzisz, planimetria to był absolutny boss tego arkusza. 14 z 49 punktów, jakie ten arkusz ma w naszej bazie! To więcej niż równania i nierówności, które zazwyczaj dominują na maturze. Taka struktura wymuszała solidne przygotowanie z geometrii płaskiej - nie dało się zdać tego egzaminu, ignorując trójkąty i okręgi. Drugi istotny wniosek: stereometria również miała spory udział (6 punktów), więc geometria przestrzenna też wymagała uwagi. W kategorii "Inne" ukryte są pojedyncze zadania z procentów, potęg, logarytmów, wyrażeń algebraicznych, funkcji kwadratowej, funkcji liniowej i statystyki, a do tego jedno zadanie na dowód nierówności - w naszej bazie razem 8 zadań za 9 punktów. ## Poziom trudności **Zadania za 1 punkt (w naszej bazie 25 zadań za 25 punktów):** Wszystkie zadania o numerach od 1 do 25 - proste obliczenia, podstawowe wzory, rozpoznawanie własności. To był fundament, na którym budowało się zaliczenie matury. Przykłady: oblicz wartość wyrażenia z potęgami, wskaż równanie okręgu o danym promieniu, policz przekątne wielokąta foremnego, oblicz procent z liczby. **Zadania za 2 punkty (w naszej bazie 6 zadań za 12 punktów):** Zadania o numerach od 26 do 31. Wymagały dwóch, trzech kroków rozumowania, zastosowania kilku wzorów. **Zadania za 4 punkty (w naszej bazie 3 zadania, o numerach 32, 33 i 34):** Wymagały złożonego rozumowania i połączenia wiedzy z kilku działów. To tutaj rozgrywały się losy najwyższych wyników. ## Rozwiązania wybranych zadań Wybraliśmy osiem zadań z ośmiu różnych działów, po jednym na dział: pięć zamkniętych za 1 punkt, dwa otwarte za 2 punkty i jedno otwarte za 4 punkty (punktacja z naszej bazy). Kliknij w kartę, żeby zobaczyć pełną treść i rozwiązać zadanie w aplikacji; rozwiązanie krok po kroku rozwija się pod kartą. ### Procenty (zadanie 2) Cena po obniżce to nie jest procent obniżki, tylko reszta, która po niej zostaje - i na tym potyka się większość osób rozwiązujących to zadanie w pośpiechu. Wskazówka: oznacz cenę sprzed obniżki literą i zapisz jedno równanie, zamiast podstawiać kolejne odpowiedzi. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-02 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Oznaczmy przez \(x\) cenę spodni przed obniżką. Obniżka o \(30\%\) zabiera \(0{,}3x\), więc do zapłaty zostaje: $$x - 0{,}3x = 0{,}7x$$ Tę kwotę znamy z treści, to \(126\) zł: $$0{,}7x = 126$$ $$x = \frac{126}{0{,}7} = 180$$ **Odpowiedź:** B, czyli \(180\) zł Najczęstszy błąd to potraktowanie \(126\) zł jako ceny wyjściowej i doliczenie do niej \(30\%\) - wychodzi wtedy \(163{,}80\) zł, czyli odpowiedź A. Procent zawsze liczy się od wielkości sprzed zmiany, a tej właśnie w tym zadaniu szukamy. Sprawdzenie jest natychmiastowe: \(30\%\) ze \(180\) zł to \(54\) zł, a \(180 - 54 = 126\). Więcej takich schematów zebraliśmy w dziale [procenty](/topics/procenty). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-02) --- ### Logarytmy (zadanie 4) Obie liczby to logarytmy o tej samej podstawie, więc nie trzeba liczyć żadnej z nich osobno. Wskazówka: suma logarytmów o wspólnej podstawie to logarytm iloczynu. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-04 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o tej samej podstawie: $$\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)$$ Stąd: $$\log_4 8 + \log_4 2 = \log_4 (8 \cdot 2) = \log_4 16$$ Zostaje pytanie, do jakiej potęgi podnieść \(4\), żeby dostać \(16\). Ponieważ \(4^2 = 16\): $$\log_4 16 = 2$$ **Odpowiedź:** B, czyli \(2\) Drugi sposób prowadzi do tego samego wyniku i bywa szybszy, gdy podstawa nie jest tak wygodna: \(8 = 4^{\frac{3}{2}}\) oraz \(2 = 4^{\frac{1}{2}}\), więc \(\log_4 8 = \frac{3}{2}\), \(\log_4 2 = \frac{1}{2}\), a suma tych ułamków to \(2\). Komplet wzorów, bez których to zadanie robi się długie, znajdziesz w przewodniku po [logarytmach](/logarytmy-na-maturze-wzory-wlasnosci-zadania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-04) --- ### Ciągi (zadanie 12) Między pierwszym a czwartym wyrazem ciągu są trzy kroki, nie cztery - to jedyne miejsce, w którym łatwo się tu pomylić. Wskazówka: zapisz czwarty wyraz wzorem ogólnym ciągu geometrycznego i rozwiąż równanie z niewiadomym ilorazem. