--- route: /matura-czerwiec-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz title: Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa) - matematyka, rozwiązania description: Pełne rozwiązania arkusza matury z matematyki, sesja dodatkowa czerwiec 2023. 36 zadań z rozwiązaniami krok po kroku. Równania, nierówności, geometria analityczna. type: exam_walkthrough tags: matura 2023, czerwiec 2023, sesja dodatkowa, arkusz maturalny, rozwiązania, matematyka, równania i nierówności, CKE author: Filip Maszota author_url: https://www.sprawnamatura.pl/blog/autor/filip-maszota published: 2023-06-20T10:00:00+00:00 updated: 2023-06-20T10:00:00+00:00 --- # Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa) - matematyka, rozwiązania ## O arkuszu - Matura czerwiec 2023 (sesja dodatkowa) Matura z matematyki z sesji dodatkowej w czerwcu 2023 to arkusz przeznaczony dla maturzystów, którzy z przyczyn losowych lub zdrowotnych nie mogli przystąpić do egzaminu w maju. Arkusz zawierał **36 zadań**: 24 zamknięte i 12 otwartych, za łącznie **46 punktów**. Próg zdawalności to **14 punktów** (30%). Cechą charakterystyczną tego arkusza jest dominacja **równań i nierówności** - aż 5 zadań za 8 punktów. To więcej niż na typowej maturze, gdzie ten dział daje zwykle 3-5 punktów. Arkusz jest też bardzo zróżnicowany - pojawiło się aż 16 różnych kategorii, co oznacza, że testował szerokie spektrum wiedzy matematycznej. Jeśli chcesz porównać poziom trudności, sprawdź [maturę z maja 2023](/matura-maj-2023-matematyka-rozwiazania-arkusz) - to arkusz z tej samej sesji egzaminacyjnej, ale przeznaczony dla głównego terminu. ## Rozkład kategorii w arkuszu | Kategoria | Liczba zadań | Punkty | |-----------|-------------|--------| | [Równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci) | 5 | 8 | | [Geometria analityczna](/topics/geometria-analityczna) | 5 | 5 | | [Funkcja kwadratowa](/topics/funkcja-kwadratowa) | 2 | 5 | | [Potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki) | 4 | 4 | | [Ciągi](/topics/ciagi) | 4 | 4 | | [Liczby rzeczywiste](/topics/liczby-rzeczywiste) | 2 | 3 | | [Planimetria](/topics/planimetria) | 3 | 3 | | [Funkcje](/topics/funkcje) | 1 | 2 | | [Funkcja liniowa](/topics/funkcja-liniowa) | 2 | 2 | | [Stereometria](/topics/stereometria) | 2 | 2 | | [Prawdopodobieństwo](/topics/prawdopodobienstwo) | 1 | 2 | | Procenty | 1 | 1 | | [Logarytmy](/topics/logarytmy) | 1 | 1 | | Wyrażenia algebraiczne | 1 | 1 | | Inne | 1 | 1 | | [Trygonometria](/topics/trygonometria) | 1 | 1 | 16 kategorii w jednym arkuszu to rekord. CKE wyraźnie chciała sprawdzić, czy maturzyści mają wiedzę ze wszystkich działów. To dobra wiadomość dla osób, które ćwiczą systematycznie, i zła dla tych, którzy liczą na "zgadywanie" z 2-3 tematów. ## Analiza trudności ### Łatwe punkty (zadania 1-10, ok. 11 pkt) Klasyczny początek arkusza: potęgi, procenty, proste równania, odczytywanie właściwości z wykresu. Zadania za 1 punkt, w których wystarczy zastosować jeden wzór lub jedną operację. ### Średnie zadania (zadania 11-24, ok. 20 pkt) Ciągi, geometria analityczna (równanie prostej, okrąg), funkcja kwadratowa, nierówności. Wymagają 2-3 kroków rozwiązania i dobrej znajomości wzorów. Tu decyduje się, czy zdasz maturę. ### Trudne zadania (zadania 25-36, ok. 14 pkt) Zadania otwarte wieloetapowe: dowodzenie, stereometria, planimetria z trygonometrią, funkcja kwadratowa z warunkami. Tu walczy się o wynik 70%+. ## Rozwiązania wybranych zadań ### Zadanie 1 - Potęgi i pierwiastki (1 pkt) **Treść:** Wartość wyrażenia \(\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} + 4^{-1}\) jest równa A. \(8\frac{1}{4}\) B. \(7\frac{3}{4}\) C. \(\frac{1}{12}\) D. \(-\frac{11}{4}\) **Rozwiązanie:** Korzystamy z definicji potęgi o wykładniku ujemnym: \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\), czyli \(\left(\frac{1}{a}\right)^{-n} = a^n\). $$\left(\frac{1}{2}\right)^{-3} = 2^3 = 8$$ $$4^{-1} = \frac{1}{4}$$ $$8 + \frac{1}{4} = 8\frac{1}{4}$$ Potęga o ujemnym wykładniku to jedno z najczęściej pytanych zagadnień. Pamiętaj: ujemny wykładnik oznacza odwrotność, nie wartość ujemną. Więcej ćwiczeń znajdziesz w dziale [potęgi i pierwiastki](/topics/potegi-i-pierwiastki). **Odpowiedź: A** [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-01) --- ### Zadanie 6 - Równania i nierówności (1 pkt) **Treść:** Rozwiąż równanie \(|2x - 5| = 3\). **Rozwiązanie:** Równanie z wartością bezwzględną rozbijamy na dwa przypadki: **Przypadek 1:** \(2x - 5 = 3\) $$2x = 8 \implies x = 4$$ **Przypadek 2:** \(2x - 5 = -3\) $$2x = 2 \implies x = 1$$ Rozwiązania: \(x = 1\) lub \(x = 4\). Wartość bezwzględna to dział, który wielu uczniów uważa za trudny, ale schemat jest prosty: zapisz dwa równania (z plusem i z minusem). CKE testuje to regularnie. Ćwicz: [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). **Odpowiedź: B** [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-06) --- ### Zadanie 10 - Ciągi (1 pkt) **Treść:** Ciąg geometryczny \((a_n)\) jest określony wzorem \(a_n = 3 \cdot 2^{n-1}\). Oblicz sumę czterech pierwszych wyrazów tego ciągu. **Rozwiązanie:** Obliczamy kolejne wyrazy: $$a_1 = 3 \cdot 2^0 = 3$$ $$a_2 = 3 \cdot 2^1 = 6$$ $$a_3 = 3 \cdot 2^2 = 12$$ $$a_4 = 3 \cdot 2^3 = 24$$ Suma: $$S_4 = 3 + 6 + 12 + 24 = 45$$ Można też użyć wzoru na sumę ciągu geometrycznego: \(S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}\), gdzie \(q = 2\): $$S_4 = 3 \cdot \frac{1 - 2^4}{1 - 2} = 3 \cdot \frac{1 - 16}{-1} = 3 \cdot 15 = 45$$ Na maturze warto znać oba sposoby. Dla małych \(n\) (4-5 wyrazów) szybsze jest bezpośrednie sumowanie. Dla dużych \(n\) - wzór z tablic. **Odpowiedź: C** [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-10) --- ### Zadanie 18 - Funkcja kwadratowa (1 pkt) **Treść:** Funkcja kwadratowa \(f(x) = 2x^2 - 8x + 6\) ma dwa miejsca zerowe. Oblicz ich sumę. **Rozwiązanie:** Korzystamy ze wzorów Viete'a. Dla funkcji \(f(x) = ax^2 + bx + c\): $$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -\frac{-8}{2} = 4$$ Nie trzeba nawet obliczać delty ani samych miejsc zerowych - wzory Viete'a dają odpowiedź od razu. To ogromna oszczędność czasu na maturze! Sprawdzenie (opcjonalne): \(\Delta = 64 - 48 = 