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-12 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Wyraz ogólny ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie \(a_1\) i ilorazie \(q\): $$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$$ Dla \(n = 4\) daje to: $$a_4 = a_1 \cdot q^3$$ Podstawiamy dane z treści, czyli \(a_1 = 3\) i \(a_4 = 24\): $$24 = 3 \cdot q^3$$ $$q^3 = 8$$ $$q = 2$$ **Odpowiedź:** B, czyli \(2\) Sprawdzenie zajmuje chwilę i warto je zrobić: \(3, 6, 12, 24\) to rzeczywiście ciąg geometryczny o ilorazie \(2\). Pułapka siedzi w wykładniku - kto zapisze \(a_4 = a_1 \cdot q^4\), dostanie \(q^4 = 8\) i utknie. Cały dział z przykładami omawiamy w przewodniku po [ciągach arytmetycznych i geometrycznych](/ciagi-arytmetyczne-geometryczne-matura-wzory-zadania). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-12) --- ### Planimetria (zadanie 18) Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg dzieli ten okrąg na trzy jednakowe łuki, więc odpowiedź da się podać bez jednego obliczenia na kartce. Wskazówka: kąt środkowy i kąt wpisany oparte na tym samym łuku są ze sobą związane stałą zależnością. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-18 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Wierzchołki \(A\), \(B\), \(C\) leżą na okręgu i tworzą trójkąt równoboczny, więc dzielą okrąg na trzy łuki jednakowej długości. Pełny kąt ma \(360^\circ\), zatem kąt środkowy oparty na jednym z tych łuków ma miarę: $$\frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$$ Do tego samego wyniku prowadzi twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym. Kąt wpisany \(ACB\) jest kątem trójkąta równobocznego, czyli ma \(60^\circ\), a kąt środkowy oparty na tym samym łuku \(AB\) jest od niego dwa razy większy: $$|\angle ASB| = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$ **Odpowiedź:** A, czyli \(120^\circ\) Zależność "kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku" wraca w [planimetrii](/topics/planimetria) niemal co roku i warto ją mieć w palcach razem z jej konsekwencją: kąt wpisany oparty na średnicy ma \(90^\circ\). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-18) --- ### Geometria analityczna (zadanie 22) Trójkąt jest równoboczny, więc cała robota to policzenie jednego boku. Wskazówka: obwód jest potrojoną odległością danych punktów, a odległość liczy się wzorem, który jest twierdzeniem Pitagorasa w przebraniu. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-22 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Długość odcinka o końcach \(A = (x_A, y_A)\) i \(B = (x_B, y_B)\) liczymy ze wzoru: $$|AB| = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$$ Podstawiamy \(A = (-5, 2)\) oraz \(B = (3, -2)\): $$|AB| = \sqrt{(3 - (-5))^2 + (-2 - 2)^2} = \sqrt{8^2 + (-4)^2}$$ $$|AB| = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}$$ Trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, więc każdy jego bok ma tę samą długość, a obwód wynosi: $$\text{Obw} = 3 \cdot 4\sqrt{5} = 12\sqrt{5}$$ **Odpowiedź:** C, czyli \(12\sqrt{5}\) Pułapka siedzi w odejmowaniu liczby ujemnej: \(3 - (-5) = 8\), a nie \(-2\). Kto pomyli tu znak, policzy \(\sqrt{4 + 16} = 2\sqrt{5}\), dostanie obwód \(6\sqrt{5}\) i nie znajdzie takiej odpowiedzi wśród podanych. Warto też zauważyć, że \(\sqrt{80}\) trzeba uprościć do \(4\sqrt{5}\), bo w odpowiedziach nie ma postaci nieuproszczonej. Podstawy działu zebraliśmy w przewodniku po [geometrii analitycznej](/geometria-analityczna-na-maturze-proste-okregi-wektory). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-22) --- ### Równania i nierówności (zadanie 27) Wielomian trzeciego stopnia o czterech wyrazach prawie zawsze rozkłada się przez grupowanie. Wskazówka: pogrupuj dwa pierwsze wyrazy i dwa ostatnie, a potem wyłącz przed nawias to, co się powtarza. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-27 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Grupujemy wyrazy parami: $$x^3 - 7x^2 - 4x + 28 = (x^3 - 7x^2) - (4x - 28)$$ Z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik: $$x^2(x - 7) - 4(x - 7)$$ Teraz powtarza się cały nawias \((x - 7)\), więc wyłączamy i jego: $$(x - 7)(x^2 - 4)$$ Drugi nawias to różnica kwadratów: $$(x - 7)(x - 2)(x + 2) = 0$$ Iloczyn jest równy zero dokładnie wtedy, gdy zeruje się któryś z czynników: $$x = 7 \quad \text{lub} \quad x = 2 \quad \text{lub} \quad x = -2$$ **Odpowiedź:** \(x = -2\) lub \(x = 2\) lub \(x = 7\) W zadaniu otwartym liczy się kompletność: pominięcie choćby jednego z trzech pierwiastków to odpowiedź niepełna, mimo poprawnego rozkładu. Warto też zapisać sam rozkład, a nie tylko wynik - to on jest właściwym rozumowaniem. Kolejne typy równań i nierówności przećwiczysz w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-27) --- ### Inne (zadanie 30) W dowodzie nierówności rzadko chodzi o sprytny pomysł, częściej o doprowadzenie obu stron do postaci, o której z góry wiadomo, że jest prawdziwa. Wskazówka: pomnóż obie strony przez mianownik, korzystając z tego, że przy założeniu z treści jest on dodatni, i zbij wszystko do jednego kwadratu. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-30 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Z założenia \(a > 0\), więc \(a + 1 > 0\), a to znaczy, że wolno pomnożyć obie strony przez \(2(a + 1)\) bez zmiany kierunku nierówności. Wychodzimy od tezy: $$\frac{a^2 + 1}{a + 1} \ge \frac{a + 1}{2}$$ Po pomnożeniu stronami przez \(2(a + 1)\): $$2(a^2 + 1) \ge (a + 1)^2$$ Rozwijamy obie strony: $$2a^2 + 2 \ge a^2 + 2a + 1$$ Przenosimy wszystko na lewą stronę i redukujemy: $$a^2 - 2a + 1 \ge 0$$ Lewa strona jest kwadratem różnicy: $$(a - 1)^2 \ge 0$$ Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc ta nierówność jest prawdziwa zawsze. Wszystkie przekształcenia były równoważne, zatem prawdziwa jest również nierówność wyjściowa. Równość zachodzi dokładnie dla \(a = 1\), co kończy dowód. **Odpowiedź:** dowód zakończony; nierówność jest prawdziwa dla każdego \(a > 0\), a równość zachodzi dla \(a = 1\) Newralgiczne miejsce tego dowodu to zdanie o znaku wyrażenia \(a + 1\). Bez powołania się na założenie \(a > 0\) mnożenie stronami nie jest uzasadnione i rozumowanie ma lukę, nawet jeśli końcowy rachunek się zgadza. O tym, jak zapisywać takie zadania, żeby nic nie zgubić po drodze, piszemy w poradniku [jak rozwiązywać zadania otwarte](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-30) --- ### Stereometria (zadanie 32) Krawędź \(AD\) jest wysokością ostrosłupa, czyli jest prostopadła do całej płaszczyzny podstawy - a stąd wynika, że trójkąty \(ABD\) i \(ACD\) są prostokątne. Wskazówka: najpierw wyznacz krawędzie podstawy z twierdzenia Pitagorasa, dopiero potem licz pole podstawy. Zadanie z bazy: /task/matura-maj-2010-32 Pokaż rozwiązanie krok po kroku **Rozwiązanie:** Skoro \(AD\) jest wysokością ostrosłupa, to \(AD \perp AB\) oraz \(AD \perp