16\), \(x_{1,2} = \frac{8 \pm 4}{4}\), \(x_1 = 1\), \(x_2 = 3\), \(x_1 + x_2 = 4\). Zgadza się. Wzory Viete'a to jedno z najskuteczniejszych narzędzi na maturze. Przeczytaj nasz [przewodnik po funkcji kwadratowej](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania), żeby opanować je w pełni. **Odpowiedź: D** --- ### Zadanie 27 - Równania i nierówności (2 pkt) **Treść:** Rozwiąż nierówność \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\). **Rozwiązanie:** Obliczamy deltę: $$\Delta = 25 - 24 = 1, \quad \sqrt{\Delta} = 1$$ Miejsca zerowe: $$x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$ Współczynnik przy \(x^2\) jest dodatni (\(a = 1 > 0\)), więc parabola jest skierowana ramionami do góry. Nierówność \(\leq 0\) jest spełniona między pierwiastkami: $$x \in [2, 3]$$ Nierówności kwadratowe to klasyka matury - pojawiają się co roku. Schemat jest zawsze ten sam: (1) delta, (2) pierwiastki, (3) narysuj parabolę, (4) odczytaj rozwiązanie. Ćwicz w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-27) --- ### Zadanie 32 - Stereometria (2 pkt) **Treść:** Stożek ma promień podstawy \(r = 3\) i tworzącą \(l = 5\). Oblicz pole powierzchni całkowitej tego stożka. **Rozwiązanie:** **Krok 1:** Pole powierzchni bocznej stożka: $$P_b = \pi r l = \pi \cdot 3 \cdot 5 = 15\pi$$ **Krok 2:** Pole podstawy: $$P_p = \pi r^2 = \pi \cdot 9 = 9\pi$$ **Krok 3:** Pole powierzchni całkowitej: $$P_c = P_b + P_p = 15\pi + 9\pi = 24\pi$$ Wzory na pole powierzchni stożka są w tablicach maturalnych. Kluczowe to rozróżniać tworzącą \(l\) (odcinek na powierzchni bocznej) od wysokości \(h\) (odcinek wewnątrz stożka). CKE często gra na tym, że uczniowie mylą te dwie wielkości. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-32) --- ### Zadanie 37 - Funkcja kwadratowa (4 pkt) **Treść:** Dana jest funkcja \(f(x) = -x^2 + 6x - 5\). Wyznacz współrzędne wierzchołka paraboli i narysuj wykres. Dla jakich wartości \(x\) funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie? **Rozwiązanie:** **Krok 1:** Współrzędne wierzchołka: $$p = \frac{-b}{2a} = \frac{-6}{2 \cdot (-1)} = 3$$ $$q = f(3) = -9 + 18 - 5 = 4$$ Wierzchołek: \(W = (3, 4)\). **Krok 2:** Miejsca zerowe: $$\Delta = 36 - 20 = 16, \quad \sqrt{\Delta} = 4$$ $$x_1 = \frac{-6 + 4}{-2} = 1, \quad x_2 = \frac{-6 - 4}{-2} = 5$$ **Krok 3:** Funkcja przyjmuje wartości dodatnie (\(f(x) > 0\)) między miejscami zerowymi (bo \(a < 0\), parabola skierowana ramionami w dół): $$x \in (1, 5)$$ To zadanie za 4 punkty, ale wymaga jedynie standardowych obliczeń. Klucz to rysunek - narysuj parabolę z wierzchołkiem w \((3, 4)\) i miejscami zerowymi w \(1\) i \(5\), a odpowiedź będzie oczywista. [Rozwiąż to zadanie na Sprawnej Maturze](/task/matura-czerwiec-2023-37) ## Pełna lista zadań z rozwiązaniami Poniżej znajdziesz 30 z 33 zadań, jakie mamy z tego arkusza w naszej bazie, każde z interaktywnym rozwiązaniem. Kliknij w dowolne zadanie: **Zadania zamknięte (1 pkt):** - [Zadanie 1](/task/matura-czerwiec-2023-01) - Potęgi: wykładnik ujemny - [Zadanie 2](/task/matura-czerwiec-2023-02) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 3](/task/matura-czerwiec-2023-03) - Potęgi i pierwiastki - [Zadanie 4](/task/matura-czerwiec-2023-04) - Procenty - [Zadanie 5](/task/matura-czerwiec-2023-05) - Potęgi - [Zadanie 6](/task/matura-czerwiec-2023-06) - Równania: wartość bezwzględna - [Zadanie 7](/task/matura-czerwiec-2023-07) - Funkcja liniowa - [Zadanie 8](/task/matura-czerwiec-2023-08) - Geometria analityczna - [Zadanie 9](/task/matura-czerwiec-2023-09) - Wyrażenia algebraiczne - [Zadanie 10](/task/matura-czerwiec-2023-10) - Ciągi: suma ciągu geometrycznego - [Zadanie 11](/task/matura-czerwiec-2023-11) - Równania i nierówności - [Zadanie 12](/task/matura-czerwiec-2023-12) - Logarytmy - [Zadanie 16](/task/matura-czerwiec-2023-16) - Inne - [Zadanie 20](/task/matura-czerwiec-2023-20) - Trygonometria - [Zadanie 21](/task/matura-czerwiec-2023-21) - Funkcje - [Zadanie 22](/task/matura-czerwiec-2023-22) - Liczby rzeczywiste - [Zadanie 23](/task/matura-czerwiec-2023-23) - Ciągi - [Zadanie 24](/task/matura-czerwiec-2023-24) - Geometria analityczna **Zadania otwarte (2-4 pkt):** - [Zadanie 25](/task/matura-czerwiec-2023-25) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 26](/task/matura-czerwiec-2023-26) - Funkcja liniowa (2 pkt) - [Zadanie 27](/task/matura-czerwiec-2023-27) - Nierówność kwadratowa (2 pkt) - [Zadanie 28](/task/matura-czerwiec-2023-28) - Potęgi (2 pkt) - [Zadanie 29](/task/matura-czerwiec-2023-29) - Geometria analityczna (2 pkt) - [Zadanie 30](/task/matura-czerwiec-2023-30) - Planimetria (2 pkt) - [Zadanie 31](/task/matura-czerwiec-2023-31) - Równania i nierówności (2 pkt) - [Zadanie 32](/task/matura-czerwiec-2023-32) - Stereometria: stożek (2 pkt) - [Zadanie 36](/task/matura-czerwiec-2023-36) - Geometria analityczna (4 pkt) - [Zadanie 37](/task/matura-czerwiec-2023-37) - Funkcja kwadratowa (4 pkt) - [Zadanie 38](/task/matura-czerwiec-2023-38) - Planimetria (4 pkt) - [Zadanie 39](/task/matura-czerwiec-2023-39) - Stereometria (4 pkt) Cały arkusz: [Matura czerwiec 2023 - wszystkie zadania](/exams/matura-czerwiec-2023) ## Wnioski i wskazówki 1. **Równania i nierówności rządzą** - 5 zadań za 8 punktów. Wartość bezwzględna, nierówności kwadratowe, nierówności wymierne - to "must have" na maturze. Ćwicz w dziale [równania i nierówności](/topics/rownania-i-nierownosci). 2. **Funkcja kwadratowa za 5 punktów** - wzory Viete'a, wierzchołek, postać kanoniczna. Przeczytaj nasz [kompletny przewodnik](/funkcja-kwadratowa-na-maturze-wzory-wykresy-zadania). 3. **16 kategorii** - jeszcze więcej niż na maturze poprawkowej z [sierpnia 2023](/matura-sierpien-2023-poprawkowa-matematyka-rozwiazania-arkusz). Nie możesz ignorować żadnego działu. 4. **Stereometria za 6 punktów** - dwa zadania, w tym jedno za 4 punkty. Wzory z tablic, ale musisz umieć je stosować w niestandardowych sytuacjach. ## Zacznij ćwiczyć już dziś Na [Sprawnej Maturze](/) masz ponad 2300 zadań z arkuszy CKE z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku. Wejdź na [stronę ćwiczeń](/solve) i przekonaj się, że matematyka nie musi być trudna! Następny krok: Losuj kolejne zadanie (/random)