AC\). Trójkąt \(ABD\) jest więc prostokątny, a jego przeciwprostokątną jest \(BD\): $$|AB| = \sqrt{|BD|^2 - |AD|^2} = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5$$ Tak samo liczymy w trójkącie \(ACD\), bo \(|CD| = |BD|\): $$|AC| = \sqrt{13^2 - 12^2} = 5$$ Podstawa \(ABC\) jest zatem trójkątem równoramiennym o ramionach długości \(5\) i podstawie \(|BC| = 6\). Wysokość opuszczona na \(BC\) dzieli tę podstawę na połowy, czyli na dwa odcinki po \(3\): $$h = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$$ Pole podstawy: $$P_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot |BC| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12$$ Objętość ostrosłupa liczymy ze wzoru \(V = \frac{1}{3} P_p H\), gdzie wysokością jest \(AD\): $$V = \frac{1}{3} \cdot 12 \cdot 12 = 48$$ **Odpowiedź:** \(V = 48\) Zadanie warte \(4\) punkty sprowadza się do trzech zastosowań twierdzenia Pitagorasa i jednego wzoru na objętość. Kluczem jest zdanie z treści o tym, że to krawędź \(AD\) jest wysokością: bez niego nie wiadomo, w którym punkcie podstawy stoi spodek wysokości, i zadania nie da się policzyć. Powtórkę brył i wzorów znajdziesz w dziale [stereometria](/topics/stereometria). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-maj-2010-32) --- ## Na co zwrócić uwagę w tym arkuszu **Planimetria rządzi.** Aż 9 zadań z planimetrii daje 28,6% punktów arkusza, najwięcej wśród arkuszy pojedynczych sesji w naszej bazie. Okręgi wpisane i opisane, trójkąty podobne, twierdzenie Pitagorasa, pola wielokątów - wszystko to pojawiło się wielokrotnie. Jeśli nie czujesz się pewnie w [planimetrii](/topics/planimetria), ten arkusz pokaże Ci dokładnie, czego Ci brakuje. **Równania wymierne wymagają dyscypliny.** Zadanie 6 to równanie wymierne i pokazuje, jak łatwo popełnić błąd, pomijając dziedzinę. Mianownik nigdy nie może się zerować - to jedna z najczęstszych pułapek na maturze. **Stereometria to przekroje i trójkąty.** Zadanie 32 pokazuje wzorcowy schemat ze [stereometrii](/topics/stereometria): szukasz w bryle trójkąta prostokątnego, stosujesz twierdzenie Pitagorasa, a dopiero na końcu podstawiasz do wzoru na objętość. **Trygonometria to wzory i tożsamości.** Jedynka trygonometryczna (\(\sin^2 + \cos^2 = 1\)) i definicja tangensa (\(\tan = \sin/\cos\)) to absolutne minimum, które musisz znać na pamięć z [trygonometrii](/topics/trygonometria). **Nie lekceważ zadań za 1 punkt.** Zadanie 3 (potęgi) zajmuje 30 sekund, jeśli pamiętasz, że każda liczba różna od zera podniesiona do potęgi zerowej daje 1. Nauka [potęg i pierwiastków](/potegi-i-pierwiastki-na-maturze-wzory-zadania) to inwestycja w szybkie punkty. ## Jak wykorzystać ten arkusz do nauki **Zrób go w całości na czas.** 170 minut to oficjalny limit tego arkusza; obecna matura w Formule 2023 trwa 180 minut. Wydrukuj arkusz, wyłącz telefon, postaw stoper. Trening czasowy to połowa sukcesu. **Przeanalizuj każdy błąd.** Nie patrz od razu na rozwiązanie. Spróbuj znaleźć błąd samodzielnie. Dopiero jak naprawdę nie wiesz, gdzie jest problem, zajrzyj do [rozwiązań krok po kroku](/jak-rozwiazywac-zadania-otwarte-matura-matematyka). **Poukładaj zadania według kategorii.** Zrób sobie tabelkę - zobaczysz wtedy wzorce. CKE nie wymyśla za każdym razem czegoś nowego, tylko zmieniają się liczby i kontekst. Jeśli szukasz więcej arkuszy, sprawdź [maturę maj 2011](/matura-maj-2011-rozwiazania-arkusz) lub [maturę maj 2012](/matura-maj-2012-rozwiazania-arkusz). Im więcej arkuszy przećwiczysz, tym pewniejszy się poczujesz na egzaminie. Wszystkie zadania znajdziesz w [bazie arkuszy maturalnych](/arkusze-maturalne-matematyka-2010-2025-kompletna-baza-zadan). Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)